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第7章第4节 二项分布与超几何分布
题型1 n重伯努利试验与二项分布 题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差 题型4 超几何分布
▉题型1 n重伯努利试验与二项分布
【知识点的认识】
1、二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、独立重复试验：
（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．
（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．
（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
【解题方法点拨】
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
1．已知随机变量，则P（X≤1）＝（　　）
A． B． C． D．
2．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有k名女性的可能性最大，则k的值为（　　）
A．8 B．7或8 C．9 D．8或9
3．设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．已知随机变量X～B（3，p），若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．已知随机变量ξ～B（16，0.5），若ξ＝2η+3，则D（η）等于（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
（多选）6．随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，则（　　）
A． B． C．E（X）＝E（Y） D．D（X）＝D（Y）
（多选）7．下列说法正确的是（　　）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B．对于随机事件A与B，若，P（B|A）＝0.7，则事件A与B独立
C．若随机变量X～B（6，p），E（X）＝4.8，若P（X＝k）最大，则D（kX+1）＝24
D．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则
（多选）8．下列命题中，正确的有（　　）
A．若随机变量X～N（2，σ2），P（X＞1）＝0.68，则P（2≤X＜3）＝0.18
B．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第70%分是7
C．若随机变量，则
D．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.97，rB＝﹣0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强
9．5个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，检验后放回，连续抽检3次，则抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为 　　 ．
10．已知随机变量X～N（μ，σ2），Y～B（8，p），且，则p＝　　 ．
▉题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【知识点的认识】
一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．
【解题方法点拨】
例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是 　　 ．
解：由题设知p（1﹣p）2p2（1﹣p），
解p≤1，
故答案为：[，1]．
本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中．
11．一质点在数轴上从原点出发连续跳动，其中第i（i∈N*）次向右或向左跳动i个单位长度，每次向右跳动的概率为，向左跳动的概率为，若某次跳动后距离原点不小于3个单位长度即停止跳动，则恰好跳动4次后停止跳动的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（　　）
A．0.64 B．0.512 C．0.384 D．0.128
（多选）13．某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，若他随意地拨号，则下列说法中正确的是（　　）
A．第1次就接通电话的概率是
B．若已知最后一位数字是奇数，则第1次就接通电话的概率是
C．拨号不超过3次接通电话的概率是
D．若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过3次就接通电话的概率是
14．在一个盒子中装有4张卡片，卡片上的编号依次为1，2，3，4，现从中有放回地抽取m次卡片，每次仅抽取1张，记这m次抽取的卡片的最大编号为X，则使得成立的最小的m的值为　　 ．
15．已知A，B，C3人进行射击比赛，且A，B，C一次射击命中10环的概率分别为0.9，0.9，0.95，若他们每人射击一次，则至少有2人命中10环的概率为 　　 ．
16．某射手每次射击命中目标的概率均为0.9，且各次射击结果相互独立．若该射手射击5次，则恰好命中3次的概率为 　　 ．（用数字作答）
17．某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为　　 .（用数值作答）
18．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛．已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m道试题的概率为f（m），则当m＝　　 时，f（m）取得最大值．
