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第6章第2节 排列与组合
题型1 排列数的化简计算及证明 题型2 部分位置的元素有限制的排列问题
题型3 部分元素不相邻的排列问题 题型4 部分元素相邻的排列问题
题型5 组合数的化简计算及证明 题型6 人员及物品分配问题
题型7 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题 题型8 其他组合形式及计算
题型9 排列组合的综合应用
▉题型1 排列数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣排列数表示从n个不同元素中选出r个元素，并对这r个元素进行排列的总数．其公式为．
﹣排列数的化简通常涉及阶乘的计算和分解，在某些情况下需要用排列数公式进行证明或化简．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握排列数公式的推导和应用．对于排列数的化简，可以通过分解阶乘来简化计算．
﹣在复杂问题中，可能需要将排列问题转化为递推公式进行求解或证明，或者利用对称性来简化表达式．
﹣证明排列数的恒等式时，可以通过将排列数公式展开并进行比较，或者使用数学归纳法．
1．计算的值是（　　）
A．41 B．61 C．62 D．82
【答案】B
【解答】解：22×5×4＝21+40＝61．
故选：B．
2．等于（　　）
A．9×3 B．93 C．9×8×7 D．9×8×3
【答案】C
【解答】解：由排列数公式可知，9×8×7，
故选：C．
（多选）3．已知m，n∈N+且m≤n，则下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解答】解：，，，A错误；
，B正确；
，，
所以，C正确；
，D正确．
故选：BC．
（多选）4．下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解答】解：对于选项A，，显然，故选项A错误；
对于选项B，，故选项B正确；
对于选项C，，故选项C正确；
对于选项D，，故选项D正确．
故选：BCD．
5．65　120　 ．
【答案】120．
【解答】解：由．
故答案为：120．
6．计算　36　 ．
【答案】36．
【解答】解：根据题意，原式7×6﹣6＝36，
故答案为：36．
7．（1）求函数y＝ln（3x﹣2）的导数；
（2）求函数的导数；
（3）求值：（用数字作答）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）210．
【解答】解：（1）由题意函数y＝ln（3x﹣2），
对其求导可得；
（2）由求导可得，；
（3）由排列数公式可得．
8．计算下列各式．
（1）；
（2）．
【答案】（1）480；
（2）16．
【解答】解：（1）（6×5）×（5×4）﹣5×4×3×2×1＝600﹣120＝480；
（2）．
9．（1）计算：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）6；（2）{8}．
【解答】解：（1）由排列数的公式，可得．
②因为，可得，
所以（10﹣x）（9﹣x）＜6，可得（x﹣7）（x﹣12）＜0，7＜x＜12，
又因为2＜x≤8且x∈N，解得x＝8，
所以不等式的解集为{8}．
▉题型2 部分位置的元素有限制的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分位置的元素排列受限是指在排列问题中，某些元素只能出现在特定位置或区域．例如：特定元素只能出现在排列的前几位或某些位置．
﹣这种问题通常要求考生在处理排列时，先考虑限制条件，再进行一般排列．
【解题方法点拨】
﹣处理此类问题时，首先对有限制的部分进行排列，将有限制的元素排好位置，然后对剩余元素进行排列组合．
﹣使用乘法原理，将有限制的排列与剩余元素的排列相乘得到总数．
﹣对于较复杂的限制条件，可能需要分类讨论，并对每种情况进行单独计算．
10．中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（　　）
A．30种 B．60种 C．72种 D．114种
【答案】B
【解答】解：有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，
从5人中选出三人，共有种选法，
则把选出的3人，分配到三个舱内，剩余的2人出仓完成任务，
共有种不同的安排方案．
故选：B．
11．某校组织校运会活动，由甲、乙、丙三名志愿者负责A，B，C，D四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责A任务，则不同的任务分配方法种数为（　　）
A．12 B．18 C．24 D．30
【答案】C
【解答】解：若甲只负责一个任务，则先在B、C、D中选取一个任务分给甲，
然后再将剩下3个任务分为两组，分配给乙、丙两人，
有种不同的分配方法；
若甲负责两个任务，剩余两个任务排给乙、丙两人，此时有种分配方法；
由分类加法计数原理可知，不同的分配方法种数为6+18＝24种．
故选：C．
12．园艺部门打算为一个社区休闲广场的中心花坛（如图）布置花卉，要求同一区域摆放同一种花卉，相邻的两块区域（有公共边）摆放不同种类的花卉．现有4种不同种类的花卉可供选择，则不同布置方案有（　　）
A．144种 B．120种 C．96种 D．72种
【答案】C
【解答】解：先考虑B区有4种不同的选择，再考虑A区有3种不同的选择，D区有2种不同的选择，E区有2种不同的选择，C区有2种不同的选择，
由分步乘法计数原理得：不同的选择共有4×3×2×2×2＝96种．
故选：C．
13．某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动．活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．26
