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广东省番禺区仲元中学集团2025-2026学年九年级下学期一模前适应性联考数学试题
1．分形图形是一种具有自相似性的图形．下列四个分形图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，A不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，C符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定，根据定义逐一判断 —— 轴对称图形需沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合；中心对称图形需绕某一点旋转 180° 后，能与自身完全重合。
2．我国的天舟一号在文昌航天发射中心由长征七号遥二运载火箭成功发射升空，假设某航天器运行轨道为距地430000米高度，则数据430000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，，且将430000的小数点向左移动5位得到4.3，符合科学记数法的表示形式，B符合题意；
故答案为：B。
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为，其中，为整数；确定的值时，要看把原数变成时小数点移动的位数，的绝对值与小数点移动的位数相同，原数绝对值时，为正数。
3．下列运算正确的是 （　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项、幂的乘方和同底数幂的乘法的计算方法逐项分析判断即可.
4．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点O固定，测得C，D之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（　　）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴在和中，
，
∴，
∴；
∴此方案依据的数学定理是边角边；
故答案为：A．
【分析】先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，从而可得答案.
5．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的（　　）
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据表格数据，先筛选出开花时间（平均数）最短的花种，再从中找出方差最小的花种，乙种类同时满足开花时间最短且最稳定，
故答案为：B。
【分析】 本题考查平均数与方差的实际应用，解题思路是先通过平均数判断开花时间的长短，再结合方差的意义（方差越小，数据越稳定）筛选出同时满足 “开花时间最短” 和 “稳定性最高” 的花种。
6．如图，线段的两端点的坐标分别为、，以点为位似中心，在点的同一侧将线段缩小为原来的后，得到线段，则端点的坐标为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由位似性质可知E是AC中点，利用中点公式计算得，C符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题考查位似变换的性质与中点坐标公式，位似中心为A，缩小比例为且同侧，因此E是线段AC的中点；利用中点坐标公式直接计算E点坐标即可。
7．如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（　　）．
A． B．
C．点D为弦中点 D．点E为劣弧的中点
【答案】D
【知识点】圆周角定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：点E为劣弧AC的中点，由作图可知BP平分，即，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，可得，因此E为劣弧AC的中点，D符合题意；
故答案为：D。
【分析】本题考查角平分线的作图与圆周角定理，先根据作图步骤判断出BP是的角平分线，再利用“相等的圆周角所对的弧相等”的性质，推出，从而判断出点E为劣弧AC的中点。
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象相交于点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)三个点，则不等式ax2+bx+c＞的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3
C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：当或时，抛物线在双曲线上方，
所以不等式的解集为或．
故选：A．
【分析】当二次函数图象在反比例函数图象上方时，有ax2+bx+c＞，结合函数图象即可求出答案.
9．魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积． 如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（　　）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点作于点，
圆内接正十二边形的圆心角为，
已知，在中，，
则，
因此正十二边形的面积为，
故答案为：C。
【分析】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题时先明确圆内接正十二边形的圆心角为30 ，通过作高构造直角三角形求出单个等腰三角形的高，计算出一个三角形的面积后乘以 12，即可得到正十二边形的总面积。
10．如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：
①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
②无论x取何值，总是负数；
