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第7章第3节 离散型随机变量的数字特征
题型1 离散型随机变量的均值（数学期望） 题型2 离散型随机变量的方差与标准差
▉题型1 离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
1．已知随机变量X～B（8，p），且E（X）＝5，则p＝（　　）
A． B． C． D．
2．大数据语言的单次预训练过程大致遵循Chinchilla缩放定律，其中是在经过单次训练后具有N个参数的模型的测试损失的期望，A，B，α是常数，已知2，B＝﹣2，A＞0，则A的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
3．将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为ξ，则E（ξ）＝（　　）
A． B． C． D．
4．不透明袋子里装有大小、材质完全相同的3个白球、8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数X的数学期望E（X）＝（　　）
A． B． C． D．
5．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，则P（X＜2）＝（　　）
A． B． C． D．1
6．随机变量X的分布列为，则E（X）＝（　　）
A． B． C．2 D．
7．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两白球，可获得价值b百元代金券；摸到两红球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（　　）百元代金券
A．5.4 B．9 C．12 D．18
8．已知随机变量X满足E（3X+1）＝10，D，则（　　）
A．E（X）＝31，D（X）＝4 B．E（X）＝3，
C．E（X）＝3，D（X）＝1 D．E（X）＝31，D（X）＝1
9．飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则E（X）＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
（多选）10．袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球．现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为X，则（　　）
A．随机变量X服从超几何分布
B．
C．E（2X﹣1）＝1
D．记这4个球中白球的个数为Y，则D（X）＝D（Y）
11．互联网的快速发展和应用给人们的生活带来诸多便利，比如网上购物，它给消费者提供了更多选择，节约大量时间．某网购平台为了提高2025年的销售额，年底前一个月组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙，丁四人计划在该购物平台分别参加A，B，C，D四家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知此四人在这四家网店订单“秒杀”成功的概率均为p，四人是否抢购成功互不影响．记四人抢购到的订单总数为随机变量X．
（1）若，求X的分布列以及均值E（X），方差D（X）；
（2）已知每个订单由k（k≥2，k∈N*）件商品构成，记四人抢购到的商品总数量为Y，假设，求E（Y）取最小值时正整数k的值．
12．国家近年来对机器人的研究，尤其是在人形机器人和具身智能领域方面，出台了一系列的政策，旨在推动技术创新、产业升级和规模化应用．某学校为响应国家号召，培养学生的创新能力，举办机器人比赛，经过初赛，甲班团队和乙班团队进入了决赛阶段．决赛阶段规定：对每一轮比赛，获胜方记1分，另一方记0分，无平局；当两团队累积得分的分差为3分时，比赛结束，累积得分高的团队获冠军．若每轮比赛中，甲班团队获胜的概率为，且每轮比赛的结果相互独立．
（1）若比赛结束时恰好进行了3轮比赛，求甲班团队获得冠军的概率；
（2）（i）若比赛最多进行5轮，求比赛结束时比赛轮数X的分布列及数学期望E（X）；
（ii）若比赛轮数不限制，求甲班团队获得冠军的概率．
13．21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
内饰 外观 红色外观 蓝色外观
棕色内饰 10 10
米色内饰 2 3
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立．
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色．
假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元
请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．
14．某强基计划试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）．随机抽取5名考生的测试结果如表：
x 6 8 9 t 12
y 2 3 4 5 6
（1）若学科知识整合能力指标的平均值，
（ⅰ）求t的值；
（ⅱ）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标；
（附：经验回归方程中和的最小二乘估计分别为，
（2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立；
甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X；
乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，