【答案】C
【解答】解：先排E，有2种排法；
然后排CD，有2种排法；
最后排AB，有6种排法，
即满足条件的排法种数为2×2×6＝24．
故选：C．
（多选）14．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
【答案】ABC
【解答】解：对于A：6门中选2门共有种选法，
故A正确；
对于B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，
有种排法，
然后全排列有种排法，
根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，
故B正确；
对于C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，
先排剩下的三门课程有种排法，
然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，
根据分步乘法计数原理，共有种排法，
故C正确；
对于D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，
再排“数”，有种排法，
若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，
所以共有种排法，
故D错误．
故选：ABC．
▉题型3 部分元素不相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素不相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须保持不相邻．例如：在排列中，两个特定元素不能排在一起．
﹣这类问题通常通过排除法、间隔法或插空法来解决．
【解题方法点拨】
﹣使用间隔法，首先将不受限制的元素排列，然后在排列间隙中插入受限制的元素，保证其不相邻．
﹣排除法是先计算不考虑相邻条件的排列总数，再减去相邻元素排列的情况．
﹣对于更复杂的排列问题，可以结合插空法或利用递推关系进行解题．
15．将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，2本语文书不相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：依题意，将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，
即从8个空位中选2个位置放语文书，剩余6个位置放数学书，摆放种数为：种；
利用插空法，6本数学书之间共有7个位置可以放2本语文书，摆放种数为：种，
由古典概型概率的计算公式得：．
故选：A．
16．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（　　）
A．24 B．48 C．144 D．240
【答案】C
【解答】解：将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“雨水”“谷雨”一起排列，然后将“清明”与“惊蛰”两块展板插空，
所以不同的放置方式有2×6×12＝144种．
故选：C．
17．现有A，B，C，D，E五人站成一排，则A，B相邻且C，D不相邻的排法种数共有（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【解答】解：已知A，B，C，D，E五人站成一排，要求A，B相邻且C，D不相邻，
将A，B看成一个整体，
则A，B的排列方法有种方法，
然后将这个整体与E进行全排列，
则不同的排列方式有，
最后将C，D插入到三个空中的两个中，有种方法，
根据分步计数原理可知排法种数为．
故选：C．
18．两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则不同的排法共有（　　）
A．774种 B．796种 C．144种 D．120种
【答案】C
【解答】解：甲站最左边，先不排乙和两名老师，其他三名学生任意排列有种排法，
再将两名老师（捆绑在一起）和乙插入4个空隙中，有种排法，即此时排法共有144种．
故选：C．
19．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（　　）
A．144 B．240 C．336 D．456
【答案】C
【解答】解：因为“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，
第一步，让“雨水”和“谷雨”不相邻，不同放置方式种数为；
第二步，让“雨水和“谷雨”不相邻且“白露和“寒露”相邻，不同放置方式种数为；
所以不同放置方式种数为．
故选：C．
▉题型4 部分元素相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须相邻排列．例如：在排列中，两个或多个元素必须排在一起．
﹣这类问题通常通过将相邻元素视为一个整体来简化排列．
【解题方法点拨】
﹣通过将相邻的元素看作一个整体，然后对这个整体和其他元素一起进行排列．最后，再对这个整体内部的元素进行排列．
﹣使用乘法原理，将整体的排列与内部元素的排列相乘，得到总的排列数．
﹣对于涉及多个相邻元素的问题，可以进行多重整体处理，逐层递进排列．
20．“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，有甲、乙、丙、丁、戊5名同学相约邵阳体育馆一起坐一排看湘超比赛，若甲不坐在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（　　）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解答】解：已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学相约邵阳体育馆一起坐一排看湘超比赛，若甲不坐在两端，丙和丁相邻，
