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广东省湛江市赤坎区金沙湾学校2024-2025学年下学期期中素养检查八年级数学试卷
1．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A、是最简二次根式，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可求解。
2．下列计算正确的是（　　）
A． + = B． ﹣ = C． × =6 D． ÷ =4
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 + 不能合并，故选项错误；
B、 ﹣ =2 ﹣ = ，故选项正确；
C、 × = = ，故选项错误；
D、 ÷ = = =2，故选项错误．
故选B．
【分析】A、原式不能合并；
B、原式第一项化简后，合并即可得到结果；
C、原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
D、原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果．
3．在直角坐标系中，点到原点的距离是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示：过点P作轴于点A，
则，，
∴
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理，即可得出。
4．李明周末去菜市场买菜，从家中走分钟到一个离家米的菜市场，买菜花了分钟，之后用分钟返回家里．如图表示李明离家距离(米)与外出时间(分)之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意可得：从家中走分钟到一个离家米的菜市场，即分钟，小明离家距离从增加到米；
买菜花了分钟，即分钟，小明离家距离没有变化；
之后用分钟返回家里，即分钟，小明离家距离从米减少为，
故答案为：．
【分析】按时间可将图象分为三段：分钟，小明离家距离从增加到；分钟，小明离家距离没有变化；分钟，小明离家距离从米减少为；据此即可选择．
5．已知 的三边长分别为 ， 且 ， 则 是（　　）
A．以 为斜边的直角三角形 B．以 为斜边的直角三角形
C．以 为斜边的直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵， ， ，
，
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，
∴ a=6，b=8，c=10，
∵ 62+82=102，即a2+b2=c2，
∴ △ABC是以c为斜边的直角三角形.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式，绝对值和平方的非负性，由几个非负数的和为零，则每一个数都等于零可得a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可求得.
6．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝5，AB＝10，则∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO=2MN=10．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OB=OD=5，∠ABC=90°，CD=10
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°．
故答案为：A．
【分析】先利用中位线的性质可得BO=2MN=10，再证出△OCD是等边三角形，可得∠ACD=60°，再利用角的运算求出∠ACB=30°即可．
7．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，已知，，根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得斜边。
在中，已知，，由勾股定理可得：
故答案为：A。
【分析】 本题重点考查勾股定理，先利用含 30° 角的直角三角形的性质求出中间边长OB，再结合勾股定理计算出OC的长度。
8．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，连接交于点F，连接，到的长为（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】B
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在中，，
∴，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
∴点F为的中点，
∴，
故答案为：B．
【分析】由勾股定理得，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，即点F为的中点，则由直角三角形斜边上的中线的性质可得．
9．如图，在平行四边形中，，平分交于点，且，则的长为（　　）
A．4 B．3 C． D．2
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，∴∠ECD=∠ECB，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠DEC=∠ECB，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
∵AD=2AB，
∴AD=2CD，
∴AE=DE=AB．
∵，
∴AB=4，
故答案为：A．
【分析】先利用角平分线的定义可得∠ECD=∠ECB，再利用平行线的性质和等量代换可得∠DEC=∠DCE，利用等角对等边的性质可得DE=DC，再结合AD=2AB，求出AE=DE=AB，最后结合，，求出AB=4即可.
10．如图，在平行四边形中，，于点，点、分别是、的中点，连接、、，下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AD＝BC，
∵点F、G分别是AD、BC的中点，
∴AF＝AD，BG＝BC，
∴AF＝BG，
∵AFBG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴ABFG，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥FG；故①正确；
∵AD＝2AB，AD＝2AF，
∴AB＝AF，
∴四边形ABGF是菱形，故②正确；
延长EF，交CD延长线于M，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EF＝FM，故③正确；
∴∠FCD＝∠M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，ADBC，
∵AF＝DF，AD＝2AB，
∴DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，
∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，
∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确，
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质和判定，菱形的判定方法，再利用“ASA”证出△AEF≌△DMF，可得FE＝MF，∠AEF＝∠M，再利用角的运算和等量代换逐项分析判断即可.
11．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≤2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
12．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则　 　.