19．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P（ξ＝4）＝　　 ．
20．某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为．
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．
▉题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差
【知识点的认识】
二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率．
﹣方差：．
【解题方法点拨】
﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．
21．统计与概率在数学领域中有重要的应用价值，下列说法正确的是（　　）
A．相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱
B．甲、乙两箱中均装有红、白两种颜色的球，小球除颜色外完全相同，甲箱中有8颗红球，2颗白球，分别从甲箱和乙箱中摸一个球，在甲箱中摸出白球的情况下乙箱摸出红球的概率为，则乙箱中红、白两种球数量不相等
C．离散型随机变量X服从二项分布，记作X～B（50，0.2），则D（X）＝8
D．离散型随机变量X服从超几何分布，记作X～H（6，4，9），变量Y＝2X+1，则E（Y）＝13
22．某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X，且X服从二项分布，则以下说法错误的是（　　）
A．
B．
C．E（4X+1）＝10
D．
23．已知随机变量X～B（n，p），且E（X）＝12，D（X），当P（X＝i）取得最大值时，i＝（　　）
A．12或13 B．13 C．11或12 D．12
24．已知随机变量ξ～B（16，p），则“D（ξ）＝3”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
25．若投掷一枚图钉，每次针尖向上的概率都是，连续投掷3次，记针尖向上的次数为随机变量X，则（　　）
A． B．
C．E（2X+1）＝3 D．
26．设随机变量，且E（X）＞1．若8名党员中有名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为Y，则P（Y＝3）＝（　　）
A． B． C． D．
27．已知随机变量X～B（n，p），若D（2X）＝2E（X），则p＝（　　）
A． B． C． D．
28．已知随机变量X服从二项分布B（5，0.4），则E（X）＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．甲同学每次投篮命中的概率为p，在投篮6次的实验中，命中次数X的均值为2.4，则X的方差为（　　）
A．1.24 B．1.44 C．1.2 D．0.96
（多选）30．已知随机变量，则（　　）
A．
B．当P（X＝k）取最大值时，k＝5
C．E（2X+2）＝10
D．D（2X）＝10
▉题型4 超几何分布
【知识点的认识】
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝K），k＝m，m+1，m+2，...，r．
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
【解题方法点拨】
超几何分布的求解步骤：
（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．
（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．
（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
31．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（　　）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
（多选）32．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查．已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则（　　）
A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人
B．随机变量
C．随机变量X的数学期望为
D．若事件A＝“抽取的3人都感兴趣”，则
（多选）33．一个袋子中装有N（N＝5n，n∈N*）个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比40%．现从袋子中随机摸出3个球，用X，Y分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（　　）
A．E（X）＝E（Y）
B．若N＝20，则
C．若N＝20，则
D． N＝5n，n∈N*，P（X＝2）＞P（Y＝2）
（多选）34．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（　　）
A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分，则X服从超几何分布
B．若X表示取出的黑球的个数，则X服从超几何分布
C．若X表示取出白球的个数，则
D．若X表示取出黑球的个数，则P（X≥3）
35．一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P（X＝1）＝ 　　 ．
36．从含有6件正品和4件次品的正品中任取3件，记X为所抽取的次品数，则E（X）＝　 ．
37．幸福农场生产的某批次20件产品中含有n（3≤n≤13）件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件．
（1）若n＝3，求取出的产品中次品不超过1件的概率；
（2）记f（n）＝P（X＝3），则当n为何值时，f（n）取得最大值．第7章第4节 二项分布与超几何分布
