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广东省广州市黄埔区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】要使在实数范围内有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于0，因此可得不等式：
解此不等式，得：
故答案为：A。
【分析】二次根式在实数范围内有意义时，被开方数必须为非负数，据此列出不等式并求解，即可得到的取值范围。
2．的三边长分别为a，b，c，当满足下列条件时，是直角三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、三边为3、4、5，最长边为5 ，，，，，即，故是直角三角形；
B、三边为5、12、14，最长边为14，，，，，，即， 不是直角三角形；
C、三边为3、3、5，最长边为5，，，，，即， 不是直角三角形；
D、三边为6、8、7，最长边为8，，，，，，即，不是直角三角形；
故选：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理，对选项逐个判断求解即可．
3．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
4．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（　　）．
A．当x=1时，y=5
B．它的图象是一条经过原点的直线
C．y随x的增大而增大
D．它的图象经过第一、三象限
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】根据正比例函数图象的性质即可进行解答．
【解答】A、当x=1时，y=-5，错误；
B、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，正确；
C、根据k＜0，得图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，错误；
D、图象经过二四象限，错误；
故选B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．要判断一点是否在直线上，只需把点的坐标代入，看是否满足解析式．
5．某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选取一人参加跳远比赛，经过多次测试，他们的平均成绩都是5.81m，方差分别是，，，，你认为最适合参加的运动员是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：四位同学的平均成绩均为5.81米，说明他们的平均水平相同；此时需比较方差以判断成绩的稳定性．方差越小，数据波动越小，成绩越稳定；题目中，丙的方差为0.9，是四人中最小的，因此最适合参加比赛．
故选：C．
【分析】根据方差的含义，方差大小反映数据的离散程度，方差小说明更稳定，即可求解．
6．若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】∵，，
∴y随x的增大而增大．
∵一次函数的图象经过点，且，
∴．
故选A．
【分析】根据一次函数的性质，，得到y随x的增大而增大，再根据题意即可求解．
7．下列命题的逆命题错误的是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．对顶角相等
C．直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方
D．平行四边形的对角线互相平分
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：选项A：逆命题为“同位角相等，两直线平行”，根据平行线判定定理，逆命题正确．
选项B：逆命题为“相等的角是对顶角”，反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，逆命题错误．
选项C：逆命题为“若三角形两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形”，此为勾股定理的逆定理，逆命题正确．
选项D：逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，根据平行四边形判定定理，逆命题正确．
故选：B．
【分析】先写出每个选项中命题的逆命题，再根据平行线的判定，对顶角，勾股定理以及平行四边形的判定逐个判断即可．
8．函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵当时，，
所以关于x的不等式的解集为．
故选：A．
【分析】观察函数图象可以得到，当时，直线在直线的上方，即可求解不等式的解集，即可求解．
9．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A． B． C．b D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得，
则，
，
故选：D．
【分析】根据数轴可以得到，得到，再根据二次根式的性质化简二次根式即可求解．
10．如图，正方形的面积为4．是等腰直角三角形， ，点F在线段的延长线上，则的长度为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的实际应用；全等图形的概念；三角形全等的判定；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点E作，交的延长线于点H，如图所示：
∴，
∵正方形的面积为4，
∴，
∵点F在线段的延长线上，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：
在中，，
由勾股定理得：．
故选：C．
【分析】过点E作，交的延长线于点H，由正方形的面积为4可以得到，证明，根据AAS可以得到，进而得到，根据勾股定理可以得到，则，再由勾股定理求解即可．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
又BC=12，
∴，
故答案为：6．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
13．若一个三角形的边长分别为和，则它的周长为　 　 ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由题意，三角形的边长分别为，和，
它的周长
．
故答案为：．
【分析】根据题意可得，三角形的周长，根据二次根式的性质，化简求解即可．
14．如图，菱形中，对角线，，，则　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，，，根据勾股定理可得CD，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
15．如图四边形中，，，，则四边形的面积是 　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积
．
故答案为：．
【分析】连接，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，根据勾股定理可得BD，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，再根据四边形的面积，结合三角形面积即可求出答案.
