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广东省中山市迪茵公学2026年中考数学一模试卷
1．如果零上 3℃记作+3℃，那么零下 2℃记作(　　)
A．2℃ B．-2℃ C． D．C
2．“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，它的满载排水量 67500吨，数据 67500用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
4．如图，几何体是由 3个大小完全一样的正方体组成的，在它的三视图中是中心对称图形的是(　　)
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．左视图和俯视图
5．如图，在△ABC中， CD、BE分别为 AB、AC边上的中线， BE与 CD相交于点 F，则下列结论一定不正确的是(　　)
A． B．
C． D．
6．已知一组数据：5，15，75，45，25，75，45，35，45，35，那么40是这一组数据的（　　）
A．平均数但不是中位数 B．平均数也是中位数
C．众数 D．中位数但不是平均数
7．某农机厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．嘉淇在用描点法画一次函数的图象时列得如表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是(　　)
x …… -2 -1 0 1 2 ……
y …… 12 10 8 6 2 ……
A．(2， 2) B．(1， 6) C．(0， 8) D．(-1， 10)
9．如图，正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是(　　)
A． B． C． D．
10．定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则c＝
B．如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根
C．如果一元二次方程ax2-2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解
D．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根
11．因式分解： 　 　.
12．如图所示，四边形 ABCD 与四边形 EFGH位似，位似中心为点 O，若 则 　 　.
13．若抛物线与x轴交于点和点，且可由抛物线平移得到，则该抛物线的函数表达式为　 　．
14．若式子 有意义，则x应满足的条件是　 　.
15．如图，在边长为 4的正方形 ABCD中，点 E、F分别是 BC、CD的中点，DE、AF交于点 G，AF的中点为 H，连接 BG、DH.给出下列结论：
①AF⊥DE； ②DG= ③HD||BG； ④△ABG∽△DHF.
其中正确的结论有　 　.(请填上所有正确结论的序号)
16．解方程 (组)：
（1）
（2）
17．在△ABC中，AB=CB， ∠ABC=90°， D为 AB延长线上一点， 点 E在 BC边上且 BE=BD， 连接 AE、DE、DC.已知∠CAE=30°， 求∠BDC的度数.
18．先化简，再求值： 其中
19．某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A.白开水；B.瓶装矿泉水；C.碳酸饮料；D.非碳酸饮料，根据统计结果绘制如下两幅不完整的统计图.
饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料
价格 (元/瓶) 0 2 3 4
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这个班级饮用碳酸饮料的同学有 ▲ 人，补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品(每种仅限一瓶，价格如表)，则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用碳酸饮料的同学中选出 5名同学(3名男生，2名女生)组成班级的监督员，再由这 5名监督员随机抽签产生 2名监督员，进行当日的执勤工作，请用列表法或画树状图法求当日恰好抽到 2名女监督员的概率.
20．【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然.
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升.据悉，约 80%的火灾都在充电时发生.某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究.
（1）任务一：调查分析
图 1悬挂的是 8公斤干粉灭火器，图 2为其喷射截面示意图，在△AOB中，OA=OB，喷射角∠AOB=60°，地面有效保护直径 AB为2 米，喷嘴 O距离地面的高度 OC为　 　米；
（2）任务二；模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃.学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头.
如图 3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线.已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形 OABC，创新小组以点 O为坐标原点，墙面 OA所在直线为 y轴，建立如图 4所示的平面直角坐标系.他们查阅资料后，提议消防喷淋头 M安装在离地高度为 3米，距离墙面水平距离为 2米处，即( OA=3米， AM=2米，水喷射到墙面 D处，且OD=1米.
①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头 M的地面有效保护直径 OE为　 　米；
（3）任务三：问题解决
已知充电车棚宽度 OC为 7米，电动车电池的离地高度为 0.2米.创新小组想在喷淋头 M的同一水平线 AB上加装一个喷淋头 N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头 N距离喷淋头 M至少　 　米.
21．已知 BC是⊙O的直径，点 D是 BC延长线上一点， AB=AD， AE是⊙O的弦， ∠AEC=30°.
（1）求证：直线 AD是⊙O的切线；
（2）若 AE⊥BC，垂足为 M， ⊙O的半径为 8，求 AE的长.