题型1 n重伯努利试验与二项分布 题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差 题型4 超几何分布
▉题型1 n重伯努利试验与二项分布
【知识点的认识】
1、二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、独立重复试验：
（1）独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．
（2）一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并称p为成功概率．
（3）独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．
（4）独立重复试验概率公式的特点：Pn（k）pk（1﹣p）n﹣k，是n次独立重复试验中某 事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
【解题方法点拨】
独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
1．已知随机变量，则P（X≤1）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：随机变量，
则．
故选：D．
2．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有k名女性的可能性最大，则k的值为（　　）
A．8 B．7或8 C．9 D．8或9
【答案】D
【解答】解：已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有k名女性的可能性最大，
抽到的女性人数为X，则，
若抽到k名女性的可能性最大，则
即解得8≤k≤9，
又k∈N+，故k＝8或9．
故选：D．
3．设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为函数存在零点，
则（2）2﹣4X≥0，
所以X≤5，
则P（X≤5）＝1﹣P（X＝6）＝1，
故选：C．
4．已知随机变量X～B（3，p），若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：随机变量X～B（3，p），
则P（X＝k），
P（X＝2）+P（X＝3）2p3+3p2，，
令f（x）＝﹣2x3+3x2，，
则f'（x）＝﹣6x2+6x＞0，即f（x）在上单调递增，
当x时，f（x）取得最小值，当x＝1时，函数f（x）＝1，
故的取值范围是．
故选：B．
5．已知随机变量ξ～B（16，0.5），若ξ＝2η+3，则D（η）等于（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【解答】解：随机变量ξ～B（16，0.5），
∴D（ξ）＝16×0.5×0.5＝4，
∵ξ＝2η+3，∴ηξ，
∴D（η）＝（）2D（ξ）1．
故选：A．
（多选）6．随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即，则（　　）
A． B． C．E（X）＝E（Y） D．D（X）＝D（Y）
【答案】ABC
【解答】解：对于A：由X N（2，4），所以，故A正确；
对于B：由，所以，故B正确；
对于C：由，所以E（X）＝E（Y），故C正确；
对于D：由，所以D（X）＞D（Y），故D错误．
故选：ABC．
（多选）7．下列说法正确的是（　　）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B．对于随机事件A与B，若，P（B|A）＝0.7，则事件A与B独立
C．若随机变量X～B（6，p），E（X）＝4.8，若P（X＝k）最大，则D（kX+1）＝24
D．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则
【答案】BCD
【解答】解：对于A，把数据从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，因为10×70%＝7，
则这组数据的第70百分位数为，故A错误；
对于B，，又，所以P（AB）＝P（A）P（B），即事件A与B相互独立，故B正确；
对于C，因为随机变量X～B（6，p），所以E（X）＝np＝6p＝4.8，故p＝0.8，又，当P（X＝k）最大时，k＝5；
又D（X）＝np（1﹣p）＝6×0.8×（1﹣0.8）＝0.96，
此时D（kX+1）＝D（5X+1）＝52×D（X）＝25×0.96＝24，故C正确；
对于D，因为随机变量ξ服从正态分布N（0，1），所以正态曲线关于直线ξ＝0对称，又因为P（ξ＞1）＝p，所以P（ξ＜﹣1）＝p，所以，故D正确．
故选：BCD．
（多选）8．下列命题中，正确的有（　　）
A．若随机变量X～N（2，σ2），P（X＞1）＝0.68，则P（2≤X＜3）＝0.18
B．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第70%分是7
C．若随机变量，则
D．若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.97，rB＝﹣0.99，则A组数据比B组数据的相关性较强
【答案】AC
【解答】解：对于A中，若随机变量X～N（2，σ2），且P（X＞1）＝0.68，
根据正态分布曲线的对称性，可得P（X＞3）＝1﹣0.68＝0.32，
所以P（2≤X＜3）＝0.5﹣0.34＝0.18，所以A正确；
对于B中，数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共有10个数据，
则10×70%＝7，所以数据的70%分位数为，所以B不正确；
对于C中，若随机变量，可得，所以C正确；
对于D中，若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为rA＝0.97，rB＝﹣0.99，
因为|rA|＜|rB|，所以B组数据比A组数据的相关性较强，所以D不正确．
故选：AC．