16．如图，矩形中，，E为线段延长线上一点，且，对角线，相交于点O，过O点作于点G，连接交于点F，连接．则下列结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形．其中正确的结论有 　 　 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【知识点】勾股定理；矩形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①在矩形中，，，，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，故结论①正确；
②∵，，
∴，故结论②不正确；
③当时，则，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，故结论③正确；
④当时，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故结论④正确，
综上所述：正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
【分析】①由题意可以得到是的中位线，由中位线的性质可得，，从而得到，通过AAS可以得到，即可判断；②根据，得，即可判断；③根据，即，再根据可以得到垂直平分线段，据线段垂直平分线的性质即可判断；④当时，根据，由勾股定理得，则，进而得，再由勾股定理得求出得，进而得，即可判断．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用完全平方公式，对二次根式进行化简求解即可．
18．如图，矩形的两条对角线，相交于点，，，求的长．
【答案】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】在矩形 矩形中可得，，由勾股定理可以得到，即可求解．
19．已知中，，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点E，交于点D；
（2）求长．
【答案】（1）解：如图所示：直线即为线段的垂直平分线，点即为所求；
（2）解：连接，如图所示：
为线段的垂直平分线，
，
设，则，
，，
，
即，
解得：，
即的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据题意，利用线段垂直平分线的作法作出先点AC的垂直平分线即可；
（2）连接，由题意可得，设，则，根据勾股定理可得，求解即可．
（1）解：如图所示：直线即为线段的垂直平分线，点即为所求；
（2）解：连接，如图所示：
为线段的垂直平分线，
，
设，则，
，，
，
即，
解得：，
即的长为．
20．已知直线和直线相交于点P，直线，分别与x轴相交于点A，B．
（1）求点P的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：由题意，，
解得，
；
（2）解：在，令，则，
，
在，令，则，
，
，
，
．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）联立直线，得到方程组，求解方程组，即可求解；
（2）根据题意，先分别求出A、B的坐标，再根据三角形面积公式求解即可．
（1）解：由题意，，解得，
；
（2）解：在，令，则，
，
在，令，则，
，
，
，
．
21．某校为了解学生一周智慧阅读情况，随机采访20名学生，这20名学生一周智慧阅读时长如表：
时间/时 5 4 3 2
人数/个 2 8 a 4
（1）根据以上表格填空： ，这20名学生一周智慧阅读时长的众数是 ；中位数是 ；
（2）计算这20名学生一周智慧阅读时长的平均数；
（3）如果这个学校一共有1800个学生，请根据统计的数据，估计该校学生一周智慧阅读时长不少于4小时的人数．
【答案】（1）6，4时，3.5时
（2）解：这20名学生一周智慧阅读时长的平均数为（时）；
（3）解：（人），
答：估计该校学生一周智慧阅读时长不少于4小时的人数约为900人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
这20名学生一周智慧阅读时长的众数是4时，中位数是（时），
故答案为：6，4时，3.5时．
【分析】（1）根据总人数以及各个时间的人数，即可求得a的值，根据众数和中位数的定义，求解即可；
（2）根据平均数的计算公式求解即可；
（3）利用总人数乘以样本中4时和5时人数和所占百分比，即可求解．
（1），
这20名学生一周智慧阅读时长的众数是4时，中位数是（时），
故答案为：6，4时，3.5时．
（2）解：这20名学生一周智慧阅读时长的平均数为（时）；
（3）解：（人），
答：估计该校学生一周智慧阅读时长不少于4小时的人数约为900人．
22．如图，两张矩形纸片交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．过点A分别作于点E，于点F，且．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，连接，求的长．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵纸片是矩形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴的面积，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴．

【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先根据题意，判断出四边形是平行四边形，利用等积法求得，从而判定四边形是菱形；
（2）根据题意可得，是等边三角形，然后根据含角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可以得到，即可求解．
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵纸片是矩形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴的面积，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