③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；
④四边形为正方形．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；正方形的判定；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】① 已知抛物线与交于点，将代入，可得：
解得，因此抛物线的解析式为，其顶点为；抛物线的顶点为。将点向右平移3个单位、再向下平移3个单位，即可得到点，说明抛物线可由抛物线按此方式平移得到，故①正确。
② 对于抛物线，因为，所以，因此，即无论取何值，总是负数，故②正确。
③ 由，将代入抛物线：
解得、，即；
将代入抛物线：
解得、，即。
当时，抛物线的图象在上方，即；
又，在区间内，随着增大，的值逐渐减小，故③不正确。
④ 设与轴交于点，由可得；由③可知、，因此，。
当时，、，即、，因此，。
此时，且、互相平分，因此四边形是平行四边形，且邻边垂直、对角线相等，故四边形为正方形，故④正确。
综上，正确的是①②④，
故答案为：C。
【分析】① 将交点坐标代入抛物线 G，求出参数 a 并确定其顶点，再通过对比顶点坐标，判断抛物线 H 是否可由 G 平移得到；
② 根据二次函数的顶点式，分析抛物线 H 的最大值，判断其函数值的符号；
③ 先求出点 A、C 的坐标，再通过作差得到y1 y2 的表达式，分析在指定区间内该差值的变化趋势；
④ 先求出点 A、C、D、E 的坐标，再根据边的长度和位置关系，结合平行四边形和正方形的判定定理，判断四边形 AECD 的形状。
11．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为： ．
【分析】 本题考查因式分解：先提取多项式的公因式，再对剩余部分运用平方差公式继续分解。
12．若二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下：②对称轴是轴；③轴交于正半轴，这样的二次函数的解析式可以是　 　．（写出一个具体的函数解析式）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵图象为开口向下，并且与轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴是轴，，
∴，
∴，
∴二次函数表达式为：（答案不唯一）．
故答案为（答案不唯一）．
【分析】根据二次函数的图象性质，由开口向下确定二次项系数a<0，由对称轴是y轴确定一次项系数b=0，由与y轴交于正半轴确定常数项c>0，据此写出一个满足条件的解析式即可
13．如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交于点D、E，且．若，则的周长为　 　．
【答案】18
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴三角形的周长为．
故答案为：．
【分析】先利用角平分线定义和平行线性质，证明△DBO 和△ECO 为等腰三角形，得到 DB=DO、EC=EO，再通过线段等量代换，将△ADE 的周长转化为 AB+AC 的长度进行计算。
14．如图，圆的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算；圆锥的特征；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：作OD⊥AC于点D，连接OA，
∴∠OAD=30°，AC=2AD，
∴AC=2OA×cos30°=2，
∴，
∴圆锥的底面圆的半径．
故答案为：．
【分析】先过圆心作弦的垂线，利用三角函数求出弦长，再根据弧长公式算出弧长，最后结合圆锥底面半径与弧长的关系求出底面半径
15．某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为　 　米．（备用数据：，，，精确到米）
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点作于点，则：米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米；
故答案为：．
【分析】先过点作于点，构造出直角三角形；再由题意得米，用算出米；最后在中，利用，代入和米，计算得米，即为该人与扫描仪的水平距离。
16．【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
．
【应用体验】
已知，则m的值为　 　
【答案】8
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】本题根据条件中的展开式，将中的x=x、b=2找到规律并对应，即可得出答案。
17．解方程组：．
【答案】解：，
由①得，
将③代入②得，
解得，
将 代入③得
，
所以方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】通过代入消元法，先将第一个方程变形为用含x的代数式表示y，再代入第二个方程消去y，求出x的值，最后回代求出y的值，得到方程组的解。
18．如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：．
【答案】证明：四边形是菱形，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用菱形的性质得到边相等，再根据 SAS 判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等。
19．已知：
（1）化简A；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
条件①：若点是反比例函数图象上的点；
条件②：若a是方程的一个根．
【答案】（1）解：
；
（2）解：①点是反比例函数图象上的点，
∴，
∴；
②是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根；反比例函数图象上点的坐标特征；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先对分式的分母因式分解，再通分、合并同类项，化简得到最简形式；
