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江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2025届高三下学期二模适应性练习数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合的子集个数为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．给出下列说法，其中正确的是（　　）
A．某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为
B．已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别为5，13
C．在回归直线方程中，相对于样本点的残差为
D．样本相关系数
3．若数列为等比数列，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（　　）
A． B． C． D．
5．若，则（　　）
A． B． C． D．
6．甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．设，函数，则下面正确的是（　　）
A．有两个极值点
B．若，则当时，
C．若有3个零点，则的取值范围是
D．若存在，满足，则
8．已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则下列说法正确的是（　　）．
A．函数的最小正周期为
B．为函数图像的一条对称轴
C．函数在上单调递减
D．函数在上有3个零点
10．下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（　　）
A．
B．设，则的个位数字是6
C．已知，则等式对任意正整数，都成立
D．等式对任意正整数都成立
11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（　　）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知展开式的第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则展开式中项的系数为　 　.（用数字作答）
13．双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接交左支于点Q.若，且，则双曲线的离心率为　 　.
14．已知正四棱锥的一个侧面的周长为10，则该四棱锥体积的最大值为　 　，此时其外接球表面积为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，角，，对应边为，，，满足．
（1）已知，若在上，且，求的最大值；
（2）延长至点，使得．若，求的大小．
16．在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，．
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和．
17．已知点和直线：，点到的距离，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作斜率不为0的直线与曲线交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与曲线交于不同的两点，.
①证明：为定值；
②求面积的取值范围.
18．在正三棱台中，，，分别是，的中点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求.
19．已知函数，，．
（1）当时，求函数零点的个数；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）求函数的极值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：易知，则集合A子集个数为个.
故答案为：D.
【分析】根据集合的特征求得集合A，再根据元素和子集的关系求解即可.
2．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A：将3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，第50百分位数即为中位数，这组数的中位数为，A错误；
B：由数据的平均数为2，方差为3，则数据，，的平均数为，方差为，B错误；
C：残差，C正确；
D：样本的相关系数应满足，D错误．
故答案为：C
【分析】A：将潜伏期数据排序后，根据百分位数计算方法求第50百分位数（中位数），判断是否为4。
B：利用数据变换后平均数和方差的性质，计算新数据的平均数和方差，验证是否为5和13。
C：根据残差公式，代入样本点和回归方程计算残差，判断是否为-0.8。
D：明确样本相关系数的取值范围，判断是否为。
3．【答案】A
【知识点】充要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比中项
【解析】【解答】解：由题意知，数列为等比数列，
当时，得，即充分性成立；
当时，，解得，即必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据等比中项，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，设，以为基向量，利用平面向量的基本定理求解即可.
5．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由，
由，
．
故答案为：C
【分析】本题考查同角三角函数关系、两角和与差的正弦公式及二倍角的余弦公式，核心是先由得到与的关系，结合的值求出，最后代入二倍角公式计算。
6．【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B，
则，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意设出相应事件，再根据独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出和的值，再利用条件概率公式得出在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A，因为，所以，
所以当时，，单调递增，无极值点；
当时，由得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
此时有两个极值点，所以不一定有两个极值点，故A错误；
B，当，时，由上述知，在上单调递减，在上单调递增，
则，故B错误；
C，当时，单调递增，至多只有一个零点，不合题意；
当时，若有个零点，则由单调性可知必然有，解得.
而当时，，，
在区间，，中分别各有一个零点，故C正确；
D，，等价于或，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】A：求导后分和讨论导函数符号，判断函数极值点的个数。
B：当时，分析函数在区间的单调性与最小值，判断是否恒成立。
C：结合函数单调性与极值的符号，列不等式组求解的取值范围，判断是否为。
D：将代入函数表达式化简，推导、的关系，判断是否成立。
8．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为与为单位向量，
，
∴.
又，，即的夹角为.
∴点是以原点为圆心的单位圆上的动点，且.
令，则，
易知点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点，
∴.
如图1，设直线，过点作直线于点，作直线于点.
则.
又，
可知如图2，当点在点处，点在线段上时，取得最小值
此时，最小值为.
∴.
故答案为：B.