22．实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成下侧示意图，已知试管 试管倾斜角为∠ABG为 12 °. (参考数据：
（1）求试管口 B与铁杆 DE的水平距离 BG的长度；
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁 MN，延长 BM交 CN的延长线于点 F，且 MN⊥CF于点 N (点 C， D，N， F在一条直线上) ，经测得： DE=29cm，MN=9cm，∠ABM=147°，求线段 DN的长度.
23．中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线，在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点 P (x1，y1)是图形 G1上的任意一点，点 Q (x2， y2)是图形 G2上的任意一点，若存在直线 l： y= kx+b (k≠0)满足 且 则直线 y= kx+b (k≠0)就是图形 G1与 G2的“楚河汉界线”.
例如：如图 1，直线 l： y=-x-4是函数 的图象与正方形 OABC的一条“楚河汉界线”.
（1）在直线①y=-2x，②y=4x-1， ③y=-2x+3， ④y=-3x-1中，是图 1函数 的图象与正方形 OABC的“楚河汉界线”的有　 　(填序号)；
（2）如图 2，第一象限的等腰直角△EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点 D的坐标是(2，1)，△EDF与⊙O的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；
（3）正方形 A1B1C1D1的一边在 y轴上，其他三边都在 y轴的右侧，点 M (2，t)是此正方形的中心，若存在直线 y=-2x+b是函数 的图象与正方形 A1B1C1D1的“楚河汉界线”，求 t的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：零上 3℃记作+3℃，那么零下 2℃记作-2℃
故答案为：B
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：67500用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：，正确，符合题意；
B：，不能合并，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图：
∴三视图中是中心对称图形的是左视图和俯视图
故答案为：D
【分析】根据组合体的三视图，结合中心对称图形定义即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵ CD、BE分别为 AB、AC边上的中线
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF
∴
∴，，
故答案为：C
【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥BC，，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：45出现了三次是众数，
按从小到大的顺序排列得到第五，六个数分别为35，45，所以中位数为40；
由平均数的公式解得平均数为40；
所以40不但是平均数也是中位数．
故B符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据中位数、众数以及平均数的定义来判断.一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数.将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 .在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为，
则五月份的产量为，六月份的产量为；
根据“第二季度总产量为91万个”，可得方程：
，
故答案为：D。
【分析】本题考查利用一元二次方程解决增长率类实际问题，解题关键是根据月平均增长率，依次表示出各月的产量，再结合季度总产量的等量关系列方程。
8．【答案】A
【知识点】描点法画函数图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据表格数据描点，如图
由图可得，点(2，2)不在一次函数的图象上
故答案为：A
【分析】描点作出函数图象，再根据图象进行判断即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】轴对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：如图：
根据题意，涂黑每一个格都会出现一种等可能情况，共出现6种等可能情况，只有4种是轴对称图形，分别标有1，2，3，4；
使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是
故答案为：B
【分析】根据概率公式即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：x2+2x+c＝0的倒方程是cx2+2x+1＝0，将x＝2代入，得c＝ ，故A正确；
∵ac＜0，
∴b2-4ac＞0，
∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故B正确；
∵ax2-2x+c＝0无解，
∴4-4ac＜0，它的倒方程的根的判别式也为4-4ac＜0，
∴它的倒方程也无解，故C正确；
若c＝0，则它的倒方程为一元一次方程，只有一个实数根，故D错误；
故答案为：D.
【分析】x2+2x+c＝0的倒方程是cx2+2x+1＝0，将x＝2代入可得c的值，据此判断A；根据 ac＜0可得 b2-4ac＞0， 据此判断B；由方程无解可得4-4ac＜0，则它的倒方程的根的判别式也为4-4ac＜0，据此判断C； 若c＝0，则它的倒方程为一元一次方程，只有一个实数根，据此判断D.
11．【答案】2x2y (2y-x)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O
∴四边形ABCD∽四边形EFGH
∴
故答案为：
【分析】根据位似图形性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线与轴交于点和点，
设抛物线表达式为，
由于抛物线可由平移得到，抛物线平移时二次项系数不变，的二次项系数是，
，
该抛物线的函数表达式为．
故答案为：；
【分析】先根据抛物线与 x 轴的两个交点写出含参数的交点式，再由平移性质确定二次项系数，进而得到抛物线的函数表达式。
14．【答案】x≠3且
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-3≠0且2x-1≠0
解得：x≠3且
故答案为：x≠3且
【分析】根据分式，0次幂有意义的条件即可求出答案.
