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第7章第5节 正态分布
题型1 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
▉题型1 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的认识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
1．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤﹣2）＝P（X≥2a﹣2），则（ax﹣1）5展开式中各项系数之和为（　　）
A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣64
2．下列说法中正确的是（　　）
A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
B．在线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位
C．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（2＜X＜4）＝0.4
D．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则E（η）＝3E（ξ）﹣2，D（η）＝9D（ξ）﹣2
3．已知随机变量X N（10，σ2），P（X≤8）＝P（X≥m+7），则m＝（　　）
A．5 B．4 C．6 D．3
4．下列说法正确的是（　　）
A．对具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为．若一个样本点为（m，2），则实数m的值是2
B．进行经验回归方程分析时，可以用决定系数R2来比较模型的拟合效果，R2越小，表示残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好
C．若随机变量X B（n，p），E（X）＝36，D（X）＝9，则
D．若随机变量X N（μ，σ2），P（X＞﹣2）+P（X≥6）＝1，则μ＝2
5．设随机变量X～N（2，σ2），P（0＜X＜4）＝0.3，则P（X＜0）＝（　　）
A．0.65 B．0.7 C．0.35 D．0.25
6．下列说法错误的是（　　）
A．数据4，1，6，3，9，5，7的第70百分位数为6
B．在回归直线方程中，相对于样本点（2，1.2）的残差为﹣0.8
C．在一次测试中，高三学生数学成绩ξ服从正态分布N（80，σ2），已知P（50＜ξ＜80）＝0.3，若按分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份
D．若x1，x2，…的平均数为2，方差为3，则2x1+1，2x2+1，…的平均数和方差分别为5，13
7．下列说法不正确的是（　　）
A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6
B．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，则数据4x1，4x2，…，4xn的方差为32
C．设ξ～N（1，σ2）且P（ξ＜0）＝0.2，则P（1＜ξ＜2）＝0.2
D．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
8．下列说法错误的是（　　）
A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17
B．若事件M，N相互独立，，则
C．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩ξ服从正态分布N（80，σ2），已知P（50＜ξ＜80）＝0.3，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份
D．已知随机变量X服从二项分布，若E（3X+1）＝7，则n＝6
9．某校期中考试的数学成绩X（满分：150分）服从正态分布N（μ，σ2），若P（X≤65）+P（X＜115）＝1，则μ＝（　　）
A．75 B．80 C．90 D．95
10．某物理量的测量结果服从正态分布N（2，σ2），下面结论中不正确的是（　　）
A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5
B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等
C．该物理量在一次测量中落在（1.9，2.2）与落在（2，2.3）的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中在（1.9，2.1）的概率越大
