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广东深圳市福田区红岭教育集团园岭中学2025-2026学年八年级下册数学阶段检测试题
一、选择题（共8小题)
1．图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
2．已知aA．a+1C．- 2a-1>-2b-1 D．
3．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图所示的是某商场一楼和二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线.已知∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点 C上升的高度h是（　　)
A．3m B．4m C．5m D．6m
5．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　)
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF.若AB=6，BC=7，则△ABF的周长为(　　)
A．13 B．14 C．15 D．16
7．用反证法证明命题：“已知△DEF， DE = DF，求证： ∠E<90°.”第一步应先假设（　　)
A．∠E≥90° B．∠E>90° C．∠E<90° D．DE≠DF
8．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（共5小题)
9．　 　．
10．如果一个多边形的每一个内角都是144°，那么这个多边形是　 　边形.
11．不等式组 的解集是x>3，则m的取值范围是　 　.
12．如图，将△ABC绕点 A 旋转至△ADE的位置，点 B 在边 DE上， AE与BC交于点 G.若∠ABC=65°，则∠EAC=　 　°.
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点E的坐标为　 　．
三、解答题（共7小题)
14．分解因式：
（1）；
（2）．
15．解不等式组 并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上.
16．如图，平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1， 3)、B（-4， 4)、C（-2， 1).
（1）画△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1向上平移4 个单位长度，得△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3） △ABC和△A2B2C2关于某点成中心对称，直接写出该对称中心的坐标　 　.
17．如图，在△ABC 中， D 是 BC 上的一点，连接AD，作 DE⊥AB 交AB于点E， DF⊥AC交AC于点 F，且AD平分∠BAC，连接EF.
（1）证明： AD 垂直平分EF.
（2）若△ABC的周长为18，面积为24， BC=6，求DE的长.
18．随着新能源汽车的普及，居民的充电需求持续增长.为了提升便民服务水平，各个社区纷纷完善新能源汽车的配套设施.某小区计划购置一批如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，为了精准预算，社区工作人员收集了两款充电桩的采购报价信息，如下表：
单枪充电桩数量（单位：个) 双枪充电桩数量 （单位：个) 总报价（单位：元)
1 1 2500
3 2 6000
（1）求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）若该社区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩共30个，购置总花费不超过40000元，则至少购进单枪新能源充电桩多少个
19．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如 我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解.过程如下： y-4).
这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）
（2）已知a、b、c分别是△ABC 三边的长且 请判断△ABC 的形状，并说明理由.
20．阅读下面的材料：
小华遇到这样一个问题：如图①，在 Rt△ABC 中， ∠BAC=90°， AB=AC，点 D， E 在边 BC 上， ∠DAE=45°.若 BD=4， CE=2，求 DE 的长.小华发现，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转90°，得到△ACF，连接 EF（如图②)，由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE=45°，可证△FAE≌△DAE，得 FE=DE.
（1）请回答：在图②中，DE的长度为　 　；
（2）参考小华的思考方法，解决下列问题：
①如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E，F分别在BC，CD上，且 试探索 BE，EF，DF之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图④，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°， ∠BAD=150°，道路BC， CD上分别有景点 E、F，且AE⊥AD， 米，现要在 E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路EF的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不属于轴对称图形也不属于中心对称图形；
B、仅为轴对称图形，不满足中心对称图形的条件；
C、同时符合轴对称图形与中心对称图形的定义；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，先明确轴对称图形是沿一条直线折叠后直线两旁部分能完全重合的图形，中心对称图形是绕某一点旋转后与原图形重合的图形，再对每个选项的图形特征逐一验证，筛选出同时满足两种图形定义的选项。
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，根据不等式基本性质，两边同时加1，不等号方向不变，得，A正确；
两边同时乘，不等号方向改变，得，再同时加3，得，B错误；
两边同时乘，不等号方向改变，得，再同时减1，得，C正确；
两边同时除以正数2，不等号方向不变，得，D正确，
故答案为：B
【分析】本题考查不等式基本性质的应用，依据不等式三条核心性质：加减同一个数或式子，不等号方向不变；乘除同一个正数，不等号方向不变；乘除同一个负数，不等号方向改变，对每个选项的变形步骤逐一验证，找出不符合性质的错误变形。
3．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 是单项式，并非多项式的因式分解形式，不符合因式分解定义；
B、，将二次三项式转化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义；
C、，等式右边是整式乘积与常数的差，并非整式积的形式，不符合要求；
D、，是整式乘法运算，从左到右的变形是乘积展开，并非因式分解；
故答案为：B。
【分析】本题考查因式分解的定义，核心是判断多项式变形是否符合“化为几个整式积的形式”这一特征，依据定义逐一分析选项即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，
∴，
∴，即，
故答案为：B
【分析】本题考查含角的直角三角形性质的实际应用，通过作垂线构造直角三角形，利用平角的定义求出的特殊角，再结合直角三角形中角对的直角边等于斜边一半的性质，直接计算出上升高度。
5．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：平方差公式分解因式的结构为两项平方且符号相反，即。
A选项是两个平方项的和，不符合结构；
B选项，满足两项平方异号，符合公式；
C选项是两个平方项和的相反数，不符合；
D选项是三项式，为完全平方公式形式，不符合。
故答案为：B
【分析】本题考查平方差公式分解因式的结构特征，牢记平方差公式适用于两项、平方、异号的多项式，据此逐一排查选项，排除平方和、三项式等不符合公式结构的式子。
6．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∵AB=6，BC=7，
∴△ABF的周长=AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=6+7=13，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图得到DE是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AF=CF，再根据三角形周长公式计算即可.
