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广东广州市广铁一中2025-2026学年九年级3月学情摸查数学试卷
1．下列数是负无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．将如图所示的直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．球
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．下表记录了年我国新能源汽车销量，将此表的数据绘制成统计图，以下说法不正确的是（　　）
年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024
新能源汽车销量（万辆） 120.62 136.73 352.05 688.66 949.52 1286.60
A．绘制趋势图，以横坐标为年份，纵坐标为新能源汽车销量，能直观体现年份与销量的关联
B．绘制折线图，可以看出新能源汽车销量整体呈现上升的趋势
C．绘制条形图，各条形高度代表对应年份新能源汽车销量，能准确比较每年销量大小
D．根据数据表，可以确定2025年新能源汽车销量的准确数据
6．已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．不确定
7．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（　　）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
9．如图，、是的两条直径，且，，P为直径上一动点．若的直径，则周长的最小值是（　　）
A．3 B．4 C． D．
10．在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（　　）
A．当且时，则
B．当且时，则
C．当时，则
D．当时，则
11．如图，已知直线，，相交于点．若，，则的度数为　 　．
12．如图，，，，则的长为　 　．
13．要使代数式有意义，则x取值范围为　 　
14．如图，在中，，平分，，，则点B到的距离为　 　．
15．二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则　 　．
16．在中，，，的内切圆半径r．
（1）设直角边，则r的值为　 　．
（2）r的最大值为　 　．
17．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
18．如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：．
19．先化简，再从，，中选择一个合适的数作为的值代入求值
20．五一假期，小红与家人计划一同前往榕江观看“村超”．为了选择一个最合适的酒店，小红对甲、乙、丙三个酒店进行了调查与评估、她依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）、三个酒店的得分如表所示：
酒店 安全保障 价格 地理位置 住宿条件
甲 7 7 9 8
乙 8 6 7 9
丙 7 7 7 8
（1）如果小红认为四项同等重要，按的比确定最终得分，通过计算回答：小红会选择哪家酒店；
（2）若四项得分所占百分比如扇形统计图所示，通过计算回答：小红会选择哪家酒店．
21．将正面分别写有数字，，，的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀．洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标．
（1）请用列表法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标．
（2）小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为的圆内，则小明获胜：若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由．
22．小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板绕点O顺时针旋转，边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标．
23．如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点．
①试判断四边形的形状，并说明理由．
②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长．
24．
《观景拱桥的设计》
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式．
任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．
任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
25．如图，点D为边上一点，过A、C、D三点作外接圆O，交边于点E，连接，交于点F，且，点M是边上一点，连接交于点N，满足．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是负分数，属于有理数，故Ａ错误.
B、是正无理数，是正数，不是负数，故Ｂ错误.
C、既不是正数也不是负数，属于有理数，故Ｃ错误.
D、，且是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数，故是负无理数，Ｄ正确.
故答案为：Ｄ.
【分析】根据负无理数的定义得是负分数，属于有理数，是正无理数，是正数，不是负数，既不是正数也不是负数，属于有理数，，且是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数，故是负无理数，即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；图形的旋转；圆锥的特征
【解析】【解答】根据 “面动成体” 的原理，直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，形成的立体图形是圆锥，对应选项为 C，
故答案为：C。
【分析】本题考查面动成体的几何概念，牢记直角三角形绕直角边旋转一周会形成圆锥这一基本规律，据此判断选项。
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A、根据二次根式的加减法法则，同类二次根式可以合并，，A不符合题意；
B、与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不属于同类项，无法直接合并，B不符合题意；
C、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，，C符合题意；
D、根据单项式乘单项式的法则，系数相乘，同底数幂相乘，，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题综合考查了二次根式的加减运算、同类项的定义、同底数幂的除法以及单项式乘单项式的运算法则，熟练掌握各类运算的规则，逐一验证选项的正误即可。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：Ａ.