11．已知随机变量X～N（0，1），P（X≤﹣1）＝P（X≥k），则k＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．设随机变量X服从正态分布N（0，1）．已知部分小概率值和相应的临界值如下表：
α 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
P（X2≥α） 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
若实数m满足P（m≤X＜3）＝0.025，则（　　）
A．2.706＜m2＜3.841 B．3.841＜m2＜5.024
C．5.024＜m2＜6.635 D．6.635＜m2＜7.879
13．某工厂生产的零件尺寸服从正态分布N（50，0.22），质检员随机抽取100个零件，尺寸在[49.8，50.2]内的零件个数约为（　　）（参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827）
A．68 B．75 C．82 D．95
14．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2≤X＜6）＝0.4，则P（X＜2||X|＞2）（　　）
A． B． C． D．
15．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X＜1）＝0.3，则P（2≤X≤3）＝（　　）
A．0.15 B．0.2
C．0.3 D．与σ的取值有关
16．某店经营的某种包装的面包质量X（单位：g）服从正态分布N（200，σ2），且P（X＜205）＝0.85，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在195﹣205g之间的概率为（　　）
A．0.7 B．0.35 C．0.85 D．0.5
17．下列结论中错误的是（　　）
A．在回归模型中，决定系数R2越大，则回归拟合的效果越好
B．样本数据2x1+1，2x2+1， ，2x9+1的方差为8，则数据x1，x2， ，x9的方差为2
C．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.6，则P（3＜X＜4）＝0.2
D．具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为，若样本点中心为（m，3），则m＝﹣5
18．已知连续型随机变量ξ服从正态分布，记函数f（x）＝P（ξ≤x），则f（x）的图象（　　）
A．关于直线对称
B．关于直线对称
C．关于点成中心对称
D．关于点成中心对称
19．已知随机变量X～N（2，4），则（　　）
A．E（X）＝4 B．E（2X+1）＝5 C．D（X）＝2 D．D（2X+1）＝8
20．下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量η～B（12，），则D（η）＝3
B．设Y～N（1，σ2）且P（Y＜0）＝0.2，则P（1＜Y＜2）＝0.2
C．一组数据11，12，12，13，14，15；16，18，20，22的第80百分位数为19
D．若P（A∩B），P（A），P（B），则事件A与事件B相互独立
21．已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤1）＝P（ξ≥a），则的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．
22．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，7），则D（2ξ）的值为（　　）
A．7 B．14 C．21 D．28
23．已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布N（μ甲，）和，其正态曲线如图所示，则（　　）
A．μ甲＞μ乙，σ甲＞σ乙 B．μ甲＞μ乙，σ甲＜σ乙
C．μ甲＜μ乙，σ甲＞σ乙 D．μ甲＜μ乙，σ甲＜σ乙
24．若随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X≥﹣0.1）＝P（|X|≤0.2）＝0.8，则（　　）
A．P（0.1＜X＜0.2）＝0.2 B．P（0≤X≤0.1）＝0.4
C．P（﹣0.2≤X≤0.1）＝0.7 D．P（﹣0.2≤X≤﹣0.1）＝0.3
25．已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），则当时，的最小值为（　　）
A． B． C． D．
26．下列说法正确的是（　　）
A．某物理量的测量结果服从正态分布N（2，σ2），该物理量在一次测量中落在（1.9，2.2）与落在（2，2.3）的概率相等
B．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5
C．将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变
