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安徽省合肥市瑶海区第三十八中学2023-2024学年九年级上学期12月段考数学模拟试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．已知，则下列式子中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形网格中：的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，．按照如下步骤作图：①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②连接直线，交于点；③以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点；④连接，．下列说法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
6．函数与在同一坐标系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，E为BC的中点，AE、BD相交于点F．若的面积为6，则四边形CDFE的面积是（　　）.
A．9 B．12 C．15 D．18
9．如图，与，直角顶点重合于点，点在上，且，连接，若，，则长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，矩形纸片，满足，将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中的长为（用含的代数式表示）（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
11．当为锐角，且时，的取值范围是　 　．
12．若点，，都在抛物线上，用“＞”连接的大小关系应该是　 　．
13．五角星是我们常见的图形，如图点，分别是线段的黄金分割点，，则　 　．
14．如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F．①若是边上的中线，则　 　；②若平分，则　 　．
三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）以原点为位似中心，在轴的右侧按放大，画出的一个位似；
（2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
（3）与是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标，若不是请说明理由．
四、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
17．图，已知在中，，，点为边延长线上一点，连接．求的正切值．
18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点.
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集.
五、（本大题2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在中，，点从运动到，且．
（1）求证：；
（2）若，，求当长为多少时，．
20．为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图，为桌面，嘉琪同学眼睛看作业本的俯角为，身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．
（1）通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求；
（2）为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离和眼睛到桌面的距离保持不变的情况下，需将作业本沿方向移动到点处，求作业本移动的距离．（结果精确到）（参考数据：，，．）
六、（本题12分）
21．如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为.
（1）当为何值时，的面积为？
（2）为何值时，以A，，为顶点的三角形与相似.
七、（本题12分）
22．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC AE；
（3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明．
八、（本题14分）
23．已知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），点是直线上方抛物线上一点，连接，若的面积为4，求点的坐标；
（3）如图（2），设直线（k≠0）与抛物线交于两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长为定值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A：∵，
∴a：b=9：12，式子错误，不符合题意；
B：∵，
∴a：b=6：8，式子正确，符合题意；
C：∵，
∴a：b≠（a+3)：（b+3)，式子错误，不符合题意；
D：∵，
∴a：b=3：4，式子错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据对每个选项逐一计算求解即可。
2．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，当时，
，，
MN∥BC，
当时，不能确定△AMN与△ABC相似，
∴不能确定∠ANM与∠C相等，
∴不能够判断MN∥BC，
∴A，B，C都不符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可.
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】A：正确，不符合题意；
B：正确，不符合题意；
C：，故不正确，符合题意；
D：正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中，利用三角函数的定义进行逐一判断即可求解.
4．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由题意可得：BC=5，
EF=2，
，
，，
故答案为：D.
【分析】先根据三边成比例的两个三角形相似判定，再利用相似三角形的性质以及三角形的外角性质即可求解.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由题意可得直线MN是线段AB的垂直平分线，
，故A正确，不符合题意；
，，，
，，
，
BD=BD，，
，
，即，故B正确，不符合题意；
由题意有BD=BE，
故C正确，不符合题意；
，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用线段垂直平分线的性质的即可判断A正确；利用三角形的内角和定理以及已知条件证明，列出比列式即可判断B正确；分别求得，，度数，从而判断C正确；求出的度数，可判断D错误；从而求解.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】若k>0时， 函数 的图象在第一、三象限， 的开口向下，顶点在y轴正半轴；
若若k<0时， 函数 的图象在第二、四象限， 的开口向上，顶点在y轴负半轴；
B选项符合题意，
故答案为：B.
【分析】分两种情况进行讨论，若k>0时和k<0时，利用反比例函数与二次函数的性质进行逐一判断即可求解.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】A：由图可得：，，故不符合题意；
B：由图可得：，，故不符合题意；
C：由图可得：，，故不符合题意；
D：没有相似三角形，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用相似三角形的判定定理进行逐一判断即可求解.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴，，
∵点E是BC边的中点，
∴BE=BC=AD，
∴，，
∵的面积为6，
∴，
，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】先由平行四边形的性质得出AD=2BE，BE∥AD，进而得出△ADF∽△EBF，利用相似三角形的性质和的面积为6， 即可得出△BEF，△ADF的面积，从而求出△ABD和△BCD的面积，用面积的和差即可得出结论.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】 ，，
AB=AD+BD=7+2=9，
在Rt△ABC中，
又在Rt△BCA中与Rt△DCE中，
即
解得：
故答案为：D.