【分析】根据判别式计算化简判断其符号即可得原方程有两个不相等的实数根．
5．【答案】D
【知识点】条形统计图；折线统计图；统计图的选择
【解析】【解答】解：A、趋势图以年份为横轴、销量为纵轴，能直观展示年份与销量的关联关系及变化规律，故Ａ正确.
B、表格中年的销量持续增长，绘制折线图，可以看出新能源汽车销量整体呈现上升的趋势，故Ｂ正确.
C、绘制条形图，各条形高度代表对应年份新能源汽车销量，能准确比较每年销量大小，故Ｃ正确.
D、现有数据仅为至年的销量，年的销量受诸多不确定因素影响，无法根据现有数据确定其准确值，故Ｄ错误.
故答案为：D．
【分析】根据表格数据，结合各个统计图的特点，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得答案.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵的图象经过点，
∴，
∴此反比例函数的图象在一，三象限，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得，进一步即可得此反比例函数的图象在一，三象限.
7．【答案】B
【知识点】正方形的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如图，
∵边长为3的正方形中，点的坐标为，
∴，，
将直线沿轴向上平移个单位后解析式为，，
当直线与正方形有唯一个交点时，即直线经过点B，D，
当经过点D时，有，解得，，
当经过点B时，有，解得，，
∵直线与正方形有交点，
∴的取值范围是．
故答案为：Ｂ.
【分析】根据正方形性质，结合已知得正方形各顶点的坐标，，，再求出将直线沿轴向上平移个单位后解析式，当经过点D时，代入坐标得，同理得当经过点B时，，再根据直线与正方形有交点，即可得的取值范围是．
8．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，
四边形是矩形，
，，，，，，
分别为矩形四条边的中点，
分别是的中位线，
，，
，
四边形是菱形，
，，，
四边形是矩形，
同理可证，四边形是矩形，
，，
菱形的面积．
故答案为：Ｄ.
【分析】连接、、、，根据矩形的性质和三角形中位线定理可得相等，进一步可证明四边形是菱形，再根据相等，等于，平行，等于，即可判断四边形和四边形是矩形，即可得出，，再根据菱形的面积计算公式求解即可．
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
连接、，交于P，
∵、是的两条直径，且，
∴与互相垂直平分，
∴，
∴周长的最小值，
∵ ，
，
∵是的直径，
，
∵，
，，
∴周长的最小值．
故答案为：Ｄ.
【分析】连接、，交于P，根据垂径定理即推论得与互相垂直平分，即可得相等，即可得周长的最小值等于加，根据等于得，进一步推理得，，代入即可得周长的最小值.
10．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，且，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
当，则，解得：，，
与轴的交点坐标为和．
当时，；当时，；当时，.
A、当时，则，且，则，那么或，故Ａ错误.
B、当时，则，且，则，那么，故Ｂ正确.
C、当时，由随的增大而减小可得，故Ｃ错误.
D、当时，由随的增大而增大可得，故Ｄ错误.
故答案为：Ｂ.
【分析】先整理抛物线解析式，根据抛物线的图像及性质得抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，与轴的交点坐标为和，再逐项分析判断即可．
11．【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
．
故答案为：
【分析】观察图形发现、与共同组成一个平角，结合等于，等于，即可求出的度数，再根据对顶角相等即可得的度数．
12．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，
，
∴，
，
，
，
．
故答案为：4.
【分析】根据相似三角形性质得，即可得，进一步得，根据，即可得的长.
13．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴且，
∴且.
故答案为：且．
【分析】观察代数式发现，此代数式含有二次根式和分式，根据二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为零进一步计算求解即可得答案.
14．【答案】
【知识点】角平分线的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等分面积模型
【解析】【解答】解：如图，
作于，，交的延长线于点，
平分，，即，
，
，，
，
，
在中，，
中，，
，即，
，
中，，
，
∴，
，
∴点B到的距离为．
故答案为：.