【分析】本题考查平面向量的数量积、向量模的几何意义及点到直线的距离公式，核心是先求出与的夹角，确定的模长与轨迹，再将转化为，结合点到直线的距离求最小值，进而确定的取值范围。
9．【答案】B,C
【知识点】正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：A：
，
所以。
∴的最小正周期，故A错误；
B：，故B正确；
C：∵，∴∴函数在上单调递减，故C正确；
D：令，即，
因为，所以
令，则，所以选项D的问题转化为
与的交点个数问题，
如图所示：
观察可知，有2个零点，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】A：先化简函数为正弦型函数，再根据正弦函数周期公式计算最小正周期，判断是否为。
B：将代入化简后的函数，验证是否为最值，判断是否为对称轴。
C：确定时的取值范围，结合正弦函数单调性判断的单调性。
D：令，转化为正弦方程，在范围内求解根的个数。
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数；排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A：，A正确；
B：∵，则，
故，
∵其个位数字是0，故的个位数字是9，B错误；
C：若，则，C正确；
D：∵的展开式为，∴，
故展开式的的系数为，
又∵，则，
同理可得：的展开式为，
即展开式的的系数为，
由于，故，D正确；
故答案为：ACD.
【分析】A：利用组合数的性质，对式子逐步合并化简，计算最终结果是否为330。
B：先对分式变形为裂项形式，化简求和后计算的表达式，分析其个位数字。
C：根据组合数公式，将展开变形，验证是否等于。
D：构造二项式，利用展开式中的系数相等，推导组合数平方和的等式。
11．【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；抛物线的简单性质；曲线与方程
【解析】【解答】解：A：由题意得，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为，
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，A正确；
B：根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，
由图象对称性，可得，故，B正确；
C：
如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点，
由解得，
由解得，，
即得，
则弦长为：，
由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，
即在第一象限部分满足，不妨设，则，且，
代入得，，（）
由此函数的图象知，当时，取得最大值为，C错误；
D：根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.
如图，
在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，
由可得切点坐标为，因，则点到直线的距离为，
于是，由图知，半个花瓣的面积必大于，
故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：根据抛物线旋转后焦点、对称轴的变化规律，推导开口向上的抛物线方程；
B：联立两条旋转后抛物线的方程，求解交点 A、B 的坐标，再计算两点间距离；
C：将直线方程与第一象限花瓣对应的抛物线方程联立，利用弦长公式结合换元法、函数单调性求弦长最大值；
D：通过 “以直代曲” 的思想，用三角形面积近似估计阴影区域面积，判断其与 4 的大小关系。
12．【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题意可知得，所以，
则的展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式中项的系数为.
故答案为：.
【分析】本题考查二项式系数的性质与二项展开式的通项公式，核心是先利用二项式系数的对称性求出n，再通过通项公式确定x3项的r值，最终计算该项的系数。
13．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：如图所示：
由双曲线的定义可知：，
因为，所以，又因为，
，所以，所以，
则，即为等边三角形，，
由余弦定理可得：，解得.
故答案为：.
【分析】作出图形，根据双曲线定义，结合求出，再根据面积比求出，最后利用余弦定理求离心率即可.
14．【答案】；
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
如图，设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，高为，
因为正四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心，
侧棱长相等，侧面为等腰三角形，所以，
所以，得，又，
所以正四棱锥的体积.
设，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，所以.
此时，，
设该正四棱锥外接球的半径为，则，解得，
故其外接球表面积.
故答案为：；.
【分析】本题考查正四棱锥的体积最值求解与外接球表面积计算，核心是先通过侧棱长与底面边长的关系建立体积函数，利用导数求体积最大值，再根据此时的几何参数求外接球半径，进而计算表面积。
15．【答案】（1）解：在中，，
由，得，
整理得，而，
所以，可得，
结合，可知，所以的面积，
因为是边上的高，所以，可得，
由余弦定理得，即，
根据，可得，即，解得，即，
当且仅当时，等号成立，
则，
当时，取得最大值；
（2）解：由，可得，
过作，交于点，则，可得，
在与中，，，
所以，可得，即，所以，
结合正弦定理得，可得，
结合，可得或，则或.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，以及两角和的正弦公式化简求得，再根据三角形面积公式可得，最后利用余弦定理，结合基本不等式求解即可；
（2）由，可得，过作，交于点，证明，根据比例关系可得，结合正弦定理求解即可.