7．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，原命题的结论为，其反面为，因此第一步假设。故答案为：A
【分析】本题考查反证法的证明步骤，反证法的核心是先假设命题结论的反面成立，准确找出的否定形式为大于或等于，以此作为证明的初始假设。
8．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接BF
由旋转可得，CE=FC，∠ECF=60°
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC，∠ACB=60°
∴∠ACE=∠BCF
∴△ACE≌△BCF(SAS)
∴∠CBF=∠CAE
∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点
∴∠CAE=30°，BD=4
∴∠CBF=30°
即点F的运动轨迹为直线BF
∴当DF⊥BF时，DF最短
此时
∴DF的最小值为2
故答案为：C
【分析】连接BF，由旋转可得，CE=FC，∠ECF=60°，根据等边三角形性质可得AC=BC，∠ACB=60°，再根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△BCF(SAS)，则∠CBF=∠CAE，由题意可得∠CAE=30°，BD=4，则∠CBF=30°，即即点F的运动轨迹为直线BF，当DF⊥BF时，DF最短，此时，即可求出答案.
9．【答案】246
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：246。
【分析】先逆用乘法分配律提取公因式，再利用平方差公式对括号内的部分进行分解，最后通过简单的乘法运算得出结果。
10．【答案】十
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的每个内角为，
∴每个外角的度数为，
∵任意多边形的外角和为，
∴边数，
故答案为：十
【分析】本题考查多边形内角与外角的关系及外角和定理，先根据邻补角的性质求出单个外角的度数，再利用多边形外角和恒为的定理，用外角和除以单个外角度数得到多边形的边数。
11．【答案】m≤3
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，移项得，
∵不等式组解集为，
∴，
故答案为：
【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定方法，先求解出第一个不等式的解集，再结合“同大取大”的解集法则，判断参数与已知解集边界的大小关系，从而确定的取值范围。
12．【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，，，
∴，
在中，，
∴
故答案为：50
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形性质与三角形内角和定理，利用旋转前后对应边、对应角相等得到等腰三角形，先求出旋转角的度数，再根据旋转角相等的性质得到的度数。
13．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的线段周长问题
【解析】【解答】解：∵矩形，，，
∴，，，
∴，
∵为的中点，
∴，的长为定值，
在上截取，连接，则：，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵四边形的周长，且的长为定值，
∴当最小时，四边形的周长最小，
作点关于轴的对称点，连接，则：，
∵
∴当三点共线时，最小，四边形的周长最小，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，；
∴；
故答案为：．
【分析】先根据矩形性质确定各点坐标，再通过在上截取，构造平行四边形，将转化为，把周长最小问题转化为的最小值问题；再作点关于轴的对称点，根据“两点之间线段最短”，当、、三点共线时，取得最小值；最后求出直线的解析式，令即可得到点的坐标。
14．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
15．【答案】解：解不等式2x-4≤3x得，x≥-4，
解不等式 得， x<1，
所以不等式组的解集为-4≤x<1.
数轴表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的求解与数轴表示，先分别求解两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后按照数轴表示规则画出解集范围。
16．【答案】（1）解：如图1， 即为所求；
（2）解：如图2， 即为所求；
（3）(0， 2)
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：(3) ∵A (-1， 3)， A2(1， 1)，
∴△ABC 和△A2B2C2关于某点成中心对称，对称中心的坐标为 即(0， 2).