15．【答案】①④
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的性质-对应边；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD
∵点 E、F分别是 BC、CD的中点
∴DF=EC=2
∴△ADF≌△DCE
∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC
∵∠EDC+∠DEC=90°
∴∠EDC+∠AFD=90°
∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，①正确
∵
∴
∴，②错误
∵H为AF中点
∴
∴∠HDF=∠HFD
∵AB∥DC
∴∠HDF=∠HFD=∠BAG
∵
∴
∴△ABG∽△DHF，④正确
∴∠ABG=∠DHF
∵AB≠AG
∴∠ABG与∠AGB不相等，故∠AGB≠∠DHF
∴HD与BG不平行，③错误
故答案为：①④
【分析】根据正方形性质可得∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，根据线段中点可得DF=EC=2，根据全等三角形判定定理可得△ADF≌△DCE，则∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，根据角之间的关系可得判断①；根据勾股定理可得AF，根据三角形面积可判断②，根据线段中点可得，则∠HDF=∠HFD，根据直线平行性质可得∠HDF=∠HFD=∠BAG，根据勾股定理可得AG，再根据相似三角形判定定理可判断④，根据相似三角形性质可得∠ABG=∠DHF，根据等腰三角形性质，结合直线平行判定定理可判断③.
16．【答案】（1）解：
①×2得 2x+2y=2③，
②-③得， y=-1，
将 y=-1代入①得 x=2，
∴原方程组的解为
（2）解：
去分母得： 5-x-1=x-4，
整理得： - 2x=-8，
解得： x=4.
将 x=4代入 x-4=4-4=0，
∴x=4是原方程的增根，应舍去，
∴原方程无解.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（2）去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
17．【答案】解：∵AB=CB，∠ABC=90°
∴∠BAC=45°
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=15°
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD
∴∠BCD=∠BAE=15°
∴∠BDC=90°-15°=75°
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据等腰直角三角形性质可得∠BAC=45°，根据角之间的关系可得∠BAE=15°，根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CBD，则∠BCD=∠BAE=15°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
18．【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
19．【答案】（1）解：20
补全图形如下：
（2）解：由题意可得：
(0×10+2×15+3×20+20+4×5)÷50=2.2元
∴该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元
（3）解：列表如下：
　 男1 男2 男3 女1 女2
男1 　 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） 　 （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2）
男3 （男3，男1） （男3，男2） 　 （男3，女1） （男3，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） 　 （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1） 　
∴共有20种等可能的结果，其中，2名女监督员的结果有2种
∴恰好抽到2名女监督员的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）总人数为：15÷30%=50人
∴C饮品的人数为50-10-15-5=20人
故答案为：20
【分析】（1）根据B饮品的人数与占比可得总人数，再求出C饮品的人数，再补全图形即可.
（2）根据加权平均数即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出抽到2名女监督员的结果，再根据概率公式即可求出答案.
20．【答案】（1）3
（2）解：①由题意得：点 M (2，3)为抛物线的顶点坐标.∴设抛物线的解析式为：∵经过点(0， 1)解得：∴该水柱外层所在抛物线的函数解析式为：
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：（1）在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形， AB=2
∴
∵OC⊥AB
∴
在Rt△AOC中，
故答案为：4
（2）②令y=0，则
解得：（舍去）
∴OE=
（3）令y=0.2，代入抛物线，则
解得：
∴喷淋头M的覆盖范围为
∵车棚宽度为7m
设喷淋头N的横坐标为m，则其覆盖范围为
要使两个喷淋头覆盖整个车棚[0，7]，需满足：
，且
解第一个不等式可得：
∴喷淋头N距离喷淋头M的最小距离为：
故答案为：
【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得△AOB是等边三角形， AB=2，则，根据等腰三角形三线合一性质可得AC，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①由题意得：点 M (2，3)为抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为：，根据待定系数法将点(0，1)代入解析式即可求出答案；
②将y=0代入解析式，解方程即可求出答案.
（3）将y=0.2代入抛物线解析式可得，设喷淋头N的横坐标为m，则其覆盖范围为，再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：连接 OA，如图所示，
∵∠AEC=30°，
∴∠B=∠AEC=30°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠B=30°.
∴∠AOC=2∠AEC=60°，
∴∠OAD=180°-∠AOC-∠D=180°-60°-30°=90°，
∴AD⊥OA.
