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江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项）
1．（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C．
【分析】逆用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值求解即可．
2．复数.则复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数，则复数的虚部是.
故答案为：D.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得复数，再根据复数的概念求其虚部即可.
3．已知是两个不共线的向量，向量．若，则（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：由题设且，故，则，可得.
故选：A
【分析】利用向量共线定理，结合向量基本定理得到参数关系，即可求参数值.
4．在中，已知角，的对边分别为，，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
由正弦定理，可得.
故答案为：A.
【分析】利用正弦定理，结合特殊角三角函数值求解即可.
5．已知方程的解在内，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：构造函数，
易知函数在定义域内单调递增，则在定义域内至多有一个零点，
因为，所以仅在内存在零点，
即方程的解仅在内，故.
故答案为：B.
【分析】构造函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性，结合零点存在性定理求解即可.
6．如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：取，作为基底，因为是中点，则.
因为，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】以，为底，根据向量的线性运算表示出即可.
7．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：，解得，
，
则.
故答案为：B.
【分析】利用正弦的两角和差公式，结合余弦的二倍角公式求解即可.
8．几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为的等腰三角形.例如中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的.如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形边长为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：由题意，，，、，
且，
所以，即，
所以，即，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知，，再得到即可.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项）
9．的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（　　）
A．若为钝角三角形，则
B．若，则
C．若，，，则有两解
D．，则为等腰三角形或直角三角形
【答案】B,C,D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，当为钝角时，为钝角三角形，由余弦定理得，
所以，A错误；
对于B，若，则，由正弦定理得，B正确；
对于C，若，，，由正弦定理得，
而，则可能是锐角也可能是钝角，因此有两解，C正确；
对于D，因为，所以，所以，
即，则或，即或，
为等腰三角形或直角三角形，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】对于A，当为钝角时，结合余弦定理可得；对于B，根据正弦定理即可判断；对于C，由正弦定理得，据此判断即可；对于D，由正弦定理边角互化得，则则或.
10．下列各式的值为的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、，
，则，故A正确；
B、
，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】根据两角差的正切公式，结合特殊角的三角函数值求解即可判断A；利用同角三角函数基本关系，结合余弦的二倍角公式求解即可判断B；利用辅助角公式求解即可判断C；利用余弦的二倍角公式求解即可判断D.
11．如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则在上的投影向量为
C．若的最小值为，则
D．若对任意的，恒有，则
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意，所以，故A正确；
因为，所以在上的投影向量为，故B正确；
，即，
所以或，故C错误；
由，两边平方得.即任意，，若，上式恒成立，即，若，
所以，得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A，利用向量模长公式计算；对于B，由在上的投影向量为计算即可；对于C，利用模长公式，配方得到最小值；对于D，利用模长公式，得到不等式，再分情况结合参变分离求范围即可.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在中，已知，，，则　 　.
【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解： 在中，，，，
则.
故答案为：.
【分析】直接根据三角形面积公式求解即可.
13．已知是第二象限角，且，则　 　．
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为是第二象限角，所以，
所以，
因为，所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据是第二象限角，求得的范围，再利用同角三角函数关系求，最后根据正弦的二倍角正弦公式求解即可.
14．已知平面向量，满足，且，与夹角余弦值的最小值等于　 　 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，可得，
将，代入化简可得，
设与的夹角为，由上式可得，
，代入上式化简可得
令，设与的夹角为，
则由平面向量数量积定义可得，
因为，所以，
由余弦函数的值域可得，即，
将不等式化简可得，解不等式可得，
综上可得，即，
设与夹角为，
则，
当分母越大时，的值越小；当的值越小时，分母的值越大，
当时，的值最小，代入可得，
则与夹角余弦值的最小值等于.
故答案为：.
【分析】根据向量数量积化简，可得，设与的夹角为，由上式，结合向量的模公式化解可得，再令，设与的夹角为，由题意，利用平面向量数量积的运算，结合三角函数值域的有界性，求得，设与夹角为，利用向量的夹角公式可得，结合的范围求最值.
四、解答题（本大题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．实数取何值时，复数是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）0
【答案】（1）解：当，即或时，复数是实数；
（2）解：当，即且时，复数是虚数；
（3）解：当，即时，复数是0.
