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广西南宁市天桃实验学校2025-2026学年八年级下学期三月综合评价数学试题
1．下列图形对称轴最多的是（　　）
A．正方形 B．等边三角形 C．圆 D．正五边形
【答案】C
【知识点】轴对称图形；平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：∵ 正方形有4条对称轴．
等边三角形有3条对称轴．
圆过圆心的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴．
正五边形有5条对称轴．
∴ 对比可知，圆的对称轴数量最多．
故答案为：C．
【分析】本题考查轴对称图形对称轴条数的确定，轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，分别确定每个图形的对称轴条数，进行比较后可得答案．
2．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意．
C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】本题考查了最简二次根式的定义， 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．结合这两个条件逐项进行判断即可得出正确的选项．
3．某高灵敏度超薄温度传感器厚度仅为米，用科学记数法表示这个厚度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数， 确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．据此解答即可．
4．调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（　　）
A．① B．①②
C．③ D．①②或者③都可以
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
①②只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，根据全等三角形判定“角边角”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃，所以应该带去③．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查对全等三角形的判定方法的灵活运用， 采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
5．下列长度的三条线段，不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．8，13，15
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意；
B、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意；
C、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意；
D、，故不能组成直角三角形，本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理对各个选项进行判断即可．
6．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】A、，计算正确，A不符合题意；
B、，计算正确，B不符合题意；
C、，计算正确，C不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能直接合并，，计算错误，D符合题意；
故答案为：D。
【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算：根据二次根式的运算法则，逐一计算并判断各选项的正误。
7．如图，中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
平分，，
，
点E为的中点，，
，
的面积．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查角平分线性质定理，线段中点的意义以及计算三角形的面积，由是 的平分线，可由点向作垂线段，得，由 点E为的中点 得，最后根据三角形面积公式求解即可．
8．设a，b，c为整数，且.则可能值是（　　）
A．133 B．1599 C．2916 D．3603
【答案】C
【知识点】因式分解的应用；完全平方数
【解析】【解答】解：将 两边同时加上a2，得到，
同理，将 两边同时加上b2，可以得到，
将 两边同时加上c2，可以得到，
因此 ，因此值只能是完全平方数。
观察四个选项，选项A，133不是完全平方数，错误；
选项B，1599不是完全平方数，错误；
选项C，2916是完全平方数，即，正确；
选项D，3603不是完全平方数，错误。
故答案为：C.
【分析】本题将式子 变形，尽量凑出来这三个式子，最后发现结果是一个数的平方，因此可以判断最后的值肯定是一个完全平方数，根据四个选项进行二次根式计算即可。
9．已知点，关于轴对称，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点和点关于x轴对称，
∴，且，
解得，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，代数求值，根据"关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数"列式求出，的值，然后代入计算即可．
10．为推进垃圾分类，推动绿色发展，宜宾天原化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人比用万元购买乙型机器人的台数少一台，两种型号机器人的单价和为万元．若设乙型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设乙型机器人每台万元，则甲型机器人每台万元，根据题意，可得．
故答案为：B.
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据题意得 得甲型机器人每台万元， 根据用460万元购买甲型机器人比用580万元购买乙型机器人的台数少一台，列出分式方程即可．
11．如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点爬到盒顶的点，则蚂蚁要爬行的最短路程是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将 “点所在的面” 与 “顶点所在的面” 展开成平面，
情况1：如图，
水平方向的长度为，
垂直方向的高度为，
路径长，
情况2：如图，
水平边长为，
竖直边长为，
路径长，
∵，
∴蚂蚁要爬行的最短路程是，
故选：D．
【分析】根据题意分类讨论：将长方体展开，结合勾股定理即可求出答案.
12．如图所示，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据题意可得：
∵数轴上O，A两点的距离为12，
∴点A表示的数为12，
表示的数为，
表示的数为，
表示的数为，
表示的数为，
……
表示的数为，
∴经过这样2023次跳动后的点表示的数为，
∵点A表示的数为12，表示的数为6，
∴的中点表示的数为，
∴经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离为，
故选：B．
【分析】本题主要考查了图形类的规律，根据题意，分别求得表示的数，总结得到表示的数，得到经过这样2023次跳动后的点表示的数为，求得的中点表示的数，进而得到经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离，得到答案.
