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江苏省镇江市2024-2025学年高三下学期5月模拟数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，
故答案为：C.
【分析】解分式不等式得到集合，解三角方程得到集合，再由集合的并集、补集运算求解.
2．已知向量、满足，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，
可得，
又因为，所以，即与的夹角为.
故答案为：A.
【分析】本题考查平面向量数量积的运算与夹角求解，核心是利用数量积的分配律展开已知等式，结合数量积的定义式求出夹角的余弦值，再根据夹角范围确定夹角大小。
3．在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（　　）
A． B． C． D．7
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，
它的展开式共计有项，，
故二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得在的展开式中的系数为，
故答案为：A．
【分析】本题考查二项式系数的性质与通项公式的应用，核心是先根据二项式系数的最值确定n的值，再利用通项公式求出x6的系数。
4．记等差数列的前项和为，则（　　）
A．120 B．140 C．160 D．180
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由题意可得： ，可得，
所以 .
故答案为：C.
【分析】根据等差数列性质结合求和公式运算求解.
5．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵，∴，
∵，∴，
，，
，
故答案为：D．
【分析】本题考查三角恒等变换的应用，核心是利用两角差的正弦公式、切化弦公式，结合已知条件求出sinα cosβ和cosα sinβ，再代入两角和的正弦公式求解。
6．2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（　　）
A．12 B．9 C．6 D．15
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从6所大学中任取4所，有种，其中甲乙两所学校同时被取到，有种，
所以该考生报名的可能情况种数是.
故答案为：B
【分析】本题考查组合计数的排除法应用，核心是先求无限制条件的总选法，再减去不符合 “甲、乙至多报一所” 的情况（即甲乙同时被选的情况），得到符合条件的选法数。
7．已知及其导函数的定义域均为，且不是常函数，则命题“是周期函数”是“是周期函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的周期性；导数的四则运算
【解析】【解答】解：若是周期函数，设周期为，则，
两边求导，有：，所以也是周期为的周期函数；
若为周期函数，但不一定为周期函数，
例如，，不具有周期性，而，周期为，
所以“是周期函数”是“是周期函数”的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】本题考查充分条件与必要条件的判定，核心是通过求导验证充分性，结合具体函数举例说明必要性不成立，进而确定条件关系。
8．已知为抛物线的切线，且交圆于两点，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：设切点为，所以，
所以直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，
令，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以，
故答案为：B.
【分析】本题考查抛物线的切线方程、圆的弦长公式与基本不等式求最值，核心是先求抛物线切线方程，再利用圆的弦长公式将∣AB∣表示为关于切点横坐标的函数，最后通过基本不等式求最大值。
二、多选题
9．有两组数据，数据A：1，3，5，7，9和数据B：1，2，4，8，16，则（　　）
A．数据A的平均数小于数据B的平均数
B．数据A的方差小于数据B的方差
C．数据A的极差小于数据B的极差
D．数据A的中位数小于数据B的中位数
【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设数据A：1，3，5，7，9的平均数，方差，极差，中位数依次为，
数据B：1，2，4，8，16的平均数，方差，极差，中位数依次为.
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】依次算出两组数据的平均数，方差，极差，中位数，再结合比较法找出正确的选项.
10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（　　）
A．
B．
C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D．当时，的面积为
【答案】A,B,C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为是抛物线的焦点，
所以，即得，故A正确；
设在上，所以，
所以，故B正确；
因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，
所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，故C正确；
当时，
，且，，
所以，则或（舍），
所以的面积为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据焦点坐标求出的值，则判断出选项A；根据抛物线定义判断出选项B和选项C；利用已知条件联立方程组，从而求出点的坐标，再利用三角形的面积公式得出当时，的面积，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：正数x，y，z满足，设，
则，，．
对于A，，故A正确；
对于B，，，，
∵，∴，
∵，∴，∴，故B错误；
对于C，由（），两边平方，可得，故C正确；
对于D，由，可得（），故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】设，则，，，利用对数的运算性质可判断A；分别求、，结合换底公式比较大小即可判断B；利用A中，结合基本不等式即可判断C；根据即可判断D.
三、填空题
12．若，则　 　.
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由于，所以.
故答案为：.