∵OA是⊙O的半径，
∴直线 AD是⊙O的切线；
（2）解：由垂径定理可得 AM=EM，
∵∠AEC=30°，
∴∠AOM=2∠AEC=60°，
∴∠OAM=180°-90°-60°=30°，
根据勾股定理得
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠AEC=30°，根据等边对等角可得∠D=∠B=30°，则∠AOC=2∠AEC=60°，根据三角形内角和定理可得∠OAD，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据垂径定理可得AM=EM，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOM=2∠AEC=60°，根据三角形内角和定理可得∠OAM，再根据含30°角的直角三角形可得OM，再根据勾股定理即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵
∴cm
∵
∴BG=9cos12°=8.82cm
（2）解：∵
∴EG=9sin12°
延长GB，NM交于点H，则四边形DNHF是矩形
∴NH=DG=DE-EG=(29-9sin12°)cm，DN=GH
∴HM=NH-MN=(29-9sin12°)cm，∠ABG=12°，∠ABM=147°
∴∠FBG=135°
∴∠MBH=45°
∴∠MBH=∠BMH=45°
∴BH=HM=(29-9sin12°)cm
∴DN=GH=BG+BH
=9cos12°+20-9sin12°
=26.93cm
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得BE，再根据余弦定义即可求出答案.
（2）根据正弦定义可得EG=9sin12°，延长GB，NM交于点H，则四边形DNHF是矩形，根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）①④
（2）解：连接OD，以O为圆心，OD长为半径作圆O，作DG⊥x轴于点G，过点D作圆O的切线DM，则MD⊥OD
∵MD⊥x轴，DG⊥x轴
∴∠ODM=∠OGD=90°
∴∠MOD+∠OMD=90°
∵∠MOD+∠DOG=90°
∴∠OMD=∠DOG
∴tan∠OMD=tan∠DOG
∵D的坐标是(2，1)
∴DG=1，OG=2
∴
∵
∴
∴
∴
∴M(0，5)
设直线MD的解析式为y=mx+n，将M(0，5)，D(2，1)代入可得：
，解得：
∴△EDF与⊙O的“楚河汉界线”为y=-2x+5
（3）解：由，得x2-4x+b-3=0
∵直线与抛物线有唯一公共点
∴
解得：b=7
∴此时的楚河汉界线为y=-2x+7
当正方形 A1B1C1D1在直线y=-2x+7上方时，如图
∵点M(2，t)是此正方形的中心
∴顶点A1(0，t-2)
∵顶点A1(0，t-2)不能在直线y=-2x+7下方，得t-2≥7
解得：t≥9
当正方形 A1B1C1D1在直线y=-2x+7下方时，如图
对于抛物线y=-x2+2x+3
当x=0时，y=3，当x=4时，y=-5
∴直线y=-2x+3恰好经过点(0，3)和点(4，-5)
对于直线y=-2x+3，当x=4时，y=-5
由C1(2，t+2)不能在直线y=-2x+3上方，得t+2≤-5
解得：t≤-7
综上所述，t≤-7或t≥9
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）如图
由图可得，y=-2x与双曲线和正方形OABC只有一个公共点
y=-3x-1与双曲线和正方形OABC没有一个公共点
y=4x-1，y=-2x+3不在双曲线及正方形OABC之间
根据楚河汉界线定义可得，直线y=-2x，y=-3x-1是双曲线与正方形 OABC的“楚河汉界线”
故答案为：①④
【分析】（1）在图1中作出各直线图象，再根据楚河汉界线的定义进行判断即可求出答案.
（2）连接OD，以O为圆心，OD长为半径作圆O，作DG⊥x轴于点G，过点D作圆O的切线DM，则MD⊥OD，根据角之间的关系可得∠OMD=∠DOG，则tan∠OMD=tan∠DOG，根据两点间距离可得DG=1，OG=2，根据正切定义可得，根据勾股定理可得，再根据正切订房一块的MN，再根据勾股定理可得OM，根据点的坐标可得M(0，5)，设直线MD的解析式为y=mx+n，根据待定系数法将点M，D坐标代入解析式即可求出答案.