若丙和丁相邻，则将丙和丁捆绑，此时相当于只有4个元素，甲不坐两端，则甲在中间两个位置二选一，有种选法，另外三个元素全排列，另外丙和丁也可以交换位置，
因此有种排列方式．
故选：B．
21．2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（　　）种．
A．32 B．28 C．24 D．20
【答案】B
【解答】解：由题意，当丁、戊相邻时，前3位甲乙丙，后两位丁戊，或前两位丁戊，后两位甲乙丙，有220，
丁、戊不相邻时，28．
不同的座位排列方法有28种．
故选：B．
22．有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（　　）
A．24种 B．48种 C．96种 D．144种
【答案】D
【解答】解：有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，
先把3名女生看成一个整体，有种排法，
再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法，
则不同的坐法有6×24＝144种坐法．
故选：D．
23．现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的方法数有（　　）
A．6种 B．20种 C．40种 D．120种
【答案】B
【解答】解：现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排且数字2，2恰好相邻，
将数字2，2捆绑，现在相当于将5个单位全排列，
且其中三个单位是一样的，共有种方法．
故选：B．
▉题型5 组合数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣组合数表示从n个不同元素中选出r个元素的总数，其公式为．
﹣组合数的化简和证明通常涉及组合数公式的推导、递推关系的应用以及组合恒等式的证明．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握组合数公式，并理解其对称性和递推关系．组合数的性质如对称性是化简计算的重要工具．
﹣证明组合恒等式时，常用的方法包括代数方法、递推公式以及归纳法．
﹣在涉及复杂组合问题时，可以使用组合数的递推关系来进行逐步化简．
24．（　　）
A．216+1 B．216 C．215+1 D．215
【答案】D
【解答】解：根据题意，（1+x）17＝1xx2x3x15x16x17，
两边求导数，得17（1+x）162x+3x3+…+15x14+16x15+17x16，
对上式取x＝1，得17×21623151617①，
取x＝﹣1，可得023151617②，
①②相加，可得2（351517）＝17×216，
化简得35151717×215，
所以（351517）＝215．
故选：D．
25．（　　）
A．55 B．120 C．165 D．220
【答案】C
【解答】解：原式
............165．
故选：C．
26．数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法．在组合数的计算中有如下性质：，．应用上述知识，计算n 2n﹣1 ．
【答案】n 2n﹣1．
【解答】解：令，
则有，
因为，
所以，
倒序相加可得：，
即n（2n﹣2）+2n＝2Sn，，
所以．
故答案为：n 2n﹣1．
▉题型6 人员及物品分配问题
【知识点的认识】
﹣人员及物品分配问题涉及将不同人员或物品进行分配的组合问题．例如：将n个人分配到k个小组，或者将m个物品分配给p个人．
﹣这类问题通常涉及组合与排列的综合应用，以及对分配方案的合理性判断．
【解题方法点拨】
﹣根据分配的要求，首先分析每种分配情况的可能性，然后分别计算不同情况的组合数或排列数．
﹣对于不同分配方式，可以使用加法原理和乘法原理进行综合计算．对于更复杂的分配问题，分类讨论是必要的．
﹣分配问题中，考虑限制条件（如某些人或物品必须被分配到特定组）的情况，可以先处理有限制的部分，再进行剩余部分的分配．
27．将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（　　）
A．90种 B．150种 C．180种 D．250种
【答案】B
【解答】解：∵5＝1+1+3＝1+2+2，
∴将5本书分成1，1，3或者1，2，2，然后分给3人即可，
若分成，1，1，3，则有60种不同的分法，
若分成1，2，2，则有 90种不同的分法，
则共有60+90＝150．
故选：B．
28．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有 　18　 种．
【答案】18．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①甲同学未被选上，有种方法；
②甲被选上且不担任主持人，有种方法，
则不同的安排方法种数为．
故答案为：18．
29．两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 　15　 种．
【答案】15．
【解答】解：根据题意，不妨记两本相同的图书为元素1，1，两本不同的音乐书为元素3，4，
需要先将4本书分为3组，再分配给3个小朋友，
分3种情况讨论：
若分为（13、1、4）的三组时，分配给三个小朋友的方法有种情况；
若分为（14、1、3）的三组时，分配给三个小朋友的方法有种情况；
若分为（1、1、34）的三组时，分配给三个小朋友的方法有种情况；
综上，不同的分法共有6+6+3＝15种．
故答案为：15．