（2）选择条件①或②，根据条件推导出a(a+2)=8，再整体代入化简后的分式中，求出A的值。
20．2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．
（1）①此次共调查了_____人；
②扇形统计图（图2）中C类对应的圆心角度数为_____°．
（2）将表示四个类型的字母A，B，C，D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率．
【答案】（1）①50；②72
（2）解：根据题意，画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种，
故抽取到的两张卡片内容不一致的概率为．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）①解：根据题意，得（人）；
②C类所占圆心角为：；
故答案为：50；72；
【分析】(1) ① 用 A 类人数除以其占比求出总调查人数；
② 先算出 C 类人数，再用其占比乘以360 得到对应圆心角度数；
(2) 通过画树状图列出所有等可能结果，再统计出两张卡片内容不一致的结果数，用其除以总结果数得到概率。
（1）①解：根据题意，得（人）；
②C类所占圆心角为：；
（2）解：根据题意，画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种，
故抽取到的两张卡片内容不一致的概率为．
21．用电脑程序控制甲、乙两种小型赛车进行比赛，已知甲型赛车的平均速度为，练习中发现，两辆车同时从起点出发，甲型赛车到达终点时，乙型赛车离终点还差．
（1）求乙型赛车的平均速度；
（2）如果两车重新开始比赛时，甲型赛车从起点向后退了一定距离与乙型赛车同时出发，最后也恰好同时到达终点，直接写出甲型赛车从起点后退的距离为______．
【答案】（1）解：设乙型赛车的平均速度为
由题意，得
解得．
检验：当时，，
所以原方程的解为，且符合题意．
答：乙型赛车的平均速度为．
（2）
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（2）设甲型赛车从起点后退的距离为，
根据题意得，，
解得：，
故答案为：．
【分析】（1）设乙型赛车的平均速度为，根据甲型赛车从起点到达终点时，两辆车所用时间相等，列出分式方程：，解方程即可求解；
（2）设甲型赛车从起点后退的距离为，根据题意"甲型赛车从起点向后退了一定距离与乙型赛车同时出发，最后也恰好同时到达终点"，列出一元一次方程：，解方程即可求解．
（1）解：设乙型赛车的平均速度为
由题意，得
解得．
检验：当时，，
所以原方程的解为，且符合题意．
答：乙型赛车的平均速度为．
（2）设甲型赛车从起点后退的距离为，根据题意得，
，
解得：，
故答案为：．
22．小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示．
时间 里程分段 速度档 跑步里程
小明 不分段 A档 4000米
小丽 第一段 B档 1800米
第一次休息
第二段 B档 1200米
第二次休息
第三段 C档 1600米
（1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）；
（2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
（3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．
【答案】（1）解：由题意可知，档速度为米/分，
则档速度为米/分，
档速度为米/分；
（2）解：小丽第一段跑步时间为分，
小丽第二段跑步时间为分，
小丽第三段跑步时间为分，
则小丽两次休息时间的总和分；
（3）解：由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分）
可得：，
解得：．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）由小明的跑步里程及时间可得A档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得B，C档速度；
（2）根据路程除以速度等于时间可求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；
（3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分），进而根据此时路程相等建立方程，求解即可.
（1）解：由题意可知，档速度为米/分，
则档速度为米/分，档速度为米/分；
（2）小丽第一段跑步时间为分，
小丽第二段跑步时间为分，
小丽第三段跑步时间为分，
则小丽两次休息时间的总和分；
（3）由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分）
可得：，
解得：．
23．如图，在中，．
（1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全．
（2）推理与计算：在（1）的条件下，若．
①求证：直线是的切线；
②若，，求的半径．
【答案】（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：连接，
，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题主要对尺规作图中的画垂直平分线，垂径定理，圆周角定理，切线的判定等知识点进行考查。
（1）作的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆；
（2）①连接，根据三角形外角定理可得，又因为，所以得证；②设的半径为r，则，，在中，根据勾股定理求出．
（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：连接，
，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