通过科目数记为随机变量Y；
若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校．
15．会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60%，女会员占40%．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为．
（1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
（2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为X，求X的分布列和数学期望．
16．人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧．某科技公司计划开发三款不同的大语言模型A，B，C．每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收．只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立．只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布．已知A，B，C三款模型通过算法设计评审的概率依次为，，，通过工程部署验收的概率依次为，，．
（1）求A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审的概率；
（2）若已知A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为A的概率；
（3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，A，B，C三款模型能成功上线的数量为随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）．
17．某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记2分，其余记1分．每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响．
（1）求三局比赛中，人类队累计得分Y的分布列和数学期望；
（2）若n局（n∈N*）比赛中，人类队累计得分为（n+2）分的概率为P（n），求；
（3）若采用“比赛赛满2n﹣1局，胜方至少获得n局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为A（n）；若采用“比赛赛满2n+1局，胜方至少获得（n+1）局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为A（n+1），比较A（n）与A（n+1）的大小，并说明其统计意义．
18．某商场在双十一期间举办优惠促销活动，顾客消费满500元（含500元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）．
方案1：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减100元，若3次都摸到红球，则额外再减100元（即总共减400元）；
方案2：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．
（1）顾客小明选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
（2）顾客小红恰好消费了500元，试从实付金额的期望值角度，分析他选择何种抽奖方案更合理．
▉题型2 离散型随机变量的方差与标准差
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
19．某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为X，记X的所有取值的平均数为，方差为s2，则（　　）
A． B． C． D．s2＜D（2X）
20．设1＜a＜2，随机变量X的分布列，如表，则当a在（1，2）内增大时（　　）
X 1 a 2
P
A．D（X）增大 B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大
21．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1、2、3、4、5，用X表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（　　）
A．
B．P（X＝k）≤P（X＝3）（k＝1，2，3，4，5）
C．E（X）＝2
D．D（X）＝1
22．某企业将9个培训名额分配给4个部门，每个部门至少分得1个名额，设ξ为这4个部门中分得的最少名额数，则ξ的方差为（　　）
A． B． C． D．
23．设离散型随机变量X的方差为0.01，则随机变量Y＝10X+1的方差为（　　）
A．1.1 B．0.1 C．1 D．10
24．已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则D（X）＝ 　　 ．
25．某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且X～N（98，σ2），对于X≥100的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间（96，100）的个数，则随机变量Y的方差是 　　 ．
26．袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次．按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为ξ．