【分析】先利用三角函数与勾股定理求得AC的长，再证明利用相似三角形的性质列出比列式即可求解.
10．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】利用折叠的性质，如图，
可得到QP=BC=b，
MN=2b-2a，
故答案为：B.
【分析】利用折叠性质可得到QP=BC=b，再利用相似三角形的性质列出比列式即可求解.
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】
【分析】利用特殊角的余弦值与锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可求解.
12．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】抛物线 ，
抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，
点，，都在抛物线 上，且离对称轴距离最远，最小，离对称轴最近，最大，
故答案为： .
【分析】先根据抛物线的解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，再利用二次函数的性质：利用这三点离对称轴的距离的远近判断y值的大小，从而求解.
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】点 分别是线段的黄金分割点，且AD>BD，
EC+CD=AC+CD=AD，
【分析】利用黄金分割点的定义求出AD的长，结合图形得到EC=AC从而求得EC+CD的值.
14．【答案】；
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】 是边上的中线，
BD=CD，
，
过点C作交AD的延长线与点M，如图，
△ACB是等腰直角三角形，
，
平分，
，
故
【分析】利用中点的性质和勾股定理求得AD的值，再利用等面积法求得CH的值，进而求得DH的值；过点C作交AD的延长线与点M，利用中位线的性质可得CF=2DM，再利用平行线的性质以及直角三角形的性质求证
利用相似三角形的性质列出比列式从而求解.
15．【答案】
．
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的运算法则：先计算乘方、负指数、开平方，特殊角的三角函数值和绝对值，再计算乘法，最后算加减即可求解.
16．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）和是位似图形；如图，点为所求，坐标为．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：
【分析】（1）将点A、B的横、纵坐标都乘以2得到 的坐标，描点连线即可求解；
（2）根据平移坐标的规律得到的坐标，描点、连线即可求解；
（3）利用位似图形的性质将，，延长，相交于一点M，即可判断和是位似图形，点M是位似中心，根据点M的位置即可求解；
17．【答案】解：过点A作与交点H．
∵在中，，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
故答案为：．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【解析】【分析】先构造直角三角形， 过点A作与交点H，利用勾股定理求得，，再利用等腰三角形的性质求出HC的值，进而求出HD的值，最后由正切的定义即可求解.
18．【答案】（1）解：点在反比例函数图象上，
.解得，
反比例函数解析式为
点在反比例函数的图象上，
，即，
..
点，在一次函数的图象上，
，解得.
一次函数解析式为；
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）根据函数图象可得：当时，，
故答案为：.
【分析】（1）将点A的坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后将点A、B的坐标代入求出一次函数解析式即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
19．【答案】（1）解：证明：，，
，
，，
，
，
，
．
（2）如图，，
，
又，
，
，
，，
，
，
即当时，．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件证明 ，利用相似三角形的性质列出比列式即可求解；
（2）利用平行线的性质结合公共角可证明，利用相似三角形的性质列出比列式，代入数据即可求解.
20．【答案】（1）解：如图，在中，
，，
，
，
，
，
，
距离不符合最佳要求；
（2）在中，，，
，
为了符合最佳要求，，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）先利用余角的性质求得 ，再利用余弦函数的定义得到，代入数据，作比较，即可求解；
（2）先利用勾股定理求得AC的值，根据为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，， 利用余弦三角函数求得 ， 再利用正切三角函数的定义求得EC的值，进而求出AE的值，从而求解.
21．【答案】（1）解：由题意知，，，
的面积为，
，
解得或，
，
时，的面积为；
（2）解：，
当或时，以，，为顶点的三角形与相似，
或，
解得或，
或时，以A，，为顶点的三角形与相似.
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得AP=2t，AQ=10-t，根据三角形的面积公式可得t的值，根据AP（2）当或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，然后代入求解即可.