24．我们把一直角边是另一直角边2倍的直角三角形称为“倍勾三角形”，如图1，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=45°，CD⊥AB于D．P是射线AB上的一个动点（不与D重合），E是线段PC的中点，将点E绕点P顺时针方向旋转90°得到点F，连接FB，FC，FP．
（1）下列三角形：①△PCF，②△BCD，③△ACD，其中是“倍勾三角形”的有__________（填序号）；
（2）求证：CB⊥BF；
（3）连接FA，如图2，当F，E，A三点在一直线上时，△BCF是否为“倍勾三角形”，如果是，请证明；如果不是，求的值．
【答案】解：（1）①②；
（2）如图1–1中，设BF交PC于O，延长CB交FP的延长线于M．
∵△BCD，△CPF都是“倍勾三角形”，
∴△CDB∽△CPF，∴∠CBD=∠MBP=∠CFP，
∵∠BMP=∠CMF，∴△MBP∽△MFC，
∴，
∴，
∵∠M=∠M，
∴△MCP∽△MFB，
∴∠MCP=∠MFB，∵∠COB=∠FOP，
∴∠CBO=∠OPF=90°，∴CB⊥BF．
（3）结论：△BCF不是“倍勾三角形”，
理由：如图2，
由题意：PE=PF=CE，∠PEF=∠AEC=45°，
设PF=PE=CE=a，
∵∠AEC=∠EAP+∠APE=45°，∠CAD=∠CAE+∠EAP=45°，∴∠CAE=∠CPA，
∵∠ACE=∠ACP，∴△ACE∽△PCA，∴AC2=CE CP，
∴（2）2=2a2，∴a=2，∴PC=4，CD=2，PC=2CD，
∴∠CPD=30°，∠DCP=∠BCF=60°，∴∠CFB=30°，∴BF=BC，
∴△BCF不是“倍勾三角形”，
∴=．
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）如图1中，
∵CD⊥AB，∠A=45°，AC=2，
∴AD=CD=2，∴△ACD不是“倍勾三角形”．
∵AB=3，∴BD=AB–AD=1，∴CD=2BD，
∴△BCD是“倍勾三角形”，
∵∠CPF=90°，PC=2PF，∴△PCF是“倍勾三角形”，
故答案为①②．
【分析】(1) 先在 Rt△ACD 中求出 AD、CD、BD 的长度，再结合 “倍勾三角形” 的定义，通过直角边的倍数关系逐一判断；
(2) 利用 “倍勾三角形” 相似得到角相等，通过两次相似三角形的推导，得出角的等量关系，进而证明 CB⊥BF；
(3) 先通过角度关系证明△ACE∽△PCA，求出线段长度，再利用直角三角形的边角关系，判断△BCF 是否为 “倍勾三角形” 并计算比值。
25．【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间．
素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
【项目任务】
（1）任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式．
（2）任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围．
（3）任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？（直接写出答案，精确到米）．
【答案】（1）解：由题可知：，，，，
设抛物线的解析式为：，
将，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：由题可知：农民常常往返于菜地之间，则此时农民最高点坐标为，
将其代入得： ，
整理得，
解得：，，要农民不会被水淋到，
则，
综上：p的取值范围为；
（3）薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（3）如图，薄膜所在平面可看成是一条直线，
由题知，薄膜所在平面和地面的夹角是，
设薄膜所在平面的直线解析式为，
联立得：，
整理得，
当抛物线与薄膜所在平面相切时，方程有两个相同的解，
，
解得，
薄膜所在平面的直线解析式为，
直线与轴的交点坐标为，
过点作，且，过点作，交轴于点，
，
，
由题意得：，
，
，
薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米．
【分析】(1) 设抛物线解析式为，将、代入，利用待定系数法求解系数，得到抛物线解析式；
(2) 将农民身高对应的纵坐标代入抛物线解析式，解方程求出的值，结合二次函数性质确定的取值范围；
(3) 设薄膜所在直线为，与抛物线联立，利用判别式求出，再根据平移规律，结合距离至少厘米的条件，计算出薄膜与地面接触点和喷水口的水平距离。
（1）解：由题可知：，，，，
设抛物线的解析式为：，
将，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：由题可知：农民常常往返于菜地之间，则此时农民最高点坐标为，
将其代入得： ，
整理得，
解得：，，要农民不会被水淋到，
则，
综上：p的取值范围为；
（3）如图，薄膜所在平面可看成是一条直线，
由题知，薄膜所在平面和地面的夹角是，
设薄膜所在平面的直线解析式为，
联立得：，
整理得，
当抛物线与薄膜所在平面相切时，方程有两个相同的解，
，
解得，
薄膜所在平面的直线解析式为，
直线与轴的交点坐标为，
过点作，且，过点作，交轴于点，
，
，
由题意得：，
，
，
薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米．
1 / 1广东省番禺区仲元中学集团2025-2026学年九年级下学期一模前适应性联考数学试题
1．分形图形是一种具有自相似性的图形．下列四个分形图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．我国的天舟一号在文昌航天发射中心由长征七号遥二运载火箭成功发射升空，假设某航天器运行轨道为距地430000米高度，则数据430000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是 （　　)
A． B．
C． D．
4．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点O固定，测得C，D之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（　　）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