（1）在中，，
由，得，
整理得，而，
所以，可得，
结合，可知，所以的面积，
因为是边上的高，所以，可得，
由余弦定理得，即，
根据，可得，即，
解得，即，当且仅当时，等号成立，
所以，
当时，取得最大值；
（2）由，可得，
过作，交于点，则，可得，
在与中，，，
所以，可得，即，
所以，
结合正弦定理得，可得，
结合，可得或，
所以或.
16．【答案】（1）解：由题意得，，
当为偶数时，，则数列的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列，
于是，
即当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以的通项公式是.
（2）解：由（1）知，，
.
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1) 分n为奇数、偶数两种情况分析：先通过递推关系确定奇数项为等比数列，求出奇数项通项，再代入偶数项的递推公式，得到偶数项通项，最终分段表示数列通项；
(2) 利用并项求和法，将前2n项按“奇数项与偶数项”分组，结合等比数列前n项和公式计算每组和，再累加得到前2n项和。
（1）依题意，，
当为偶数时，，则数列的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列，
于是，即当为奇数时，，当为偶数时，，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，，
.
17．【答案】（1）解：设，由题意，则，整理可得；
（2）解：设直线的方程为，则直线的方程为，
联立，得，
可得，
设，则，
联立，得，，
设，则，
①证明：因为，所以，故为定值；
②因为的面积，
，
，
设，则，
由对勾函数的性质可得，则.
【知识点】平面内两点间的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）设，由，利用两点间距离公式列出方程，化简求解即可；
（2）①、设直线的方程为，直线的方程为，联立直线与曲线方程，结合弦长公式证明为定值；
②、根据三角形面积公式表示的面积，换元，结合函数的单调性求范围即可.
（1）设，由题意，
，整理可得.
（2）设直线的方程为，则直线的方程为.
联立，得，
可得.
设，则.
联立，得，，
设，则.
①证明：因为，所以
，故为定值.
②因为的面积，
，
.
设，则.
由对勾函数的性质可得，所以.
【点睛】
18．【答案】（1）证明：延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连结，如图所示：
在正三棱台中，，是正三角形，
因为，分别是，的中点，所以，且，
又，且，所以，且，四边形是平行四边形，
因为几何体是正三棱台，
所以三棱锥是正三棱锥，是底面正的中心，所以，
又平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，所以，
在正三棱台中，，是的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，，所以，
所以四边形是矩形；
（2）解：过作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
在正三棱台中，，，不妨设，
则，，，，
设上底面的中心为，在直角梯形中，，
，，所以，
故，又，
所以，，
设为平面的法向量，即，取，得，，
所以是平面的一个法向量，
又，所以，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，“在上底面”为事件，
显然，当，时，，，
由全概率公式，当，时，
可得，
即，整理得，
所以当，时，，
又，，，
所以当，时，为定值，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，即.
【知识点】等比数列概念与表示；直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角；全概率公式
【解析】【分析】（1）延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连结，证明四边形是平行四边形和即可；
（2）过作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法求线面角即可；
（3）先记事件，利用全概率公式可得，再由等比数列定义证明数列为等比数列，根据等比数列的定义求即可.
（1）证明：延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连结.
在正三棱台中，，是正三角形，
因为，分别是，的中点，
所以，且，
又，且，
所以，且，四边形是平行四边形.
因为几何体是正三棱台，
所以三棱锥是正三棱锥，是底面正的中心，所以.
又平面，平面，所以.
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，所以.
在正三棱台中，，是的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，.
所以.
所以四边形是矩形.
（2）法一：延长交于点，连结，过点作，垂足为，连结.
由（1）可知，平面，即平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面.
所以为直线与平面所成角.
在正三棱台中，，，不妨设，
则，，.
在等腰中，.
在中，.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
法二：
过作.
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
在正三棱台中，，，不妨设，
则，，，.
设上底面的中心为，在直角梯形中，，
，，所以.
故，又，
所以，.
设为平面的法向量，
即，取，得，，
所以是平面的一个法向量.
又，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，“在上底面”为事件.
显然，当，时，，.