22．【答案】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B，
∴∠BAM+∠MAD＝90°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，
∴△ABM≌△ADN（ASA）
∴AM＝AN；
（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°
∴∠MNA＝45°，
∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，
∴∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，
∴△AMC∽△AEN，
∴，
∴AM AN＝AC AE，
∵AN＝AM，
∴AM2＝AC AE；
（3）ON＝2OM，理由：如图，
在Rt△ABM中，AM＝1，AB＝3，
根据勾股定理得，BM＝＝，
过点B作BF⊥MN于F，
∴∠OFB＝∠A＝90°，
由（1）知，AM＝AN，
∵∠MBN＝90°，
∴FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABC＝45°＝∠MBF，
∴∠ABM＝∠FBO，
∴△ABM∽△FBO，
∴，
∴，
∴FO＝，
∴OM＝MF﹣FO＝，ON＝NF+FO＝，
∴ON＝2OM．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先利用正方形的性质得到AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B， 结合题意进而得到BAM＝∠DAN， 利用ASA即可证明△ABM≌△ADN，利用三角形全等的性质即可求解；
（2）利用已有的条件证明 △AMC∽△AEN， 利用相似三角形的性质得到， 结合AN＝AM， 从而求解；
（3）先利用勾股定理求得BM的值， 过点B作BF⊥MN于F， 根据垂直的定义结合（1）可得FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°， 再利用正方形的性质可证明得到∠ABM＝∠FBO， 从而证明△ABM∽△FBO， 利用相似三角形的性质求得FO的值，再根据线段的和差关系即可求证.
23．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，过原点，可得，
；解得；
即解析式为：．
（2）由（1）得：，得．
令，解得：．得：．
设上方轴上点满足，即，
解得：，即与原点重合．
设直线解析式为：，则有：
：解得：；
直线解析式为：．
与直线平行，且过的直线为：．
点在直线上时，，满足题意．
；解得：或；
故：．
（3）为与抛物线的交点，
；
解得：或；
，
与关于直线对称，得：，
设直线的解析式为：，
；
解得：；
即直线的解析式为：，
当时，．
点为定点，为定值-4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式和抛物线过原点，可求得c=0，把x=2代入对称轴公式求得b的值，从而求得解析式；
（2）由（1）将抛物线解析式配方得 ，从而得到顶点得的坐标，点A的坐标， 设上方轴上点满足， 得到关于p的方程，解方程得到点P的坐标， 设直线解析式为：， 再利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而可判断得到 与直线平行，且过的直线为：，根据 点在直线上时，， 联立方程组，解方程组的E的坐标，从而求解；
（3）根据图形 为与抛物线的交点， 代入联立方程组解得C，D的坐标（用k表示），再根据关于直线 对称 的点的特点表示出 的坐标，设直线的解析式为：， 利用待定系数法求得直线的解析式，再根据当时，，即点P是顶点，从而求解BP的值.
1 / 1安徽省合肥市瑶海区第三十八中学2023-2024学年九年级上学期12月段考数学模拟试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．已知，则下列式子中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A：∵，
∴a：b=9：12，式子错误，不符合题意；
B：∵，
∴a：b=6：8，式子正确，符合题意；
C：∵，
∴a：b≠（a+3)：（b+3)，式子错误，不符合题意；
D：∵，
∴a：b=3：4，式子错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据对每个选项逐一计算求解即可。
2．已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中不能够判断的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，当时，
，，
MN∥BC，
当时，不能确定△AMN与△ABC相似，
∴不能确定∠ANM与∠C相等，
∴不能够判断MN∥BC，
∴A，B，C都不符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据平行线分线段成比例判断即可.
3．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】A：正确，不符合题意；
B：正确，不符合题意；
C：，故不正确，符合题意；
D：正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中，利用三角函数的定义进行逐一判断即可求解.
4．如图，在正方形网格中：的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由题意可得：BC=5，
EF=2，
，
，，
故答案为：D.
【分析】先根据三边成比例的两个三角形相似判定，再利用相似三角形的性质以及三角形的外角性质即可求解.
5．如图，在中，，．按照如下步骤作图：①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②连接直线，交于点；③以点为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点；④连接，．下列说法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由题意可得直线MN是线段AB的垂直平分线，
，故A正确，不符合题意；
，，，
，，
，
BD=BD，，
，
，即，故B正确，不符合题意；
由题意有BD=BE，
故C正确，不符合题意；
，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用线段垂直平分线的性质的即可判断A正确；利用三角形的内角和定理以及已知条件证明，列出比列式即可判断B正确；分别求得，，度数，从而判断C正确；求出的度数，可判断D错误；从而求解.
6．函数与在同一坐标系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】若k>0时， 函数 的图象在第一、三象限， 的开口向下，顶点在y轴正半轴；
若若k<0时， 函数 的图象在第二、四象限， 的开口向上，顶点在y轴负半轴；
B选项符合题意，
故答案为：B.
【分析】分两种情况进行讨论，若k>0时和k<0时，利用反比例函数与二次函数的性质进行逐一判断即可求解.
7．如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】A：由图可得：，，故不符合题意；
B：由图可得：，，故不符合题意；
C：由图可得：，，故不符合题意；
D：没有相似三角形，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用相似三角形的判定定理进行逐一判断即可求解.