（3）联立直线，抛物线解析式，根据直线与抛物线有唯一公共点，则二次方程判别式，解方程可得b=0，则此时的楚河汉界线为y=-2x+7，分情况讨论：当正方形 A1B1C1D1在直线y=-2x+7上方时，当正方形 A1B1C1D1在直线y=-2x+7下方时，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
1 / 1广东省中山市迪茵公学2026年中考数学一模试卷
1．如果零上 3℃记作+3℃，那么零下 2℃记作(　　)
A．2℃ B．-2℃ C． D．C
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：零上 3℃记作+3℃，那么零下 2℃记作-2℃
故答案为：B
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，它的满载排水量 67500吨，数据 67500用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：67500用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．下列运算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A：，正确，符合题意；
B：，不能合并，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．如图，几何体是由 3个大小完全一样的正方体组成的，在它的三视图中是中心对称图形的是(　　)
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．左视图和俯视图
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图：
∴三视图中是中心对称图形的是左视图和俯视图
故答案为：D
【分析】根据组合体的三视图，结合中心对称图形定义即可求出答案.
5．如图，在△ABC中， CD、BE分别为 AB、AC边上的中线， BE与 CD相交于点 F，则下列结论一定不正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵ CD、BE分别为 AB、AC边上的中线
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF
∴
∴，，
故答案为：C
【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥BC，，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．已知一组数据：5，15，75，45，25，75，45，35，45，35，那么40是这一组数据的（　　）
A．平均数但不是中位数 B．平均数也是中位数
C．众数 D．中位数但不是平均数
【答案】B
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：45出现了三次是众数，
按从小到大的顺序排列得到第五，六个数分别为35，45，所以中位数为40；
由平均数的公式解得平均数为40；
所以40不但是平均数也是中位数．
故B符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据中位数、众数以及平均数的定义来判断.一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数.将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 .在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.
7．某农机厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为，
则五月份的产量为，六月份的产量为；
根据“第二季度总产量为91万个”，可得方程：
，
故答案为：D。
【分析】本题考查利用一元二次方程解决增长率类实际问题，解题关键是根据月平均增长率，依次表示出各月的产量，再结合季度总产量的等量关系列方程。
8．嘉淇在用描点法画一次函数的图象时列得如表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是(　　)
x …… -2 -1 0 1 2 ……
y …… 12 10 8 6 2 ……
A．(2， 2) B．(1， 6) C．(0， 8) D．(-1， 10)
【答案】A
【知识点】描点法画函数图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据表格数据描点，如图
由图可得，点(2，2)不在一次函数的图象上
故答案为：A
【分析】描点作出函数图象，再根据图象进行判断即可求出答案.
9．如图，正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：如图：
根据题意，涂黑每一个格都会出现一种等可能情况，共出现6种等可能情况，只有4种是轴对称图形，分别标有1，2，3，4；
使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是
故答案为：B
【分析】根据概率公式即可求出答案.
10．定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则c＝
B．如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根
C．如果一元二次方程ax2-2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解
D．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：x2+2x+c＝0的倒方程是cx2+2x+1＝0，将x＝2代入，得c＝ ，故A正确；
∵ac＜0，
∴b2-4ac＞0，
∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故B正确；
∵ax2-2x+c＝0无解，
∴4-4ac＜0，它的倒方程的根的判别式也为4-4ac＜0，
∴它的倒方程也无解，故C正确；
若c＝0，则它的倒方程为一元一次方程，只有一个实数根，故D错误；
故答案为：D.
【分析】x2+2x+c＝0的倒方程是cx2+2x+1＝0，将x＝2代入可得c的值，据此判断A；根据 ac＜0可得 b2-4ac＞0， 据此判断B；由方程无解可得4-4ac＜0，则它的倒方程的根的判别式也为4-4ac＜0，据此判断C； 若c＝0，则它的倒方程为一元一次方程，只有一个实数根，据此判断D.
11．因式分解： 　 　.
【答案】2x2y (2y-x)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
12．如图所示，四边形 ABCD 与四边形 EFGH位似，位似中心为点 O，若 则 　 　.
【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O
∴四边形ABCD∽四边形EFGH
∴
故答案为：
【分析】根据位似图形性质即可求出答案.
13．若抛物线与x轴交于点和点，且可由抛物线平移得到，则该抛物线的函数表达式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线与轴交于点和点，
设抛物线表达式为，
由于抛物线可由平移得到，抛物线平移时二次项系数不变，的二次项系数是，
，
该抛物线的函数表达式为．
故答案为：；
【分析】先根据抛物线与 x 轴的两个交点写出含参数的交点式，再由平移性质确定二次项系数，进而得到抛物线的函数表达式。
14．若式子 有意义，则x应满足的条件是　 　.