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）根据复数为实数，虚部为零列式求解即可；
（2）根据复数为虚数，实部为零列式求解即可；
（3）根据复数相等列式求解即可.
（1）当，即或时，复数是实数；
（2）当，即且时，复数是虚数；
（3）当即时，复数是0.
16．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知，
∵，∴，
∴，
.

（2）解：由题意可知，
∵向量与的夹角为锐角，∴，且与不共线
，且，
∴的取值范围为，，．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算先求得，进而根据两向量垂直的条件列式求得的值即可；
（2）先求得 ，进而由向量与的夹角为锐角，可知，且与不共线，根据向量夹角与向量数量积的关系及共线向量的充要条件列方程组求出的取值范围即可.
（1）若，则，
，
，，
，，，
，
.
（2）向量与的夹角为锐角，则，
，，
，又，
，，
又当与的夹角为不符题意，
，
，
所以的取值范围为，，．
17．若，均为锐角，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）解：，均为锐角，由，可得；
则，；
（2）解：因为，均为锐角，所以，
由，可得；
则.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）根据同角三角函数基本关系，结合正切的二倍角公式求解即可；（2）利用同角三角函数基本关系，结合两角差的余弦公式求解即可.
（1），均为锐角，且，所以；
所以，故；
（2）由于，均为锐角，所以，
由于，所以；
.
18．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）若，且边边上的中线长，求的面积；
（3）若是锐角三角形，求的范围.
【答案】（1）解：在中，，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以；
（2）解：，由余弦定理得，解得，
因为是边边上的中线，所以由向量加法平行四边形法则知，
等式两边平方得，解得（负值舍），
则的面积；
（3）解：因为是锐角三角形，且由（1）知，
所以，即，解得，
由正弦定理得：
，
因为，所以，所以，
所以，
则的范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求解角即可；
（2）由（1）的结论，利用余弦定理求得，再根据三角形中线的向量形式得，平方化简求得，最后代入三角形面积公式求解即可；
（3）先根据锐角三角形的性质求得，再利用正弦定理，结合两角差的正弦公式及二倍角公式化简得，利用正切函数的单调性求得，再利用不等式性质求解即可.
（1）在中，因为，
所以根据正弦定理得，
又，得，
所以，
所以，
因为，所以，所以.
又，所以.
（2）由，由余弦定理得，解得.
又是边边上的中线，所以由向量加法平行四边形法则知，
等式两边平方得，解得（负值舍），
所以的面积.
（3）因为是锐角三角形，且由（1）知.
所以，即，解得.
由正弦定理得：
.
因为，所以，所以，
所以，
所以的范围为.
19．定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为
（1）求函数的“伴随向量”的坐标；
（2）在中，角，，的对边分别为，，，若函数的“伴随向量”为，且已知，.
（i）求周长的最大值；
（ii）求的取值范围.
【答案】（1）解：，所以函数的“伴随向量”为
（2）解：（ⅰ）由函数的“伴随向量”为，得，
由，得，，则，
在中，由余弦定理，
可得，
则，当且仅当时取等号，，
故周长的最大值为；
（ⅱ）由（ⅰ），
，而，
即，当且仅当时取等号，于是，
令，则，
故的取值范围为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据两角和的正弦公式化简求得函数，再利用“伴随向量”的定义求出即可；
（2）（ⅰ）根据“伴随向量”的定义可得，再由同角三角函数基本关系求得，在中，利用余弦定理与基本不等式求周长的最大值即可；
（ⅱ）由（ⅰ），将向量转化为三角形的边的关系，结合基本不等式及二次函数性质求范围即可.
（1），
所以函数的“伴随向量”为.
（2）（ⅰ）由函数的“伴随向量”为，得，
由，得，，则，
在中，由余弦定理得：，
则，
，当且仅当时取等号，，
所以周长的最大值为.
（ⅱ）由（ⅰ），
，而，
即，当且仅当时取等号，于是，
令，则
所以的取值范围为.