【分析】本题考查复数的运算，核心是先求出复数的共轭复数，计算的值，再代入分式进行复数的除法运算。
13．已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是　 　，圆锥的表面积与球的表面积的比值是　 　．
【答案】；
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，球的半径为，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，母线，
由题可知：，所以球的半径
所以圆锥的体积为，
球的体积，
所以；
圆锥的表面积，
球的表面积，
所以，
故答案为：；.
【分析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，根据题意可得，再计算出体积和表面积即可求解.
14．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为　 　.
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：掷骰子一共4次，基本事件共种情况，
其中，得两分平局两人抛出的都是，共有1种；
得三分平局两人均有两种情况，两人共种，
以此类推，甲、乙平局一共有种情况，
其余甲、乙获胜机会均等，各575种情况，所以甲获胜的概率为．
故答案为：
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是先确定总基本事件数，再计算平局的事件数，利用 “甲、乙获胜机会均等” 的对称性求出甲获胜的事件数，最终代入概率公式求解。
四、解答题
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求．
（2）若，求的周长．
【答案】（1）解：因为，所以，即，即，
又因为，所以，故，解得.
（2）解：因为，所以由正弦定理可得：，
又因为，所以，所以，解得，
由（1）可得：，
则，
由正弦定理，可得，解得，
故的周长为.

【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用辅助角公式化简原式可得，求解A即可；
（2）由题意，根据正弦定理化边为角求，再根据正弦定理算出，从而即可求的周长.
16．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得，
当时，，在时为减函数；
当时，，在时为增函数，
所以的极小值为，无极大值.
（2）解：不等式，
令函数，求导得，
函数在上单调递减，且，由，解得，
所以原不等式的解集为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) 先求函数的定义域和导数，分析导数的符号确定函数的单调性，进而找到极值点并求出极值。
(2) 将不等式移项构造新函数，求导分析的单调性，结合求解不等式的解集。
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，在时为减函数；
当时，，在时为增函数，
所以的极小值为，无极大值.
（2）不等式，
令函数，求导得，
函数在上单调递减，且，由，解得，
所以原不等式的解集为．
17．如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接，
因为底面是边长为2的正方形，所以，
又因为，，
所以，所以，
点为线段中点，所以，
在中，，，
所以，
则，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）解：【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示，
则，
则，
，
设面的法向量为，面的法向量为，
则，取，则
取，则.
设二面角大小为，
则，
所以二面角的正弦值为.
【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题设得，，，，
，，
，，．
设是平面的法向量，
则，即，可取．
设是平面的法向量，
则，即，可取．
所以．
因此二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据题意，先证明，得到，再证，然后利用线面垂直的判定证明即可；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面 和平面的法向量，再利用向量法求二面角的正弦值即可.
（1）连接，
因为底面是边长为2的正方形，所以，
又因为，，
所以，所以，
点为线段中点，所以，
在中，，，
所以，
则，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示，
则，
则，
，
设面的法向量为，面的法向量为，
则，取，则
取，则.
设二面角大小为，
则，
所以二面角的正弦值为.
【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题设得，，，，
，，
，，．
设是平面的法向量，
则，即，可取．
设是平面的法向量，
则，即，可取．
所以．
因此二面角的正弦值为．
18．抛物线与的焦点分别为，为的一个交点，且．
（1）求的值；
（2）是上的两点，若四边形（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积．
【答案】（1）解：抛物线，准线方程为，
所以，解得，所以，
因为点在抛物线上，所以，
又，所以，
将代入抛物线，可得，
所以，，.
（2）解：由（1）可知，设中点为，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
设，所以，
因为在抛物线上，所以，所以，
即，
所以，所以，且直线过点，
所以，即，
联立消y整理得
所以，
所以，
而到距离，
所以．
【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由结合抛物线焦半径公式可得，进而求得抛物线C2方程，再将点坐标代入抛物线可得，即可求得点A坐标，再将A坐标代入抛物线可得；
（2）由(1)即可求得F1，F2，进而可求得中点M，借助平行四边形性质可得中点坐标，再借助点差法计算可得，从而可得方程，再联立方程与方程，消去可得与横坐标有关一元二次方程，即可借助韦达定理、弦长公式可求得|PQ|，再借助点到直线的公式即可求得到距离，进而根据平行四边形的面积公式计算即可求得平行四边形的面积.