5．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的（　　）
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类
6．如图，线段的两端点的坐标分别为、，以点为位似中心，在点的同一侧将线段缩小为原来的后，得到线段，则端点的坐标为（　　）．
A． B． C． D．
7．如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（　　）．
A． B．
C．点D为弦中点 D．点E为劣弧的中点
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象相交于点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)三个点，则不等式ax2+bx+c＞的解集是（　　）
A．﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B．x＜﹣1或1＜x＜3
C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1
9．魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积． 如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（　　）
A．1 B． C．3 D．4
10．如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：
①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
②无论x取何值，总是负数；
③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；
④四边形为正方形．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．分解因式：　 　．
12．若二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下：②对称轴是轴；③轴交于正半轴，这样的二次函数的解析式可以是　 　．（写出一个具体的函数解析式）
13．如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交于点D、E，且．若，则的周长为　 　．
14．如图，圆的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为　 　．
15．某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为　 　米．（备用数据：，，，精确到米）
16．【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
．
【应用体验】
已知，则m的值为　 　
17．解方程组：．
18．如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：．
19．已知：
（1）化简A；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．
条件①：若点是反比例函数图象上的点；
条件②：若a是方程的一个根．
20．2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．
（1）①此次共调查了_____人；
②扇形统计图（图2）中C类对应的圆心角度数为_____°．
（2）将表示四个类型的字母A，B，C，D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率．
21．用电脑程序控制甲、乙两种小型赛车进行比赛，已知甲型赛车的平均速度为，练习中发现，两辆车同时从起点出发，甲型赛车到达终点时，乙型赛车离终点还差．
（1）求乙型赛车的平均速度；
（2）如果两车重新开始比赛时，甲型赛车从起点向后退了一定距离与乙型赛车同时出发，最后也恰好同时到达终点，直接写出甲型赛车从起点后退的距离为______．
22．小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示．
时间 里程分段 速度档 跑步里程
小明 不分段 A档 4000米
小丽 第一段 B档 1800米
第一次休息
第二段 B档 1200米
第二次休息
第三段 C档 1600米
（1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）；
（2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
（3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．
23．如图，在中，．
（1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全．
（2）推理与计算：在（1）的条件下，若．
①求证：直线是的切线；
②若，，求的半径．
24．我们把一直角边是另一直角边2倍的直角三角形称为“倍勾三角形”，如图1，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=45°，CD⊥AB于D．P是射线AB上的一个动点（不与D重合），E是线段PC的中点，将点E绕点P顺时针方向旋转90°得到点F，连接FB，FC，FP．
（1）下列三角形：①△PCF，②△BCD，③△ACD，其中是“倍勾三角形”的有__________（填序号）；
（2）求证：CB⊥BF；
（3）连接FA，如图2，当F，E，A三点在一直线上时，△BCF是否为“倍勾三角形”，如果是，请证明；如果不是，求的值．
25．【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间．
素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
