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广西壮族自治区南宁市翠竹实验学校2025-2026学年九年级下学期3月阶段数学试题
1．在数3、、0、中，与的和为0的数是（　　）
A．3 B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵互为相反数的两个数的和为0，
∴与的和为0的数是3．
故选：A
【分析】根据相反数的性质可得， 与的和为0的数是-3的相反数，求解即可．
2．福字纹样以“福”字为核心，常通过变形、组合等手法，融入祥云、蝙蝠、牡丹等吉祥元素，造型丰富多变，寓意福气盈门、幸福美满，是传统吉祥文化的生动载体．下列福字纹样是中心对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、B、C、图形绕任意一点旋转 180° 后，均无法与自身重合，不符合中心对称图形的定义，故A、B、C不符合题意；
D、图形绕其对称中心旋转 180° 后，能与自身完全重合，符合中心对称图形的定义，故D符合题意；
故答案为：D。
【分析】本题考查中心对称图形的判断，将一个图形绕某一点旋转 180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形，据此对选项逐一判断即可。
3．鼓是一种古老且普遍的打击乐器，在音乐及其他领域都有着重要的地位，下列选项中是如图所示的鼓的主视图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，可得选项C的图形．
故选：C．
【分析】根据几何体的三视图，结合选项，直接求解即可．
4．某病毒的直径约为米，则数据可用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】将 转化为科学记数法：
将小数点向右移动6位，得到 （满足 ）；小数点向右移动了6位，原数绝对值小于1，故 ；因此，。
故答案为：D。
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为 （， 为整数），其中： 是将原数移动小数点后得到的、满足 的数； 的绝对值等于小数点移动的位数，当原数绝对值 时， 为负数。
5．2023年石家庄市举办了首届业余羽毛球公开赛：小明为打好比赛到运动场练球，在统计后，他发现发球1000次，有效951次，请估计他有效发球的概率大约为（　　）
A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.05
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】∵小明发球1000次，有效951次，
∴有效发球的频率为，
∵当试验次数足够多时，频率可近似代替概率，
∴估计他有效发球的概率大约为0.95，
故选：A
【分析】利用频率估计概率的性质，当试验次数足够大时，频率可近似估计概率，根据题意，求得频率，结合选项即可求解．
6．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】在由仰角、斜边和竖直高度构成的 中：
仰角 ，斜边 米， 为仰角的对边（即所求的竖直高度）。
根据正弦函数的定义：。
将已知条件代入公式，可得：（米）。
故答案为：C。
【分析】本题考查锐角三角函数在实际问题中的应用，利用正弦函数的定义建立边角关系，求解直角三角形的边长。
7．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：首先，用整体法或分割法表示阴影部分的面积，可得：
；
再通过不同的图形分割方式，对该表达式进行变形验证：
分割为正方形与两个矩形：
大矩形面积减去空白部分：
分割为矩形与正方形：
上述形式均与等价，据此可判断D符合题意；
故答案为：D。
【分析】 本题考查列代数式与多项式乘法在图形面积中的应用，通过不同方法表示阴影部分的面积，再结合整式运算进行验证。
8．已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（　　）
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】，a=.
故答案为： D.
【分析】直接由"首平方尾平方，两倍乘积放中间"的规则得a的值.