【分析】作于，，交的延长线于点，根据角平分线的性质得相等，
根据勾股定理得，进一步可得，再根据得，再根据勾股定理得，再根据等面积法即可得，代入数据计算即可得点B到的距离为．
15．【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象顶点为，
又∵二次函数的图象经过点，且顶点在直线上，
∴，整理得：解得：或．
故答案为：或.
【分析】根据题目情境求出该二次函数的顶点坐标，再将顶点坐标、点代入直线，联立方程组求解即可得到的值．
16．【答案】1；
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；完全平方式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：，
设内切圆半径为，由面积关系可得：
，即解得.
故答案为：1.
（2）解：设、，由勾股定理得：，
，
由完全平方公式的非负性得：
∴，
∴，
∴，
，
，当且仅当时，等号成立，
，
∴的最大值为．
故答案为：.
【分析】（1）根据勾股定理，结合已知得，设内切圆半径为，由面积关系列方程解出即可得 r的值 为1.
（2）设、，根据勾股定理得，进一步得，再根据完全平方公式的非负性得，即可求的最大值.
17．【答案】解：
由①得：，
由②得：，
将①②解集在数轴上表示出来为：
不等式组的解集为：.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】分别求出①②不等式的解集，再将①②解集在数轴上表示出来为即可得不等式组的解集为.
18．【答案】证明：如图，
∵，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】根据已知条件得相等，再根据，结合相似三角形判定定理即可证明相似.
19．【答案】解：原式
，
当或时，原分式无意义，
当时，原式.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法进行化简得，
最后根据分式有意义的条件选择合适的值代入求值即可得答案.
20．【答案】（1）解：四项同等重要，按的比确定最终得分，
酒店甲得分为：，
酒店乙得分为：，
酒店丙得分为：．
，
小红会选择酒店甲.
（2）解：酒店甲得分为：，
酒店乙得分为：，
酒店丙得分为：．
，
小红会选择酒店乙．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据加权平均数的计算公式分别求出甲、乙、丙三个酒店的综合得分，再比较得分的大小即可得答案.
（2）根据加权平均数的计算公式分别求出甲、乙、丙三个酒店的综合得分，再比较得分的大小即可得答案.
（1）解：四项同等重要，按的比确定最终得分，
酒店甲得分为：，
酒店乙得分为：，
酒店丙得分为：．
，
小红会选择酒店甲；
（2）解：酒店甲得分为：，
酒店乙得分为：，
酒店丙得分为：．
，
小红会选择酒店乙．
21．【答案】（1）解：根据题意列表，即可得可能的点的坐标如下：
第二次 第一次
（2）解：这个游戏不公平，理由，如图，
由（）得一共有种等可能结果，点落在圆内有种，
点落在圆上或圆外有种，则：
p(小明获胜)=，
P(小亮获胜)=，
∵，
∴这个游戏不公平．
【知识点】点与圆的位置关系；用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（）根据题目情境，列表列举出两次抽卡的所有组合，即可得到种可能的点坐标.
（）根据列表得一共有种等可能结果，再根据坐标，结合点到原点的距离判断点与圆的位置，可判断点落在圆上或圆外有种，点落在圆内有种，计算出两个概率，比较概率大小即可判断游戏公平性．
（1）解：列表如下，
第二次 第一次
（2）解：这个游戏不公平，理由，
如图，
由（）得一共有种等可能结果，点落在圆内有种，则小明获胜的概率为；点落在圆上或圆外有种，则小亮获胜的概率为，
∵，
∴这个游戏不公平．
22．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点C，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：如图，
三角板绕点O顺时针旋转为三角板，过点C作交于点E，
∵含角的三角板的直角顶点C的坐标为，
∴，
∴，即点，点，
∴点的横坐标为4，
∴，即点的纵坐标为1，
∴，
∴，
∴旋转前点D的坐标为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入反比例函数求解即可得解析式.