由全概率公式，当，时，
可得，
即，整理得.
所以当，时，，
又，，，
所以当，时，为定值，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故，
可得.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，，求导得，
函数在上单调递减，
而，
由零点存在定理，在区间内存在唯一零点，
所以函数在上有唯一的零点.
（2）解：不等式，令函数，
由题意得，恒成立，求导得，
当时，，函数在上单调递减，而，
则当时，，不符合题意；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当且仅当，即时，恒成立，
令，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
而，则，因此，
所以的取值范围是.
（3）解：函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得；由，得，
因此函数有极大值，没有极小值；
当，即时，由，得；由，得或，
因此函数有极小值，极大值；
当，即时，，因此函数没有极值；
当，即时，由，得；由，得或，
因此函数有极小值，极大值
所以当时，函数有极大值，没有极小值；
当时，函数有极小值，极大值；
当时，函数没有极值；
当时，函数有极小值，极大值.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 先求的导数，分析时函数的单调性，再结合零点存在定理，通过选取特殊点判断函数零点的个数；
(2) 将不等式变形后分离参数（或构造新函数），求新函数的导数分析单调性与最值，据此确定的取值范围；
(3) 先化简的表达式并求导，分和两种情况讨论导数的正负，确定函数的单调区间，再根据极值的定义求出极值。
（1）函数的定义域为，，求导得，
函数在上单调递减，
而，
由零点存在定理，在区间内存在唯一零点，
所以函数在上有唯一的零点.
（2）不等式，令函数，
依题意，恒成立，求导得，
当时，，函数在上单调递减，而，
则当时，，不符合题意；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当且仅当，即时，恒成立，
令，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
而，则，因此，
所以的取值范围是.
（3）函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得；由，得，
因此函数有极大值，没有极小值；
当，即时，由，得；由，得或，
因此函数有极小值，极大值；
当，即时，，因此函数没有极值；
当，即时，由，得；由，得或，
因此函数有极小值，极大值
所以当时，函数有极大值，没有极小值；
当时，函数有极小值，极大值；
当时，函数没有极值；
当时，函数有极小值，极大值.
1 / 1江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2025届高三下学期二模适应性练习数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合的子集个数为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：易知，则集合A子集个数为个.
故答案为：D.
【分析】根据集合的特征求得集合A，再根据元素和子集的关系求解即可.
2．给出下列说法，其中正确的是（　　）
A．某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为
B．已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别为5，13
C．在回归直线方程中，相对于样本点的残差为
D．样本相关系数
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A：将3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，第50百分位数即为中位数，这组数的中位数为，A错误；
B：由数据的平均数为2，方差为3，则数据，，的平均数为，方差为，B错误；
C：残差，C正确；
D：样本的相关系数应满足，D错误．
故答案为：C
【分析】A：将潜伏期数据排序后，根据百分位数计算方法求第50百分位数（中位数），判断是否为4。
B：利用数据变换后平均数和方差的性质，计算新数据的平均数和方差，验证是否为5和13。
C：根据残差公式，代入样本点和回归方程计算残差，判断是否为-0.8。
D：明确样本相关系数的取值范围，判断是否为。
3．若数列为等比数列，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】充要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比中项
【解析】【解答】解：由题意知，数列为等比数列，
当时，得，即充分性成立；
当时，，解得，即必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据等比中项，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，设，以为基向量，利用平面向量的基本定理求解即可.
5．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由，
由，
．
故答案为：C
【分析】本题考查同角三角函数关系、两角和与差的正弦公式及二倍角的余弦公式，核心是先由得到与的关系，结合的值求出，最后代入二倍角公式计算。
6．甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B，
则，，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意设出相应事件，再根据独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出和的值，再利用条件概率公式得出在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率.
7．设，函数，则下面正确的是（　　）
A．有两个极值点
B．若，则当时，
C．若有3个零点，则的取值范围是
D．若存在，满足，则
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A，因为，所以，
所以当时，，单调递增，无极值点；
当时，由得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
此时有两个极值点，所以不一定有两个极值点，故A错误；
B，当，时，由上述知，在上单调递减，在上单调递增，
则，故B错误；
C，当时，单调递增，至多只有一个零点，不合题意；
当时，若有个零点，则由单调性可知必然有，解得.