D．设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强
27．已知随机变量ξ～N（3，4），则“a＝3”是“P（ξ＜a）”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
28．若随机变量X～N（2，σ2），P（X＜1）＝x，P（2＜X≤3）＝y，则的最小值为（　　）
A．4 B．9 C．18 D．32
29．某次考试的数学成绩X近似服从正态分布N（110，σ2）且P（90≤X≤110）＝0.47，若参加考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为　　 ．
30．百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩X近似服从正态分布N（90，σ2）．已知P（60＜X≤90）＝0.38，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为　 人．第7章第5节 正态分布
题型1 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
▉题型1 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的认识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
1．已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤﹣2）＝P（X≥2a﹣2），则（ax﹣1）5展开式中各项系数之和为（　　）
A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣64
【答案】A
【解答】解：因为随机变量X服从正态分布，且P（X≤﹣2）＝P（X≥2a﹣2），
所以，解得a＝3，
设，
令x＝1时，25＝32．
故选：A．
2．下列说法中正确的是（　　）
A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
B．在线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位
C．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.7，则P（2＜X＜4）＝0.4
D．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则E（η）＝3E（ξ）﹣2，D（η）＝9D（ξ）﹣2
【答案】C
【解答】解：对于A，已知数据从小到大排列为10，11，11，12，13，14，16，18，20，22，
由10×60%＝6，得这组数据的第60百分位数为，A错误；
对于B，线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，平均增加0.5个单位，B错误；
对于C，随机变量X服从正态分布N（3，σ2），则μ＝3，
由P（X≤4）＝0.7，得P（3＜X＜4）＝P（X≤4）﹣P（X≤3）＝0.7﹣0.5＝0.2，
则P（2＜X＜4）＝2P（3＜X＜4）＝2×0.2＝0.4，C正确；
对于D，由η＝3ξ﹣2，则E（η）＝3E（ξ）﹣2，D（η）＝9D（ξ），D错误．
故选：C．
3．已知随机变量X N（10，σ2），P（X≤8）＝P（X≥m+7），则m＝（　　）
A．5 B．4 C．6 D．3
【答案】A
【解答】解：由随机变量X N（10，σ2），P（X≤8）＝P（X≥m+7），
可知，正态曲线关于x＝10对称，
所以，解得m＝5．
故选：A．
4．下列说法正确的是（　　）
A．对具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为．若一个样本点为（m，2），则实数m的值是2
B．进行经验回归方程分析时，可以用决定系数R2来比较模型的拟合效果，R2越小，表示残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好
C．若随机变量X B（n，p），E（X）＝36，D（X）＝9，则
D．若随机变量X N（μ，σ2），P（X＞﹣2）+P（X≥6）＝1，则μ＝2
【答案】D
【解答】解：对A，回归方程不一定过样本点，所以无法求出m的值，错误；
对B，决定系数越小，残差平方和越大，拟合效果越差，错误；
对C，若X B（n，p），可得，解得，错误；
对D，若X N（μ，σ2），
则P（X＞﹣2）+P（X≥6）＝1，可得1﹣P（X≤﹣2）+P（X≥6）＝1，
所以P（X≥6）＝P（X≤﹣2），由对称性可得，正确．
故选：D．
5．设随机变量X～N（2，σ2），P（0＜X＜4）＝0.3，则P（X＜0）＝（　　）
A．0.65 B．0.7 C．0.35 D．0.25
【答案】C