▉题型7 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
【知识点的认识】
﹣这类问题涉及从不同类别的人员或物品中进行挑选的组合问题．例如：从若干类别的物品中各选出一定数量的组合问题．
﹣这类问题通常涉及分类讨论与组合公式的综合应用．
【解题方法点拨】
﹣首先按类别进行组合数计算，再将各类别的组合数相乘，得到总的组合数．注意区分不同类别的组合要求，以及每类物品或人员的选择范围．
﹣分类讨论是解决此类问题的有效策略，先处理每个类别的选择情况，再综合计算．
﹣在涉及多个类别的组合问题中，可以通过递推公式或生成函数来简化计算．
30．有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（　　）
A．40 B．48 C．52 D．60
【答案】B
【解答】解：有四对双胞胎共8人，先从中选出一对，有4种选择，然后从剩下的六个人中选出两人，且不能是同一对双胞胎，
这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一人，共3×2×2＝12种选法，
则其中恰有一对双胞胎的选法种数4×12＝48．
故选：B．
31．某社团书法组有3人A1，A2，A3，绘画组有3人B1，B2，B3，乐器组有2人C1，C2，现从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，则B2和C1不全被选中的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，
共有18种不同的选法，
又B2和C1全被选中有种不同的选法，
则B2和C1不全被选中的概率为．
故选：D．
32．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（　　）
A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】D
【解答】解：从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有7×6＝42种，
从3名女生中选2人分别担任班长和副部长的方法数有3×2＝6种，
所以选出的2人中至少有一名男生方法数为42﹣6＝36种．
故选：D．
33．某实践团有4个男生、3个女生，从中任选3人发起问卷调研，那么恰好有2个女生被选中的方法有　12　 种．
【答案】12
【解答】解：某实践团有4个男生、3个女生，从中任选3人发起问卷调研，
恰好有2个女生被选中时，共有种方法．
故答案为：12．
34．某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有 　14　 种不同的方法．（用数字作答）
【答案】14．
【解答】解：4名医生分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，
若按照1：3的比例，共有种分组方案；
若按照2：2的比例，共有种分组方案；
则共有种分配方案．
故答案为：14．
▉题型8 其他组合形式及计算
【知识点的认识】
﹣其他组合形式包括多重组合、环形组合、特殊排列组合等．例如：考虑相同元素或重复元素的组合，或者在特殊条件下的组合问题．
﹣这些问题通常需要综合运用组合数、排列数以及递推公式进行计算．
【解题方法点拨】
﹣在复杂组合问题中，可能需要引入递推关系或生成函数进行逐步推导．
35．已知袋中有大小相同的黑球和白球共9个，若从中任取2个，至少有一个白球的概率是，则袋中白球个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：设袋中有m个白球（0＜m＜9，m∈N），
至少有一个白球的概率是，
所以全为黑球的概率是，
即，
化简得（9﹣m）（9﹣m﹣1）＝12，
解得m＝5或m＝12（舍去）．
所以袋中白球个数为5个．
故选：C．
▉题型9 排列组合的综合应用
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
36．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（　　）种．
A．18 B．24 C．27 D．64
【答案】A
【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，
每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，
若甲被选出，从其它3位同学选2位有种，
将甲安排为记分员或秩序员有种，另2人作全排有种，
所以共有3×2×2＝12种；
若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有种，
综上，共有12+6＝18种．
故选：A．
37．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解答】解：由题意可得：5名教师志愿者有两名教师到同一个地点，另外3名教师到剩下的3个地点，
则不同的分配方案共有240种．
故选：C．
38．世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（　　）种．
A．120 B．60 C．24 D．36
【答案】D
【解答】解：根据题意可分为2种情况讨论：
第一类，若小张或小赵只有一人入选，则有种情况；
第二类，若小张，小赵都入选则有种情况，
综上可得，共有24+12＝36种不同的选派方案．
故选：D．
39．已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（　　）
A．15 B．19 C．21 D．23
【答案】C
【解答】解：随机取出5个小球，是一种颜色时，有3种不同方法．
是两种颜色时，有12种不同的方法．