（2）三角板绕点O顺时针旋转为三角板，过点C作交于点E，结合已知条件得点，点，进一步得，即可得，进一步得旋转前点D的坐标为．
（1）解：∵反比例函数的图象经过点C，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：三角板绕点O顺时针旋转为三角板，
过点C作交于点E，如图，
∵含角的三角板的直角顶点C的坐标为，
∴，
∴，即点，点，
∴点的横坐标为4，
∴，即点的纵坐标为1，
∴，
∴，
∴旋转前点D的坐标为．
23．【答案】（1）解：四边形为正方形，理由如下：
如图1，
四边形是矩形，
，
根据折叠性质得：，，
四边形是正方形.
（2）解：（2）①四边形为平行四边形，理由如下：
如图2，
四边形是矩形，
，
点是的中点，
，
根据折叠性质得：，，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形.
②的长为或．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：②四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
，
，，，
∴四边形是矩形，
当是的下方的三等分点时，
，点是的中点，
，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可得，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当是的上方的三等分点时，
，点是的中点，
，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
综上所述，的长为或．
【分析】（1）根据四边形是矩形得等于，根据折叠性质得等于，相等，即可得四边形是正方形.
（2）①根据矩形性质得平行，根据中点定义得相等，根据折叠性质得相等，相等，进一步推理得平行，即可判断四边形是平行四边形.
②根据平行四边形性质得相等，根据中点性质得相等，再结合已知得四边形是矩形，当是的下方的三等分点时，根据中点，矩形，折叠性质得，根据勾股定理得，即可得，同理得当是的上方的三等分点时，，综合即可得的长为或．
（1）四边形为正方形．
理由：矩形，
，
折叠，
，，
四边形是正方形；
（2）①四边形为平行四边形．
理由：矩形，
，
点是的中点，
，
折叠，
，，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
②四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
，
，，，
是矩形，
当是的下方的三等分点时，
，点是的中点，
，
是矩形，
∴，
由折叠可得，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当是的上方的三等分点时，
，点是的中点，
，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
综上所述，的长为或．
24．【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，将点，代入得：
，解得，
抛物线的解析式为.
（2）由（1）知，，
根据对称性可得，
设点的坐标为，
根据题意得，，
，
，解得，（舍去），
，，
，
.
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，
，光线所在的直线解析式为，
设直线的解析式为，
联立，整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，，
，
∴光线与抛物线之间的距离为米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的其他实际应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点，代入即可解出解析式.
（2）根据（1）知，，根据对称性可得，设点的坐标为，进而得，的长，再根据， 列方程可得，的长，再根据线段之间的和差求出的长即可.
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，根据平行可设直线的解析式为，结合直线与抛物线解析式得，再根据直线与抛物线相切，得即可得，求出直线的解析式为，令，则得，根据根据射灯射出的光线与地面成角，解直角三角形即可求得的长．
25．【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴.
（2）证明：如图①，
连接，
∵，且，
，，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
（3）解：如图②，
过点N作交于点P，过点E作交于点Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，解得（负值舍掉），
∴，
由（2）知，，
∵，
∴，
设，则，
∵，即，
∴，解得，（负值舍掉），
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合相等，得相等，根据角的和差得相等，进一步得相等.
（2）连接，根据已知条件，结合等量代换，角的和差关系转换得到相等，进一步得相等，即可证明相似，根据相似性质得得相等，等量替换可得.
（3）过点N作交于点P，过点E作交于点Q，根据条件得相等，结合相等，即可证明相似，即可得，代入数据得，由（2）知，，即可得，设，则，根据列方程即可得，进一步推理得，即可得，再计算两个三角形的面积即可得答案.
（1）证明：∵，
∴，
∵，即，
∵，
∴，
∵，即，
∴；
（2）证明：连接，如图①，
∵，且，
又，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点N作交于点P，过点E作交于点Q，如图②，
∵，；
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，可得，
解得（负值舍掉），
∴，
由（2）知，，
∵，
∴，
设，则，
∵，即，
∴，解得，（负值舍掉），
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1广东广州市广铁一中2025-2026学年九年级3月学情摸查数学试卷
1．下列数是负无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是负分数，属于有理数，故Ａ错误.