【解答】解：∵随机变量X～N（2，σ2），P（0＜X＜4）＝0.3，
∴P（0＜X＜2）＝0.15，P（X＜2）＝0.5，
∴P（X＜0）＝P（X＜2）﹣P（0＜X＜2）＝0.5﹣0.15＝0.35．
故选：C．
6．下列说法错误的是（　　）
A．数据4，1，6，3，9，5，7的第70百分位数为6
B．在回归直线方程中，相对于样本点（2，1.2）的残差为﹣0.8
C．在一次测试中，高三学生数学成绩ξ服从正态分布N（80，σ2），已知P（50＜ξ＜80）＝0.3，若按分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份
D．若x1，x2，…的平均数为2，方差为3，则2x1+1，2x2+1，…的平均数和方差分别为5，13
【答案】D
【解答】解：对于A，将数据从小到大重新排列为1，3，4，5，6，7，9，
因为7×70%＝4.9，
所以第70百分位数为第5个数据6，故A正确；
对于B，当x＝2时，，所以残差＝1.2﹣2＝﹣0.8，故B正确；
对于C，因为高三学生数学成绩ξ服从正态分布N（80，σ2），且P（50＜ξ＜80）＝0.3，
所以P（80＜ξ＜110）＝0.3，P（ξ＞110）＝0.5﹣0.3＝0.2，
所以按分层抽样的方式取100份试卷进行分析，
则应从110分以上的试卷中抽取100×0.2＝20份，故C正确；
对于D，若x1，x2， 的平均数为2，方差为3，
则2x1+1，2x2+1， 的平均数为2×2+1＝5，方差为22×3＝12，故D错误．
故选：D．
7．下列说法不正确的是（　　）
A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6
B．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，则数据4x1，4x2，…，4xn的方差为32
C．设ξ～N（1，σ2）且P（ξ＜0）＝0.2，则P（1＜ξ＜2）＝0.2
D．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
【答案】C
【解答】解：对于A，将数据从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，9，
又7×60%＝4.2，所以第60百分位数为6，故A正确；
对于B，数据4x1，4x2，…，4xn的方差为42×2＝32，故B正确；
对于C，因为ξ～N（1，σ2）且P（ξ＜0）＝0.2，
则正态分布曲线的对称轴为ξ＝1，
所以P（0＜ξ＜1）＝P（ξ＜1）﹣P（ξ＜0）＝0.5﹣0.2＝0.3，
则P（1＜ξ＜2）＝P（0＜ξ＜1）＝0.3，故C错误；
对于D，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故D正确．
故选：C．
8．下列说法错误的是（　　）
A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17
B．若事件M，N相互独立，，则
C．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩ξ服从正态分布N（80，σ2），已知P（50＜ξ＜80）＝0.3，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份
D．已知随机变量X服从二项分布，若E（3X+1）＝7，则n＝6
【答案】B
【解答】解：对于A，5、7、9、11、12、14、15、16、18、20的第80百分位数为，故A正确；
对于B，因为事件M，N相互独立，，
所以P（M∪N）＝P（M）+P（N）﹣P（MN）＝P（M）+P（N）﹣P（M）P（N），故B错误；
对于C，因为ξ服从正态分布N（80，σ2），且P（50＜ξ＜80）＝0.3，
所以P（80＜ξ＜110）＝0.3，P（ξ＞110）＝0.5﹣P（80＜ξ＜110）＝0.5﹣0.3＝0.2，
所以按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取100×0.2＝20份，故C正确；
对于D，因为X服从二项分布，所以，
因为E（3X+1）＝7，所以1＝7，所以n＝6，故D正确．
故选：B．
9．某校期中考试的数学成绩X（满分：150分）服从正态分布N（μ，σ2），若P（X≤65）+P（X＜115）＝1，则μ＝（　　）
A．75 B．80 C．90 D．95
【答案】C
【解答】解：某校期中考试的数学成绩X～N（μ，σ2），
P（X≤65）+P（X＜115）＝1，得P（X≤65）＝1﹣P（X＜115）＝P（X≥115），
根据正态分布曲线的对称性可得．
故选：C．
10．某物理量的测量结果服从正态分布N（2，σ2），下面结论中不正确的是（　　）
A．该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5
B．该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等