9．为丰富全县职工文体生活，增强各单位凝聚力、向心力，进一步推动全县全民健身运动的开展，由上蔡县总工会主办的县直机关职工篮球赛，在蔡明园公园开赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛240场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设参加比赛的球队有支，
∵每支球队要和除自身外的支球队各赛一场，且每两队之间只进行一场比赛，上述计算会重复计算一次，
∴总比赛场次为，
∵已知总比赛场次为240场，
∴列方程得，
故选D．
【分析】根据单循环赛制“两队之间只进行一场比赛”，设参加比赛的球队有支，根据题意，列出方程，即可求解．
10．某海港某日时到时的水深随时间的变化如图所示，下列从图象中得到的信息正确的是（　　）
A．时水深最高
B．时到时之间水深持续上升
C．时的水深为
D．两次最高水深的时间间隔为小时
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】A、图象显示 3 时和 15 时水深达到最高，A不符合题意；
B、0 时到 12 时之间，水深的变化趋势为先上升，再下降，最后又上升，B不符合题意；
C、图象显示 12 时对应的水深为 7m，C不符合题意；
D、两次最高水深的时间分别为 3 时和 15 时，时间间隔为 15-3=12小时，D项符合题意；
故答案为：D。
【分析】本题考查函数图象的解读，从图象中提取水深随时间变化的关键信息，对各选项逐一分析判断。
11．已知对称轴为直线x＝－1的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则以下4个结论：①b2＞4ac，②abc＜0，③b＞2a，④a＋b＋c＜0，正确的是（　　）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①③
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图象得：抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2－4ac＞0，b2＞4ac，所以①正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵＝－1＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以②不正确；
③∵对称轴为直线x＝－1，
∴＝－1，
∴b＝2a，所以③不正确；
④由图象得：当x＝1时，y＜0，
∴a＋b＋c＜0，所以④正确；
故选：A．
【分析】根据图象的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定b2－4ac、2a－b、a＋b＋c的符号．
12．如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵点C，点D分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，.
∴，
∴和的高之比为．
∵，
∴．
连接，
∵点D分别是的中点，，
∴，
∴，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线的性质得可知和的高之比为，可以得到，然后连接，可知，即可得到，求出k的值解题．
13．若x，y为实数，且，则　 　．
【答案】4
【知识点】二次根式有无意义的条件；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
把代入，
得，
将，代入，得．
故答案为：4
【分析】先根据二次根式有意义的条件可以得到，确定的值， 再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果．
14．已知一元二次方程的两个根分别为和，则　 　．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个根分别为和，
∴　
故答案为：5．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题关键是牢记：对于一元二次方程 ，若两根为 和 ，则两根之和 ，直接代入公式计算即可。
15．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵边与相切于点，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∵于点，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由矩形的性质得，由切线的性质得，则，由，根据圆周角定理得，由，根据垂径定理得，则，求得，即可由，即可求解．
16．如图，长方形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．与交于点，
∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴点G在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】根据题意，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．利用矩形的性质以及旋转的性质得，得到，即点G在射线上运动，当时，的值最小，再证明四边形是矩形，则，，运用勾股定理以及等腰三角形的性质得，再代入数值到进行计算，即可作答．
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：

（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据乘方，二次根式，立方根以及绝对值对式子进行化简，再根据实数运算求解即可；
（2）根据平方差公式，完全平方公式以及整式乘法化简每个式子，再合并同类项即可求解．
（1）
（2）
18．如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作一个以为对角线的平行四边形；
（2）在图2中，作出中边上的中线．
【答案】（1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求；
可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求；
可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求．
【知识点】等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据题意，连接交于O，则四边形即为所求；
（2）根据题意，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求．
（1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求；
可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求；
可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求．
19．某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队中每个队员的身高（单位：）如下：
甲队 178 177 179 179 178 178 177 178 177 179
乙队 176 177 178 178 176 178 178 179 180 180
两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
　 平均数 中位数 众数 方差