B、是正无理数，是正数，不是负数，故Ｂ错误.
C、既不是正数也不是负数，属于有理数，故Ｃ错误.
D、，且是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数，故是负无理数，Ｄ正确.
故答案为：Ｄ.
【分析】根据负无理数的定义得是负分数，属于有理数，是正无理数，是正数，不是负数，既不是正数也不是负数，属于有理数，，且是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数，故是负无理数，即可得答案.
2．将如图所示的直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．球
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；图形的旋转；圆锥的特征
【解析】【解答】根据 “面动成体” 的原理，直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，形成的立体图形是圆锥，对应选项为 C，
故答案为：C。
【分析】本题考查面动成体的几何概念，牢记直角三角形绕直角边旋转一周会形成圆锥这一基本规律，据此判断选项。
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A、根据二次根式的加减法法则，同类二次根式可以合并，，A不符合题意；
B、与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不属于同类项，无法直接合并，B不符合题意；
C、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，，C符合题意；
D、根据单项式乘单项式的法则，系数相乘，同底数幂相乘，，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题综合考查了二次根式的加减运算、同类项的定义、同底数幂的除法以及单项式乘单项式的运算法则，熟练掌握各类运算的规则，逐一验证选项的正误即可。
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：Ａ.
【分析】根据判别式计算化简判断其符号即可得原方程有两个不相等的实数根．
5．下表记录了年我国新能源汽车销量，将此表的数据绘制成统计图，以下说法不正确的是（　　）
年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024
新能源汽车销量（万辆） 120.62 136.73 352.05 688.66 949.52 1286.60
A．绘制趋势图，以横坐标为年份，纵坐标为新能源汽车销量，能直观体现年份与销量的关联
B．绘制折线图，可以看出新能源汽车销量整体呈现上升的趋势
C．绘制条形图，各条形高度代表对应年份新能源汽车销量，能准确比较每年销量大小
D．根据数据表，可以确定2025年新能源汽车销量的准确数据
【答案】D
【知识点】条形统计图；折线统计图；统计图的选择
【解析】【解答】解：A、趋势图以年份为横轴、销量为纵轴，能直观展示年份与销量的关联关系及变化规律，故Ａ正确.
B、表格中年的销量持续增长，绘制折线图，可以看出新能源汽车销量整体呈现上升的趋势，故Ｂ正确.
C、绘制条形图，各条形高度代表对应年份新能源汽车销量，能准确比较每年销量大小，故Ｃ正确.
D、现有数据仅为至年的销量，年的销量受诸多不确定因素影响，无法根据现有数据确定其准确值，故Ｄ错误.
故答案为：D．
【分析】根据表格数据，结合各个统计图的特点，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得答案.
6．已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．不确定
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵的图象经过点，
∴，
∴此反比例函数的图象在一，三象限，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得，进一步即可得此反比例函数的图象在一，三象限.
7．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为，直线l的表达式为：，将直线l沿y轴向上平移m个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如图，
∵边长为3的正方形中，点的坐标为，
∴，，
将直线沿轴向上平移个单位后解析式为，，
当直线与正方形有唯一个交点时，即直线经过点B，D，
当经过点D时，有，解得，，
当经过点B时，有，解得，，
∵直线与正方形有交点，
∴的取值范围是．
故答案为：Ｂ.
【分析】根据正方形性质，结合已知得正方形各顶点的坐标，，，再求出将直线沿轴向上平移个单位后解析式，当经过点D时，代入坐标得，同理得当经过点B时，，再根据直线与正方形有交点，即可得的取值范围是．
8．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（　　）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，
四边形是矩形，
，，，，，，
分别为矩形四条边的中点，
分别是的中位线，
，，
，
四边形是菱形，
，，，
四边形是矩形，
同理可证，四边形是矩形，
，，
菱形的面积．
故答案为：Ｄ.