C．该物理量在一次测量中落在（1.9，2.2）与落在（2，2.3）的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中在（1.9，2.1）的概率越大
【答案】C
【解答】解：因为某物理量的测量结果服从正态分布N（2，σ2），
所以测量的结果的概率分布关于2对称，且方差σ2越小，则分布越集中，
对于A，测量结果小于2的概率为0.5，故选项A正确；
对于B，由于概率分布关于2对称，
所以测量结果小于1.98与大于2.02的概率相等，故选项B正确；
对于C，由于概率分布是集中在2附近的，（1.9，2.2）分布在100附近的区域大于（2，2.3）分布在2附近的区域，
故测量结果落在（1.9，2.2）内的概率大于落在（2，2.3）内的概率，故选项C错误．
对于D，σ越小，概率越集中在2左右，
则该物理量一次测量结果落在（1.9，2.1）内的概率越大，故选项D正确．
故选：C．
11．已知随机变量X～N（0，1），P（X≤﹣1）＝P（X≥k），则k＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：已知随机变量X～N（0，1），则该正态分布曲线的对称轴为X＝0，
又P（X≤﹣1）＝P（X≥k）
则0，则k＝1．
故选：B．
12．设随机变量X服从正态分布N（0，1）．已知部分小概率值和相应的临界值如下表：
α 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
P（X2≥α） 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
若实数m满足P（m≤X＜3）＝0.025，则（　　）
A．2.706＜m2＜3.841 B．3.841＜m2＜5.024
C．5.024＜m2＜6.635 D．6.635＜m2＜7.879
【答案】B
【解答】解：已知X～N（0，1），则X2 χ2（1）（自由度为1的卡方分布），即P（X2≥α）＝α，
P（m≤X＜3）表示X落在区间[m，3）的概率，该概率表示为P（X＜3）﹣P（X＜m）（X是连续型随机变量），
若m为负数，则，不合题意，
所以P（m≤X＜3）＝P（m2≤X2＜9）＝P（X2≥m2）﹣P（X2≥9）＝0.025，
由已知表格可知，P（X2≥7.879）＝0.005，P（X2≥10.828）＝0.001，
由于9介于7.879和10.828之间，故P（X2≥9）≈0.005，则P（X2≥m2）≈0.025+0.005＝0.03，
表格中P（X2≥5.024）＝0.025，P（X2≥3.841）＝0.05，因此0.03对应的m2介于3.841和5.024之间．
故选：B．
13．某工厂生产的零件尺寸服从正态分布N（50，0.22），质检员随机抽取100个零件，尺寸在[49.8，50.2]内的零件个数约为（　　）（参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827）
A．68 B．75 C．82 D．95
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，μ＝50，σ＝0.2，
∴P（49.8≤X≤50.2）＝P（50﹣0.2≤X≤50+0.2）≈0.6827，
∵质检员随机抽取100个零件，
∴尺寸在[49.8，50.2]内的零件个数约为：100×0.6827≈68个．
故选：A．
14．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2≤X＜6）＝0.4，则P（X＜2||X|＞2）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2≤X＜6）＝0.4，
则该正态分布的均值为2，其图象的对称轴为直线x＝2，
则P（X＜2）＝P（X＞2）＝0.5，又P（2≤X＜6）＝0.4，
由对称性可知P（X＜﹣2）＝P（X≥6）＝0.5﹣0.4＝0.1，
由条件概率公式得．
故选：C．
15．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X＜1）＝0.3，则P（2≤X≤3）＝（　　）
A．0.15 B．0.2
C．0.3 D．与σ的取值有关
【答案】B
【解答】解：因为随机变量X服从正态分布N（2，σ2），所以曲线关于X＝2对称，
又P（X＜1）＝P（X＞3）＝0.3，
所以P（2≤X≤3）＝P（X≥2）﹣P（X＞3）＝0.5﹣0.3＝0.2．
故选：B．
16．某店经营的某种包装的面包质量X（单位：g）服从正态分布N（200，σ2），且P（X＜205）＝0.85，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在195﹣205g之间的概率为（　　）
A．0.7 B．0.35 C．0.85 D．0.5
【答案】A
【解答】解：某种包装的面包质量X服从正态分布N（200，σ2），且P（X＜205）＝0.85，