而当时，，，
在区间，，中分别各有一个零点，故C正确；
D，，等价于或，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】A：求导后分和讨论导函数符号，判断函数极值点的个数。
B：当时，分析函数在区间的单调性与最小值，判断是否恒成立。
C：结合函数单调性与极值的符号，列不等式组求解的取值范围，判断是否为。
D：将代入函数表达式化简，推导、的关系，判断是否成立。
8．已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为与为单位向量，
，
∴.
又，，即的夹角为.
∴点是以原点为圆心的单位圆上的动点，且.
令，则，
易知点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点，
∴.
如图1，设直线，过点作直线于点，作直线于点.
则.
又，
可知如图2，当点在点处，点在线段上时，取得最小值
此时，最小值为.
∴.
故答案为：B.
【分析】本题考查平面向量的数量积、向量模的几何意义及点到直线的距离公式，核心是先求出与的夹角，确定的模长与轨迹，再将转化为，结合点到直线的距离求最小值，进而确定的取值范围。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则下列说法正确的是（　　）．
A．函数的最小正周期为
B．为函数图像的一条对称轴
C．函数在上单调递减
D．函数在上有3个零点
【答案】B,C
【知识点】正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：A：
，
所以。
∴的最小正周期，故A错误；
B：，故B正确；
C：∵，∴∴函数在上单调递减，故C正确；
D：令，即，
因为，所以
令，则，所以选项D的问题转化为
与的交点个数问题，
如图所示：
观察可知，有2个零点，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】A：先化简函数为正弦型函数，再根据正弦函数周期公式计算最小正周期，判断是否为。
B：将代入化简后的函数，验证是否为最值，判断是否为对称轴。
C：确定时的取值范围，结合正弦函数单调性判断的单调性。
D：令，转化为正弦方程，在范围内求解根的个数。
10．下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（　　）
A．
B．设，则的个位数字是6
C．已知，则等式对任意正整数，都成立
D．等式对任意正整数都成立
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数；排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A：，A正确；
B：∵，则，
故，
∵其个位数字是0，故的个位数字是9，B错误；
C：若，则，C正确；
D：∵的展开式为，∴，
故展开式的的系数为，
又∵，则，
同理可得：的展开式为，
即展开式的的系数为，
由于，故，D正确；
故答案为：ACD.
【分析】A：利用组合数的性质，对式子逐步合并化简，计算最终结果是否为330。
B：先对分式变形为裂项形式，化简求和后计算的表达式，分析其个位数字。
C：根据组合数公式，将展开变形，验证是否等于。
D：构造二项式，利用展开式中的系数相等，推导组合数平方和的等式。
11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（　　）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于4
【答案】A,B,D
【知识点】导数的几何意义；抛物线的简单性质；曲线与方程
【解析】【解答】解：A：由题意得，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为，
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，A正确；
B：根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，
由图象对称性，可得，故，B正确；
C：
如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点，
由解得，
由解得，，
即得，
则弦长为：，
由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，
即在第一象限部分满足，不妨设，则，且，
代入得，，（）
由此函数的图象知，当时，取得最大值为，C错误；
D：根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.
如图，
在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，
由可得切点坐标为，因，则点到直线的距离为，
于是，由图知，半个花瓣的面积必大于，
故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：根据抛物线旋转后焦点、对称轴的变化规律，推导开口向上的抛物线方程；
B：联立两条旋转后抛物线的方程，求解交点 A、B 的坐标，再计算两点间距离；
C：将直线方程与第一象限花瓣对应的抛物线方程联立，利用弦长公式结合换元法、函数单调性求弦长最大值；
D：通过 “以直代曲” 的思想，用三角形面积近似估计阴影区域面积，判断其与 4 的大小关系。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知展开式的第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则展开式中项的系数为　 　.（用数字作答）
【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题意可知得，所以，
则的展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式中项的系数为.
故答案为：.
【分析】本题考查二项式系数的性质与二项展开式的通项公式，核心是先利用二项式系数的对称性求出n，再通过通项公式确定x3项的r值，最终计算该项的系数。
13．双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接交左支于点Q.若，且，则双曲线的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】解：如图所示：
由双曲线的定义可知：，
因为，所以，又因为，
，所以，所以，
则，即为等边三角形，，
由余弦定理可得：，解得.