故答案为： (0， 2).
【分析】本题考查中心对称、平移作图及对称中心坐标计算。
（1）根据作图-中心对称即可求解；
（2）根据作图-平移即可求解；
（3）根据中心对称点的坐标公式计算出对称中心的坐标即可。
17．【答案】（1）证明： ∵DF⊥AC， DE⊥AB，
∴∠AED=∠AFD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
在△AED 和△AFD中，
∴△AED≌△AFD (AAS)，
∴DE=DF， AE=AF，
∴点A 和点 D 在 EF的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分 EF；
（2）解：∵BC=6， △ABC 的周长为18，
∴AB+AC=12，
由(1)得△ADE≌△ADF，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴若△ABC 的周长为18，面积为24， BC=6，则DE=4.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查角平分线性质、全等三角形判定与垂直平分线判定。
(1)先证明得到、，由两点确定一条直线的原理得出垂直平分；
(2)利用角平分线性质得，将的面积拆分为与的面积和，用面积法计算的长度。
18．【答案】（1）解：设单枪新能源充电桩的单价为x元/个，双枪新能源充电桩的单价为y元/个，
解得：
答：单枪新能源充电桩的单价为1000元/个，双枪新能源充电桩的单价为1500元/个；
（2）解：设购进单枪新能源充电桩m个，
1000m+1500 (30-m) ≤40000
解得： m≥10
答：至少购进单枪新能源充电桩10个.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用。
(1)设两款充电桩的单价为未知数，根据表格信息列二元一次方程组求解；
(2)设单枪充电桩的购进数量为未知数，根据总花费限制列一元一次不等式，求出最小整数解即为至少购进的数量。
19．【答案】（1）解：
=(3a+2b+5m-n)(3a+2b-5m+n)
（2）解：由 可分解得：
利用拆项得：
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是
a-b=0， a-c=0
所以可以得到a=b=c
即：△ABC 的形状是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定；偶次方的非负性；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】本题考查分组分解法因式分解及非负数性质的应用。
(1)将多项式合理分组配成完全平方式，再利用平方差公式完成因式分解；
(2)对等式左边配方，转化为两个完全平方式的和，根据平方的非负性得出三边相等，判断三角形的形状。
20．【答案】（1）
（2）解：①EF=BE+DF，理由如下：
如图③，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°， ∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
∴△ABM≌△ADF (SAS)，
∴AF=AM， ∠DAF=∠BAM，
∴∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
∴△FAE≌△MAE (SAS)，
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF；
②如图④，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H，
∵∠BAD=150°， ∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°.
又∵∠B=60°，
∴△ABE 是等边三角形，
∴BE=AB=80米，
根据旋转的性质得到： ∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上.
由旋转可得△ADG≌△ABE，
∴AG=AE， ∠DAG=∠BAE， DG=BE，
又∵(米)， 米， 米，
(米)，
∴∠HAF=45°，
∴∠DAF=∠HAF-∠HAD=45°-30°=15°，
从而∠EAF=∠EAD-∠DAF=90°-15°=75°，
又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF，
∴根据上述推论有： (米)，即这条道路EF的长为 米.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：(1)由旋转可知： △ADB≌△AFC，
∴AD=AF， ∠B=∠ACF， DB=FC，
在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠FCE=90°，
由旋转可知： ∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE，
在△ADE和△AFE中，
∴△ADE≌△AFE(SAS).