下列结论中正确的是 　　
①E（X）：E（Y）＝5：2；
②D（X）＞D（Y）；
③E（X）＝E（ξ）；
④D（X）＜D（ξ）．
（注：随机变量X的期望记为E（X）、方差记为D（X））
27．已知离散型随机变量X的方差为64，则　　 ．
28．若随机变量X～B（6，0.5），且随机变量Y＝2X+1，则D（Y）＝ 　　 ．
29．某地区有小学生9600人，初中生8600人，高中生4500人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
（2）成绩位列前15%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分；
（3）已知落在[60，70）内的平均成绩为66，方差是9，落在[60，80）内的平均成绩是72，方差是27，求落在[70，80）内的平均成绩和方差．
附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差s2．第7章第3节 离散型随机变量的数字特征
题型1 离散型随机变量的均值（数学期望） 题型2 离散型随机变量的方差与标准差
▉题型1 离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
1．已知随机变量X～B（8，p），且E（X）＝5，则p＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：随机变量X～B（8，p），且E（X）＝5，
∴E（X）＝np＝8p＝5，解得．
故选：A．
2．大数据语言的单次预训练过程大致遵循Chinchilla缩放定律，其中是在经过单次训练后具有N个参数的模型的测试损失的期望，A，B，α是常数，已知2，B＝﹣2，A＞0，则A的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：因为2，且B＝﹣2，代入条件可得，
所以，令，则t＞0，
所以At2﹣2At+2＝0，即A（t2﹣2t）＝﹣2，
因为A＞0，所以t2﹣2t＜0，2t﹣t2＞0，
则，
令y＝2t﹣t2＝﹣（t﹣1）2+1，t＞0，
当t＝1时，y的最大值为1，
所以0＜2t﹣t2≤1，则，即A的最小值为2．
故选：C．
3．将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为ξ，则E（ξ）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，1号盒子中小球的个数ξ的可能取值为0或1或2，
根据，，，
可得E（ξ）＝012．
故选：A．
4．不透明袋子里装有大小、材质完全相同的3个白球、8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数X的数学期望E（X）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为不透明袋子里装有大小、材质完全相同的3个白球、8个黑球，
现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，
所以选取次数X＝1，2，3，4，
又，，
，，
所以．
故选：B．
5．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，则P（X＜2）＝（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解答】解：有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，
则P（X＜2）＝P（X＝0）+P（X＝1）
．
故选：C．
6．随机变量X的分布列为，则E（X）＝（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解答】解：因为随机变量X的分布列为，
所以．
故选：B．
7．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两白球，可获得价值b百元代金券；摸到两红球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（　　）百元代金券
A．5.4 B．9 C．12 D．18
【答案】D
【解答】解：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球，
若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券，摸到两白球，可获得价值b百元代金券，摸到两红球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数），
已知每位员工平均可得5.4百元代金券，
若摸到一红球一白球的概率，
若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率，
设可获得百元代金券为变量X＝a，b，ab分布列如下，
X a b ab
P
a，b∈Z，
运气最好者获得ab百元代金券，
即6a+3b+ab＝54，，
则，
当，即a＝3，b＝6时等号成立，
所以ab的最大值为18，
估计运气最好者至多获得18个百元代金券．
故选：D．
8．已知随机变量X满足E（3X+1）＝10，D，则（　　）
A．E（X）＝31，D（X）＝4 B．E（X）＝3，
C．E（X）＝3，D（X）＝1 D．E（X）＝31，D（X）＝1
【答案】C
【解答】解：因为E（3X+1）＝10，
所以3E（X）+1＝10，
解得E（X）＝3，
因为，
所以2D（X）＝2，
解得D（X）＝1．
故选：C．
9．飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则E（X）＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：玩家投掷1次即可到达终点的方法是掷出3点，