【分析】连接、、、，根据矩形的性质和三角形中位线定理可得相等，进一步可证明四边形是菱形，再根据相等，等于，平行，等于，即可判断四边形和四边形是矩形，即可得出，，再根据菱形的面积计算公式求解即可．
9．如图，、是的两条直径，且，，P为直径上一动点．若的直径，则周长的最小值是（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
连接、，交于P，
∵、是的两条直径，且，
∴与互相垂直平分，
∴，
∴周长的最小值，
∵ ，
，
∵是的直径，
，
∵，
，，
∴周长的最小值．
故答案为：Ｄ.
【分析】连接、，交于P，根据垂径定理即推论得与互相垂直平分，即可得相等，即可得周长的最小值等于加，根据等于得，进一步推理得，，代入即可得周长的最小值.
10．在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（　　）
A．当且时，则
B．当且时，则
C．当时，则
D．当时，则
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，且，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
当，则，解得：，，
与轴的交点坐标为和．
当时，；当时，；当时，.
A、当时，则，且，则，那么或，故Ａ错误.
B、当时，则，且，则，那么，故Ｂ正确.
C、当时，由随的增大而减小可得，故Ｃ错误.
D、当时，由随的增大而增大可得，故Ｄ错误.
故答案为：Ｂ.
【分析】先整理抛物线解析式，根据抛物线的图像及性质得抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，与轴的交点坐标为和，再逐项分析判断即可．
11．如图，已知直线，，相交于点．若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
．
故答案为：
【分析】观察图形发现、与共同组成一个平角，结合等于，等于，即可求出的度数，再根据对顶角相等即可得的度数．
12．如图，，，，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，
，
∴，
，
，
，
．
故答案为：4.
【分析】根据相似三角形性质得，即可得，进一步得，根据，即可得的长.
13．要使代数式有意义，则x取值范围为　 　
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴且，
∴且.
故答案为：且．
【分析】观察代数式发现，此代数式含有二次根式和分式，根据二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为零进一步计算求解即可得答案.
14．如图，在中，，平分，，，则点B到的距离为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等分面积模型
【解析】【解答】解：如图，
作于，，交的延长线于点，
平分，，即，
，
，，
，
，
在中，，
中，，
，即，
，
中，，
，
∴，
，
∴点B到的距离为．
故答案为：.
【分析】作于，，交的延长线于点，根据角平分线的性质得相等，
根据勾股定理得，进一步可得，再根据得，再根据勾股定理得，再根据等面积法即可得，代入数据计算即可得点B到的距离为．
15．二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象顶点为，
又∵二次函数的图象经过点，且顶点在直线上，
∴，整理得：解得：或．
故答案为：或.
【分析】根据题目情境求出该二次函数的顶点坐标，再将顶点坐标、点代入直线，联立方程组求解即可得到的值．
16．在中，，，的内切圆半径r．
（1）设直角边，则r的值为　 　．
（2）r的最大值为　 　．
【答案】1；
【知识点】勾股定理；三角形的内切圆与内心；完全平方式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：，
设内切圆半径为，由面积关系可得：
，即解得.
故答案为：1.
（2）解：设、，由勾股定理得：，
，
由完全平方公式的非负性得：
∴，
∴，
∴，
，
，当且仅当时，等号成立，
，
∴的最大值为．
故答案为：.
【分析】（1）根据勾股定理，结合已知得，设内切圆半径为，由面积关系列方程解出即可得 r的值 为1.
（2）设、，根据勾股定理得，进一步得，再根据完全平方公式的非负性得，即可求的最大值.
17．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】解：
由①得：，
由②得：，
将①②解集在数轴上表示出来为：
不等式组的解集为：.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】分别求出①②不等式的解集，再将①②解集在数轴上表示出来为即可得不等式组的解集为.