1 / 1江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项）
1．（　　）
A． B． C． D．
2．复数.则复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
3．已知是两个不共线的向量，向量．若，则（　　）
A． B． C．2 D．
4．在中，已知角，的对边分别为，，，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知方程的解在内，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（　　）
A． B．
C． D．
7．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
8．几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为的等腰三角形.例如中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的.如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形边长为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项）
9．的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（　　）
A．若为钝角三角形，则
B．若，则
C．若，，，则有两解
D．，则为等腰三角形或直角三角形
10．下列各式的值为的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．如图，设轴和轴是平面内相交成角的两条数轴，其中分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在夹角为的坐标系中的坐标，记为，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则在上的投影向量为
C．若的最小值为，则
D．若对任意的，恒有，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在中，已知，，，则　 　.
13．已知是第二象限角，且，则　 　．
14．已知平面向量，满足，且，与夹角余弦值的最小值等于　 　 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．实数取何值时，复数是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）0
16．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围．
17．若，均为锐角，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
18．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）若，且边边上的中线长，求的面积；
（3）若是锐角三角形，求的范围.
19．定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为
（1）求函数的“伴随向量”的坐标；
（2）在中，角，，的对边分别为，，，若函数的“伴随向量”为，且已知，.
（i）求周长的最大值；
（ii）求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C．
【分析】逆用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值求解即可．
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数，则复数的虚部是.
故答案为：D.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得复数，再根据复数的概念求其虚部即可.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：由题设且，故，则，可得.
故选：A
【分析】利用向量共线定理，结合向量基本定理得到参数关系，即可求参数值.
4．【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
由正弦定理，可得.
故答案为：A.
【分析】利用正弦定理，结合特殊角三角函数值求解即可.
5．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：构造函数，
易知函数在定义域内单调递增，则在定义域内至多有一个零点，
因为，所以仅在内存在零点，
即方程的解仅在内，故.
故答案为：B.
【分析】构造函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性，结合零点存在性定理求解即可.
6．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：取，作为基底，因为是中点，则.
因为，所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】以，为底，根据向量的线性运算表示出即可.
7．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：，解得，
，
则.
故答案为：B.
【分析】利用正弦的两角和差公式，结合余弦的二倍角公式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：由题意，，，、，
且，
所以，即，
所以，即，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知，，再得到即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，当为钝角时，为钝角三角形，由余弦定理得，
所以，A错误；
对于B，若，则，由正弦定理得，B正确；
对于C，若，，，由正弦定理得，
而，则可能是锐角也可能是钝角，因此有两解，C正确；
对于D，因为，所以，所以，
即，则或，即或，
为等腰三角形或直角三角形，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】对于A，当为钝角时，结合余弦定理可得；对于B，根据正弦定理即可判断；对于C，由正弦定理得，据此判断即可；对于D，由正弦定理边角互化得，则则或.
10．【答案】A,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、，
，则，故A正确；
B、
，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：AC．
【分析】根据两角差的正切公式，结合特殊角的三角函数值求解即可判断A；利用同角三角函数基本关系，结合余弦的二倍角公式求解即可判断B；利用辅助角公式求解即可判断C；利用余弦的二倍角公式求解即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由题意，所以，故A正确；
因为，所以在上的投影向量为，故B正确；
，即，
所以或，故C错误；
由，两边平方得.即任意，，若，上式恒成立，即，若，
所以，得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A，利用向量模长公式计算；对于B，由在上的投影向量为计算即可；对于C，利用模长公式，配方得到最小值；对于D，利用模长公式，得到不等式，再分情况结合参变分离求范围即可.
12．【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解： 在中，，，，
则.
故答案为：.
【分析】直接根据三角形面积公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为是第二象限角，所以，
所以，
因为，所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据是第二象限角，求得的范围，再利用同角三角函数关系求，最后根据正弦的二倍角正弦公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：由，可得，
将，代入化简可得，
设与的夹角为，由上式可得，
，代入上式化简可得
令，设与的夹角为，
则由平面向量数量积定义可得，
因为，所以，
由余弦函数的值域可得，即，
将不等式化简可得，解不等式可得，
综上可得，即，
设与夹角为，
则，
当分母越大时，的值越小；当的值越小时，分母的值越大，
当时，的值最小，代入可得，
则与夹角余弦值的最小值等于.