8．如图，在中，E为BC的中点，AE、BD相交于点F．若的面积为6，则四边形CDFE的面积是（　　）.
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴，，
∵点E是BC边的中点，
∴BE=BC=AD，
∴，，
∵的面积为6，
∴，
，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】先由平行四边形的性质得出AD=2BE，BE∥AD，进而得出△ADF∽△EBF，利用相似三角形的性质和的面积为6， 即可得出△BEF，△ADF的面积，从而求出△ABD和△BCD的面积，用面积的和差即可得出结论.
9．如图，与，直角顶点重合于点，点在上，且，连接，若，，则长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】 ，，
AB=AD+BD=7+2=9，
在Rt△ABC中，
又在Rt△BCA中与Rt△DCE中，
即
解得：
故答案为：D.
【分析】先利用三角函数与勾股定理求得AC的长，再证明利用相似三角形的性质列出比列式即可求解.
10．如图，矩形纸片，满足，将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中的长为（用含的代数式表示）（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】利用折叠的性质，如图，
可得到QP=BC=b，
MN=2b-2a，
故答案为：B.
【分析】利用折叠性质可得到QP=BC=b，再利用相似三角形的性质列出比列式即可求解.
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
11．当为锐角，且时，的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】
【分析】利用特殊角的余弦值与锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可求解.
12．若点，，都在抛物线上，用“＞”连接的大小关系应该是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】抛物线 ，
抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，
点，，都在抛物线 上，且离对称轴距离最远，最小，离对称轴最近，最大，
故答案为： .
【分析】先根据抛物线的解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，再利用二次函数的性质：利用这三点离对称轴的距离的远近判断y值的大小，从而求解.
13．五角星是我们常见的图形，如图点，分别是线段的黄金分割点，，则　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】点 分别是线段的黄金分割点，且AD>BD，
EC+CD=AC+CD=AD，
【分析】利用黄金分割点的定义求出AD的长，结合图形得到EC=AC从而求得EC+CD的值.
14．如图，在中，，，点D为边上一动点（不与点B、C重合），垂直交于点E，垂足为点H，连接并延长交于点F．①若是边上的中线，则　 　；②若平分，则　 　．
【答案】；
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】 是边上的中线，
BD=CD，
，
过点C作交AD的延长线与点M，如图，
△ACB是等腰直角三角形，
，
平分，
，
故
【分析】利用中点的性质和勾股定理求得AD的值，再利用等面积法求得CH的值，进而求得DH的值；过点C作交AD的延长线与点M，利用中位线的性质可得CF=2DM，再利用平行线的性质以及直角三角形的性质求证
利用相似三角形的性质列出比列式从而求解.
三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
【答案】
．
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数的运算法则：先计算乘方、负指数、开平方，特殊角的三角函数值和绝对值，再计算乘法，最后算加减即可求解.
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）以原点为位似中心，在轴的右侧按放大，画出的一个位似；
（2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
（3）与是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标，若不是请说明理由．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）和是位似图形；如图，点为所求，坐标为．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：
【分析】（1）将点A、B的横、纵坐标都乘以2得到 的坐标，描点连线即可求解；
（2）根据平移坐标的规律得到的坐标，描点、连线即可求解；
（3）利用位似图形的性质将，，延长，相交于一点M，即可判断和是位似图形，点M是位似中心，根据点M的位置即可求解；
四、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）
17．图，已知在中，，，点为边延长线上一点，连接．求的正切值．
【答案】解：过点A作与交点H．
∵在中，，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
故答案为：．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；直角三角形的性质
【解析】【分析】先构造直角三角形， 过点A作与交点H，利用勾股定理求得，，再利用等腰三角形的性质求出HC的值，进而求出HD的值，最后由正切的定义即可求解.
18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点.
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集.
【答案】（1）解：点在反比例函数图象上，
.解得，
反比例函数解析式为
点在反比例函数的图象上，
，即，
..
点，在一次函数的图象上，
，解得.
一次函数解析式为；
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）根据函数图象可得：当时，，
故答案为：.
【分析】（1）将点A的坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后将点A、B的坐标代入求出一次函数解析式即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
五、（本大题2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在中，，点从运动到，且．
（1）求证：；
（2）若，，求当长为多少时，．
【答案】（1）解：证明：，，
，
，，
，
，
，
．
（2）如图，，
，
又，
，
，
，，
，
，
即当时，．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件证明 ，利用相似三角形的性质列出比列式即可求解；
（2）利用平行线的性质结合公共角可证明，利用相似三角形的性质列出比列式，代入数据即可求解.