（1）抛物线，准线方程为，
，所以，所以，
因为点在抛物线上，所以，
又，所以，
将代入抛物线，可得，
故，，；
（2）由（1）可知，设中点为，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
设，所以，
因为在抛物线上，所以，则，
即，
所以，所以，且直线过点，
所以，即，
联立，
所以，
所以，
到距离，
所以．
19．已知一个袋子中有x个红球，y个黑球，，这些球除颜色外完全相同.
（1）当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束.
①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率；
②若规定甲乙摸球次数的总和达到时也停止比赛，设随机变量X为比赛结束时的摸球次数，写出随机变量X的分布列，并求.
（2）将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是X的数学期望，求证：当时，.
【答案】（1）①解：设事件为第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球，
则.
答：第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率为.
②解：由题意知的可能取值为，，
则，，，
，.
其概率分布如下：
2 4 6
所以，
设，
，
所以，
所以，
所以
（2）证明：由题意知的可能取值为，，
则，，，
则其概率分布如下：
，
因为，
所以
，
又因为所以.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】(1) ①结合独立重复试验的概率公式，分析第6次摸球结束比赛且甲乙共摸到3次红球的事件构成，利用组合数和分步乘法计数原理计算概率。
②先确定随机变量的可能取值，分析每个取值对应的概率，列出分布列，再利用等比数列求和公式计算数学期望。
(2) 先写出随机变量的可能取值及对应的概率，计算数学期望的表达式，再通过放缩法结合的条件证明不等式。
（1）①设事件为第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球，
则.
答：第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率为.
②由题意知的可能取值为，，
则，，，
，.
其概率分布如下：
2 4 6
所以，
设，
，
所以，
所以，
所以
（2）由题意知的可能取值为，，
则，，，
则其概率分布如下：
，
因为，
所以
，
又因为所以.
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一、单选题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量、满足，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
3．在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是（　　）
A． B． C． D．7
4．记等差数列的前项和为，则（　　）
A．120 B．140 C．160 D．180
5．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
6．2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（　　）
A．12 B．9 C．6 D．15
7．已知及其导函数的定义域均为，且不是常函数，则命题“是周期函数”是“是周期函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知为抛物线的切线，且交圆于两点，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．4
二、多选题
9．有两组数据，数据A：1，3，5，7，9和数据B：1，2，4，8，16，则（　　）
A．数据A的平均数小于数据B的平均数
B．数据A的方差小于数据B的方差
C．数据A的极差小于数据B的极差
D．数据A的中位数小于数据B的中位数
10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（　　）
A．
B．
C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D．当时，的面积为
11．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
12．若，则　 　.
13．已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值是　 　，圆锥的表面积与球的表面积的比值是　 　．
14．甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为　 　.
四、解答题
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求．
（2）若，求的周长．
16．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求不等式的解集．
17．如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
18．抛物线与的焦点分别为，为的一个交点，且．
（1）求的值；
（2）是上的两点，若四边形（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积．
19．已知一个袋子中有x个红球，y个黑球，，这些球除颜色外完全相同.
（1）当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束.
①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率；
②若规定甲乙摸球次数的总和达到时也停止比赛，设随机变量X为比赛结束时的摸球次数，写出随机变量X的分布列，并求.
（2）将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是X的数学期望，求证：当时，.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，
故答案为：C.
【分析】解分式不等式得到集合，解三角方程得到集合，再由集合的并集、补集运算求解.
2．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，
可得，
又因为，所以，即与的夹角为.
故答案为：A.
【分析】本题考查平面向量数量积的运算与夹角求解，核心是利用数量积的分配律展开已知等式，结合数量积的定义式求出夹角的余弦值，再根据夹角范围确定夹角大小。
3．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，
它的展开式共计有项，，
故二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得在的展开式中的系数为，
故答案为：A．
【分析】本题考查二项式系数的性质与通项公式的应用，核心是先根据二项式系数的最值确定n的值，再利用通项公式求出x6的系数。
4．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】由题意可得： ，可得，
所以 .