【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据最简二次根式的定义结合题意即可求解。
13．如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C所表示的实数为　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】在Rt△OAB中，根据勾股定理：OB＝＝，
∴点C所表示的实数为，
故答案为：．
【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出线段 OB 的长度，再根据数轴上的点与实数的对应关系，得出点 C 所表示的实数。
14．若函数是正比例函数，则常数m的值是　 　．
【答案】2
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2-3=1，且m+2≠0，
解得：m=±2．
∴m=2.
【分析】利用正比例函数的定义可得m2-3=1，且m+2≠0，再求出m的值即可.
15．如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在正方形中，∠BAD=∠D =，
∴∠BAM+∠FAM=
在Rt中，
∵由折叠的性质可得
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG
∴BF垂直平分AG，
∴AM=MG，∠AMB=
∴∠BAM+∠ABM=
∴∠ABM=∠FAM
∴
∴ ，∴
∴AM=， ∴AG=
∴GE=13-
【分析】先利用勾股定理，在中求出的长度；再结合折叠的性质，证明垂直平分，得到；通过角度等量代换，证明，利用相似三角形的比例关系求出的长度，进而得到的长度；最后用减去，计算出的长度。
16．计算：．
【答案】解：
．

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
17．如图，在四边形中，，，，．求的度数．
【答案】解：如图，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
在中，，，
∴．
∴是直角三角形，且，
∴．
∴的度数为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先连接 BD，利用等边三角形的判定与性质求出 BD 的长度及∠ADB 的度数，再通过勾股定理的逆定理判断△BDC 为直角三角形，最后结合角的和差关系求出∠ADC 的度数。
18．如图，平行四边形ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）连接EC，AF，求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
∵在△AOE与△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）如图，连接EC、AF，
由（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1) 利用平行四边形的对角线互相平分、对边平行的性质，结合对顶角相等，通过 AAS 证明三角形全等；
(2) 由 (1) 的全等结论得到线段相等，再结合平行四边形对角线互相平分的判定定理，证明四边形 AECF 是平行四边形。
19．在如图所示的5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，按下列要求画图或填空；
（1）画一条线段AB使它的另一端点B落在格点上（即小正方形的顶点），且AB=2；
（2）以（1）中的AB为边画一个等腰△ABC，使点C落在格点上，且另两边的长都是无理数；
（3）△ABC的周长为　　　　　　，面积为　　　　　　．
【答案】解：（1）如图所示：AB即为所求；
（2）如图所示：△ABC即为所求；
（3），4.
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（3）周长为：2++=2（+），
面积为：9-×1×3-×2×2-×1×3=4．
故答案为：2（+）；4．
【分析】（1）利用勾股定理并结合网格作出线段AB即可；
（2）利用等腰三角形的定义并结合网格作出△ABC即可；
（3）利用三角形的周长公式及面积公式求解即可.
20．阅读下面的问题：
；
；
……
（1）求 =　 　
（2）已知n是正整数，求=　 　
（3）计算
【答案】（1）
（2）
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：．
（2）．
故答案为：．
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法利用分母有理化求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法利用分母有理化求解即可；
（3）先利用（2）的规律将原式变形为，再计算即可.