选3种颜色时，有1，1，3型和1，2，2型，不同的方法是6种．
共有3+12+6＝21种不同方法．
故选：C．
40．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（　　）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】D
【解答】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为45，即选项A错误，
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误，
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误，
④每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，即选项D正确，
综合①②③④得：选项D正确，
故选：D．
41．甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（　　）
A．27种 B．36种 C．54种 D．72种
【答案】C
【解答】解：根据题意，
解法一：甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有6种情况，
此时有3×6＝18种名次排列情况；
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有6种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有6种情况，
此时有6×6＝36种名次排列情况；
则一共有36+18＝54种不同的名次情况．
解法二：第一名不能是甲乙，所以第一名就有三个同学可以选择，
最后一名不能是乙，也只能有三名同学可以选择，
第二名，第三名，第四名有种选法，
则有3×354种情况．
故选：C．
42．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（　　）种不同分配方案．
A．9 B．36 C．84 D．120
【答案】C
【解答】解：把10个名额排成一排，会产生9个空隙，
要分成7组，需要插入6个隔板，
分配方案数就是从9个空隙中选6个的组合数，即．
故选：C．
43．如图，湖北省分别与湖南，安徽，陕西，江西四省交界，且湘，皖，陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（　　）
A．540 B．600 C．660 D．720
【答案】D
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①对于湖北、湖南和江西，3个地区两两相邻，有60种选法，
②对于陕西，与湖北相邻，有4种选涂色方法，
③对于安徽，与湖北、江西相邻，有3种选涂色方法，
则有4×3＝720种涂色方案．
故选：D．
44．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有　30　 种．
【答案】30．
【解答】解：已知4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，
则4位同学排成一排准备照相时，形成了5个空隙，
又来了2位同学要加入，保持原来4位同学的相对顺序不变，
分为两种情况：
①新来的2位同学，插入两个空隙中，有20种不同的方法；
②新来的2位同学，相邻插入1个空隙中，有10种不同的方法，
由分类计数原理，可得共有20+10＝30种不同的方法．
故答案为：30．第6章第2节 排列与组合
题型1 排列数的化简计算及证明 题型2 部分位置的元素有限制的排列问题
题型3 部分元素不相邻的排列问题 题型4 部分元素相邻的排列问题
题型5 组合数的化简计算及证明 题型6 人员及物品分配问题
题型7 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题 题型8 其他组合形式及计算
题型9 排列组合的综合应用
▉题型1 排列数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣排列数表示从n个不同元素中选出r个元素，并对这r个元素进行排列的总数．其公式为．
﹣排列数的化简通常涉及阶乘的计算和分解，在某些情况下需要用排列数公式进行证明或化简．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握排列数公式的推导和应用．对于排列数的化简，可以通过分解阶乘来简化计算．
﹣在复杂问题中，可能需要将排列问题转化为递推公式进行求解或证明，或者利用对称性来简化表达式．
﹣证明排列数的恒等式时，可以通过将排列数公式展开并进行比较，或者使用数学归纳法．
1．计算的值是（　　）
A．41 B．61 C．62 D．82
2．等于（　　）
A．9×3 B．93 C．9×8×7 D．9×8×3
（多选）3．已知m，n∈N+且m≤n，则下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）4．下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．65　 ．
6．计算　 ．
7．（1）求函数y＝ln（3x﹣2）的导数；
（2）求函数的导数；
（3）求值：（用数字作答）．
8．计算下列各式．
（1）；
（2）．
9．（1）计算：；
（2）解不等式：．
▉题型2 部分位置的元素有限制的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分位置的元素排列受限是指在排列问题中，某些元素只能出现在特定位置或区域．例如：特定元素只能出现在排列的前几位或某些位置．
﹣这种问题通常要求考生在处理排列时，先考虑限制条件，再进行一般排列．