∴DE=FE，
∵CF=BD=4， CE=2，
【分析】（1）先根据旋转的性质得到△ADB≌△AFC，再根据三角形全等的性质得到AD=AF， ∠B=∠ACF， DB=FC，进而根据等腰直角三角形的性质得到∠FCE=90°，则∠BAC=∠DAF=90°，从而根据三角形全等的判定与性质证明△ADE≌△AFE(SAS)得到DE=FE，在根据勾股定理结合题意即可求解；
（2）①如图③，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，根据三角形全等的判定与性质证明△ABM≌△ADF (SAS)得到AF=AM， ∠DAF=∠BAM，进而结合题意等量代换得到∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，再证明△FAE≌△MAE (SAS)，从而进行线段的运算即可求解；
②如图④，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H，根据等边三角形的判定与性质得到BE=AB=80米，进而根据旋转的性质得到∠ADG=∠B=60°，△ADG≌△ABE，则AG=AE， ∠DAG=∠BAE， DG=BE，再根据等腰直角三角形的性质结合题意结合含30°角的直角三角形的性质即可求解。
1 / 1广东深圳市福田区红岭教育集团园岭中学2025-2026学年八年级下册数学阶段检测试题
一、选择题（共8小题)
1．图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不属于轴对称图形也不属于中心对称图形；
B、仅为轴对称图形，不满足中心对称图形的条件；
C、同时符合轴对称图形与中心对称图形的定义；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，先明确轴对称图形是沿一条直线折叠后直线两旁部分能完全重合的图形，中心对称图形是绕某一点旋转后与原图形重合的图形，再对每个选项的图形特征逐一验证，筛选出同时满足两种图形定义的选项。
2．已知aA．a+1C．- 2a-1>-2b-1 D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，根据不等式基本性质，两边同时加1，不等号方向不变，得，A正确；
两边同时乘，不等号方向改变，得，再同时加3，得，B错误；
两边同时乘，不等号方向改变，得，再同时减1，得，C正确；
两边同时除以正数2，不等号方向不变，得，D正确，
故答案为：B
【分析】本题考查不等式基本性质的应用，依据不等式三条核心性质：加减同一个数或式子，不等号方向不变；乘除同一个正数，不等号方向不变；乘除同一个负数，不等号方向改变，对每个选项的变形步骤逐一验证，找出不符合性质的错误变形。
3．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 是单项式，并非多项式的因式分解形式，不符合因式分解定义；
B、，将二次三项式转化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义；
C、，等式右边是整式乘积与常数的差，并非整式积的形式，不符合要求；
D、，是整式乘法运算，从左到右的变形是乘积展开，并非因式分解；
故答案为：B。
【分析】本题考查因式分解的定义，核心是判断多项式变形是否符合“化为几个整式积的形式”这一特征，依据定义逐一分析选项即可得出答案。
4．如图所示的是某商场一楼和二楼之间的手扶电梯示意图，其中 AB，CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线.已知∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点 C上升的高度h是（　　)
A．3m B．4m C．5m D．6m
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，
∴，
∴，即，
故答案为：B
【分析】本题考查含角的直角三角形性质的实际应用，通过作垂线构造直角三角形，利用平角的定义求出的特殊角，再结合直角三角形中角对的直角边等于斜边一半的性质，直接计算出上升高度。
5．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：平方差公式分解因式的结构为两项平方且符号相反，即。
A选项是两个平方项的和，不符合结构；
B选项，满足两项平方异号，符合公式；
C选项是两个平方项和的相反数，不符合；
D选项是三项式，为完全平方公式形式，不符合。
故答案为：B
【分析】本题考查平方差公式分解因式的结构特征，牢记平方差公式适用于两项、平方、异号的多项式，据此逐一排查选项，排除平方和、三项式等不符合公式结构的式子。
6．如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF.若AB=6，BC=7，则△ABF的周长为(　　)
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∵AB=6，BC=7，
∴△ABF的周长=AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=6+7=13，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图得到DE是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AF=CF，再根据三角形周长公式计算即可.
7．用反证法证明命题：“已知△DEF， DE = DF，求证： ∠E<90°.”第一步应先假设（　　)
A．∠E≥90° B．∠E>90° C．∠E<90° D．DE≠DF
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，原命题的结论为，其反面为，因此第一步假设。故答案为：A
【分析】本题考查反证法的证明步骤，反证法的核心是先假设命题结论的反面成立，准确找出的否定形式为大于或等于，以此作为证明的初始假设。
8．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接BF
由旋转可得，CE=FC，∠ECF=60°
∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC，∠ACB=60°
∴∠ACE=∠BCF
∴△ACE≌△BCF(SAS)
∴∠CBF=∠CAE
∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点
∴∠CAE=30°，BD=4
∴∠CBF=30°
即点F的运动轨迹为直线BF
∴当DF⊥BF时，DF最短
此时
∴DF的最小值为2
故答案为：C
【分析】连接BF，由旋转可得，CE=FC，∠ECF=60°，根据等边三角形性质可得AC=BC，∠ACB=60°，再根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△BCF(SAS)，则∠CBF=∠CAE，由题意可得∠CAE=30°，BD=4，则∠CBF=30°，即即点F的运动轨迹为直线BF，当DF⊥BF时，DF最短，此时，即可求出答案.
二、填空题（共5小题)
9．　 　．
【答案】246
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：246。
【分析】先逆用乘法分配律提取公因式，再利用平方差公式对括号内的部分进行分解，最后通过简单的乘法运算得出结果。
10．如果一个多边形的每一个内角都是144°，那么这个多边形是　 　边形.