故答案为：C.
【分析】根据等差数列性质结合求和公式运算求解.
5．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：∵，∴，
∵，∴，
，，
，
故答案为：D．
【分析】本题考查三角恒等变换的应用，核心是利用两角差的正弦公式、切化弦公式，结合已知条件求出sinα cosβ和cosα sinβ，再代入两角和的正弦公式求解。
6．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从6所大学中任取4所，有种，其中甲乙两所学校同时被取到，有种，
所以该考生报名的可能情况种数是.
故答案为：B
【分析】本题考查组合计数的排除法应用，核心是先求无限制条件的总选法，再减去不符合 “甲、乙至多报一所” 的情况（即甲乙同时被选的情况），得到符合条件的选法数。
7．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的周期性；导数的四则运算
【解析】【解答】解：若是周期函数，设周期为，则，
两边求导，有：，所以也是周期为的周期函数；
若为周期函数，但不一定为周期函数，
例如，，不具有周期性，而，周期为，
所以“是周期函数”是“是周期函数”的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】本题考查充分条件与必要条件的判定，核心是通过求导验证充分性，结合具体函数举例说明必要性不成立，进而确定条件关系。
8．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：设切点为，所以，
所以直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，
令，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以，
故答案为：B.
【分析】本题考查抛物线的切线方程、圆的弦长公式与基本不等式求最值，核心是先求抛物线切线方程，再利用圆的弦长公式将∣AB∣表示为关于切点横坐标的函数，最后通过基本不等式求最大值。
9．【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设数据A：1，3，5，7，9的平均数，方差，极差，中位数依次为，
数据B：1，2，4，8，16的平均数，方差，极差，中位数依次为.
对于A，因为，故A正确；
对于B，因为故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】依次算出两组数据的平均数，方差，极差，中位数，再结合比较法找出正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为是抛物线的焦点，
所以，即得，故A正确；
设在上，所以，
所以，故B正确；
因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，
所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，故C正确；
当时，
，且，，
所以，则或（舍），
所以的面积为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据焦点坐标求出的值，则判断出选项A；根据抛物线定义判断出选项B和选项C；利用已知条件联立方程组，从而求出点的坐标，再利用三角形的面积公式得出当时，的面积，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：正数x，y，z满足，设，
则，，．
对于A，，故A正确；
对于B，，，，
∵，∴，
∵，∴，∴，故B错误；
对于C，由（），两边平方，可得，故C正确；
对于D，由，可得（），故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】设，则，，，利用对数的运算性质可判断A；分别求、，结合换底公式比较大小即可判断B；利用A中，结合基本不等式即可判断C；根据即可判断D.
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由于，所以.
故答案为：.
【分析】本题考查复数的运算，核心是先求出复数的共轭复数，计算的值，再代入分式进行复数的除法运算。
13．【答案】；
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，球的半径为，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，母线，
由题可知：，所以球的半径
所以圆锥的体积为，
球的体积，
所以；
圆锥的表面积，
球的表面积，
所以，
故答案为：；.
【分析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，根据题意可得，再计算出体积和表面积即可求解.
14．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：掷骰子一共4次，基本事件共种情况，
其中，得两分平局两人抛出的都是，共有1种；
得三分平局两人均有两种情况，两人共种，
以此类推，甲、乙平局一共有种情况，
其余甲、乙获胜机会均等，各575种情况，所以甲获胜的概率为．
故答案为：
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是先确定总基本事件数，再计算平局的事件数，利用 “甲、乙获胜机会均等” 的对称性求出甲获胜的事件数，最终代入概率公式求解。
15．【答案】（1）解：因为，所以，即，即，
又因为，所以，故，解得.
（2）解：因为，所以由正弦定理可得：，
又因为，所以，所以，解得，
由（1）可得：，
则，
由正弦定理，可得，解得，
故的周长为.

【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用辅助角公式化简原式可得，求解A即可；
（2）由题意，根据正弦定理化边为角求，再根据正弦定理算出，从而即可求的周长.
16．【答案】（1）解：函数的定义域为，求导得，
当时，，在时为减函数；
当时，，在时为增函数，
所以的极小值为，无极大值.