故答案为：.
【分析】作出图形，根据双曲线定义，结合求出，再根据面积比求出，最后利用余弦定理求离心率即可.
14．已知正四棱锥的一个侧面的周长为10，则该四棱锥体积的最大值为　 　，此时其外接球表面积为　 　.
【答案】；
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
如图，设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，高为，
因为正四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心，
侧棱长相等，侧面为等腰三角形，所以，
所以，得，又，
所以正四棱锥的体积.
设，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，所以.
此时，，
设该正四棱锥外接球的半径为，则，解得，
故其外接球表面积.
故答案为：；.
【分析】本题考查正四棱锥的体积最值求解与外接球表面积计算，核心是先通过侧棱长与底面边长的关系建立体积函数，利用导数求体积最大值，再根据此时的几何参数求外接球半径，进而计算表面积。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，角，，对应边为，，，满足．
（1）已知，若在上，且，求的最大值；
（2）延长至点，使得．若，求的大小．
【答案】（1）解：在中，，
由，得，
整理得，而，
所以，可得，
结合，可知，所以的面积，
因为是边上的高，所以，可得，
由余弦定理得，即，
根据，可得，即，解得，即，
当且仅当时，等号成立，
则，
当时，取得最大值；
（2）解：由，可得，
过作，交于点，则，可得，
在与中，，，
所以，可得，即，所以，
结合正弦定理得，可得，
结合，可得或，则或.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，以及两角和的正弦公式化简求得，再根据三角形面积公式可得，最后利用余弦定理，结合基本不等式求解即可；
（2）由，可得，过作，交于点，证明，根据比例关系可得，结合正弦定理求解即可.
（1）在中，，
由，得，
整理得，而，
所以，可得，
结合，可知，所以的面积，
因为是边上的高，所以，可得，
由余弦定理得，即，
根据，可得，即，
解得，即，当且仅当时，等号成立，
所以，
当时，取得最大值；
（2）由，可得，
过作，交于点，则，可得，
在与中，，，
所以，可得，即，
所以，
结合正弦定理得，可得，
结合，可得或，
所以或.
16．在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，．
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和．
【答案】（1）解：由题意得，，
当为偶数时，，则数列的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列，
于是，
即当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以的通项公式是.
（2）解：由（1）知，，
.
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1) 分n为奇数、偶数两种情况分析：先通过递推关系确定奇数项为等比数列，求出奇数项通项，再代入偶数项的递推公式，得到偶数项通项，最终分段表示数列通项；
(2) 利用并项求和法，将前2n项按“奇数项与偶数项”分组，结合等比数列前n项和公式计算每组和，再累加得到前2n项和。
（1）依题意，，
当为偶数时，，则数列的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列，
于是，即当为奇数时，，当为偶数时，，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，，
.
17．已知点和直线：，点到的距离，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点作斜率不为0的直线与曲线交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与曲线交于不同的两点，.
①证明：为定值；
②求面积的取值范围.
【答案】（1）解：设，由题意，则，整理可得；
（2）解：设直线的方程为，则直线的方程为，
联立，得，
可得，
设，则，
联立，得，，
设，则，
①证明：因为，所以，故为定值；
②因为的面积，
，
，
设，则，
由对勾函数的性质可得，则.
【知识点】平面内两点间的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）设，由，利用两点间距离公式列出方程，化简求解即可；
（2）①、设直线的方程为，直线的方程为，联立直线与曲线方程，结合弦长公式证明为定值；
②、根据三角形面积公式表示的面积，换元，结合函数的单调性求范围即可.
（1）设，由题意，
，整理可得.
（2）设直线的方程为，则直线的方程为.
联立，得，
可得.
设，则.
联立，得，，
设，则.
①证明：因为，所以
，故为定值.
②因为的面积，
，
.
设，则.
由对勾函数的性质可得，所以.
【点睛】
18．在正三棱台中，，，分别是，的中点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求.