【答案】十
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的每个内角为，
∴每个外角的度数为，
∵任意多边形的外角和为，
∴边数，
故答案为：十
【分析】本题考查多边形内角与外角的关系及外角和定理，先根据邻补角的性质求出单个外角的度数，再利用多边形外角和恒为的定理，用外角和除以单个外角度数得到多边形的边数。
11．不等式组 的解集是x>3，则m的取值范围是　 　.
【答案】m≤3
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，移项得，
∵不等式组解集为，
∴，
故答案为：
【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定方法，先求解出第一个不等式的解集，再结合“同大取大”的解集法则，判断参数与已知解集边界的大小关系，从而确定的取值范围。
12．如图，将△ABC绕点 A 旋转至△ADE的位置，点 B 在边 DE上， AE与BC交于点 G.若∠ABC=65°，则∠EAC=　 　°.
【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，，，
∴，
在中，，
∴
故答案为：50
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形性质与三角形内角和定理，利用旋转前后对应边、对应角相等得到等腰三角形，先求出旋转角的度数，再根据旋转角相等的性质得到的度数。
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点E的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数中的线段周长问题
【解析】【解答】解：∵矩形，，，
∴，，，
∴，
∵为的中点，
∴，的长为定值，
在上截取，连接，则：，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵四边形的周长，且的长为定值，
∴当最小时，四边形的周长最小，
作点关于轴的对称点，连接，则：，
∵
∴当三点共线时，最小，四边形的周长最小，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，；
∴；
故答案为：．
【分析】先根据矩形性质确定各点坐标，再通过在上截取，构造平行四边形，将转化为，把周长最小问题转化为的最小值问题；再作点关于轴的对称点，根据“两点之间线段最短”，当、、三点共线时，取得最小值；最后求出直线的解析式，令即可得到点的坐标。
三、解答题（共7小题)
14．分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
15．解不等式组 并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上.
【答案】解：解不等式2x-4≤3x得，x≥-4，
解不等式 得， x<1，
所以不等式组的解集为-4≤x<1.
数轴表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的求解与数轴表示，先分别求解两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后按照数轴表示规则画出解集范围。
16．如图，平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1， 3)、B（-4， 4)、C（-2， 1).
（1）画△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1向上平移4 个单位长度，得△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3） △ABC和△A2B2C2关于某点成中心对称，直接写出该对称中心的坐标　 　.
【答案】（1）解：如图1， 即为所求；
（2）解：如图2， 即为所求；
（3）(0， 2)
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：(3) ∵A (-1， 3)， A2(1， 1)，
∴△ABC 和△A2B2C2关于某点成中心对称，对称中心的坐标为 即(0， 2).
故答案为： (0， 2).
【分析】本题考查中心对称、平移作图及对称中心坐标计算。
（1）根据作图-中心对称即可求解；
（2）根据作图-平移即可求解；
（3）根据中心对称点的坐标公式计算出对称中心的坐标即可。
17．如图，在△ABC 中， D 是 BC 上的一点，连接AD，作 DE⊥AB 交AB于点E， DF⊥AC交AC于点 F，且AD平分∠BAC，连接EF.
（1）证明： AD 垂直平分EF.
（2）若△ABC的周长为18，面积为24， BC=6，求DE的长.
【答案】（1）证明： ∵DF⊥AC， DE⊥AB，
∴∠AED=∠AFD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
在△AED 和△AFD中，
∴△AED≌△AFD (AAS)，
∴DE=DF， AE=AF，
∴点A 和点 D 在 EF的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分 EF；
（2）解：∵BC=6， △ABC 的周长为18，
∴AB+AC=12，
由(1)得△ADE≌△ADF，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∴若△ABC 的周长为18，面积为24， BC=6，则DE=4.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查角平分线性质、全等三角形判定与垂直平分线判定。
(1)先证明得到、，由两点确定一条直线的原理得出垂直平分；
(2)利用角平分线性质得，将的面积拆分为与的面积和，用面积法计算的长度。
18．随着新能源汽车的普及，居民的充电需求持续增长.为了提升便民服务水平，各个社区纷纷完善新能源汽车的配套设施.某小区计划购置一批如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，为了精准预算，社区工作人员收集了两款充电桩的采购报价信息，如下表：
单枪充电桩数量（单位：个) 双枪充电桩数量 （单位：个) 总报价（单位：元)
1 1 2500
3 2 6000
（1）求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）若该社区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩共30个，购置总花费不超过40000元，则至少购进单枪新能源充电桩多少个
【答案】（1）解：设单枪新能源充电桩的单价为x元/个，双枪新能源充电桩的单价为y元/个，
解得：
答：单枪新能源充电桩的单价为1000元/个，双枪新能源充电桩的单价为1500元/个；
（2）解：设购进单枪新能源充电桩m个，
1000m+1500 (30-m) ≤40000
解得： m≥10
答：至少购进单枪新能源充电桩10个.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用。
(1)设两款充电桩的单价为未知数，根据表格信息列二元一次方程组求解；
(2)设单枪充电桩的购进数量为未知数，根据总花费限制列一元一次不等式，求出最小整数解即为至少购进的数量。
19．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如 我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解.过程如下： y-4).