13．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：a-5≥0，
解得：a≥5，
故答案为：a≥5.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
14．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题考查用完全平方公式进行因式分解，识别多项式符合完全平方公式的形式，直接套用公式分解。
15．电流通过导线时会产生热量．电流（单位：）、导线电阻R（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流为　 　．（结果用二次根式表示）
【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：把，，代入得，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】 本题考查二次根式在物理公式中的应用，将已知物理量代入公式，通过解方程求出电流值。
16．如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
如图所示，将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，
∴，即点共线，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，通过作辅助线，构造全等三角形国解答本题的关键．将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，证明，由全等三角形的性质可得，即可求解．
17．（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】解：（1）
；
（2）
在方程两边同乘以，得：，
解得：，
检验：把代入，得：，
∴是原方程的解，
∴原分式方程的解为．
【知识点】二次根式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，解分式方程，熟练掌握二次根式的混合运算法则、解分式方程的步骤是解答本题的关键．
（1）先原式先根据单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再计算二次根式的乘法和化简，最后再合并即可；
（2）先去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程，求出整式方程的解，最后检验即可．
18．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）作出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标．
（2）在轴上找一点，使得最小，并求出该最小值．
【答案】（1）解：如图，即为所求，顶点的坐标为．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，此时，最小．
∵，
∴
即最小为．
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；坐标系中的两点距离公式；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】本题考查了轴对称变换，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
（1）根据两点关于轴对称的纵横坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数可得点，， 关于轴的对称点的坐标为，，，然后再顺次连接即可得到 ．
（2）找出点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，再根据两点间距离公式可求得的长．
（1）解：如图，即为所求，顶点的坐标为．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，此时，最小．
∵，
∴
即最小为．
19．如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，∴，
即，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定玘性质是解答本题的关键．（1）由 得，再结合，，利用证明即可解决问题；
（2） 根据全等三角形的性质可得，进而可得，再利用线段间的和差关系即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴．
20．如图，海面上有，两个小岛，在的正东方向，有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得，两点之间的距离为30海里．
（1）求小岛，渔船之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船在处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从地出发前往点进行救援，救援船从点出发的同时，一艘补给船从点出发，以每小时30海里的速度沿射线方向前往点，已知、，三点在同一直线上，从测得在的北偏西方向，请通过计算说明救援船和补给船哪个先赶到点．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图，过点作于点，
，
在中，，海里，
∴，则，
∴，
（海里），
在中，，则（海里），
小岛，渔船之间的距离为海里；
（2）由（1）可知，在中，（海里），则海里，
如图，过点作，垂足为，
，
由题意得：，，
，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
海里，
∴海里，
海里
∴海里，
∴，
∴救援船赶到点的时间为：小时，
补给船赶到点的时间为：小时，
而，，即
∴救援船先赶到点．
【知识点】二次根式的加减法；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；方位角
【解析】【分析】 本题考查了勾股定理的应用，方向角，含30度角的直角三角形， 二次根式的应用， 解题的关键是正确作辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）过点作于点，可得，证明，求出（海里），再在中，求出，从而利用含的直角三角形的性质求出的长即可；
（2）结合（1）可得（海里），海里，过点作，垂足为，得是等腰直角三角形，求出，利用勾股定理求出，得到、，再分别算出两艘船分别到达点P的时间，比较后即可判断．
（1）解：如图，过点作于点，
，
在中，，海里，
∴，则，
∴，
（海里），
在中，，则（海里），
小岛，渔船之间的距离为海里；
（2）由（1）可知，在中，（海里），
则海里，
如图，过点作，垂足为，
，
由题意得：，，
，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
海里，
∴海里，
海里
∴海里，
∴，
∴救援船赶到点的时间为：小时，
补给船赶到点的时间为：小时，
而，，即
∴救援船先赶到点．
21．已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的倍．若甲工程队单独做天后，再由乙工程队单独做天，恰好完成该工程的，此时施工费用为万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多万元．
（1）单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需要多少天？
（2）甲、乙两工程队每天的施工费用各为多少万元？
【答案】（1）解：设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为天，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
则（天），
答：甲、乙两工程队各需要天和天；
（2）解：设甲工程队每天的施工费为万元，则乙工程队每天的施工费为万元，
根据题意得：，
解得：，
则（万元），
答：甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题考查分式方程、一元一次一次方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为天，根据“工作总量=工作效率×工作时间”列分式方程解答即可．
（2）设甲工程队每天的施工费为万元，则乙工程队每天的施工费为万元，根据“总费用=每天费用×天数”列一元一次方程解答即可．
（1）解：设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为天，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
则（天），
答：甲、乙两工程队各需要天和天；
（2）解：设甲工程队每天的施工费为万元，则乙工程队每天的施工费为万元，
根据题意得：，
解得：，
则（万元），
答：甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元．
22．阅读：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与；这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子，分母同乘以分母的有理化因式．
如：；；
（1）请你写出的有理化因式： ．
（2）已知：，求的值．
（3）化简：.