【解题方法点拨】
﹣处理此类问题时，首先对有限制的部分进行排列，将有限制的元素排好位置，然后对剩余元素进行排列组合．
﹣使用乘法原理，将有限制的排列与剩余元素的排列相乘得到总数．
﹣对于较复杂的限制条件，可能需要分类讨论，并对每种情况进行单独计算．
10．中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年3月，中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同的安排方案有（　　）
A．30种 B．60种 C．72种 D．114种
11．某校组织校运会活动，由甲、乙、丙三名志愿者负责A，B，C，D四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责A任务，则不同的任务分配方法种数为（　　）
A．12 B．18 C．24 D．30
12．园艺部门打算为一个社区休闲广场的中心花坛（如图）布置花卉，要求同一区域摆放同一种花卉，相邻的两块区域（有公共边）摆放不同种类的花卉．现有4种不同种类的花卉可供选择，则不同布置方案有（　　）
A．144种 B．120种 C．96种 D．72种
13．某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动．活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．26
（多选）14．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
▉题型3 部分元素不相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素不相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须保持不相邻．例如：在排列中，两个特定元素不能排在一起．
﹣这类问题通常通过排除法、间隔法或插空法来解决．
【解题方法点拨】
﹣使用间隔法，首先将不受限制的元素排列，然后在排列间隙中插入受限制的元素，保证其不相邻．
﹣排除法是先计算不考虑相邻条件的排列总数，再减去相邻元素排列的情况．
﹣对于更复杂的排列问题，可以结合插空法或利用递推关系进行解题．
15．将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，2本语文书不相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
16．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（　　）
A．24 B．48 C．144 D．240
17．现有A，B，C，D，E五人站成一排，则A，B相邻且C，D不相邻的排法种数共有（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
18．两名老师和甲、乙等五名学生站成一排，要求甲站最左边，两名老师相邻，且乙和老师不相邻，则不同的排法共有（　　）
A．774种 B．796种 C．144种 D．120种
19．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出二十四节气宣传橱窗，其中“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”，“白露”，“寒露”6块知识展板放置在排成一排的六个文化橱窗里，要求“雨水”和“谷雨”两块展板不相邻，且“白露”与“寒露”两块展板不相邻，则不同放置方式的种数为（　　）
A．144 B．240 C．336 D．456
▉题型4 部分元素相邻的排列问题
【知识点的认识】
﹣部分元素相邻的排列问题要求在排列过程中，特定元素必须相邻排列．例如：在排列中，两个或多个元素必须排在一起．
﹣这类问题通常通过将相邻元素视为一个整体来简化排列．
【解题方法点拨】
﹣通过将相邻的元素看作一个整体，然后对这个整体和其他元素一起进行排列．最后，再对这个整体内部的元素进行排列．
﹣使用乘法原理，将整体的排列与内部元素的排列相乘，得到总的排列数．
﹣对于涉及多个相邻元素的问题，可以进行多重整体处理，逐层递进排列．
20．“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，有甲、乙、丙、丁、戊5名同学相约邵阳体育馆一起坐一排看湘超比赛，若甲不坐在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（　　）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
21．2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（　　）种．
A．32 B．28 C．24 D．20
22．有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（　　）
A．24种 B．48种 C．96种 D．144种
23．现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的方法数有（　　）
A．6种 B．20种 C．40种 D．120种
▉题型5 组合数的化简计算及证明
【知识点的认识】
﹣组合数表示从n个不同元素中选出r个元素的总数，其公式为．
﹣组合数的化简和证明通常涉及组合数公式的推导、递推关系的应用以及组合恒等式的证明．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握组合数公式，并理解其对称性和递推关系．组合数的性质如对称性是化简计算的重要工具．
﹣证明组合恒等式时，常用的方法包括代数方法、递推公式以及归纳法．