23．某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租一本书．使用租书卡，租书金额y1（单位：元）与租书时间x（单位：天）之间的关系式为y1＝0.5x；使用会员卡，租书金额y2（单位：元）与租书时间x（单位：天）之间的关系如图所示：
（1）用租书卡每天租书的费用为 元；
（2）求出y2关于x的函数解析式；
（3）如何选取租书方式更划算？
【答案】（1）0.5
（2）解：使用会员卡每天租书的费用为（45﹣30）÷60＝0.25（元），
则y2＝0.25x+30，
∴y2关于x的函数解析式为y2＝0.25x+30．
（3）解：当y1＜y2时，得0.5x＜0.25x+30，解得x＜120，
当y1＝y2时，得0.5x＝0.25x+30，解得x＝120，
当y1＞y2时，得0.5x＞0.25x+30，解得x＞120，
∴当租书时间不足120天时，选用租书卡方式租书更划算；当租书时间正好为120天时，两种租书方式租书金额相同，任选一种即可；当租书时间超过120天时，选用会员卡方式租书更划算．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，用租书卡每天租书的费用为0.5元．
故答案为：0.5．
【分析】（1）根据关系式 y1＝0.5x，直接求解即可；
（2）先根据图象得到每天租书的费用，再根据题意，写出y2关于x的函数解析式即可；
（3）根据y1、y2的关系式，得到y1、y2的大小关系，以及对应x的取值范围，即可求解．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，且，过点A的直线交边于点P．
（1）求点A，点P的坐标；
（2）已知点D在x轴上，且为等腰直角三角形，求出点D坐标；
（3）如图2，在x轴上另有一点G的坐标为，请在直线和y轴上分别找一点M、N，使的周长最小，并求出此时点M的坐标和周长的最小值．
【答案】（1）解：令，解得，
∴直线与x轴的交点，
∵四边形是矩形，矩形的边在x轴上，且，
∴，
∴点P的纵坐标为，
令时，解得：，
∴；
则
（2）解：∵，
∴，
∴，
当时，则为等腰直角三角形，
此时，D点与A点关于直线对称，
∴，
当时，则为等腰直角三角形，
此时，；
综上所述：D点坐标为或；
（3）解：作G点关于y轴的对称点E，则，作G点关于直线的对称点F，
∵，
∴，
∴F点在上，
∴，
∵，
∴当E、N、M、F四点共线时，的周长有最小值，
∴，
∴周长的最小值为，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴．
则，周长的最小值为
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）令，解得，可以得到点A的坐标，根据题意可得，从而得到点P的纵坐标为，令求解即可；
（2）根据题意可得，，然后分两种情况，和，分别求解即可；
（3）作G点关于y轴的对称点E，则，作G点关于直线的对称点F，可以得到，得到当E、N、M、F四点共线时，的周长最小，为；再求出直线的解析式为，联立，即可解答．
（1）解：令，解得，
∴直线与x轴的交点，
∵四边形是矩形，矩形的边在x轴上，且，
∴，
∴点P的纵坐标为，
令时，解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
当时，则为等腰直角三角形，
此时，D点与A点关于直线对称，
∴，
当时，则为等腰直角三角形，
此时，；
综上所述：D点坐标为或；
（3）解：作G点关于y轴的对称点E，则，作G点关于直线的对称点F，
∵，
∴，
∴F点在上，
∴，
∵，
∴当E、N、M、F四点共线时，的周长有最小值，
∴，
∴周长的最小值为，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴．
25．在正方形中，点E，G分别为边，上一点，且，连接AE，过点E作，交正方形外角的平分线于点F．
（1）如图1，连接．求证：；
（2）如图2，连接交于点P，求证：P为的中点；
（3）试探究，，的数量关系并证明．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵是得平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图1，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴P为的中点；
（3）解：，理由如下：
连接，作，交于H，如图2，
∴，
由（1）（2）知，
，点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据正方形ABCD可得，，根据角平分线的定义和三角形外角的定义等得到，，利用ASA可以得到，即可求证；
（2）连接，，根据正方形ABCD可得，，，再根据可以通过SAS得到，得到，利用等腰三角形的性质可得，从而得到，得到，，从而，从而得出，进而得到，即可求证；
（3）连接，作，交于H，根据题意可以得到是等腰直角三角形，得到，从而，再通过SAS证明，得到，即可求解．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵是得平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图1，
连接，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴P为的中点；
（3）如图2，
，理由如下：
连接，作，交于H，
∴，
由（1）（2）知，
，点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1广东省广州市黄埔区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
2．的三边长分别为a，b，c，当满足下列条件时，是直角三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（　　）．
A．当x=1时，y=5
B．它的图象是一条经过原点的直线
C．y随x的增大而增大
D．它的图象经过第一、三象限
5．某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选取一人参加跳远比赛，经过多次测试，他们的平均成绩都是5.81m，方差分别是，，，，你认为最适合参加的运动员是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．下列命题的逆命题错误的是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．对顶角相等