∴，
玩家投掷2次即可到达终点的方法是掷出：
（1，2），（2，1），（4，1），（5，2），（6，3），共5种情况，
∴，
玩家投掷3次即可到达终点的方法是掷出：
（1，1，1），（1，3，1），（1，4，2），（1，5，3），（1，6，4），
（2，2，1），（2，3，2），（2，4，3），（2，5，4），（2，6，5），
（4，2，1），（4，3，2），（4，4，3），（4，5，4），（4，6，5），
（5，1，1），（5，3，1），（5，4，2），（5，5，3），（5，6，4），
（6，1，2），（6，2，1），（6，4，1），（6，5，2），（6，6，3），共25种情况，
∴，
设玩家投掷n次即可到达终点，那么第n次掷得的点数可以为1，2，3，4，5，
分别记作（ ，1），（ ，2），（ ，3），（ ，4），（ ，5），
则玩家投掷n+1次的基本事件是投掷n次的6倍，能到达终点的掷法：
之前的（ ，1）对应（ ，2，1），（ ，3，2），（ ，4，3），（ ，5，4），（ ，6，5）；
（ ，2）对应（ ，1，1），（ ，3，1），（ ，4，2），（ ，5，3），（ ，6，4）；
（ ，3）对应（ ，1，2），（ ，2，1），（ ，4，1），（ ，5，2），（ ，6，3）；
（ ，4）对应（ ，1，3），（ ，2，2），（ ，3，1），（ ，5，1），（ ，6，2）；
（ ，5）对应（ ，1，4），（ ，2，3），（ ，3，2），（ ，4，1），（ ，6，1），
∴玩家投掷n+1次即可到达终点的掷法是投掷n次即可到达终点的5倍．
∴P（X＝n）是以为首项，以为公比的等比数列．
∴P（X＝n），
∴，
∴，①
两边同乘以，得5E（X）3×（）3+…，②
①﹣②，得该玩家到达终点时投掷骰子的次数X的数学期望为：
．
故选：D．
（多选）10．袋中有8个大小相同的球，其中3个黑球、5个白球．现从中任取4个球，记这4个球中黑球的个数为X，则（　　）
A．随机变量X服从超几何分布
B．
C．E（2X﹣1）＝1
D．记这4个球中白球的个数为Y，则D（X）＝D（Y）
【答案】ABD
【解答】解：对于A，根据超几何分布的定义可以判断，题干符合定义，故A正确；
对于B，，
，所以，故B正确；
对于C，因为X H（4，3，8），所以，所以E（2X﹣1）＝2E（X）﹣1＝2，故C错误；
对于D，因为D（Y）＝D（4﹣X）＝D（﹣X）＝D（X），故D正确．
故选：ABD．
11．互联网的快速发展和应用给人们的生活带来诸多便利，比如网上购物，它给消费者提供了更多选择，节约大量时间．某网购平台为了提高2025年的销售额，年底前一个月组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙，丁四人计划在该购物平台分别参加A，B，C，D四家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知此四人在这四家网店订单“秒杀”成功的概率均为p，四人是否抢购成功互不影响．记四人抢购到的订单总数为随机变量X．
（1）若，求X的分布列以及均值E（X），方差D（X）；
（2）已知每个订单由k（k≥2，k∈N*）件商品构成，记四人抢购到的商品总数量为Y，假设，求E（Y）取最小值时正整数k的值．
【答案】（1）
X 0 1 2 3 4
P
，；
（2）3或4．
【解答】解：（1）随机变量X的取值为0，1，2，3，4，满足二项分布，
，，
，，
．
X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
将表格数据代入期望公式可得，；
（2）每个订单对应k（k≥2，k∈N*）个商品，所以Y＝kX，
又因为X满足二项分布X～B（4，p），
则，
令，
则，
k＝2时，f（3）﹣f（2）＜0，所以f（3）＜f（2）；
k＝3时，f（4）＝f（3）；
k＞3时，f（k+1）﹣f（k）＞0恒成立，即f（k）＞f（4）恒成立；
所以E（Y）取最小值时正整数的值为3或4．
12．国家近年来对机器人的研究，尤其是在人形机器人和具身智能领域方面，出台了一系列的政策，旨在推动技术创新、产业升级和规模化应用．某学校为响应国家号召，培养学生的创新能力，举办机器人比赛，经过初赛，甲班团队和乙班团队进入了决赛阶段．决赛阶段规定：对每一轮比赛，获胜方记1分，另一方记0分，无平局；当两团队累积得分的分差为3分时，比赛结束，累积得分高的团队获冠军．若每轮比赛中，甲班团队获胜的概率为，且每轮比赛的结果相互独立．
（1）若比赛结束时恰好进行了3轮比赛，求甲班团队获得冠军的概率；
（2）（i）若比赛最多进行5轮，求比赛结束时比赛轮数X的分布列及数学期望E（X）；
（ii）若比赛轮数不限制，求甲班团队获得冠军的概率．
【答案】（1）；
（2）（i）X的分布列为：
X 3 5
P
E（X）；（ii）．
【解答】解：（1）设事件Ai为“第i轮比赛甲班团队获胜”，由题意得．
设事件C表示“当比赛结束时恰好进行了3轮比赛，且甲班团队获得冠军”，因为每轮比赛的结果相互独立，
则，
故甲班团队获得冠军的概率为．
（2）（i）由题意得，事件为“第i轮比赛乙班团队获胜”，，
X的所有可能值为3，5．
所以，
．
所以X的分布列为：
X 3 5
P
所以．
（ii）设事件E表示“比赛轮数不限制，甲班团队获得冠军”．
设比赛过程中，甲班团队与乙班团队累积得分的分差为Y，P（Y＝k）表示Y＝k时最终甲班团队获得冠军的概率，
其中k∈{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}．
由题意知P（Y＝3）＝1，P（Y＝﹣3）＝0，P（Y＝0）＝P（E）．
根据全概率公式有，
所以，
迭代得
，
所以，
，
，
累加得，
所以，
故P（Y＝0）＝P（Y＝0）﹣P（Y＝﹣3）＝P（Y＝0）﹣P（Y＝﹣1）+P（Y＝﹣1）﹣P（Y＝﹣2）+P（Y＝﹣2）﹣P（Y＝﹣3），