甲队 178 178 0.6
乙队 178 178
（1）表中　　 ，　 　；
（2）请计算乙队身高的方差；
（3）根据表格中的数据，你认为选择哪队比较好？请说明理由．
【答案】（1）178；178
（2）解：乙队身高的方差为：
；
（3）解：选甲队好，理由如下：
甲队的方差为0.6，乙队的方差为1.8，
甲队的方差小于乙队的方差，
甲队的身高比乙队整齐，
选甲队比较好．
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：根据表格中数据可知道乙队一共10人，中位数为第五、六的平均数，
∴；
根据表中数据可知，甲中178出现了4次，出现的次数最多，
∴；
故答案为：；．
【分析】（1）根据中位数定义，众数的求解方法，求解即可；
（2）根据方差的计算公式，直接求解即可；
（3）根据方差的意义即可得出答案．
（1）解：根据表格中数据可知道乙队一共10人，中位数为第五、六的平均数，
∴；
根据表中数据可知，甲中178出现了4次，出现的次数最多，
∴；
故答案为：；．
（2）解：乙队身高的方差为：
；
（3）解：选甲队好，理由如下：
甲队的方差为0.6，乙队的方差为1.8，
甲队的方差小于乙队的方差，
甲队的身高比乙队整齐，
选甲队比较好．
20．年的国家消费补贴政策降低了消费者以旧换新的成本，有效带动了数码产品市场的消费．某商场购进、两种平板电脑共台．若种平板电脑比种平板电脑的进价少元；用万元购进种平板电脑的数量是用万元购进种平板电脑数量的倍．
（1）求、两种平板电脑的进价是多少元？
（2）若商场预计投入资金不少于万元，求商场最多购买多少台种平板电脑？
【答案】（1）解：设种平板电脑的进价为元，则种平板电脑的进价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
；
答：种平板电脑的进价为元，种平板电脑的进价为元；
（2）解：设购买种平板电脑台，则购买种平板电脑台，
根据题意得：，
解得．
答：商场最多购买台种平板电脑．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设种平板电脑的进价为元，则种平板电脑的进价为元，根据题意，列出分式方程求解即可；
（2）设购买种平板电脑台，则购买种平板电脑台，根据题意，列出不等式求解即可．
（1）解：设种平板电脑的进价为元，则种平板电脑的进价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
；
答：种平板电脑的进价为元，种平板电脑的进价为元；
（2）解：设购买种平板电脑台，则购买种平板电脑台，
根据题意得：，
解得．
答：商场最多购买台种平板电脑．
21．如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求阴影部分的周长．（结果保留π）
【答案】（1）证明：如图，连接．
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
又∵是的半径，
与相切．
（2）解：，，
．
，
是等边三角形，
．
∵，
∴阴影部分的周长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接，利用等腰三角形性质、直径所对圆周角为直角、角之间的关系，可以得到，即可求证；
（2）结合角度条件，得到为等边三角形，根据弧长公式，进而计算阴影部分周长．
（1）证明：如图，连接．
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
又∵是的半径，
与相切．
（2）解：，，
．
，
是等边三角形，
．
∵，
∴阴影部分的周长为．
22．食品厂加工生产某规格的食品的成本价为45元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为57元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下．工厂采取降价措施，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克．
（1）若出厂价降低3元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润；
（2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系；
（3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）解：元，
答：该工厂销售此规格的食品每天的利润为元；
（2）解：，
∵保证盈利，
∴，
∴；

（3）解：，
∵，
∴当时，最大，最大为元，
即降价1元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为6050元．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）通过计算每千克的利润与对应的销售数量，两者相乘直接求出当天的总利润；
（2）根据每千克利润与降价的关系、销售数量与降价的关系，列出利润关于降价金额的二次函数关系式，并确定自变量的取值范围；
（3）将二次函数关系式化为顶点式，结合二次函数的开口方向，确定利润的最大值及对应的降价金额。
（1）解：元，
答：该工厂销售此规格的食品每天的利润为元；
（2）解：，
∵保证盈利，
∴，
∴；
（3）解：，
∵，
∴当时，最大，最大为元，
即降价1元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为6050元．
23．【特例感知】如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________；
【问题探究】
小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积．
【拓展应用】
如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值．
【答案】解：特殊感知：；
问题探究：如图，过点C作，过点B作的延长线于点N，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵的面积是18且，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
拓展应用：如图，在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴周长为，
∴当、、三点共线时，周长最小，最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：特殊感知：
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】特殊感知：通过 “一线三直角” 模型，利用 AAS 证明三角形全等，得到线段 AD 与 BE 的等量关系；
问题探究：通过作双垂线构造全等三角形，利用 AAS 证明△ABN≌△CAM，再结合等腰直角三角形性质与面积公式，计算△BAD 的面积；
拓展应用：先通过 SAS 证明△ADF≌△MED，再利用翻折性质与勾股定理求 CN 的长度，最后根据 “两点之间线段最短”，求出△CEG 周长的最小值。
1 / 1广西壮族自治区南宁市翠竹实验学校2025-2026学年九年级下学期3月阶段数学试题
1．在数3、、0、中，与的和为0的数是（　　）
A．3 B． C．0 D．
2．福字纹样以“福”字为核心，常通过变形、组合等手法，融入祥云、蝙蝠、牡丹等吉祥元素，造型丰富多变，寓意福气盈门、幸福美满，是传统吉祥文化的生动载体．下列福字纹样是中心对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
3．鼓是一种古老且普遍的打击乐器，在音乐及其他领域都有着重要的地位，下列选项中是如图所示的鼓的主视图的是（　　）