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：∵，∴，，
∴；
（3）解：∵∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴是的有理化因式，
故答案为：（答案不唯一）；
【分析】本题主要考查了分母有理化，平方差公式，完全平方公式的变形求值， 解答的关键是熟练掌握分母有理化的方法并灵活运用．
（1）根据有理化因式的定义进行分析即可；
（2）把已知条件进行分母有理化的运算，从而可求得a+b=4，ab=1，对所求的式子进行整理代入相应的值运算即可；
（3）利用分母有理化的法则进行求解即可．
（1）解：∵，
∴是的有理化因式，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：∵，
∴，，
∴；
（3）解：∵
∴
．
23．【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形．
（1）如图①，若，可作的平分线交于点，则 是等腰三角形；
（2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则 是等腰三角形；
（3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作，交的延长线于点D，则是等腰三角形，请说明理由；
（4）【解决问题】
如图④，在中，，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（4）证明：如图④，延长至点H，使，取的中点E，连接，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：；
【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等角对等边证明三角形为等腰三角形是解题的关键．
（1）由平分得到，由可得，得出，根据等腰三角形的判定方法即可求解；
（2）由得，推出，可得到，根据等角对等边得，从而可判断是等腰三角形；
（3）证明，得，从而可判断是等腰三角形；
（4）延长至点H，使，取的中点E，连接，则，，证明，得到为等边三角形，，结合角的和差关系即可求解．
（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：；
（3）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（4）证明：如图④，延长至点H，使，取的中点E，连接，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
1 / 1广西南宁市天桃实验学校2025-2026学年八年级下学期三月综合评价数学试题
1．下列图形对称轴最多的是（　　）
A．正方形 B．等边三角形 C．圆 D．正五边形
2．下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．某高灵敏度超薄温度传感器厚度仅为米，用科学记数法表示这个厚度是（　　）
A． B． C． D．
4．调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（　　）
A．① B．①②
C．③ D．①②或者③都可以
5．下列长度的三条线段，不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．8，13，15
6．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，中，，平分交于点D，点E为的中点，若，，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．设a，b，c为整数，且.则可能值是（　　）
A．133 B．1599 C．2916 D．3603
9．已知点，关于轴对称，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
10．为推进垃圾分类，推动绿色发展，宜宾天原化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人比用万元购买乙型机器人的台数少一台，两种型号机器人的单价和为万元．若设乙型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点爬到盒顶的点，则蚂蚁要爬行的最短路程是（　　）．
A． B． C． D．
12．如图所示，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是（　　）．
A． B．
C． D．
13．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　.
14．因式分解：　 　．
15．电流通过导线时会产生热量．电流（单位：）、导线电阻R（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流为　 　．（结果用二次根式表示）
16．如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 　 　．
17．（1）计算：．
（2）解方程：．
18．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）作出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标．
（2）在轴上找一点，使得最小，并求出该最小值．
19．如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20．如图，海面上有，两个小岛，在的正东方向，有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得，两点之间的距离为30海里．
（1）求小岛，渔船之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船在处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从地出发前往点进行救援，救援船从点出发的同时，一艘补给船从点出发，以每小时30海里的速度沿射线方向前往点，已知、，三点在同一直线上，从测得在的北偏西方向，请通过计算说明救援船和补给船哪个先赶到点．（参考数据：，，）
21．已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的倍．若甲工程队单独做天后，再由乙工程队单独做天，恰好完成该工程的，此时施工费用为万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多万元．
（1）单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需要多少天？
（2）甲、乙两工程队每天的施工费用各为多少万元？
22．阅读：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与；这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子，分母同乘以分母的有理化因式．
如：；；
（1）请你写出的有理化因式： ．
（2）已知：，求的值．
（3）化简：.