故答案为：.
【分析】根据向量数量积化简，可得，设与的夹角为，由上式，结合向量的模公式化解可得，再令，设与的夹角为，由题意，利用平面向量数量积的运算，结合三角函数值域的有界性，求得，设与夹角为，利用向量的夹角公式可得，结合的范围求最值.
15．【答案】（1）解：当，即或时，复数是实数；
（2）解：当，即且时，复数是虚数；
（3）解：当，即时，复数是0.
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）根据复数为实数，虚部为零列式求解即可；
（2）根据复数为虚数，实部为零列式求解即可；
（3）根据复数相等列式求解即可.
（1）当，即或时，复数是实数；
（2）当，即且时，复数是虚数；
（3）当即时，复数是0.
16．【答案】（1）解：由题意可知，
∵，∴，
∴，
.

（2）解：由题意可知，
∵向量与的夹角为锐角，∴，且与不共线
，且，
∴的取值范围为，，．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算先求得，进而根据两向量垂直的条件列式求得的值即可；
（2）先求得 ，进而由向量与的夹角为锐角，可知，且与不共线，根据向量夹角与向量数量积的关系及共线向量的充要条件列方程组求出的取值范围即可.
（1）若，则，
，
，，
，，，
，
.
（2）向量与的夹角为锐角，则，
，，
，又，
，，
又当与的夹角为不符题意，
，
，
所以的取值范围为，，．
17．【答案】（1）解：，均为锐角，由，可得；
则，；
（2）解：因为，均为锐角，所以，
由，可得；
则.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）根据同角三角函数基本关系，结合正切的二倍角公式求解即可；（2）利用同角三角函数基本关系，结合两角差的余弦公式求解即可.
（1），均为锐角，且，所以；
所以，故；
（2）由于，均为锐角，所以，
由于，所以；
.
18．【答案】（1）解：在中，，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以；
（2）解：，由余弦定理得，解得，
因为是边边上的中线，所以由向量加法平行四边形法则知，
等式两边平方得，解得（负值舍），
则的面积；
（3）解：因为是锐角三角形，且由（1）知，
所以，即，解得，
由正弦定理得：
，
因为，所以，所以，
所以，
则的范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求解角即可；
（2）由（1）的结论，利用余弦定理求得，再根据三角形中线的向量形式得，平方化简求得，最后代入三角形面积公式求解即可；
（3）先根据锐角三角形的性质求得，再利用正弦定理，结合两角差的正弦公式及二倍角公式化简得，利用正切函数的单调性求得，再利用不等式性质求解即可.
（1）在中，因为，
所以根据正弦定理得，
又，得，
所以，
所以，
因为，所以，所以.
又，所以.
（2）由，由余弦定理得，解得.
又是边边上的中线，所以由向量加法平行四边形法则知，
等式两边平方得，解得（负值舍），
所以的面积.
（3）因为是锐角三角形，且由（1）知.
所以，即，解得.
由正弦定理得：
.
因为，所以，所以，
所以，
所以的范围为.
19．【答案】（1）解：，所以函数的“伴随向量”为
（2）解：（ⅰ）由函数的“伴随向量”为，得，
由，得，，则，
在中，由余弦定理，
可得，
则，当且仅当时取等号，，
故周长的最大值为；
（ⅱ）由（ⅰ），
，而，
即，当且仅当时取等号，于是，
令，则，
故的取值范围为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；解三角形；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据两角和的正弦公式化简求得函数，再利用“伴随向量”的定义求出即可；
（2）（ⅰ）根据“伴随向量”的定义可得，再由同角三角函数基本关系求得，在中，利用余弦定理与基本不等式求周长的最大值即可；
（ⅱ）由（ⅰ），将向量转化为三角形的边的关系，结合基本不等式及二次函数性质求范围即可.
（1），
所以函数的“伴随向量”为.
（2）（ⅰ）由函数的“伴随向量”为，得，
由，得，，则，
在中，由余弦定理得：，
则，
，当且仅当时取等号，，
所以周长的最大值为.
（ⅱ）由（ⅰ），
，而，
即，当且仅当时取等号，于是，
令，则
所以的取值范围为.
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