9．5个零件中有3个次品，从中每次抽检1个，检验后放回，连续抽检3次，则抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：用X表示3次抽检中抽到次品的次数，则X是一个随机变量，
每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，故连续抽检3次，
记抽到次品的概率为p，抽到正品的概率为q，则，，
抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为．
故答案为：．
10．已知随机变量X～N（μ，σ2），Y～B（8，p），且，则p＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为随机变量X～N（μ，σ2），且，
所以μ＝3，即E（X）＝3，
因为Y～B（8，p），
所以E（Y）＝8p，
因为E（X）＝E（Y），
所以8p＝3，
解得．
故答案为：．
▉题型2 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【知识点的认识】
一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q＝1﹣p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（ξ＝K）（K＝1，2，3，…n）那么就说ξ服从二项分布．其中P称为成功概率．记作ξ～B（n，p），期望：Eξ＝np，方差：Dξ＝npq．
【解题方法点拨】
例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是 　　 ．
解：由题设知p（1﹣p）2p2（1﹣p），
解p≤1，
故答案为：[，1]．
本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中．
11．一质点在数轴上从原点出发连续跳动，其中第i（i∈N*）次向右或向左跳动i个单位长度，每次向右跳动的概率为，向左跳动的概率为，若某次跳动后距离原点不小于3个单位长度即停止跳动，则恰好跳动4次后停止跳动的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：恰好跳动4次后停止跳动，则前4次跳动的方向依次为左右左左，或右左右右，
因为每次向右跳动的概率为，向左跳动的概率为，
所以所求概率为．
故选：D．
12．某篮球爱好者每次投3分篮投中的概率为0.8，他连续投3次，得分为6分的概率是（　　）
A．0.64 B．0.512 C．0.384 D．0.128
【答案】C
【解答】解：篮球爱好者投3分篮3次得6分，则其投中2次，
又因为每次投3分篮投中的概率为0.8，
所以得分为6分的概率为0.384．
故选：C．
（多选）13．某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，若他随意地拨号，则下列说法中正确的是（　　）
A．第1次就接通电话的概率是
B．若已知最后一位数字是奇数，则第1次就接通电话的概率是
C．拨号不超过3次接通电话的概率是
D．若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过3次就接通电话的概率是
【答案】ACD
【解答】解：第1次就接通电话的概率是，故A正确，
若已知最后一位数字是奇数，
则第1次就接通电话的概率是，故B错误，
拨号不超过3次接通电话的概率是，故C正确，
若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过3次就接通电话的概率是，故D正确．
故选：ACD．
14．在一个盒子中装有4张卡片，卡片上的编号依次为1，2，3，4，现从中有放回地抽取m次卡片，每次仅抽取1张，记这m次抽取的卡片的最大编号为X，则使得成立的最小的m的值为　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：因为
所以
，
由，得，
令，
则f（m）在m∈N*时单调递减，
又，
所以m的最小值为3．
故答案为：3．
15．已知A，B，C3人进行射击比赛，且A，B，C一次射击命中10环的概率分别为0.9，0.9，0.95，若他们每人射击一次，则至少有2人命中10环的概率为 　0.981　 ．
【答案】0.981．
【解答】解：3人中至少有2人命中10环，即2人命中10环或3人命中10环，
所求的概率为P＝0.9×0.9×（1﹣0.95）+2×（1﹣0.9）×0.9×0.95+0.9×0.9×0.95＝0.981．
故答案为：0.981．
16．某射手每次射击命中目标的概率均为0.9，且各次射击结果相互独立．若该射手射击5次，则恰好命中3次的概率为 　0.0729　 ．（用数字作答）
【答案】0.0729．
【解答】解：某射手每次射击命中目标的概率均为0.9，且各次射击结果相互独立，
该射手射击5次，设X＝“该射手射击5次命中次数”，
则恰好命中3次的概率为：
．
故答案为：0.0729．
17．某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为　　 .（用数值作答）
【答案】．
【解答】解：篮球运动员投球的命中率是，
则投球4次，恰好投进3个球的概率为．
故答案为：．
18．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛．已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m道试题的概率为f（m），则当m＝　13或14　 时，f（m）取得最大值．
【答案】13或14．
【解答】解：由题意得，且m∈N，
则，
故，
又因为m∈N，
所以m＝13或m＝14，
即当m＝13或m＝14时，f（m）取得最大值．
故答案为：13或14．
19．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P（ξ＝4）＝　　 ．
【答案】
【解答】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，
故ξ～B（5，）．
即有P（ξ＝k）（）k×（）5﹣k，k＝0，1，2，3，4，5．
∴P（ξ＝4）（）4×（）1．
故答案为：