所以，
即，
故若比赛轮数不限制，甲班团队获得冠军的概率为．
13．21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
内饰 外观 红色外观 蓝色外观
棕色内饰 10 10
米色内饰 2 3
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立．
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色．
假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元
请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．
【答案】（1），，不独立；
（2）
X 800 500 300
P
446．
【解答】解：（1）根据古典概型可得，
根据条件概率可得，，
因为P（AB）≠P（A）P（B），所以A，B不独立；
（2）记外观与内饰均同色为事件A1，外观与内饰都异色为事件A2，仅外观或仅内饰同色为事件A3，
则，
，
，
因为P（A2）＜P（A1）＜P（A3），
所以X的分布列：
X 800 500 300
P
将上述数据代入期望公式可得．
14．某强基计划试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）．随机抽取5名考生的测试结果如表：
x 6 8 9 t 12
y 2 3 4 5 6
（1）若学科知识整合能力指标的平均值，
（ⅰ）求t的值；
（ⅱ）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标；
（附：经验回归方程中和的最小二乘估计分别为，
（2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立；
甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X；
乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，
通过科目数记为随机变量Y；
若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校．
【答案】（1）（ⅰ）t＝10；（ⅱ），7.5；
（2）该考生更应报考乙高校，由题易知随机变量X满足二项分布，
所以，
设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，随机变量Y的取值为0，1，2，3，
，
，
，
．
则，
则该考生更应报考乙高校．
【解答】解：（1）（ⅰ）因为，所以可得t＝10，
（ⅱ），
（6﹣9）×（2﹣4）+（8﹣9）×（3﹣4）+（9﹣9）×（4﹣4）+（10﹣9）×（5﹣4）+（12﹣9）×（6﹣4）＝14，
，
故，
则，
则．
当x＝14时，；
（2）由题易知随机变量X满足二项分布，
所以，
设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，随机变量Y的取值为0，1，2，3，
，
，
，
．
则，
则该考生更应报考乙高校．
15．会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60%，女会员占40%．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为．
（1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
（2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）；
（2）X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E（X）．
【解答】解：（1）记事件A1：会员为男会员，A2：会员为女会员，事件B：对服务质量满意，
则由题可知，，，，，
所以；
（2）X可能的取值为0，1，2，3，
则，P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3），
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0．
16．人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧．某科技公司计划开发三款不同的大语言模型A，B，C．每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收．只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立．只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布．已知A，B，C三款模型通过算法设计评审的概率依次为，，，通过工程部署验收的概率依次为，，．
（1）求A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审的概率；
（2）若已知A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为A的概率；
（3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，A，B，C三款模型能成功上线的数量为随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
X 0 1 2 3
P
．
【解答】解：（1）设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件M，N，T，且恰有一款通过算法设计评审为事件D，
则根据全概率公式可得