则有P（X≥205）＝1﹣0.85＝0.15，由对称性可得P（X≤195）＝0.15，
则有P（195＜X＜205）＝1﹣P（X≥205）﹣P（X≤195）＝1﹣0.15﹣0.15＝0.7．
所以其质量在195﹣205g之间的概率为0.7．
故选：A．
17．下列结论中错误的是（　　）
A．在回归模型中，决定系数R2越大，则回归拟合的效果越好
B．样本数据2x1+1，2x2+1， ，2x9+1的方差为8，则数据x1，x2， ，x9的方差为2
C．若随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≤4）＝0.6，则P（3＜X＜4）＝0.2
D．具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为，若样本点中心为（m，3），则m＝﹣5
【答案】C
【解答】解：对于A选项，决定系数R2越大，回归模型的拟合效果越好，故A正确；
对于B选项，样本数据2x1+1，2x2+1， ，2x9+1的方差为8，
则数据x1，x2，…，x9的方差为，故B正确；
对于C选项，因为随机变量X服从正态分布X～N（3，σ2），所以均值 μ＝3，
所以正态曲线的对称轴为x＝3，因为P（X≤4）＝0.6，所以P（X＞4）＝1﹣0.6＝0.4，
由对称性知，P（X≥3）＝0.5，所以P（3＜X＜4）＝0.5﹣0.4＝0.1，故C错误；
对于D选项，因为经验回归方程过样本中心点，
所以将（m，3）代入y＝0.4x﹣m中，得3＝0.4m﹣m，解得m＝﹣5，故D正确．
故选：C．
18．已知连续型随机变量ξ服从正态分布，记函数f（x）＝P（ξ≤x），则f（x）的图象（　　）
A．关于直线对称
B．关于直线对称
C．关于点成中心对称
D．关于点成中心对称
【答案】C
【解答】解：因为连续型随机变量ξ服从正态分布，
所以P（ξ）＝P（ξ），
因为P（ξ）+P（ξ）＝1，
所以P（ξ）+P（ξ）＝1，
即f（）+f（）＝1，
所以f（x）的图象关于点成中心对称．
故选：C．
19．已知随机变量X～N（2，4），则（　　）
A．E（X）＝4 B．E（2X+1）＝5 C．D（X）＝2 D．D（2X+1）＝8
【答案】B
【解答】解：因为X～N（2，4），则E（X）＝2，D（X）＝4，
所以A、C选项错误；
所以E（2X+1）＝2E（X）+1＝5，B选项正确；
D（2X+1）＝4D（X）＝16，D选项错误．
故选：B．
20．下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量η～B（12，），则D（η）＝3
B．设Y～N（1，σ2）且P（Y＜0）＝0.2，则P（1＜Y＜2）＝0.2
C．一组数据11，12，12，13，14，15；16，18，20，22的第80百分位数为19
D．若P（A∩B），P（A），P（B），则事件A与事件B相互独立
【答案】C
【解答】解：对于A，若随机变量η～B（12，），则D（η）＝12，故A错误；
对于B，设Y～N（1，σ2）且P（Y＜0）＝0.2，则P（1＜Y＜2）＝P（0＜Y＜1）＝0.5﹣P（Y＜0）＝0.5﹣0.2＝0.3，故B错误；
对于C，因为10×80%＝8，
所以第80百分位数为19，故C正确；
对于D，若P（A∩B），P（A），P（B），
则P（A∩B）≠P（A）P（B），所以事件A与事件B不独立，故D错误．
故选：C．
21．已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤1）＝P（ξ≥a），则的最小值为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据正态分布的知识得a+1＝2×2＝4 a＝3，则0＜x＜3，3﹣x＞0，
，
当且仅当，即时取等．
故选：D．
22．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，7），则D（2ξ）的值为（　　）
A．7 B．14 C．21 D．28
【答案】D
【解答】解：因为ξ～N（μ，7），
所以D（ξ）＝7，
所以D（2ξ）的值为22D（ξ）＝4×7＝28．
故选：D．
23．已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布N（μ甲，）和，其正态曲线如图所示，则（　　）
A．μ甲＞μ乙，σ甲＞σ乙 B．μ甲＞μ乙，σ甲＜σ乙
C．μ甲＜μ乙，σ甲＞σ乙 D．μ甲＜μ乙，σ甲＜σ乙
【答案】C
【解答】解：根据题意，结合图像可得，甲曲线的对称轴小于乙曲线的对称轴，即μ甲＜μ乙，
又图象越矮胖，则σ就越大，则σ甲＞σ乙．
故选：C．
24．若随机变量X服从正态分布N（0，σ2），若P（X≥﹣0.1）＝P（|X|≤0.2）＝0.8，则（　　）
A．P（0.1＜X＜0.2）＝0.2 B．P（0≤X≤0.1）＝0.4
C．P（﹣0.2≤X≤0.1）＝0.7 D．P（﹣0.2≤X≤﹣0.1）＝0.3
【答案】C