【项目任务】
（1）任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式．
（2）任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围．
（3）任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？（直接写出答案，精确到米）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，A不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，C符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定，根据定义逐一判断 —— 轴对称图形需沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合；中心对称图形需绕某一点旋转 180° 后，能与自身完全重合。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，，且将430000的小数点向左移动5位得到4.3，符合科学记数法的表示形式，B符合题意；
故答案为：B。
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为，其中，为整数；确定的值时，要看把原数变成时小数点移动的位数，的绝对值与小数点移动的位数相同，原数绝对值时，为正数。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项、幂的乘方和同底数幂的乘法的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴在和中，
，
∴，
∴；
∴此方案依据的数学定理是边角边；
故答案为：A．
【分析】先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，从而可得答案.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据表格数据，先筛选出开花时间（平均数）最短的花种，再从中找出方差最小的花种，乙种类同时满足开花时间最短且最稳定，
故答案为：B。
【分析】 本题考查平均数与方差的实际应用，解题思路是先通过平均数判断开花时间的长短，再结合方差的意义（方差越小，数据越稳定）筛选出同时满足 “开花时间最短” 和 “稳定性最高” 的花种。
6．【答案】C
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由位似性质可知E是AC中点，利用中点公式计算得，C符合题意；
故答案为：C。
【分析】本题考查位似变换的性质与中点坐标公式，位似中心为A，缩小比例为且同侧，因此E是线段AC的中点；利用中点坐标公式直接计算E点坐标即可。
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：点E为劣弧AC的中点，由作图可知BP平分，即，根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，可得，因此E为劣弧AC的中点，D符合题意；
故答案为：D。
【分析】本题考查角平分线的作图与圆周角定理，先根据作图步骤判断出BP是的角平分线，再利用“相等的圆周角所对的弧相等”的性质，推出，从而判断出点E为劣弧AC的中点。
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：当或时，抛物线在双曲线上方，
所以不等式的解集为或．
故选：A．
【分析】当二次函数图象在反比例函数图象上方时，有ax2+bx+c＞，结合函数图象即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点作于点，
圆内接正十二边形的圆心角为，
已知，在中，，
则，
因此正十二边形的面积为，
故答案为：C。
【分析】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题时先明确圆内接正十二边形的圆心角为30 ，通过作高构造直角三角形求出单个等腰三角形的高，计算出一个三角形的面积后乘以 12，即可得到正十二边形的总面积。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；正方形的判定；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】① 已知抛物线与交于点，将代入，可得：
解得，因此抛物线的解析式为，其顶点为；抛物线的顶点为。将点向右平移3个单位、再向下平移3个单位，即可得到点，说明抛物线可由抛物线按此方式平移得到，故①正确。
② 对于抛物线，因为，所以，因此，即无论取何值，总是负数，故②正确。
③ 由，将代入抛物线：
解得、，即；
将代入抛物线：
解得、，即。
当时，抛物线的图象在上方，即；
又，在区间内，随着增大，的值逐渐减小，故③不正确。
④ 设与轴交于点，由可得；由③可知、，因此，。
当时，、，即、，因此，。
此时，且、互相平分，因此四边形是平行四边形，且邻边垂直、对角线相等，故四边形为正方形，故④正确。
综上，正确的是①②④，
故答案为：C。
【分析】① 将交点坐标代入抛物线 G，求出参数 a 并确定其顶点，再通过对比顶点坐标，判断抛物线 H 是否可由 G 平移得到；
② 根据二次函数的顶点式，分析抛物线 H 的最大值，判断其函数值的符号；
③ 先求出点 A、C 的坐标，再通过作差得到y1 y2 的表达式，分析在指定区间内该差值的变化趋势；
④ 先求出点 A、C、D、E 的坐标，再根据边的长度和位置关系，结合平行四边形和正方形的判定定理，判断四边形 AECD 的形状。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为： ．
【分析】 本题考查因式分解：先提取多项式的公因式，再对剩余部分运用平方差公式继续分解。
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵图象为开口向下，并且与轴交于正半轴，