（1），
故答案为：．
（2）．
故答案为：．
（3）．
21．如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
（1）求△ADE的周长；
（2）当t为何值时，△PAE为直角三角形？
（3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，
∴CD=AB=9，∠D=90°，
∴DE=9﹣6=3，
∴AE===5；
∴△ADE的周长为3+4+5=12
（2）①若∠EPA=90°，t=6；
②若∠PEA=90°，（6﹣t）2+42+52=（9﹣t）2，
解得t=．
综上所述，当t=6或t=时，△PAE为直角三角形；
（3）假设存在．
∵EA平分∠PED，∴∠PEA=∠DEA．
∵CD∥AB， ∴∠DEA=∠EAP，
∴∠PEA=∠EAP，
∴PE=PA，
∴（6﹣t）2+42=（9﹣t）2，
解得t=．
∴满足条件的t存在，此时t=．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；平行线的性质；勾股定理；角平分线的概念；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质确定的长度，再在中利用勾股定理求出的长，最后将三边长相加得到的周长；
（2）分和两种情况，结合点的运动表示出各线段长度，利用勾股定理列出关于的方程，解方程求出的值；
（3）利用角平分线的性质和平行线的性质推导出，进而得到，再结合勾股定理建立关于的方程，解方程求出的值。
22．【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．
【答案】（小试牛刀）；；，；
（知识运用）；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，
设，则，
∴，
由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∴代数式的最小值为15．
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的应用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：（小试牛刀）；
；
，
满足的关系式为：．
（知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图：
由题意可得：，
，则的最小值，即为的最小值，
由三角形三边关系可得：，当三点共线时，
∴的最小值为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴米，
故答案为：；
【分析】（小试牛刀）分别计算梯形、三角形和四边形的面积，通过面积相等的关系推导出勾股定理的表达式；
（知识运用）通过作点 C 关于 AB 的对称点，将折线段和转化为两点间线段，再用勾股定理计算最小值；
（知识迁移）利用对称思想，将代数式转化为两点间距离之和的形式，再通过构造直角三角形用勾股定理求出最小值。
23．如图，正方形，点、分别在、上．
（1）如图1，当时．
①求证：；
②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；
（2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长．
【答案】（1）证明：①过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②在上截取，如图2，
则是等腰直角三角形，，
由（1）知，，
，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）①如图，过点作，交的延长线于点，
根据正方形性质得对边平行，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，由同角的余角相等，得，则，DE=GH；
②如图，在上截取，
则是等腰直角三角形，，由，全等三角形性质，则AE=CH，由正方形性质可知AB=BC，则CN=AE=CH，则，，；
（2）如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，作，交延长线于，（ASA），设，则，在中，由，设，则，解得x=，则DE=．
（1）证明：①过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②在上截取，如图2，
则是等腰直角三角形，，
由（1）知，，
，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
1 / 1广东省湛江市赤坎区金沙湾学校2024-2025学年下学期期中素养检查八年级数学试卷
1．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． + = B． ﹣ = C． × =6 D． ÷ =4
3．在直角坐标系中，点到原点的距离是（　　）
A． B． C． D．2
4．李明周末去菜市场买菜，从家中走分钟到一个离家米的菜市场，买菜花了分钟，之后用分钟返回家里．如图表示李明离家距离(米)与外出时间(分)之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知 的三边长分别为 ， 且 ， 则 是（　　）
A．以 为斜边的直角三角形 B．以 为斜边的直角三角形
C．以 为斜边的直角三角形 D．等边三角形
6．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝5，AB＝10，则∠ACB的度数为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
7．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，连接交于点F，连接，到的长为（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
9．如图，在平行四边形中，，平分交于点，且，则的长为（　　）
A．4 B．3 C． D．2
10．如图，在平行四边形中，，于点，点、分别是、的中点，连接、、，下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则　 　.
13．如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C所表示的实数为　 　．
14．若函数是正比例函数，则常数m的值是　 　．
15．如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为　 　．
16．计算：．
17．如图，在四边形中，，，，．求的度数．
18．如图，平行四边形ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）连接EC，AF，求证：四边形AECF是平行四边形．
19．在如图所示的5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，按下列要求画图或填空；
（1）画一条线段AB使它的另一端点B落在格点上（即小正方形的顶点），且AB=2；
（2）以（1）中的AB为边画一个等腰△ABC，使点C落在格点上，且另两边的长都是无理数；
（3）△ABC的周长为　　　　　　，面积为　　　　　　．
20．阅读下面的问题：
；
；
……
（1）求 =　 　
（2）已知n是正整数，求=　 　
（3）计算
21．如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
（1）求△ADE的周长；
（2）当t为何值时，△PAE为直角三角形？
（3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
22．【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．
23．如图，正方形，点、分别在、上．
（1）如图1，当时．
①求证：；
②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：；
（2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A、是最简二次根式，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可求解。
2．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 + 不能合并，故选项错误；
B、 ﹣ =2 ﹣ = ，故选项正确；
C、 × = = ，故选项错误；
D、 ÷ = = =2，故选项错误．
故选B．
【分析】A、原式不能合并；
B、原式第一项化简后，合并即可得到结果；
C、原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
D、原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果．
3．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示：过点P作轴于点A，
则，，
∴
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理，即可得出。
4．【答案】B
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意可得：从家中走分钟到一个离家米的菜市场，即分钟，小明离家距离从增加到米；
买菜花了分钟，即分钟，小明离家距离没有变化；
之后用分钟返回家里，即分钟，小明离家距离从米减少为，
故答案为：．
【分析】按时间可将图象分为三段：分钟，小明离家距离从增加到；分钟，小明离家距离没有变化；分钟，小明离家距离从米减少为；据此即可选择．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵， ， ，
，
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，
∴ a=6，b=8，c=10，
∵ 62+82=102，即a2+b2=c2，
∴ △ABC是以c为斜边的直角三角形.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式，绝对值和平方的非负性，由几个非负数的和为零，则每一个数都等于零可得a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可求得.