A． B．
C． D．
4．某病毒的直径约为米，则数据可用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．2023年石家庄市举办了首届业余羽毛球公开赛：小明为打好比赛到运动场练球，在统计后，他发现发球1000次，有效951次，请估计他有效发球的概率大约为（　　）
A．0.95 B．0.85 C．0.75 D．0.05
6．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（　　）
A．4 B．8 C． D．
9．为丰富全县职工文体生活，增强各单位凝聚力、向心力，进一步推动全县全民健身运动的开展，由上蔡县总工会主办的县直机关职工篮球赛，在蔡明园公园开赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛240场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．某海港某日时到时的水深随时间的变化如图所示，下列从图象中得到的信息正确的是（　　）
A．时水深最高
B．时到时之间水深持续上升
C．时的水深为
D．两次最高水深的时间间隔为小时
11．已知对称轴为直线x＝－1的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则以下4个结论：①b2＞4ac，②abc＜0，③b＞2a，④a＋b＋c＜0，正确的是（　　）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①③
12．如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
13．若x，y为实数，且，则　 　．
14．已知一元二次方程的两个根分别为和，则　 　．
15．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．如图，长方形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作一个以为对角线的平行四边形；
（2）在图2中，作出中边上的中线．
19．某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队中每个队员的身高（单位：）如下：
甲队 178 177 179 179 178 178 177 178 177 179
乙队 176 177 178 178 176 178 178 179 180 180
两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
　 平均数 中位数 众数 方差
甲队 178 178 0.6
乙队 178 178
（1）表中　　 ，　 　；
（2）请计算乙队身高的方差；
（3）根据表格中的数据，你认为选择哪队比较好？请说明理由．
20．年的国家消费补贴政策降低了消费者以旧换新的成本，有效带动了数码产品市场的消费．某商场购进、两种平板电脑共台．若种平板电脑比种平板电脑的进价少元；用万元购进种平板电脑的数量是用万元购进种平板电脑数量的倍．
（1）求、两种平板电脑的进价是多少元？
（2）若商场预计投入资金不少于万元，求商场最多购买多少台种平板电脑？
21．如图，是的直径，是上一点，于点，延长至点，使得．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求阴影部分的周长．（结果保留π）
22．食品厂加工生产某规格的食品的成本价为45元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为57元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下．工厂采取降价措施，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克．
（1）若出厂价降低3元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润；
（2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系；
（3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
23．【特例感知】如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________；
【问题探究】
小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积．
【拓展应用】
如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵互为相反数的两个数的和为0，
∴与的和为0的数是3．
故选：A
【分析】根据相反数的性质可得， 与的和为0的数是-3的相反数，求解即可．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、B、C、图形绕任意一点旋转 180° 后，均无法与自身重合，不符合中心对称图形的定义，故A、B、C不符合题意；
D、图形绕其对称中心旋转 180° 后，能与自身完全重合，符合中心对称图形的定义，故D符合题意；
故答案为：D。
【分析】本题考查中心对称图形的判断，将一个图形绕某一点旋转 180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，则该图形为中心对称图形，据此对选项逐一判断即可。
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，可得选项C的图形．
故选：C．
【分析】根据几何体的三视图，结合选项，直接求解即可．
4．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】将 转化为科学记数法：
将小数点向右移动6位，得到 （满足 ）；小数点向右移动了6位，原数绝对值小于1，故 ；因此，。
故答案为：D。
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为 （， 为整数），其中： 是将原数移动小数点后得到的、满足 的数； 的绝对值等于小数点移动的位数，当原数绝对值 时， 为负数。
5．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】∵小明发球1000次，有效951次，
∴有效发球的频率为，
∵当试验次数足够多时，频率可近似代替概率，
∴估计他有效发球的概率大约为0.95，
故选：A
【分析】利用频率估计概率的性质，当试验次数足够大时，频率可近似估计概率，根据题意，求得频率，结合选项即可求解．
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】在由仰角、斜边和竖直高度构成的 中：
仰角 ，斜边 米， 为仰角的对边（即所求的竖直高度）。
根据正弦函数的定义：。
将已知条件代入公式，可得：（米）。
故答案为：C。
【分析】本题考查锐角三角函数在实际问题中的应用，利用正弦函数的定义建立边角关系，求解直角三角形的边长。
7．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：首先，用整体法或分割法表示阴影部分的面积，可得：
；
再通过不同的图形分割方式，对该表达式进行变形验证：
分割为正方形与两个矩形：
大矩形面积减去空白部分：
分割为矩形与正方形：
上述形式均与等价，据此可判断D符合题意；
故答案为：D。
【分析】 本题考查列代数式与多项式乘法在图形面积中的应用，通过不同方法表示阴影部分的面积，再结合整式运算进行验证。
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】，a=.