20．某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为．
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：记甲n局获胜的概率为 Pn，n＝3，4，5，
（1）比赛三局甲获胜的概率是：P3；
（2）比赛四局甲获胜的概率是：P4；
比赛五局甲获胜的概率是：P5；
甲获胜的概率是：P3+P4+P5．
（3）记乙n局获胜的概率为 Pn′，n＝3，4，5．
P3′，P4′；P5′；
故甲比赛次数的分布列为：
X 3 4 5
P（X） P3+P3′ P4+P4′ P5+P5′
所以甲比赛次数的数学期望是：EX＝3（）+4（）+5（ ）．
▉题型3 二项分布的均值（数学期望）与方差
【知识点的认识】
二项分布：
一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则
P（X＝k）pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p），并记
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
﹣均值（数学期望）：，其中n为试验次数，p为每次试验成功的概率．
﹣方差：．
【解题方法点拨】
﹣使用二项分布的均值和方差公式来计算相关概率分布的期望和方差．
21．统计与概率在数学领域中有重要的应用价值，下列说法正确的是（　　）
A．相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱
B．甲、乙两箱中均装有红、白两种颜色的球，小球除颜色外完全相同，甲箱中有8颗红球，2颗白球，分别从甲箱和乙箱中摸一个球，在甲箱中摸出白球的情况下乙箱摸出红球的概率为，则乙箱中红、白两种球数量不相等
C．离散型随机变量X服从二项分布，记作X～B（50，0.2），则D（X）＝8
D．离散型随机变量X服从超几何分布，记作X～H（6，4，9），变量Y＝2X+1，则E（Y）＝13
【答案】C
【解答】解：对于A，相关系数r的绝对值越接近于0，两个变量之间的线性相关性越弱，故A错误；
对于B，根据题意，甲乙中摸出哪种颜色的球互不影响，即相互独立，若在甲箱中摸出白球的情况下乙箱摸出红球的概率为，
则乙箱中白球，红球数量相等，故B错误；
对于C，离散型随机变量X服从二项分布，记作X～B（50，0.2），则D（X）＝np（1﹣p）＝8，故C正确；
对于D，离散型随机变量X服从超几何分布，记作X～H（6，4，9），
则E（X），
又变量Y＝2X+1，则E（Y）＝E（2X+1）＝2E（X）+1＝2，故D错误．
故选：C．
22．某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X，且X服从二项分布，则以下说法错误的是（　　）
A．
B．
C．E（4X+1）＝10
D．
【答案】D
【解答】解：因为X～，
所以E（X）＝9，D（X）＝9，
故A正确，B正确；
所以E（4X+1）＝4E（X）+1＝410，故C正确；
所以P（X＝2），故D错误．
故选：D．
23．已知随机变量X～B（n，p），且E（X）＝12，D（X），当P（X＝i）取得最大值时，i＝（　　）
A．12或13 B．13 C．11或12 D．12
【答案】D
【解答】解：由题意可知，np＝12，，
解得n＝20，，
若P（X＝i） 取得最大值，
则，
解得，
又i∈N*，所以i＝12．
故选：D．
24．已知随机变量ξ～B（16，p），则“D（ξ）＝3”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：因为随机变量ξ B（16，p），
所以D（ξ）＝16p（1﹣p），
若D（ξ）＝3，则16p（1﹣p）＝3，
解得或，
所以“D（ξ）＝3”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
25．若投掷一枚图钉，每次针尖向上的概率都是，连续投掷3次，记针尖向上的次数为随机变量X，则（　　）
A． B．
C．E（2X+1）＝3 D．
【答案】C
【解答】解：因为，
所以P（X＝2），故A错误；
，故B错误；
，，
所以E（2X+1）＝2×1+1＝3，，故C正确，D错误．
故选：C．
26．设随机变量，且E（X）＞1．若8名党员中有名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为Y，则P（Y＝3）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
则，解得或，
又因为E（X）＝3p＞1，
则，
可得，
则，
所以．
故选：A．
27．已知随机变量X～B（n，p），若D（2X）＝2E（X），则p＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：随机变量X～B（n，p），D（2X）＝2E（X），
则4D（X）＝2E（X），即2D（X）＝E（X），
故2np（1﹣p）＝np，解得p．
故选：D．
28．已知随机变量X服从二项分布B（5，0.4），则E（X）＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：随机变量X服从二项分布B（5，0.4），
则E（X）＝5×0.4＝2．
故选：B．
29．甲同学每次投篮命中的概率为p，在投篮6次的实验中，命中次数X的均值为2.4，则X的方差为（　　）
A．1.24 B．1.44 C．1.2 D．0.96
【答案】B
【解答】解：根据题意可得命中次数X服从二项分布，即X～B（6，p），
即可得均值为E（X）＝6p＝2.4，
解得p＝0.4，
所以X的方差为D（X）＝6×0.4×（1﹣0.4）＝1.44．
故选：B．
（多选）30．已知随机变量，则（　　）
A．
B．当P（X＝k）取最大值时，k＝5
C．E（2X+2）＝10
D．D（2X）＝10
【答案】ABD
【解答】解：随机变量，
，
对于A，，故A正确；
对于B，，由二项式系数的性质，
当k＝5时，是中的最大值，此时P（X＝k）取得最大值，故B正确；
∵，∴E（2X+2）＝2E（X）+2＝12，
，则，故C错误，D正确．
故选：ABD．
▉题型4 超几何分布