23．【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形．
（1）如图①，若，可作的平分线交于点，则 是等腰三角形；
（2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则 是等腰三角形；
（3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作，交的延长线于点D，则是等腰三角形，请说明理由；
（4）【解决问题】
如图④，在中，，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：∵ 正方形有4条对称轴．
等边三角形有3条对称轴．
圆过圆心的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴．
正五边形有5条对称轴．
∴ 对比可知，圆的对称轴数量最多．
故答案为：C．
【分析】本题考查轴对称图形对称轴条数的确定，轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，分别确定每个图形的对称轴条数，进行比较后可得答案．
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意．
C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】本题考查了最简二次根式的定义， 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．结合这两个条件逐项进行判断即可得出正确的选项．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数， 确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．据此解答即可．
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
①②只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，根据全等三角形判定“角边角”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃，所以应该带去③．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查对全等三角形的判定方法的灵活运用， 采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意；
B、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意；
C、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意；
D、，故不能组成直角三角形，本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理对各个选项进行判断即可．
6．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】A、，计算正确，A不符合题意；
B、，计算正确，B不符合题意；
C、，计算正确，C不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能直接合并，，计算错误，D符合题意；
故答案为：D。
【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算：根据二次根式的运算法则，逐一计算并判断各选项的正误。
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
平分，，
，
点E为的中点，，
，
的面积．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查角平分线性质定理，线段中点的意义以及计算三角形的面积，由是 的平分线，可由点向作垂线段，得，由 点E为的中点 得，最后根据三角形面积公式求解即可．
8．【答案】C
【知识点】因式分解的应用；完全平方数
【解析】【解答】解：将 两边同时加上a2，得到，
同理，将 两边同时加上b2，可以得到，
将 两边同时加上c2，可以得到，
因此 ，因此值只能是完全平方数。
观察四个选项，选项A，133不是完全平方数，错误；
选项B，1599不是完全平方数，错误；
选项C，2916是完全平方数，即，正确；
选项D，3603不是完全平方数，错误。
故答案为：C.
【分析】本题将式子 变形，尽量凑出来这三个式子，最后发现结果是一个数的平方，因此可以判断最后的值肯定是一个完全平方数，根据四个选项进行二次根式计算即可。
9．【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点和点关于x轴对称，
∴，且，
解得，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，代数求值，根据"关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数"列式求出，的值，然后代入计算即可．
10．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设乙型机器人每台万元，则甲型机器人每台万元，根据题意，可得．
故答案为：B.
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据题意得 得甲型机器人每台万元， 根据用460万元购买甲型机器人比用580万元购买乙型机器人的台数少一台，列出分式方程即可．
11．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将 “点所在的面” 与 “顶点所在的面” 展开成平面，
情况1：如图，
水平方向的长度为，
垂直方向的高度为，
路径长，
情况2：如图，
水平边长为，
竖直边长为，
路径长，
∵，
∴蚂蚁要爬行的最短路程是，
故选：D．
【分析】根据题意分类讨论：将长方体展开，结合勾股定理即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据题意可得：
∵数轴上O，A两点的距离为12，
∴点A表示的数为12，
表示的数为，
表示的数为，
表示的数为，
表示的数为，
……
表示的数为，
∴经过这样2023次跳动后的点表示的数为，
∵点A表示的数为12，表示的数为6，
∴的中点表示的数为，
∴经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离为，
故选：B．
【分析】本题主要考查了图形类的规律，根据题意，分别求得表示的数，总结得到表示的数，得到经过这样2023次跳动后的点表示的数为，求得的中点表示的数，进而得到经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离，得到答案.