20．为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图，为桌面，嘉琪同学眼睛看作业本的俯角为，身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．
（1）通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求；
（2）为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离和眼睛到桌面的距离保持不变的情况下，需将作业本沿方向移动到点处，求作业本移动的距离．（结果精确到）（参考数据：，，．）
【答案】（1）解：如图，在中，
，，
，
，
，
，
，
距离不符合最佳要求；
（2）在中，，，
，
为了符合最佳要求，，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）先利用余角的性质求得 ，再利用余弦函数的定义得到，代入数据，作比较，即可求解；
（2）先利用勾股定理求得AC的值，根据为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，， 利用余弦三角函数求得 ， 再利用正切三角函数的定义求得EC的值，进而求出AE的值，从而求解.
六、（本题12分）
21．如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为.
（1）当为何值时，的面积为？
（2）为何值时，以A，，为顶点的三角形与相似.
【答案】（1）解：由题意知，，，
的面积为，
，
解得或，
，
时，的面积为；
（2）解：，
当或时，以，，为顶点的三角形与相似，
或，
解得或，
或时，以A，，为顶点的三角形与相似.
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得AP=2t，AQ=10-t，根据三角形的面积公式可得t的值，根据AP（2）当或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，然后代入求解即可.
七、（本题12分）
22．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC AE；
（3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明．
【答案】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B，
∴∠BAM+∠MAD＝90°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，
∴△ABM≌△ADN（ASA）
∴AM＝AN；
（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°
∴∠MNA＝45°，
∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，
∴∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，
∴△AMC∽△AEN，
∴，
∴AM AN＝AC AE，
∵AN＝AM，
∴AM2＝AC AE；
（3）ON＝2OM，理由：如图，
在Rt△ABM中，AM＝1，AB＝3，
根据勾股定理得，BM＝＝，
过点B作BF⊥MN于F，
∴∠OFB＝∠A＝90°，
由（1）知，AM＝AN，
∵∠MBN＝90°，
∴FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABC＝45°＝∠MBF，
∴∠ABM＝∠FBO，
∴△ABM∽△FBO，
∴，
∴，
∴FO＝，
∴OM＝MF﹣FO＝，ON＝NF+FO＝，
∴ON＝2OM．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先利用正方形的性质得到AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B， 结合题意进而得到BAM＝∠DAN， 利用ASA即可证明△ABM≌△ADN，利用三角形全等的性质即可求解；
（2）利用已有的条件证明 △AMC∽△AEN， 利用相似三角形的性质得到， 结合AN＝AM， 从而求解；
（3）先利用勾股定理求得BM的值， 过点B作BF⊥MN于F， 根据垂直的定义结合（1）可得FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°， 再利用正方形的性质可证明得到∠ABM＝∠FBO， 从而证明△ABM∽△FBO， 利用相似三角形的性质求得FO的值，再根据线段的和差关系即可求证.
八、（本题14分）
23．已知，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），点是直线上方抛物线上一点，连接，若的面积为4，求点的坐标；
（3）如图（2），设直线（k≠0）与抛物线交于两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长为定值．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，过原点，可得，
；解得；
即解析式为：．
（2）由（1）得：，得．
令，解得：．得：．
设上方轴上点满足，即，
解得：，即与原点重合．
设直线解析式为：，则有：
：解得：；
直线解析式为：．
与直线平行，且过的直线为：．
点在直线上时，，满足题意．
；解得：或；
故：．
（3）为与抛物线的交点，
；
解得：或；
，
与关于直线对称，得：，
设直线的解析式为：，
；
解得：；
即直线的解析式为：，
当时，．
点为定点，为定值-4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式和抛物线过原点，可求得c=0，把x=2代入对称轴公式求得b的值，从而求得解析式；
（2）由（1）将抛物线解析式配方得 ，从而得到顶点得的坐标，点A的坐标， 设上方轴上点满足， 得到关于p的方程，解方程得到点P的坐标， 设直线解析式为：， 再利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而可判断得到 与直线平行，且过的直线为：，根据 点在直线上时，， 联立方程组，解方程组的E的坐标，从而求解；
（3）根据图形 为与抛物线的交点， 代入联立方程组解得C，D的坐标（用k表示），再根据关于直线 对称 的点的特点表示出 的坐标，设直线的解析式为：， 利用待定系数法求得直线的解析式，再根据当时，，即点P是顶点，从而求解BP的值.
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