；
（2）；
（3）设A模型能成功上线为事件Q，B模型能成功上线为事件W，C模型能成功上线为事件R，
则，，，
由题易知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
离散型随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
将表格数据代入期望公式可得．
17．某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记2分，其余记1分．每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响．
（1）求三局比赛中，人类队累计得分Y的分布列和数学期望；
（2）若n局（n∈N*）比赛中，人类队累计得分为（n+2）分的概率为P（n），求；
（3）若采用“比赛赛满2n﹣1局，胜方至少获得n局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为A（n）；若采用“比赛赛满2n+1局，胜方至少获得（n+1）局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为A（n+1），比较A（n）与A（n+1）的大小，并说明其统计意义．
【答案】（1）
Y 3 4 5 6
P
4；
（2）；
（3）A（n+1）＜A（n）；在人类队每局获胜概率为的条件下，局数越多，人类队获胜的概率越小．
【解答】解：（1）由题易知，离散型随机变量Y的取值为3，4，5，6，
，
，
，
．
随机变量Y的分布列：
Y 3 4 5 6
P
将表格数据代入期望公式可得；
（2）依题意易知，n局比赛中有2局人类队取胜，
所以当n≥2时，可以得到，
当n＝1时，P（1）＝0也符合上式，
所以可得，
，
令，
，
（*）﹣（**）得：，
，
故可以得到，
所以得到；
（3）用C事件表示“赛满2n+1局人类队获胜”，
则事件C发生包含如下两种情况：
第一阶段赛满2n﹣1局人类队胜，记为事件A1，和第一阶段赛满2n﹣1局人类队负，记为事件A2，
所以可以得到C＝A1C+A2C，P（C）＝P（A1C）+P（A2C），
①若第一阶段人类队胜，则人类队在前2n﹣1局至少胜n局，分为人类队至少胜n+1局和人类队恰好胜n局，
（i）若人类队至少胜n+1局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜；
（ii）若人类队恰好胜n局，且后面两局中人类队均负的概率为：，
所以可得，
②若第一阶段人类负，则人类队恰好胜了n﹣1局，而后两局必须全胜才能使得人类队最后获胜，
所以可以得到，
所以，
，
进而得到A（n+1）＜A（n），
在人类队每局获胜概率为的条件下，局数越多，人类队获胜的概率越小．
18．某商场在双十一期间举办优惠促销活动，顾客消费满500元（含500元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）．
方案1：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减100元，若3次都摸到红球，则额外再减100元（即总共减400元）；
方案2：从装有3个红球，2个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．
（1）顾客小明选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
（2）顾客小红恰好消费了500元，试从实付金额的期望值角度，分析他选择何种抽奖方案更合理．
【答案】（1）；
（2）选择方案1更合理，理由如下：
若选方案1，设实付金额数为X1，则X1的可能值为100，300，400，500，
注意到有放回地摸到一次红球的概率为，摸到一次黑球的概率为，
则，
，
则；
若选方案2，设实付金额数为X2，则X2的可能值为0，250，500，
由（1）可得无放回摸出三球的情况有种，
则，
，
则；
因E（X1）＜E（X2），则他选择方案1更合理．
【解答】解：（1）设他第一次摸出红球为事件A，则，
设他能够享受优惠为事件B，剩余球为2红2黑，
则他第一次摸出红球，剩下两球均为红色的情况有种，
他第一次摸出红球，剩下两球为1红1黑的情况有种，
则，则他第一次摸出红球，他能够享受优惠的概率为：
；
（2）若选方案1，设实付金额数为X1，则X1的可能值为100，300，400，500，
注意到有放回地摸到一次红球的概率为，摸到一次黑球的概率为，
则，
，
则；
若选方案2，设实付金额数为X2，则X2的可能值为0，250，500，
由（1）可得无放回摸出三球的情况有种，
则，
，
则；
因E（X1）＜E（X2），则他选择方案1更合理．
▉题型2 离散型随机变量的方差与标准差
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
19．某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为X，记X的所有取值的平均数为，方差为s2，则（　　）
A． B． C． D．s2＜D（2X）
【答案】D
【解答】解：由题知X的所有可能取值为0，1，2，
则1，s2，
因为，，，
所以，故A错误；
由于1E（X），故C错误；
，故B错误；
，则，故D正确．
故选：D．
20．设1＜a＜2，随机变量X的分布列，如表，则当a在（1，2）内增大时（　　）
X 1 a 2
P
A．D（X）增大 B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大
【答案】D
【解答】解：由题可知：，
，
因为二次函数的对称轴为，开口向上，
因此当a在（1，2）内增大时，所以D（X）先减小后增大．
故选：D．