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：a-5≥0，
解得：a≥5，
故答案为：a≥5.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
14．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题考查用完全平方公式进行因式分解，识别多项式符合完全平方公式的形式，直接套用公式分解。
15．【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：把，，代入得，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】 本题考查二次根式在物理公式中的应用，将已知物理量代入公式，通过解方程求出电流值。
16．【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
如图所示，将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，
∴，即点共线，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，通过作辅助线，构造全等三角形国解答本题的关键．将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，证明，由全等三角形的性质可得，即可求解．
17．【答案】解：（1）
；
（2）
在方程两边同乘以，得：，
解得：，
检验：把代入，得：，
∴是原方程的解，
∴原分式方程的解为．
【知识点】二次根式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，解分式方程，熟练掌握二次根式的混合运算法则、解分式方程的步骤是解答本题的关键．
（1）先原式先根据单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再计算二次根式的乘法和化简，最后再合并即可；
（2）先去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程，求出整式方程的解，最后检验即可．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求，顶点的坐标为．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，此时，最小．
∵，
∴
即最小为．
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；坐标系中的两点距离公式；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】本题考查了轴对称变换，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
（1）根据两点关于轴对称的纵横坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数可得点，， 关于轴的对称点的坐标为，，，然后再顺次连接即可得到 ．
（2）找出点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，再根据两点间距离公式可求得的长．
（1）解：如图，即为所求，顶点的坐标为．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，此时，最小．
∵，
∴
即最小为．
19．【答案】（1）证明：∵，∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，∴，
即，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定玘性质是解答本题的关键．（1）由 得，再结合，，利用证明即可解决问题；
（2） 根据全等三角形的性质可得，进而可得，再利用线段间的和差关系即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴．
20．【答案】（1）解：如图，过点作于点，
，
在中，，海里，
∴，则，
∴，
（海里），
在中，，则（海里），
小岛，渔船之间的距离为海里；
（2）由（1）可知，在中，（海里），则海里，
如图，过点作，垂足为，
，
由题意得：，，
，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
海里，
∴海里，
海里
∴海里，
∴，
∴救援船赶到点的时间为：小时，
补给船赶到点的时间为：小时，
而，，即
∴救援船先赶到点．
【知识点】二次根式的加减法；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；方位角
【解析】【分析】 本题考查了勾股定理的应用，方向角，含30度角的直角三角形， 二次根式的应用， 解题的关键是正确作辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）过点作于点，可得，证明，求出（海里），再在中，求出，从而利用含的直角三角形的性质求出的长即可；
（2）结合（1）可得（海里），海里，过点作，垂足为，得是等腰直角三角形，求出，利用勾股定理求出，得到、，再分别算出两艘船分别到达点P的时间，比较后即可判断．
（1）解：如图，过点作于点，
，
在中，，海里，
∴，则，
∴，
（海里），
在中，，则（海里），
小岛，渔船之间的距离为海里；
（2）由（1）可知，在中，（海里），
则海里，
如图，过点作，垂足为，
，
由题意得：，，
，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
海里，
∴海里，
海里
∴海里，
∴，
∴救援船赶到点的时间为：小时，
补给船赶到点的时间为：小时，
而，，即
∴救援船先赶到点．
21．【答案】（1）解：设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为天，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
则（天），
答：甲、乙两工程队各需要天和天；
（2）解：设甲工程队每天的施工费为万元，则乙工程队每天的施工费为万元，
根据题意得：，
解得：，
则（万元），
答：甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题考查分式方程、一元一次一次方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为天，根据“工作总量=工作效率×工作时间”列分式方程解答即可．
（2）设甲工程队每天的施工费为万元，则乙工程队每天的施工费为万元，根据“总费用=每天费用×天数”列一元一次方程解答即可．
（1）解：设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为天，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
则（天），
答：甲、乙两工程队各需要天和天；
（2）解：设甲工程队每天的施工费为万元，则乙工程队每天的施工费为万元，
根据题意得：，
解得：，
则（万元），
答：甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元．
22．【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：∵，∴，，
∴；
（3）解：∵∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴是的有理化因式，
故答案为：（答案不唯一）；
【分析】本题主要考查了分母有理化，平方差公式，完全平方公式的变形求值， 解答的关键是熟练掌握分母有理化的方法并灵活运用．
（1）根据有理化因式的定义进行分析即可；
（2）把已知条件进行分母有理化的运算，从而可求得a+b=4，ab=1，对所求的式子进行整理代入相应的值运算即可；
（3）利用分母有理化的法则进行求解即可．
（1）解：∵，
∴是的有理化因式，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：∵，
∴，，
∴；
（3）解：∵
∴
．
23．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（4）证明：如图④，延长至点H，使，取的中点E，连接，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：；
【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等角对等边证明三角形为等腰三角形是解题的关键．
（1）由平分得到，由可得，得出，根据等腰三角形的判定方法即可求解；
（2）由得，推出，可得到，根据等角对等边得，从而可判断是等腰三角形；
（3）证明，得，从而可判断是等腰三角形；
（4）延长至点H，使，取的中点E，连接，则，，证明，得到为等边三角形，，结合角的和差关系即可求解．
（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：；
（3）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（4）证明：如图④，延长至点H，使，取的中点E，连接，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
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