故答案为： D.
【分析】直接由"首平方尾平方，两倍乘积放中间"的规则得a的值.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设参加比赛的球队有支，
∵每支球队要和除自身外的支球队各赛一场，且每两队之间只进行一场比赛，上述计算会重复计算一次，
∴总比赛场次为，
∵已知总比赛场次为240场，
∴列方程得，
故选D．
【分析】根据单循环赛制“两队之间只进行一场比赛”，设参加比赛的球队有支，根据题意，列出方程，即可求解．
10．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】A、图象显示 3 时和 15 时水深达到最高，A不符合题意；
B、0 时到 12 时之间，水深的变化趋势为先上升，再下降，最后又上升，B不符合题意；
C、图象显示 12 时对应的水深为 7m，C不符合题意；
D、两次最高水深的时间分别为 3 时和 15 时，时间间隔为 15-3=12小时，D项符合题意；
故答案为：D。
【分析】本题考查函数图象的解读，从图象中提取水深随时间变化的关键信息，对各选项逐一分析判断。
11．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图象得：抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2－4ac＞0，b2＞4ac，所以①正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵＝－1＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以②不正确；
③∵对称轴为直线x＝－1，
∴＝－1，
∴b＝2a，所以③不正确；
④由图象得：当x＝1时，y＜0，
∴a＋b＋c＜0，所以④正确；
故选：A．
【分析】根据图象的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定b2－4ac、2a－b、a＋b＋c的符号．
12．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵点C，点D分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，.
∴，
∴和的高之比为．
∵，
∴．
连接，
∵点D分别是的中点，，
∴，
∴，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线的性质得可知和的高之比为，可以得到，然后连接，可知，即可得到，求出k的值解题．
13．【答案】4
【知识点】二次根式有无意义的条件；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
把代入，
得，
将，代入，得．
故答案为：4
【分析】先根据二次根式有意义的条件可以得到，确定的值， 再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果．
14．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两个根分别为和，
∴　
故答案为：5．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题关键是牢记：对于一元二次方程 ，若两根为 和 ，则两根之和 ，直接代入公式计算即可。
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵边与相切于点，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∵于点，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由矩形的性质得，由切线的性质得，则，由，根据圆周角定理得，由，根据垂径定理得，则，求得，即可由，即可求解．
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．与交于点，
∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴点G在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】根据题意，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．利用矩形的性质以及旋转的性质得，得到，即点G在射线上运动，当时，的值最小，再证明四边形是矩形，则，，运用勾股定理以及等腰三角形的性质得，再代入数值到进行计算，即可作答．
17．【答案】（1）解：

（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据乘方，二次根式，立方根以及绝对值对式子进行化简，再根据实数运算求解即可；
（2）根据平方差公式，完全平方公式以及整式乘法化简每个式子，再合并同类项即可求解．
（1）
（2）
18．【答案】（1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求；
可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求；
可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求．
【知识点】等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据题意，连接交于O，则四边形即为所求；
（2）根据题意，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求．