【知识点的认识】
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝K），k＝m，m+1，m+2，...，r．
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N+M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
【解题方法点拨】
超几何分布的求解步骤：
（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．
（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．
（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
31．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（　　）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
【答案】B
【解答】解：对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X，则X服从二项分布；
对于B，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，选出女生的人数为X，则X服从超几何分布；
对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X，则X服从二项分布；
对于D，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是第一次摸出黑球时的次数，则X不服从超几何分布．
故选：B．
（多选）32．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查．已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则（　　）
A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人
B．随机变量
C．随机变量X的数学期望为
D．若事件A＝“抽取的3人都感兴趣”，则
【答案】AC
【解答】解：因为甲、乙、丙三个社团的人数之比为14：21：14＝2：3：2，
所以用分层抽样的方法从三个社团中抽取7人，则各组中抽取的人数分别为2，3，2，所以A选项正确；
因为抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，
所以抽取的3人中感兴趣的学生人数X～H（3，5，7），所以B选项错误；
所以X的数学期望为E（X），所以C选项正确；
若事件A＝“抽取的3人都感兴趣”，则P（A），所以D选项错误．
故选：AC．
（多选）33．一个袋子中装有N（N＝5n，n∈N*）个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比40%．现从袋子中随机摸出3个球，用X，Y分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黄球个数．则（　　）
A．E（X）＝E（Y）
B．若N＝20，则
C．若N＝20，则
D． N＝5n，n∈N*，P（X＝2）＞P（Y＝2）
【答案】ABD
【解答】解：对于A，A正确；
对于B，N＝20，，B正确；
对于C，N＝20，，C错误；
对于D，，，
，因此 N＝5n，n∈N*，P（X＝2）＞P（Y＝2），D正确．
故选：ABD．
（多选）34．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列说法中正确的是（　　）
A．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分，则X服从超几何分布
B．若X表示取出的黑球的个数，则X服从超几何分布
C．若X表示取出白球的个数，则
D．若X表示取出黑球的个数，则P（X≥3）
【答案】BD
【解答】解：对于A，B，均根据超几何分布的定义可得，故A错误，B正确；
对于C，P（X＝2），故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：BD．
35．一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P（X＝1）＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意可知，批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，
根据超几何分布的概率公式，可知．
故答案为：．
36．从含有6件正品和4件次品的正品中任取3件，记X为所抽取的次品数，则E（X）＝　　 ．
【答案】
【解答】解：X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
故．
故答案为：．
37．幸福农场生产的某批次20件产品中含有n（3≤n≤13）件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件．
（1）若n＝3，求取出的产品中次品不超过1件的概率；
（2）记f（n）＝P（X＝3），则当n为何值时，f（n）取得最大值．
【答案】（1）取出的产品中次品不超过1件的概率是；（2）当n＝6时，f（n）取得最大值．
【解答】解：（1）记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，
则P（A）＝P（X＝0）+P（X＝1）
C
；
即取出的产品中次品不超过1件的概率是；
（2）∵，
∵f（n﹣1）；
若1，
则n（14﹣n）＞（n﹣3）（21﹣n），
解得n＜6.3；
故当n＜6.3时，f（n）＞f（n﹣1）；当n＞6.3时，f（n）＜f（n﹣1）；
故当n＝6时，f（n）取得最大值．
即当n＝6时，f（n）取得最大值．

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