这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）
（2）已知a、b、c分别是△ABC 三边的长且 请判断△ABC 的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：
=(3a+2b+5m-n)(3a+2b-5m+n)
（2）解：由 可分解得：
利用拆项得：
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是
a-b=0， a-c=0
所以可以得到a=b=c
即：△ABC 的形状是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定；偶次方的非负性；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】本题考查分组分解法因式分解及非负数性质的应用。
(1)将多项式合理分组配成完全平方式，再利用平方差公式完成因式分解；
(2)对等式左边配方，转化为两个完全平方式的和，根据平方的非负性得出三边相等，判断三角形的形状。
20．阅读下面的材料：
小华遇到这样一个问题：如图①，在 Rt△ABC 中， ∠BAC=90°， AB=AC，点 D， E 在边 BC 上， ∠DAE=45°.若 BD=4， CE=2，求 DE 的长.小华发现，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转90°，得到△ACF，连接 EF（如图②)，由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE=45°，可证△FAE≌△DAE，得 FE=DE.
（1）请回答：在图②中，DE的长度为　 　；
（2）参考小华的思考方法，解决下列问题：
①如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E，F分别在BC，CD上，且 试探索 BE，EF，DF之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图④，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°， ∠BAD=150°，道路BC， CD上分别有景点 E、F，且AE⊥AD， 米，现要在 E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路EF的长.
【答案】（1）
（2）解：①EF=BE+DF，理由如下：
如图③，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°， ∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
∴△ABM≌△ADF (SAS)，
∴AF=AM， ∠DAF=∠BAM，
∴∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
∴△FAE≌△MAE (SAS)，
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF；
②如图④，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H，
∵∠BAD=150°， ∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°.
又∵∠B=60°，
∴△ABE 是等边三角形，
∴BE=AB=80米，
根据旋转的性质得到： ∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上.
由旋转可得△ADG≌△ABE，
∴AG=AE， ∠DAG=∠BAE， DG=BE，
又∵(米)， 米， 米，
(米)，
∴∠HAF=45°，
∴∠DAF=∠HAF-∠HAD=45°-30°=15°，
从而∠EAF=∠EAD-∠DAF=90°-15°=75°，
又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF，
∴根据上述推论有： (米)，即这条道路EF的长为 米.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：(1)由旋转可知： △ADB≌△AFC，
∴AD=AF， ∠B=∠ACF， DB=FC，
在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠FCE=90°，
由旋转可知： ∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE，
在△ADE和△AFE中，
∴△ADE≌△AFE(SAS).
∴DE=FE，
∵CF=BD=4， CE=2，
【分析】（1）先根据旋转的性质得到△ADB≌△AFC，再根据三角形全等的性质得到AD=AF， ∠B=∠ACF， DB=FC，进而根据等腰直角三角形的性质得到∠FCE=90°，则∠BAC=∠DAF=90°，从而根据三角形全等的判定与性质证明△ADE≌△AFE(SAS)得到DE=FE，在根据勾股定理结合题意即可求解；
（2）①如图③，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，根据三角形全等的判定与性质证明△ABM≌△ADF (SAS)得到AF=AM， ∠DAF=∠BAM，进而结合题意等量代换得到∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，再证明△FAE≌△MAE (SAS)，从而进行线段的运算即可求解；
②如图④，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H，根据等边三角形的判定与性质得到BE=AB=80米，进而根据旋转的性质得到∠ADG=∠B=60°，△ADG≌△ABE，则AG=AE， ∠DAG=∠BAE， DG=BE，再根据等腰直角三角形的性质结合题意结合含30°角的直角三角形的性质即可求解。
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