C．直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方
D．平行四边形的对角线互相平分
8．函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
9．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A． B． C．b D．
10．如图，正方形的面积为4．是等腰直角三角形， ，点F在线段的延长线上，则的长度为（　　）
A．5 B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．　 　．
12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为　 　．
13．若一个三角形的边长分别为和，则它的周长为　 　 ．
14．如图，菱形中，对角线，，，则　 　．
15．如图四边形中，，，，则四边形的面积是 　 　．
16．如图，矩形中，，E为线段延长线上一点，且，对角线，相交于点O，过O点作于点G，连接交于点F，连接．则下列结论：①；②；③当时，；④当时，是等腰三角形．其中正确的结论有 　 　 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
18．如图，矩形的两条对角线，相交于点，，，求的长．
19．已知中，，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点E，交于点D；
（2）求长．
20．已知直线和直线相交于点P，直线，分别与x轴相交于点A，B．
（1）求点P的坐标；
（2）求的面积．
21．某校为了解学生一周智慧阅读情况，随机采访20名学生，这20名学生一周智慧阅读时长如表：
时间/时 5 4 3 2
人数/个 2 8 a 4
（1）根据以上表格填空： ，这20名学生一周智慧阅读时长的众数是 ；中位数是 ；
（2）计算这20名学生一周智慧阅读时长的平均数；
（3）如果这个学校一共有1800个学生，请根据统计的数据，估计该校学生一周智慧阅读时长不少于4小时的人数．
22．如图，两张矩形纸片交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．过点A分别作于点E，于点F，且．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，连接，求的长．
23．某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租一本书．使用租书卡，租书金额y1（单位：元）与租书时间x（单位：天）之间的关系式为y1＝0.5x；使用会员卡，租书金额y2（单位：元）与租书时间x（单位：天）之间的关系如图所示：
（1）用租书卡每天租书的费用为 元；
（2）求出y2关于x的函数解析式；
（3）如何选取租书方式更划算？
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，且，过点A的直线交边于点P．
（1）求点A，点P的坐标；
（2）已知点D在x轴上，且为等腰直角三角形，求出点D坐标；
（3）如图2，在x轴上另有一点G的坐标为，请在直线和y轴上分别找一点M、N，使的周长最小，并求出此时点M的坐标和周长的最小值．
25．在正方形中，点E，G分别为边，上一点，且，连接AE，过点E作，交正方形外角的平分线于点F．
（1）如图1，连接．求证：；
（2）如图2，连接交于点P，求证：P为的中点；
（3）试探究，，的数量关系并证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】要使在实数范围内有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于0，因此可得不等式：
解此不等式，得：
故答案为：A。
【分析】二次根式在实数范围内有意义时，被开方数必须为非负数，据此列出不等式并求解，即可得到的取值范围。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、三边为3、4、5，最长边为5 ，，，，，即，故是直角三角形；
B、三边为5、12、14，最长边为14，，，，，，即， 不是直角三角形；
C、三边为3、3、5，最长边为5，，，，，即， 不是直角三角形；
D、三边为6、8、7，最长边为8，，，，，，即，不是直角三角形；
故选：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理，对选项逐个判断求解即可．
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】根据正比例函数图象的性质即可进行解答．
【解答】A、当x=1时，y=-5，错误；
B、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，正确；
C、根据k＜0，得图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，错误；
D、图象经过二四象限，错误；
故选B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．要判断一点是否在直线上，只需把点的坐标代入，看是否满足解析式．
5．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：四位同学的平均成绩均为5.81米，说明他们的平均水平相同；此时需比较方差以判断成绩的稳定性．方差越小，数据波动越小，成绩越稳定；题目中，丙的方差为0.9，是四人中最小的，因此最适合参加比赛．
故选：C．
【分析】根据方差的含义，方差大小反映数据的离散程度，方差小说明更稳定，即可求解．
6．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】∵，，
∴y随x的增大而增大．
∵一次函数的图象经过点，且，
∴．
故选A．
【分析】根据一次函数的性质，，得到y随x的增大而增大，再根据题意即可求解．