∴，，
∵对称轴是轴，，
∴，
∴，
∴二次函数表达式为：（答案不唯一）．
故答案为（答案不唯一）．
【分析】根据二次函数的图象性质，由开口向下确定二次项系数a<0，由对称轴是y轴确定一次项系数b=0，由与y轴交于正半轴确定常数项c>0，据此写出一个满足条件的解析式即可
13．【答案】18
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴三角形的周长为．
故答案为：．
【分析】先利用角平分线定义和平行线性质，证明△DBO 和△ECO 为等腰三角形，得到 DB=DO、EC=EO，再通过线段等量代换，将△ADE 的周长转化为 AB+AC 的长度进行计算。
14．【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算；圆锥的特征；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：作OD⊥AC于点D，连接OA，
∴∠OAD=30°，AC=2AD，
∴AC=2OA×cos30°=2，
∴，
∴圆锥的底面圆的半径．
故答案为：．
【分析】先过圆心作弦的垂线，利用三角函数求出弦长，再根据弧长公式算出弧长，最后结合圆锥底面半径与弧长的关系求出底面半径
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点作于点，则：米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米；
故答案为：．
【分析】先过点作于点，构造出直角三角形；再由题意得米，用算出米；最后在中，利用，代入和米，计算得米，即为该人与扫描仪的水平距离。
16．【答案】8
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】本题根据条件中的展开式，将中的x=x、b=2找到规律并对应，即可得出答案。
17．【答案】解：，
由①得，
将③代入②得，
解得，
将 代入③得
，
所以方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】通过代入消元法，先将第一个方程变形为用含x的代数式表示y，再代入第二个方程消去y，求出x的值，最后回代求出y的值，得到方程组的解。
18．【答案】证明：四边形是菱形，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用菱形的性质得到边相等，再根据 SAS 判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等。
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：①点是反比例函数图象上的点，
∴，
∴；
②是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根；反比例函数图象上点的坐标特征；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先对分式的分母因式分解，再通分、合并同类项，化简得到最简形式；
（2）选择条件①或②，根据条件推导出a(a+2)=8，再整体代入化简后的分式中，求出A的值。
20．【答案】（1）①50；②72
（2）解：根据题意，画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种，
故抽取到的两张卡片内容不一致的概率为．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）①解：根据题意，得（人）；
②C类所占圆心角为：；
故答案为：50；72；
【分析】(1) ① 用 A 类人数除以其占比求出总调查人数；
② 先算出 C 类人数，再用其占比乘以360 得到对应圆心角度数；
(2) 通过画树状图列出所有等可能结果，再统计出两张卡片内容不一致的结果数，用其除以总结果数得到概率。
（1）①解：根据题意，得（人）；
②C类所占圆心角为：；
（2）解：根据题意，画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种，
故抽取到的两张卡片内容不一致的概率为．
21．【答案】（1）解：设乙型赛车的平均速度为
由题意，得
解得．
检验：当时，，
所以原方程的解为，且符合题意．
答：乙型赛车的平均速度为．
（2）
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（2）设甲型赛车从起点后退的距离为，
根据题意得，，
解得：，
故答案为：．
【分析】（1）设乙型赛车的平均速度为，根据甲型赛车从起点到达终点时，两辆车所用时间相等，列出分式方程：，解方程即可求解；
（2）设甲型赛车从起点后退的距离为，根据题意"甲型赛车从起点向后退了一定距离与乙型赛车同时出发，最后也恰好同时到达终点"，列出一元一次方程：，解方程即可求解．
（1）解：设乙型赛车的平均速度为
由题意，得
解得．
检验：当时，，
所以原方程的解为，且符合题意．
答：乙型赛车的平均速度为．
（2）设甲型赛车从起点后退的距离为，根据题意得，
，
解得：，
故答案为：．
22．【答案】（1）解：由题意可知，档速度为米/分，
则档速度为米/分，
档速度为米/分；
（2）解：小丽第一段跑步时间为分，
小丽第二段跑步时间为分，
小丽第三段跑步时间为分，
则小丽两次休息时间的总和分；
（3）解：由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分）
可得：，
解得：．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）由小明的跑步里程及时间可得A档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得B，C档速度；
（2）根据路程除以速度等于时间可求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；
（3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分），进而根据此时路程相等建立方程，求解即可.