【答案】（1）证明：延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连结，如图所示：
在正三棱台中，，是正三角形，
因为，分别是，的中点，所以，且，
又，且，所以，且，四边形是平行四边形，
因为几何体是正三棱台，
所以三棱锥是正三棱锥，是底面正的中心，所以，
又平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，所以，
在正三棱台中，，是的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，，所以，
所以四边形是矩形；
（2）解：过作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
在正三棱台中，，，不妨设，
则，，，，
设上底面的中心为，在直角梯形中，，
，，所以，
故，又，
所以，，
设为平面的法向量，即，取，得，，
所以是平面的一个法向量，
又，所以，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，“在上底面”为事件，
显然，当，时，，，
由全概率公式，当，时，
可得，
即，整理得，
所以当，时，，
又，，，
所以当，时，为定值，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故，即.
【知识点】等比数列概念与表示；直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角；全概率公式
【解析】【分析】（1）延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连结，证明四边形是平行四边形和即可；
（2）过作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法求线面角即可；
（3）先记事件，利用全概率公式可得，再由等比数列定义证明数列为等比数列，根据等比数列的定义求即可.
（1）证明：延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连结.
在正三棱台中，，是正三角形，
因为，分别是，的中点，
所以，且，
又，且，
所以，且，四边形是平行四边形.
因为几何体是正三棱台，
所以三棱锥是正三棱锥，是底面正的中心，所以.
又平面，平面，所以.
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，所以.
在正三棱台中，，是的中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，.
所以.
所以四边形是矩形.
（2）法一：延长交于点，连结，过点作，垂足为，连结.
由（1）可知，平面，即平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面.
所以为直线与平面所成角.
在正三棱台中，，，不妨设，
则，，.
在等腰中，.
在中，.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
法二：
过作.
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
在正三棱台中，，，不妨设，
则，，，.
设上底面的中心为，在直角梯形中，，
，，所以.
故，又，
所以，.
设为平面的法向量，
即，取，得，，
所以是平面的一个法向量.
又，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，“在上底面”为事件.
显然，当，时，，.
由全概率公式，当，时，
可得，
即，整理得.
所以当，时，，
又，，，
所以当，时，为定值，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故，
可得.
19．已知函数，，．
（1）当时，求函数零点的个数；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）求函数的极值．
【答案】（1）解：函数的定义域为，，求导得，
函数在上单调递减，
而，
由零点存在定理，在区间内存在唯一零点，
所以函数在上有唯一的零点.
（2）解：不等式，令函数，
由题意得，恒成立，求导得，
当时，，函数在上单调递减，而，
则当时，，不符合题意；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当且仅当，即时，恒成立，
令，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
而，则，因此，
所以的取值范围是.
（3）解：函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得；由，得，
因此函数有极大值，没有极小值；
当，即时，由，得；由，得或，
因此函数有极小值，极大值；
当，即时，，因此函数没有极值；
当，即时，由，得；由，得或，
因此函数有极小值，极大值
所以当时，函数有极大值，没有极小值；
当时，函数有极小值，极大值；
当时，函数没有极值；
当时，函数有极小值，极大值.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 先求的导数，分析时函数的单调性，再结合零点存在定理，通过选取特殊点判断函数零点的个数；
(2) 将不等式变形后分离参数（或构造新函数），求新函数的导数分析单调性与最值，据此确定的取值范围；
(3) 先化简的表达式并求导，分和两种情况讨论导数的正负，确定函数的单调区间，再根据极值的定义求出极值。
（1）函数的定义域为，，求导得，
函数在上单调递减，
而，
由零点存在定理，在区间内存在唯一零点，
所以函数在上有唯一的零点.
（2）不等式，令函数，
依题意，恒成立，求导得，
当时，，函数在上单调递减，而，
则当时，，不符合题意；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当且仅当，即时，恒成立，
令，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
而，则，因此，
所以的取值范围是.
（3）函数的定义域为，
求导得，
当时，由，得；由，得，
因此函数有极大值，没有极小值；
当，即时，由，得；由，得或，
因此函数有极小值，极大值；
当，即时，，因此函数没有极值；
当，即时，由，得；由，得或，
因此函数有极小值，极大值
所以当时，函数有极大值，没有极小值；
当时，函数有极小值，极大值；
当时，函数没有极值；
当时，函数有极小值，极大值.
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