（1）解：如图所示，连接交于O，则四边形即为所求；
可证明都是等边三角形，则，则四边形为菱形，即四边形为平行四边形；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接交于G，连接并延长交于M，则即为所求；
可得点O和点H分别时的中点，由三角形三条中线交于一点可得即为所求．
19．【答案】（1）178；178
（2）解：乙队身高的方差为：
；
（3）解：选甲队好，理由如下：
甲队的方差为0.6，乙队的方差为1.8，
甲队的方差小于乙队的方差，
甲队的身高比乙队整齐，
选甲队比较好．
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：根据表格中数据可知道乙队一共10人，中位数为第五、六的平均数，
∴；
根据表中数据可知，甲中178出现了4次，出现的次数最多，
∴；
故答案为：；．
【分析】（1）根据中位数定义，众数的求解方法，求解即可；
（2）根据方差的计算公式，直接求解即可；
（3）根据方差的意义即可得出答案．
（1）解：根据表格中数据可知道乙队一共10人，中位数为第五、六的平均数，
∴；
根据表中数据可知，甲中178出现了4次，出现的次数最多，
∴；
故答案为：；．
（2）解：乙队身高的方差为：
；
（3）解：选甲队好，理由如下：
甲队的方差为0.6，乙队的方差为1.8，
甲队的方差小于乙队的方差，
甲队的身高比乙队整齐，
选甲队比较好．
20．【答案】（1）解：设种平板电脑的进价为元，则种平板电脑的进价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
；
答：种平板电脑的进价为元，种平板电脑的进价为元；
（2）解：设购买种平板电脑台，则购买种平板电脑台，
根据题意得：，
解得．
答：商场最多购买台种平板电脑．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设种平板电脑的进价为元，则种平板电脑的进价为元，根据题意，列出分式方程求解即可；
（2）设购买种平板电脑台，则购买种平板电脑台，根据题意，列出不等式求解即可．
（1）解：设种平板电脑的进价为元，则种平板电脑的进价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
；
答：种平板电脑的进价为元，种平板电脑的进价为元；
（2）解：设购买种平板电脑台，则购买种平板电脑台，
根据题意得：，
解得．
答：商场最多购买台种平板电脑．
21．【答案】（1）证明：如图，连接．
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
又∵是的半径，
与相切．
（2）解：，，
．
，
是等边三角形，
．
∵，
∴阴影部分的周长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接，利用等腰三角形性质、直径所对圆周角为直角、角之间的关系，可以得到，即可求证；
（2）结合角度条件，得到为等边三角形，根据弧长公式，进而计算阴影部分周长．
（1）证明：如图，连接．
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
又∵是的半径，
与相切．
（2）解：，，
．
，
是等边三角形，
．
∵，
∴阴影部分的周长为．
22．【答案】（1）解：元，
答：该工厂销售此规格的食品每天的利润为元；
（2）解：，
∵保证盈利，
∴，
∴；

（3）解：，
∵，
∴当时，最大，最大为元，
即降价1元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为6050元．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）通过计算每千克的利润与对应的销售数量，两者相乘直接求出当天的总利润；
（2）根据每千克利润与降价的关系、销售数量与降价的关系，列出利润关于降价金额的二次函数关系式，并确定自变量的取值范围；
（3）将二次函数关系式化为顶点式，结合二次函数的开口方向，确定利润的最大值及对应的降价金额。
（1）解：元，
答：该工厂销售此规格的食品每天的利润为元；
（2）解：，
∵保证盈利，
∴，
∴；
（3）解：，
∵，
∴当时，最大，最大为元，
即降价1元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为6050元．
23．【答案】解：特殊感知：；
问题探究：如图，过点C作，过点B作的延长线于点N，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵的面积是18且，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
拓展应用：如图，在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴周长为，
∴当、、三点共线时，周长最小，最小值为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：特殊感知：
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】特殊感知：通过 “一线三直角” 模型，利用 AAS 证明三角形全等，得到线段 AD 与 BE 的等量关系；
问题探究：通过作双垂线构造全等三角形，利用 AAS 证明△ABN≌△CAM，再结合等腰直角三角形性质与面积公式，计算△BAD 的面积；
拓展应用：先通过 SAS 证明△ADF≌△MED，再利用翻折性质与勾股定理求 CN 的长度，最后根据 “两点之间线段最短”，求出△CEG 周长的最小值。
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