（1）解：由题意可知，档速度为米/分，
则档速度为米/分，档速度为米/分；
（2）小丽第一段跑步时间为分，
小丽第二段跑步时间为分，
小丽第三段跑步时间为分，
则小丽两次休息时间的总和分；
（3）由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分）
可得：，
解得：．
23．【答案】（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：连接，
，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题主要对尺规作图中的画垂直平分线，垂径定理，圆周角定理，切线的判定等知识点进行考查。
（1）作的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆；
（2）①连接，根据三角形外角定理可得，又因为，所以得证；②设的半径为r，则，，在中，根据勾股定理求出．
（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：连接，
，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
24．【答案】解：（1）①②；
（2）如图1–1中，设BF交PC于O，延长CB交FP的延长线于M．
∵△BCD，△CPF都是“倍勾三角形”，
∴△CDB∽△CPF，∴∠CBD=∠MBP=∠CFP，
∵∠BMP=∠CMF，∴△MBP∽△MFC，
∴，
∴，
∵∠M=∠M，
∴△MCP∽△MFB，
∴∠MCP=∠MFB，∵∠COB=∠FOP，
∴∠CBO=∠OPF=90°，∴CB⊥BF．
（3）结论：△BCF不是“倍勾三角形”，
理由：如图2，
由题意：PE=PF=CE，∠PEF=∠AEC=45°，
设PF=PE=CE=a，
∵∠AEC=∠EAP+∠APE=45°，∠CAD=∠CAE+∠EAP=45°，∴∠CAE=∠CPA，
∵∠ACE=∠ACP，∴△ACE∽△PCA，∴AC2=CE CP，
∴（2）2=2a2，∴a=2，∴PC=4，CD=2，PC=2CD，
∴∠CPD=30°，∠DCP=∠BCF=60°，∴∠CFB=30°，∴BF=BC，
∴△BCF不是“倍勾三角形”，
∴=．
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）如图1中，
∵CD⊥AB，∠A=45°，AC=2，
∴AD=CD=2，∴△ACD不是“倍勾三角形”．
∵AB=3，∴BD=AB–AD=1，∴CD=2BD，
∴△BCD是“倍勾三角形”，
∵∠CPF=90°，PC=2PF，∴△PCF是“倍勾三角形”，
故答案为①②．
【分析】(1) 先在 Rt△ACD 中求出 AD、CD、BD 的长度，再结合 “倍勾三角形” 的定义，通过直角边的倍数关系逐一判断；
(2) 利用 “倍勾三角形” 相似得到角相等，通过两次相似三角形的推导，得出角的等量关系，进而证明 CB⊥BF；
(3) 先通过角度关系证明△ACE∽△PCA，求出线段长度，再利用直角三角形的边角关系，判断△BCF 是否为 “倍勾三角形” 并计算比值。
25．【答案】（1）解：由题可知：，，，，
设抛物线的解析式为：，
将，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：由题可知：农民常常往返于菜地之间，则此时农民最高点坐标为，
将其代入得： ，
整理得，
解得：，，要农民不会被水淋到，
则，
综上：p的取值范围为；
（3）薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（3）如图，薄膜所在平面可看成是一条直线，
由题知，薄膜所在平面和地面的夹角是，
设薄膜所在平面的直线解析式为，
联立得：，
整理得，
当抛物线与薄膜所在平面相切时，方程有两个相同的解，
，
解得，
薄膜所在平面的直线解析式为，
直线与轴的交点坐标为，
过点作，且，过点作，交轴于点，
，
，
由题意得：，
，
，
薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米．
【分析】(1) 设抛物线解析式为，将、代入，利用待定系数法求解系数，得到抛物线解析式；
(2) 将农民身高对应的纵坐标代入抛物线解析式，解方程求出的值，结合二次函数性质确定的取值范围；
(3) 设薄膜所在直线为，与抛物线联立，利用判别式求出，再根据平移规律，结合距离至少厘米的条件，计算出薄膜与地面接触点和喷水口的水平距离。
（1）解：由题可知：，，，，
设抛物线的解析式为：，
将，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：由题可知：农民常常往返于菜地之间，则此时农民最高点坐标为，
将其代入得： ，
整理得，
解得：，，要农民不会被水淋到，
则，
综上：p的取值范围为；
（3）如图，薄膜所在平面可看成是一条直线，
由题知，薄膜所在平面和地面的夹角是，
设薄膜所在平面的直线解析式为，
联立得：，
整理得，
当抛物线与薄膜所在平面相切时，方程有两个相同的解，
，
解得，
薄膜所在平面的直线解析式为，
直线与轴的交点坐标为，
过点作，且，过点作，交轴于点，
，
，
由题意得：，
，
，
薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米．
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