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：选项A：逆命题为“同位角相等，两直线平行”，根据平行线判定定理，逆命题正确．
选项B：逆命题为“相等的角是对顶角”，反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，逆命题错误．
选项C：逆命题为“若三角形两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形”，此为勾股定理的逆定理，逆命题正确．
选项D：逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，根据平行四边形判定定理，逆命题正确．
故选：B．
【分析】先写出每个选项中命题的逆命题，再根据平行线的判定，对顶角，勾股定理以及平行四边形的判定逐个判断即可．
8．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵当时，，
所以关于x的不等式的解集为．
故选：A．
【分析】观察函数图象可以得到，当时，直线在直线的上方，即可求解不等式的解集，即可求解．
9．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得，
则，
，
故选：D．
【分析】根据数轴可以得到，得到，再根据二次根式的性质化简二次根式即可求解．
10．【答案】C
【知识点】二次根式的实际应用；全等图形的概念；三角形全等的判定；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点E作，交的延长线于点H，如图所示：
∴，
∵正方形的面积为4，
∴，
∵点F在线段的延长线上，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：
在中，，
由勾股定理得：．
故选：C．
【分析】过点E作，交的延长线于点H，由正方形的面积为4可以得到，证明，根据AAS可以得到，进而得到，根据勾股定理可以得到，则，再由勾股定理求解即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
12．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
又BC=12，
∴，
故答案为：6．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：由题意，三角形的边长分别为，和，
它的周长
．
故答案为：．
【分析】根据题意可得，三角形的周长，根据二次根式的性质，化简求解即可．
14．【答案】
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据菱形性质可得，，，根据勾股定理可得CD，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积
．
故答案为：．
【分析】连接，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，根据勾股定理可得BD，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，再根据四边形的面积，结合三角形面积即可求出答案.
16．【答案】①③④
【知识点】勾股定理；矩形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①在矩形中，，，，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，故结论①正确；
②∵，，
∴，故结论②不正确；
③当时，则，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，故结论③正确；
④当时，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故结论④正确，
综上所述：正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
【分析】①由题意可以得到是的中位线，由中位线的性质可得，，从而得到，通过AAS可以得到，即可判断；②根据，得，即可判断；③根据，即，再根据可以得到垂直平分线段，据线段垂直平分线的性质即可判断；④当时，根据，由勾股定理得，则，进而得，再由勾股定理得求出得，进而得，即可判断．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用完全平方公式，对二次根式进行化简求解即可．
18．【答案】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】在矩形 矩形中可得，，由勾股定理可以得到，即可求解．
19．【答案】（1）解：如图所示：直线即为线段的垂直平分线，点即为所求；
（2）解：连接，如图所示：
为线段的垂直平分线，
，
设，则，
，，
，
即，
解得：，
即的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据题意，利用线段垂直平分线的作法作出先点AC的垂直平分线即可；
（2）连接，由题意可得，设，则，根据勾股定理可得，求解即可．
（1）解：如图所示：直线即为线段的垂直平分线，点即为所求；
（2）解：连接，如图所示：
为线段的垂直平分线，
，
设，则，
，，
，
即，
解得：，
即的长为．
20．【答案】（1）解：由题意，，
解得，
；
（2）解：在，令，则，
，
在，令，则，
，
，
，
．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）联立直线，得到方程组，求解方程组，即可求解；
（2）根据题意，先分别求出A、B的坐标，再根据三角形面积公式求解即可．
（1）解：由题意，，解得，
；
（2）解：在，令，则，
，
在，令，则，
，
，
，
．
21．【答案】（1）6，4时，3.5时
（2）解：这20名学生一周智慧阅读时长的平均数为（时）；
（3）解：（人），
答：估计该校学生一周智慧阅读时长不少于4小时的人数约为900人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
这20名学生一周智慧阅读时长的众数是4时，中位数是（时），
故答案为：6，4时，3.5时．
【分析】（1）根据总人数以及各个时间的人数，即可求得a的值，根据众数和中位数的定义，求解即可；