【答案】x≠3且
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-3≠0且2x-1≠0
解得：x≠3且
故答案为：x≠3且
【分析】根据分式，0次幂有意义的条件即可求出答案.
15．如图，在边长为 4的正方形 ABCD中，点 E、F分别是 BC、CD的中点，DE、AF交于点 G，AF的中点为 H，连接 BG、DH.给出下列结论：
①AF⊥DE； ②DG= ③HD||BG； ④△ABG∽△DHF.
其中正确的结论有　 　.(请填上所有正确结论的序号)
【答案】①④
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的性质-对应边；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD
∵点 E、F分别是 BC、CD的中点
∴DF=EC=2
∴△ADF≌△DCE
∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC
∵∠EDC+∠DEC=90°
∴∠EDC+∠AFD=90°
∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，①正确
∵
∴
∴，②错误
∵H为AF中点
∴
∴∠HDF=∠HFD
∵AB∥DC
∴∠HDF=∠HFD=∠BAG
∵
∴
∴△ABG∽△DHF，④正确
∴∠ABG=∠DHF
∵AB≠AG
∴∠ABG与∠AGB不相等，故∠AGB≠∠DHF
∴HD与BG不平行，③错误
故答案为：①④
【分析】根据正方形性质可得∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，根据线段中点可得DF=EC=2，根据全等三角形判定定理可得△ADF≌△DCE，则∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，根据角之间的关系可得判断①；根据勾股定理可得AF，根据三角形面积可判断②，根据线段中点可得，则∠HDF=∠HFD，根据直线平行性质可得∠HDF=∠HFD=∠BAG，根据勾股定理可得AG，再根据相似三角形判定定理可判断④，根据相似三角形性质可得∠ABG=∠DHF，根据等腰三角形性质，结合直线平行判定定理可判断③.
16．解方程 (组)：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①×2得 2x+2y=2③，
②-③得， y=-1，
将 y=-1代入①得 x=2，
∴原方程组的解为
（2）解：
去分母得： 5-x-1=x-4，
整理得： - 2x=-8，
解得： x=4.
将 x=4代入 x-4=4-4=0，
∴x=4是原方程的增根，应舍去，
∴原方程无解.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（2）去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
17．在△ABC中，AB=CB， ∠ABC=90°， D为 AB延长线上一点， 点 E在 BC边上且 BE=BD， 连接 AE、DE、DC.已知∠CAE=30°， 求∠BDC的度数.
【答案】解：∵AB=CB，∠ABC=90°
∴∠BAC=45°
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=15°
在△ABE和△CBD中
∴△ABE≌△CBD
∴∠BCD=∠BAE=15°
∴∠BDC=90°-15°=75°
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据等腰直角三角形性质可得∠BAC=45°，根据角之间的关系可得∠BAE=15°，根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CBD，则∠BCD=∠BAE=15°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
18．先化简，再求值： 其中
【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
19．某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A.白开水；B.瓶装矿泉水；C.碳酸饮料；D.非碳酸饮料，根据统计结果绘制如下两幅不完整的统计图.
饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料
价格 (元/瓶) 0 2 3 4
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这个班级饮用碳酸饮料的同学有 ▲ 人，补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品(每种仅限一瓶，价格如表)，则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用碳酸饮料的同学中选出 5名同学(3名男生，2名女生)组成班级的监督员，再由这 5名监督员随机抽签产生 2名监督员，进行当日的执勤工作，请用列表法或画树状图法求当日恰好抽到 2名女监督员的概率.
【答案】（1）解：20
补全图形如下：
（2）解：由题意可得：
(0×10+2×15+3×20+20+4×5)÷50=2.2元
∴该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元
（3）解：列表如下：
　 男1 男2 男3 女1 女2
男1 　 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） 　 （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2）
男3 （男3，男1） （男3，男2） 　 （男3，女1） （男3，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） 　 （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1） 　
∴共有20种等可能的结果，其中，2名女监督员的结果有2种
∴恰好抽到2名女监督员的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）总人数为：15÷30%=50人
∴C饮品的人数为50-10-15-5=20人
故答案为：20
【分析】（1）根据B饮品的人数与占比可得总人数，再求出C饮品的人数，再补全图形即可.
（2）根据加权平均数即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出抽到2名女监督员的结果，再根据概率公式即可求出答案.
20．【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然.
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升.据悉，约 80%的火灾都在充电时发生.某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究.