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO=2MN=10．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OB=OD=5，∠ABC=90°，CD=10
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACB=30°．
故答案为：A．
【分析】先利用中位线的性质可得BO=2MN=10，再证出△OCD是等边三角形，可得∠ACD=60°，再利用角的运算求出∠ACB=30°即可．
7．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，已知，，根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得斜边。
在中，已知，，由勾股定理可得：
故答案为：A。
【分析】 本题重点考查勾股定理，先利用含 30° 角的直角三角形的性质求出中间边长OB，再结合勾股定理计算出OC的长度。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在中，，
∴，
由作图方法可知，是线段的垂直平分线，
∴点F为的中点，
∴，
故答案为：B．
【分析】由勾股定理得，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，即点F为的中点，则由直角三角形斜边上的中线的性质可得．
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，∴∠ECD=∠ECB，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠DEC=∠ECB，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
∵AD=2AB，
∴AD=2CD，
∴AE=DE=AB．
∵，
∴AB=4，
故答案为：A．
【分析】先利用角平分线的定义可得∠ECD=∠ECB，再利用平行线的性质和等量代换可得∠DEC=∠DCE，利用等角对等边的性质可得DE=DC，再结合AD=2AB，求出AE=DE=AB，最后结合，，求出AB=4即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AD＝BC，
∵点F、G分别是AD、BC的中点，
∴AF＝AD，BG＝BC，
∴AF＝BG，
∵AFBG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴ABFG，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥FG；故①正确；
∵AD＝2AB，AD＝2AF，
∴AB＝AF，
∴四边形ABGF是菱形，故②正确；
延长EF，交CD延长线于M，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝EF＝FM，故③正确；
∴∠FCD＝∠M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，ADBC，
∵AF＝DF，AD＝2AB，
∴DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，
∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，
∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确，
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的性质和判定，菱形的判定方法，再利用“ASA”证出△AEF≌△DMF，可得FE＝MF，∠AEF＝∠M，再利用角的运算和等量代换逐项分析判断即可.
11．【答案】x≤2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
12．【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】根据最简二次根式的定义结合题意即可求解。
13．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】在Rt△OAB中，根据勾股定理：OB＝＝，
∴点C所表示的实数为，
故答案为：．
【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出线段 OB 的长度，再根据数轴上的点与实数的对应关系，得出点 C 所表示的实数。
14．【答案】2
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2-3=1，且m+2≠0，
解得：m=±2．
∴m=2.