18．如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：．
【答案】证明：如图，
∵，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】根据已知条件得相等，再根据，结合相似三角形判定定理即可证明相似.
19．先化简，再从，，中选择一个合适的数作为的值代入求值
【答案】解：原式
，
当或时，原分式无意义，
当时，原式.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法进行化简得，
最后根据分式有意义的条件选择合适的值代入求值即可得答案.
20．五一假期，小红与家人计划一同前往榕江观看“村超”．为了选择一个最合适的酒店，小红对甲、乙、丙三个酒店进行了调查与评估、她依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）、三个酒店的得分如表所示：
酒店 安全保障 价格 地理位置 住宿条件
甲 7 7 9 8
乙 8 6 7 9
丙 7 7 7 8
（1）如果小红认为四项同等重要，按的比确定最终得分，通过计算回答：小红会选择哪家酒店；
（2）若四项得分所占百分比如扇形统计图所示，通过计算回答：小红会选择哪家酒店．
【答案】（1）解：四项同等重要，按的比确定最终得分，
酒店甲得分为：，
酒店乙得分为：，
酒店丙得分为：．
，
小红会选择酒店甲.
（2）解：酒店甲得分为：，
酒店乙得分为：，
酒店丙得分为：．
，
小红会选择酒店乙．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据加权平均数的计算公式分别求出甲、乙、丙三个酒店的综合得分，再比较得分的大小即可得答案.
（2）根据加权平均数的计算公式分别求出甲、乙、丙三个酒店的综合得分，再比较得分的大小即可得答案.
（1）解：四项同等重要，按的比确定最终得分，
酒店甲得分为：，
酒店乙得分为：，
酒店丙得分为：．
，
小红会选择酒店甲；
（2）解：酒店甲得分为：，
酒店乙得分为：，
酒店丙得分为：．
，
小红会选择酒店乙．
21．将正面分别写有数字，，，的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀．洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标．
（1）请用列表法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标．
（2）小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为的圆内，则小明获胜：若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意列表，即可得可能的点的坐标如下：
第二次 第一次
（2）解：这个游戏不公平，理由，如图，
由（）得一共有种等可能结果，点落在圆内有种，
点落在圆上或圆外有种，则：
p(小明获胜)=，
P(小亮获胜)=，
∵，
∴这个游戏不公平．
【知识点】点与圆的位置关系；用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（）根据题目情境，列表列举出两次抽卡的所有组合，即可得到种可能的点坐标.
（）根据列表得一共有种等可能结果，再根据坐标，结合点到原点的距离判断点与圆的位置，可判断点落在圆上或圆外有种，点落在圆内有种，计算出两个概率，比较概率大小即可判断游戏公平性．
（1）解：列表如下，
第二次 第一次
（2）解：这个游戏不公平，理由，
如图，
由（）得一共有种等可能结果，点落在圆内有种，则小明获胜的概率为；点落在圆上或圆外有种，则小亮获胜的概率为，
∵，
∴这个游戏不公平．
22．小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板绕点O顺时针旋转，边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点C，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：如图，
三角板绕点O顺时针旋转为三角板，过点C作交于点E，
∵含角的三角板的直角顶点C的坐标为，
∴，
∴，即点，点，
∴点的横坐标为4，
∴，即点的纵坐标为1，
∴，
∴，
∴旋转前点D的坐标为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入反比例函数求解即可得解析式.
（2）三角板绕点O顺时针旋转为三角板，过点C作交于点E，结合已知条件得点，点，进一步得，即可得，进一步得旋转前点D的坐标为．
（1）解：∵反比例函数的图象经过点C，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：三角板绕点O顺时针旋转为三角板，
过点C作交于点E，如图，
∵含角的三角板的直角顶点C的坐标为，
∴，
∴，即点，点，
∴点的横坐标为4，
∴，即点的纵坐标为1，
∴，
∴，
∴旋转前点D的坐标为．
23．如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点．
①试判断四边形的形状，并说明理由．
②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长．
【答案】（1）解：四边形为正方形，理由如下：
如图1，
四边形是矩形，
，
根据折叠性质得：，，
四边形是正方形.