【解答】解：随机变量X服从正态分布N（0，σ2），P（X≥﹣0.1）＝P（|X|≤0.2）＝0.8，
可得：．
因为P（X＞0.1）＝P（X＜﹣0.1）＝1﹣0.8＝0.2，所以P（0.1＜X＜0.2）＝0.2﹣0.1＝0.1，P（﹣0.2≤X≤﹣0.1）＝P（0.1＜X＜0.2）＝0.1，所以A，D错误；
因为，所以B错误；
因为P（﹣0.2≤X≤0.1）＝P（|X|≤0.2）﹣P（0.1＜X＜0.2）＝0.8﹣0.1＝0.7，所以C正确．
故选：C．
25．已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），则当时，的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），
所以2，
即a﹣2b＝4，
所以a﹣2x+2（x﹣b）＝4，
因为，所以b＜x且a＞2x，
则a﹣2x＞0，x﹣b＞0，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
故选：B．
26．下列说法正确的是（　　）
A．某物理量的测量结果服从正态分布N（2，σ2），该物理量在一次测量中落在（1.9，2.2）与落在（2，2.3）的概率相等
B．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为5
C．将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变
D．设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强
【答案】C
【解答】解：A：设该物理量为随机变量X，
则P（1.9＜X＜2.2）＝P（1.9＜X＜2）+P（2≤X＜2.2），
P（2＜X＜2.3）＝P（2＜X＜2.1）+P（2.1≤X＜2.3），
由X的均值为2，则P（1.9＜X＜2）＝P（2＜X＜2.1），
由区间[2，2.2）比区间[2.1，2.3）离均值更近，
而离均值越近的区间，概率密度越高，
故P（2≤X＜2.2）＞P（2.1≤X＜2.3），
故P（1.9＜X＜2.2）＞P（2＜X＜2.3），
即该物理量在一次测量中落在（1.9，2.2）比落在（2，2.3）的概率更大，故A错误；
B：将这组数据从小到大重新排列有：1，2，4，5，6，7，8，9，
由8×0.5＝4，则这组数据的第50百分位数为，故B错误；
C：设一组数据为x1，x2， ，xn，则平均数，
方差为，
将数据中的每一个数据加上同一个常数a后为x1+a，x2+a，…，xn+a，
则平均数为，
方差为，
，
所以将一组数据中的每一个数据加上同一个常数后，方差不变，故C正确；
D：|r|越接近1，x和y之间的线性相关程度越强，故D错误．
故选：C．
27．已知随机变量ξ～N（3，4），则“a＝3”是“P（ξ＜a）”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：已知随机变量ξ～N（3，4），则该正态分布曲线的对称轴为μ＝3，
若a＝3，则P（ξ＜a），则充分性成立，
又P（ξ＜a），则a＝3，则必要性成立，
则“a＝3”是“P（ξ＜a）”的充要条件．
故选：C．
28．若随机变量X～N（2，σ2），P（X＜1）＝x，P（2＜X≤3）＝y，则的最小值为（　　）
A．4 B．9 C．18 D．32
【答案】B
【解答】解：因为X～N（2，σ2），P（X＜1）＝x，所以P（X＞3）＝x，
所以P（2＜X≤3）＝0.5﹣x，所以，
所以，
当且仅当时取等号，又，所以当且仅当时取等号．
故选：B．
29．某次考试的数学成绩X近似服从正态分布N（110，σ2）且P（90≤X≤110）＝0.47，若参加考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为　30　 ．
【答案】30．
【解答】解：因为X～N（110，σ2），所以μ＝110，
由P（90≤X≤110）＝0.47，可得P（110＜X≤130）＝0.47，
所以，
所以学生数学成绩在130分以上的总人数为1000×0.03＝30．
故答案为：30．
30．百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩X近似服从正态分布N（90，σ2）．已知P（60＜X≤90）＝0.38，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为　72　 人．
【答案】72．
【解答】解：由于数学成绩X近似服从正态分布N（90，σ2），且P（60＜X≤90）＝0.38，
所以P（60＜X≤90）＝P（90＜X≤120）＝0.38，
所以0.12，
则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为600×0.12＝72人．
故答案为：72．

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