【分析】利用正比例函数的定义可得m2-3=1，且m+2≠0，再求出m的值即可.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在正方形中，∠BAD=∠D =，
∴∠BAM+∠FAM=
在Rt中，
∵由折叠的性质可得
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG
∴BF垂直平分AG，
∴AM=MG，∠AMB=
∴∠BAM+∠ABM=
∴∠ABM=∠FAM
∴
∴ ，∴
∴AM=， ∴AG=
∴GE=13-
【分析】先利用勾股定理，在中求出的长度；再结合折叠的性质，证明垂直平分，得到；通过角度等量代换，证明，利用相似三角形的比例关系求出的长度，进而得到的长度；最后用减去，计算出的长度。
16．【答案】解：
．

【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
17．【答案】解：如图，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
在中，，，
∴．
∴是直角三角形，且，
∴．
∴的度数为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先连接 BD，利用等边三角形的判定与性质求出 BD 的长度及∠ADB 的度数，再通过勾股定理的逆定理判断△BDC 为直角三角形，最后结合角的和差关系求出∠ADC 的度数。
18．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
∵在△AOE与△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）如图，连接EC、AF，
由（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1) 利用平行四边形的对角线互相平分、对边平行的性质，结合对顶角相等，通过 AAS 证明三角形全等；
(2) 由 (1) 的全等结论得到线段相等，再结合平行四边形对角线互相平分的判定定理，证明四边形 AECF 是平行四边形。
19．【答案】解：（1）如图所示：AB即为所求；
（2）如图所示：△ABC即为所求；
（3），4.
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（3）周长为：2++=2（+），
面积为：9-×1×3-×2×2-×1×3=4．
故答案为：2（+）；4．
【分析】（1）利用勾股定理并结合网格作出线段AB即可；
（2）利用等腰三角形的定义并结合网格作出△ABC即可；
（3）利用三角形的周长公式及面积公式求解即可.
20．【答案】（1）
（2）
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：．
（2）．
故答案为：．
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法利用分母有理化求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法利用分母有理化求解即可；
（3）先利用（2）的规律将原式变形为，再计算即可.
（1），
故答案为：．
（2）．
故答案为：．
（3）．
21．【答案】解：（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，
∴CD=AB=9，∠D=90°，
∴DE=9﹣6=3，
∴AE===5；
∴△ADE的周长为3+4+5=12
（2）①若∠EPA=90°，t=6；
②若∠PEA=90°，（6﹣t）2+42+52=（9﹣t）2，
解得t=．
综上所述，当t=6或t=时，△PAE为直角三角形；
（3）假设存在．
∵EA平分∠PED，∴∠PEA=∠DEA．
∵CD∥AB， ∴∠DEA=∠EAP，
∴∠PEA=∠EAP，
∴PE=PA，
∴（6﹣t）2+42=（9﹣t）2，
解得t=．
∴满足条件的t存在，此时t=．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；平行线的性质；勾股定理；角平分线的概念；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质确定的长度，再在中利用勾股定理求出的长，最后将三边长相加得到的周长；
（2）分和两种情况，结合点的运动表示出各线段长度，利用勾股定理列出关于的方程，解方程求出的值；
（3）利用角平分线的性质和平行线的性质推导出，进而得到，再结合勾股定理建立关于的方程，解方程求出的值。
22．【答案】（小试牛刀）；；，；
（知识运用）；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，
设，则，
∴，
由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∴代数式的最小值为15．
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的应用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：（小试牛刀）；
；
，
满足的关系式为：．
（知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图：
由题意可得：，
，则的最小值，即为的最小值，
由三角形三边关系可得：，当三点共线时，
∴的最小值为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴米，
故答案为：；
【分析】（小试牛刀）分别计算梯形、三角形和四边形的面积，通过面积相等的关系推导出勾股定理的表达式；
（知识运用）通过作点 C 关于 AB 的对称点，将折线段和转化为两点间线段，再用勾股定理计算最小值；
（知识迁移）利用对称思想，将代数式转化为两点间距离之和的形式，再通过构造直角三角形用勾股定理求出最小值。
23．【答案】（1）证明：①过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②在上截取，如图2，
则是等腰直角三角形，，
由（1）知，，
，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）①如图，过点作，交的延长线于点，
根据正方形性质得对边平行，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，由同角的余角相等，得，则，DE=GH；
②如图，在上截取，
则是等腰直角三角形，，由，全等三角形性质，则AE=CH，由正方形性质可知AB=BC，则CN=AE=CH，则，，；
（2）如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，作，交延长线于，（ASA），设，则，在中，由，设，则，解得x=，则DE=．
（1）证明：①过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②在上截取，如图2，
则是等腰直角三角形，，
由（1）知，，
，
，，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图3，过点作交于点，
则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
作，交延长线于，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
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