（1）任务一：调查分析
图 1悬挂的是 8公斤干粉灭火器，图 2为其喷射截面示意图，在△AOB中，OA=OB，喷射角∠AOB=60°，地面有效保护直径 AB为2 米，喷嘴 O距离地面的高度 OC为　 　米；
（2）任务二；模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃.学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头.
如图 3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线.已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形 OABC，创新小组以点 O为坐标原点，墙面 OA所在直线为 y轴，建立如图 4所示的平面直角坐标系.他们查阅资料后，提议消防喷淋头 M安装在离地高度为 3米，距离墙面水平距离为 2米处，即( OA=3米， AM=2米，水喷射到墙面 D处，且OD=1米.
①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头 M的地面有效保护直径 OE为　 　米；
（3）任务三：问题解决
已知充电车棚宽度 OC为 7米，电动车电池的离地高度为 0.2米.创新小组想在喷淋头 M的同一水平线 AB上加装一个喷淋头 N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头 N距离喷淋头 M至少　 　米.
【答案】（1）3
（2）解：①由题意得：点 M (2，3)为抛物线的顶点坐标.∴设抛物线的解析式为：∵经过点(0， 1)解得：∴该水柱外层所在抛物线的函数解析式为：
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：（1）在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形， AB=2
∴
∵OC⊥AB
∴
在Rt△AOC中，
故答案为：4
（2）②令y=0，则
解得：（舍去）
∴OE=
（3）令y=0.2，代入抛物线，则
解得：
∴喷淋头M的覆盖范围为
∵车棚宽度为7m
设喷淋头N的横坐标为m，则其覆盖范围为
要使两个喷淋头覆盖整个车棚[0，7]，需满足：
，且
解第一个不等式可得：
∴喷淋头N距离喷淋头M的最小距离为：
故答案为：
【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得△AOB是等边三角形， AB=2，则，根据等腰三角形三线合一性质可得AC，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①由题意得：点 M (2，3)为抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为：，根据待定系数法将点(0，1)代入解析式即可求出答案；
②将y=0代入解析式，解方程即可求出答案.
（3）将y=0.2代入抛物线解析式可得，设喷淋头N的横坐标为m，则其覆盖范围为，再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
21．已知 BC是⊙O的直径，点 D是 BC延长线上一点， AB=AD， AE是⊙O的弦， ∠AEC=30°.
（1）求证：直线 AD是⊙O的切线；
（2）若 AE⊥BC，垂足为 M， ⊙O的半径为 8，求 AE的长.
【答案】（1）证明：连接 OA，如图所示，
∵∠AEC=30°，
∴∠B=∠AEC=30°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠B=30°.
∴∠AOC=2∠AEC=60°，
∴∠OAD=180°-∠AOC-∠D=180°-60°-30°=90°，
∴AD⊥OA.
∵OA是⊙O的半径，
∴直线 AD是⊙O的切线；
（2）解：由垂径定理可得 AM=EM，
∵∠AEC=30°，
∴∠AOM=2∠AEC=60°，
∴∠OAM=180°-90°-60°=30°，
根据勾股定理得
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠AEC=30°，根据等边对等角可得∠D=∠B=30°，则∠AOC=2∠AEC=60°，根据三角形内角和定理可得∠OAD，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据垂径定理可得AM=EM，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOM=2∠AEC=60°，根据三角形内角和定理可得∠OAM，再根据含30°角的直角三角形可得OM，再根据勾股定理即可求出答案.
22．实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成下侧示意图，已知试管 试管倾斜角为∠ABG为 12 °. (参考数据：
（1）求试管口 B与铁杆 DE的水平距离 BG的长度；
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁 MN，延长 BM交 CN的延长线于点 F，且 MN⊥CF于点 N (点 C， D，N， F在一条直线上) ，经测得： DE=29cm，MN=9cm，∠ABM=147°，求线段 DN的长度.
【答案】（1）解：∵
∴cm
∵
∴BG=9cos12°=8.82cm
（2）解：∵
∴EG=9sin12°
延长GB，NM交于点H，则四边形DNHF是矩形
∴NH=DG=DE-EG=(29-9sin12°)cm，DN=GH
∴HM=NH-MN=(29-9sin12°)cm，∠ABG=12°，∠ABM=147°
∴∠FBG=135°
∴∠MBH=45°
∴∠MBH=∠BMH=45°
∴BH=HM=(29-9sin12°)cm
∴DN=GH=BG+BH
=9cos12°+20-9sin12°
=26.93cm
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得BE，再根据余弦定义即可求出答案.