（2）解：不等式，
令函数，求导得，
函数在上单调递减，且，由，解得，
所以原不等式的解集为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) 先求函数的定义域和导数，分析导数的符号确定函数的单调性，进而找到极值点并求出极值。
(2) 将不等式移项构造新函数，求导分析的单调性，结合求解不等式的解集。
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，在时为减函数；
当时，，在时为增函数，
所以的极小值为，无极大值.
（2）不等式，
令函数，求导得，
函数在上单调递减，且，由，解得，
所以原不等式的解集为．
17．【答案】（1）证明：连接，
因为底面是边长为2的正方形，所以，
又因为，，
所以，所以，
点为线段中点，所以，
在中，，，
所以，
则，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）解：【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示，
则，
则，
，
设面的法向量为，面的法向量为，
则，取，则
取，则.
设二面角大小为，
则，
所以二面角的正弦值为.
【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题设得，，，，
，，
，，．
设是平面的法向量，
则，即，可取．
设是平面的法向量，
则，即，可取．
所以．
因此二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据题意，先证明，得到，再证，然后利用线面垂直的判定证明即可；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面 和平面的法向量，再利用向量法求二面角的正弦值即可.
（1）连接，
因为底面是边长为2的正方形，所以，
又因为，，
所以，所以，
点为线段中点，所以，
在中，，，
所以，
则，
又，平面，平面，
所以平面.
（2）【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示，
则，
则，
，
设面的法向量为，面的法向量为，
则，取，则
取，则.
设二面角大小为，
则，
所以二面角的正弦值为.
【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题设得，，，，
，，
，，．
设是平面的法向量，
则，即，可取．
设是平面的法向量，
则，即，可取．
所以．
因此二面角的正弦值为．
18．【答案】（1）解：抛物线，准线方程为，
所以，解得，所以，
因为点在抛物线上，所以，
又，所以，
将代入抛物线，可得，
所以，，.
（2）解：由（1）可知，设中点为，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
设，所以，
因为在抛物线上，所以，所以，
即，
所以，所以，且直线过点，
所以，即，
联立消y整理得
所以，
所以，
而到距离，
所以．
【知识点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由结合抛物线焦半径公式可得，进而求得抛物线C2方程，再将点坐标代入抛物线可得，即可求得点A坐标，再将A坐标代入抛物线可得；
（2）由(1)即可求得F1，F2，进而可求得中点M，借助平行四边形性质可得中点坐标，再借助点差法计算可得，从而可得方程，再联立方程与方程，消去可得与横坐标有关一元二次方程，即可借助韦达定理、弦长公式可求得|PQ|，再借助点到直线的公式即可求得到距离，进而根据平行四边形的面积公式计算即可求得平行四边形的面积.
（1）抛物线，准线方程为，
，所以，所以，
因为点在抛物线上，所以，
又，所以，
将代入抛物线，可得，
故，，；
（2）由（1）可知，设中点为，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
设，所以，
因为在抛物线上，所以，则，
即，
所以，所以，且直线过点，
所以，即，
联立，
所以，
所以，
到距离，
所以．
19．【答案】（1）①解：设事件为第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球，
则.
答：第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率为.
②解：由题意知的可能取值为，，
则，，，
，.
其概率分布如下：
2 4 6
所以，
设，
，
所以，
所以，
所以
（2）证明：由题意知的可能取值为，，
则，，，
则其概率分布如下：
，
因为，
所以
，
又因为所以.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】(1) ①结合独立重复试验的概率公式，分析第6次摸球结束比赛且甲乙共摸到3次红球的事件构成，利用组合数和分步乘法计数原理计算概率。
②先确定随机变量的可能取值，分析每个取值对应的概率，列出分布列，再利用等比数列求和公式计算数学期望。
(2) 先写出随机变量的可能取值及对应的概率，计算数学期望的表达式，再通过放缩法结合的条件证明不等式。
（1）①设事件为第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球，
则.
答：第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率为.
②由题意知的可能取值为，，
则，，，
，.
其概率分布如下：
2 4 6
所以，
设，
，
所以，
所以，
所以
（2）由题意知的可能取值为，，
则，，，
则其概率分布如下：
，
因为，
所以
，
又因为所以.
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