﹣在涉及复杂组合问题时，可以使用组合数的递推关系来进行逐步化简．
24．（　　）
A．216+1 B．216 C．215+1 D．215
25．（　　）
A．55 B．120 C．165 D．220
26．数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法．在组合数的计算中有如下性质：，．应用上述知识，计算 ．
▉题型6 人员及物品分配问题
【知识点的认识】
﹣人员及物品分配问题涉及将不同人员或物品进行分配的组合问题．例如：将n个人分配到k个小组，或者将m个物品分配给p个人．
﹣这类问题通常涉及组合与排列的综合应用，以及对分配方案的合理性判断．
【解题方法点拨】
﹣根据分配的要求，首先分析每种分配情况的可能性，然后分别计算不同情况的组合数或排列数．
﹣对于不同分配方式，可以使用加法原理和乘法原理进行综合计算．对于更复杂的分配问题，分类讨论是必要的．
﹣分配问题中，考虑限制条件（如某些人或物品必须被分配到特定组）的情况，可以先处理有限制的部分，再进行剩余部分的分配．
27．将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（　　）
A．90种 B．150种 C．180种 D．250种
28．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有 　　 种．
29．两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 　　 种．
▉题型7 从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题
【知识点的认识】
﹣这类问题涉及从不同类别的人员或物品中进行挑选的组合问题．例如：从若干类别的物品中各选出一定数量的组合问题．
﹣这类问题通常涉及分类讨论与组合公式的综合应用．
【解题方法点拨】
﹣首先按类别进行组合数计算，再将各类别的组合数相乘，得到总的组合数．注意区分不同类别的组合要求，以及每类物品或人员的选择范围．
﹣分类讨论是解决此类问题的有效策略，先处理每个类别的选择情况，再综合计算．
﹣在涉及多个类别的组合问题中，可以通过递推公式或生成函数来简化计算．
30．有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（　　）
A．40 B．48 C．52 D．60
31．某社团书法组有3人A1，A2，A3，绘画组有3人B1，B2，B3，乐器组有2人C1，C2，现从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，则B2和C1不全被选中的概率为（　　）
A． B． C． D．
32．从4名男生、3名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（　　）
A．18 B．24 C．30 D．36
33．某实践团有4个男生、3个女生，从中任选3人发起问卷调研，那么恰好有2个女生被选中的方法有　　 种．
34．某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有 　　 种不同的方法．（用数字作答）
▉题型8 其他组合形式及计算
【知识点的认识】
﹣其他组合形式包括多重组合、环形组合、特殊排列组合等．例如：考虑相同元素或重复元素的组合，或者在特殊条件下的组合问题．
﹣这些问题通常需要综合运用组合数、排列数以及递推公式进行计算．
【解题方法点拨】
﹣在复杂组合问题中，可能需要引入递推关系或生成函数进行逐步推导．
35．已知袋中有大小相同的黑球和白球共9个，若从中任取2个，至少有一个白球的概率是，则袋中白球个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
▉题型9 排列组合的综合应用
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
36．某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（　　）种．
A．18 B．24 C．27 D．64
37．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
38．世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（　　）种．
A．120 B．60 C．24 D．36
39．已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（　　）
A．15 B．19 C．21 D．23
40．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（　　）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
41．甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（　　）
A．27种 B．36种 C．54种 D．72种
42．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（　　）种不同分配方案．
A．9 B．36 C．84 D．120
43．如图，湖北省分别与湖南，安徽，陕西，江西四省交界，且湘，皖，陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（　　）
A．540 B．600 C．660 D．720
44．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有　　 种．

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