21．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1、2、3、4、5，用X表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（　　）
A．
B．P（X＝k）≤P（X＝3）（k＝1，2，3，4，5）
C．E（X）＝2
D．D（X）＝1
【答案】C
【解答】解：设Y＝X﹣1，
此时，
对于选项A：，故选项A正确；
对于选项B：，
所以，
则P（X＝k）≤P（X＝3）（k＝1，2，3，4，5），故选项B正确；
对于选项C：，故选项C错误；
对于选项D：，故选项D正确．
故选：C．
22．某企业将9个培训名额分配给4个部门，每个部门至少分得1个名额，设ξ为这4个部门中分得的最少名额数，则ξ的方差为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可知，ξ的所有可能取值为1，2，
某企业将9个培训名额分配给4个部门，每个部门至少分得1个名额，
利用隔板法，得到总分配方法有56种，
当ξ＝2时，每个部门至少2个名额，剩余1个名额有4种分配方法，
所以分配方法有4种，
当ξ＝1时，分配方法有56﹣4＝52种，
所以P（ξ＝1），P（ξ＝2），
所以E（ξ）＝1，
所以D（ξ）．
故选：C．
23．设离散型随机变量X的方差为0.01，则随机变量Y＝10X+1的方差为（　　）
A．1.1 B．0.1 C．1 D．10
【答案】C
【解答】解：因为离散型随机变量X的方差为0.01，
所以D（X）＝0.01，
所以D（10X+1）＝102×D（X）＝1．
故选：C．
24．已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则D（X）＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意可得X＝0，1，
又，，
则E（X），
．
故答案为：．
25．某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且X～N（98，σ2），对于X≥100的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间（96，100）的个数，则随机变量Y的方差是 　45　 ．
【答案】45．
【解答】解：X～N（98，σ2），
则规格指标位于区间（96，100）的概率为1﹣0.05×2＝0.9，
故Y～B（500，0.9），
所以随机变量Y的方差是500×0.9×0.1＝45．
故答案为：45．
26．袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次．按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为ξ．
下列结论中正确的是 　①③④　
①E（X）：E（Y）＝5：2；
②D（X）＞D（Y）；
③E（X）＝E（ξ）；
④D（X）＜D（ξ）．
（注：随机变量X的期望记为E（X）、方差记为D（X））
【答案】①③④．
【解答】解：由题意抽取3次按不放回抽取，可得红球个数X的可能取值为1，2，3，黑球个数Y的可能取值为2，1，0，
则，
，
，
故 ；
由题意可知X+Y＝3，
故，
，
，
故．
故，故①正确；
，
，
即D（X）＝D（Y），故②错误；
抽取3次按放回抽取，每次抽取到红球的概率为，得到红球的个数记为ξ，
则，
故，．
故E（X）＝E（ξ），D（x）＜D（ξ），即③，④正确．
故答案为：①③④．
27．已知离散型随机变量X的方差为64，则　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：由题知D（X）＝64，
根据离散型随机变量的方差的性质可知．
故答案为：4．
28．若随机变量X～B（6，0.5），且随机变量Y＝2X+1，则D（Y）＝ 　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：因为X～B（6，0.5），
所以D（X）＝6×0.5×（1﹣0.5）＝1.5．
又Y＝2X+1，
所以D（Y）＝4D（X）＝6．
故答案为：6．
29．某地区有小学生9600人，初中生8600人，高中生4500人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
（2）成绩位列前15%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分；
（3）已知落在[60，70）内的平均成绩为66，方差是9，落在[60，80）内的平均成绩是72，方差是27，求落在[70，80）内的平均成绩和方差．
附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差s2．
【答案】（1）估计平均数为71；估计众数为75；
（2）86分；
（3）平均成绩和方差分别为75，9．
【解答】解：（1）根据频率分布直方图，估计平均数为：
45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71；
估计众数为75；
（2）因为各组的频率依次为0.1，0.15，0.15，0.3，0.25，0.05，
所以第85%分位数在（80，90）内，且为86，
所以估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为86分；
（3）因为[60，70）与[70，80）的频率之比为0.15：0.3＝1：2，
设落在[70，80）内的平均成绩和方差分别为x，y，
又落在[60，70）内的平均成绩为66，方差是9，落在[60，80）内的平均成绩是72，方差是27，
所以72，解得x＝75，
所以27，解得y＝9，
所以落在[70，80）内的平均成绩和方差分别为75，9．

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