（2）根据平均数的计算公式求解即可；
（3）利用总人数乘以样本中4时和5时人数和所占百分比，即可求解．
（1），
这20名学生一周智慧阅读时长的众数是4时，中位数是（时），
故答案为：6，4时，3.5时．
（2）解：这20名学生一周智慧阅读时长的平均数为（时）；
（3）解：（人），
答：估计该校学生一周智慧阅读时长不少于4小时的人数约为900人．
22．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵纸片是矩形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴的面积，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴．

【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先根据题意，判断出四边形是平行四边形，利用等积法求得，从而判定四边形是菱形；
（2）根据题意可得，是等边三角形，然后根据含角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可以得到，即可求解．
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵纸片是矩形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴的面积，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
23．【答案】（1）0.5
（2）解：使用会员卡每天租书的费用为（45﹣30）÷60＝0.25（元），
则y2＝0.25x+30，
∴y2关于x的函数解析式为y2＝0.25x+30．
（3）解：当y1＜y2时，得0.5x＜0.25x+30，解得x＜120，
当y1＝y2时，得0.5x＝0.25x+30，解得x＝120，
当y1＞y2时，得0.5x＞0.25x+30，解得x＞120，
∴当租书时间不足120天时，选用租书卡方式租书更划算；当租书时间正好为120天时，两种租书方式租书金额相同，任选一种即可；当租书时间超过120天时，选用会员卡方式租书更划算．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，用租书卡每天租书的费用为0.5元．
故答案为：0.5．
【分析】（1）根据关系式 y1＝0.5x，直接求解即可；
（2）先根据图象得到每天租书的费用，再根据题意，写出y2关于x的函数解析式即可；
（3）根据y1、y2的关系式，得到y1、y2的大小关系，以及对应x的取值范围，即可求解．
24．【答案】（1）解：令，解得，
∴直线与x轴的交点，
∵四边形是矩形，矩形的边在x轴上，且，
∴，
∴点P的纵坐标为，
令时，解得：，
∴；
则
（2）解：∵，
∴，
∴，
当时，则为等腰直角三角形，
此时，D点与A点关于直线对称，
∴，
当时，则为等腰直角三角形，
此时，；
综上所述：D点坐标为或；
（3）解：作G点关于y轴的对称点E，则，作G点关于直线的对称点F，
∵，
∴，
∴F点在上，
∴，
∵，
∴当E、N、M、F四点共线时，的周长有最小值，
∴，
∴周长的最小值为，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴．
则，周长的最小值为
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）令，解得，可以得到点A的坐标，根据题意可得，从而得到点P的纵坐标为，令求解即可；
（2）根据题意可得，，然后分两种情况，和，分别求解即可；
（3）作G点关于y轴的对称点E，则，作G点关于直线的对称点F，可以得到，得到当E、N、M、F四点共线时，的周长最小，为；再求出直线的解析式为，联立，即可解答．
（1）解：令，解得，
∴直线与x轴的交点，
∵四边形是矩形，矩形的边在x轴上，且，
∴，
∴点P的纵坐标为，
令时，解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
当时，则为等腰直角三角形，
此时，D点与A点关于直线对称，
∴，
当时，则为等腰直角三角形，
此时，；
综上所述：D点坐标为或；
（3）解：作G点关于y轴的对称点E，则，作G点关于直线的对称点F，
∵，
∴，
∴F点在上，
∴，
∵，
∴当E、N、M、F四点共线时，的周长有最小值，
∴，
∴周长的最小值为，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴．
25．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵是得平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图1，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴P为的中点；
（3）解：，理由如下：
连接，作，交于H，如图2，
∴，
由（1）（2）知，
，点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据正方形ABCD可得，，根据角平分线的定义和三角形外角的定义等得到，，利用ASA可以得到，即可求证；
（2）连接，，根据正方形ABCD可得，，，再根据可以通过SAS得到，得到，利用等腰三角形的性质可得，从而得到，得到，，从而，从而得出，进而得到，即可求证；
（3）连接，作，交于H，根据题意可以得到是等腰直角三角形，得到，从而，再通过SAS证明，得到，即可求解．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵是得平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图1，
连接，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴P为的中点；
（3）如图2，
，理由如下：
连接，作，交于H，
∴，
由（1）（2）知，
，点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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