（2）解：（2）①四边形为平行四边形，理由如下：
如图2，
四边形是矩形，
，
点是的中点，
，
根据折叠性质得：，，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形.
②的长为或．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：②四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
，
，，，
∴四边形是矩形，
当是的下方的三等分点时，
，点是的中点，
，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可得，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当是的上方的三等分点时，
，点是的中点，
，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
综上所述，的长为或．
【分析】（1）根据四边形是矩形得等于，根据折叠性质得等于，相等，即可得四边形是正方形.
（2）①根据矩形性质得平行，根据中点定义得相等，根据折叠性质得相等，相等，进一步推理得平行，即可判断四边形是平行四边形.
②根据平行四边形性质得相等，根据中点性质得相等，再结合已知得四边形是矩形，当是的下方的三等分点时，根据中点，矩形，折叠性质得，根据勾股定理得，即可得，同理得当是的上方的三等分点时，，综合即可得的长为或．
（1）四边形为正方形．
理由：矩形，
，
折叠，
，，
四边形是正方形；
（2）①四边形为平行四边形．
理由：矩形，
，
点是的中点，
，
折叠，
，，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
②四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
，
，，，
是矩形，
当是的下方的三等分点时，
，点是的中点，
，
是矩形，
∴，
由折叠可得，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当是的上方的三等分点时，
，点是的中点，
，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
综上所述，的长为或．
24．
《观景拱桥的设计》
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式．
任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．
任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，将点，代入得：
，解得，
抛物线的解析式为.
（2）由（1）知，，
根据对称性可得，
设点的坐标为，
根据题意得，，
，
，解得，（舍去），
，，
，
.
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，
，光线所在的直线解析式为，
设直线的解析式为，
联立，整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，，
，
∴光线与抛物线之间的距离为米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的其他实际应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点，代入即可解出解析式.
（2）根据（1）知，，根据对称性可得，设点的坐标为，进而得，的长，再根据， 列方程可得，的长，再根据线段之间的和差求出的长即可.
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，根据平行可设直线的解析式为，结合直线与抛物线解析式得，再根据直线与抛物线相切，得即可得，求出直线的解析式为，令，则得，根据根据射灯射出的光线与地面成角，解直角三角形即可求得的长．
25．如图，点D为边上一点，过A、C、D三点作外接圆O，交边于点E，连接，交于点F，且，点M是边上一点，连接交于点N，满足．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，当时，求的值．
【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴.
（2）证明：如图①，
连接，
∵，且，
，，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
（3）解：如图②，
过点N作交于点P，过点E作交于点Q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，解得（负值舍掉），
∴，
由（2）知，，
∵，
∴，
设，则，
∵，即，
∴，解得，（负值舍掉），
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合相等，得相等，根据角的和差得相等，进一步得相等.
（2）连接，根据已知条件，结合等量代换，角的和差关系转换得到相等，进一步得相等，即可证明相似，根据相似性质得得相等，等量替换可得.
（3）过点N作交于点P，过点E作交于点Q，根据条件得相等，结合相等，即可证明相似，即可得，代入数据得，由（2）知，，即可得，设，则，根据列方程即可得，进一步推理得，即可得，再计算两个三角形的面积即可得答案.
（1）证明：∵，
∴，
∵，即，
∵，
∴，
∵，即，
∴；
（2）证明：连接，如图①，
∵，且，
又，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点N作交于点P，过点E作交于点Q，如图②，
∵，；
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，可得，
解得（负值舍掉），
∴，
由（2）知，，
∵，
∴，
设，则，
∵，即，
∴，解得，（负值舍掉），
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
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