（2）根据正弦定义可得EG=9sin12°，延长GB，NM交于点H，则四边形DNHF是矩形，根据边之间的关系即可求出答案.
23．中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线，在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点 P (x1，y1)是图形 G1上的任意一点，点 Q (x2， y2)是图形 G2上的任意一点，若存在直线 l： y= kx+b (k≠0)满足 且 则直线 y= kx+b (k≠0)就是图形 G1与 G2的“楚河汉界线”.
例如：如图 1，直线 l： y=-x-4是函数 的图象与正方形 OABC的一条“楚河汉界线”.
（1）在直线①y=-2x，②y=4x-1， ③y=-2x+3， ④y=-3x-1中，是图 1函数 的图象与正方形 OABC的“楚河汉界线”的有　 　(填序号)；
（2）如图 2，第一象限的等腰直角△EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点 D的坐标是(2，1)，△EDF与⊙O的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；
（3）正方形 A1B1C1D1的一边在 y轴上，其他三边都在 y轴的右侧，点 M (2，t)是此正方形的中心，若存在直线 y=-2x+b是函数 的图象与正方形 A1B1C1D1的“楚河汉界线”，求 t的取值范围.
【答案】（1）①④
（2）解：连接OD，以O为圆心，OD长为半径作圆O，作DG⊥x轴于点G，过点D作圆O的切线DM，则MD⊥OD
∵MD⊥x轴，DG⊥x轴
∴∠ODM=∠OGD=90°
∴∠MOD+∠OMD=90°
∵∠MOD+∠DOG=90°
∴∠OMD=∠DOG
∴tan∠OMD=tan∠DOG
∵D的坐标是(2，1)
∴DG=1，OG=2
∴
∵
∴
∴
∴
∴M(0，5)
设直线MD的解析式为y=mx+n，将M(0，5)，D(2，1)代入可得：
，解得：
∴△EDF与⊙O的“楚河汉界线”为y=-2x+5
（3）解：由，得x2-4x+b-3=0
∵直线与抛物线有唯一公共点
∴
解得：b=7
∴此时的楚河汉界线为y=-2x+7
当正方形 A1B1C1D1在直线y=-2x+7上方时，如图
∵点M(2，t)是此正方形的中心
∴顶点A1(0，t-2)
∵顶点A1(0，t-2)不能在直线y=-2x+7下方，得t-2≥7
解得：t≥9
当正方形 A1B1C1D1在直线y=-2x+7下方时，如图
对于抛物线y=-x2+2x+3
当x=0时，y=3，当x=4时，y=-5
∴直线y=-2x+3恰好经过点(0，3)和点(4，-5)
对于直线y=-2x+3，当x=4时，y=-5
由C1(2，t+2)不能在直线y=-2x+3上方，得t+2≤-5
解得：t≤-7
综上所述，t≤-7或t≥9
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）如图
由图可得，y=-2x与双曲线和正方形OABC只有一个公共点
y=-3x-1与双曲线和正方形OABC没有一个公共点
y=4x-1，y=-2x+3不在双曲线及正方形OABC之间
根据楚河汉界线定义可得，直线y=-2x，y=-3x-1是双曲线与正方形 OABC的“楚河汉界线”
故答案为：①④
【分析】（1）在图1中作出各直线图象，再根据楚河汉界线的定义进行判断即可求出答案.
（2）连接OD，以O为圆心，OD长为半径作圆O，作DG⊥x轴于点G，过点D作圆O的切线DM，则MD⊥OD，根据角之间的关系可得∠OMD=∠DOG，则tan∠OMD=tan∠DOG，根据两点间距离可得DG=1，OG=2，根据正切定义可得，根据勾股定理可得，再根据正切订房一块的MN，再根据勾股定理可得OM，根据点的坐标可得M(0，5)，设直线MD的解析式为y=mx+n，根据待定系数法将点M，D坐标代入解析式即可求出答案.
（3）联立直线，抛物线解析式，根据直线与抛物线有唯一公共点，则二次方程判别式，解方程可得b=0，则此时的楚河汉界线为y=-2x+7，分情况讨论：当正方形 A1B1C1D1在直线y=-2x+7上方时，当正方形 A1B1C1D1在直线y=-2x+7下方时，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
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