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第8章第3节 列联表与独立性检验
题型1 等高堆积条形图 题型2 独立性检验
题型3 实际推断原理和假设检验
▉题型1 等高堆积条形图
【知识点的认识】
﹣等高堆积条形图：用于显示分类数据的组成部分，条形的高度代表总体数值的累积．
【解题方法点拨】
﹣绘制：将不同分类的数值堆叠在条形上，展示每部分的相对比例．
（多选）1．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（　　）
A．该平台女性主播占比的估计值为0.4
B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
【答案】AC
【解答】解：该平台女性主播占比的估计值为60%×40%+30%×30%+10%×70%＝0.4，A选项正确；
随机抽取一位主播是中年男性的概率为30%×70%＝0.21，B选项错误；
用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取20×30%＝6名，C选项正确；
随机选取一位做为幸运主播，设该幸运主播是青年人为事件A，该幸运主播是女性为事件B，则，D选项错误；
故选：AC．
（多选）2．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，即对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校学生中按男女生比例分配样本，采用分层随机抽样选取了100名学生，其中男生60人，女生40人，调查他们每日使用手机的时间，若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾，根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，则下列说法正确的有（　　）
A．该校男生和女生人数之比为3：2
B．手机是否成瘾一定与学生的性别有关系
C．从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率
D．从该校学生中抽样到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为
【答案】AC
【解答】解：根据分层抽样的抽样比可知，样本中男生和女生人数之比为60：40＝3：2，
用样本估计总体可知全校男生和女生人数之比为3：2，故A正确；
从等高堆积条形图来看，样本中男生有20%手机成瘾，女生中有40%手机成瘾，比例关系差异很大，
因此手机是否成瘾与学生的性别有很大的关系，但不能说“一定与学生的性别有关系”，故B错误；
结合样本数据以及等高堆积条形图可知，男生中有60×20%＝12人手机成瘾，女生中有40×40%＝16人手机成瘾，
即样本的100人中共有28人手机成瘾，所以样本中学生手机成瘾的概率，用样本估计总体可知该校学生中手机成瘾的概率，即C正确；
根据条件概率可知，在样本中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率为，
用样本估计总体可知该校学生中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率也为，即D错误．
故选：AC．
3．为了研究某种疾病的治愈率，某医院从过往病例中随机抽取了100名患者，其中一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如图．
（1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2×2列联表：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
外科疗法
化学疗法 18
合计 100
（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关．
附：，P（χ2≥3.841）≈0.05．
【答案】（1）补全2×2列联表如下：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
外科疗法 20 20 40
化学疗法 42 18 60
合计 62 38 100
（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为此种疾病治愈与治疗方法有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．
【解答】解：（1）根据题意，补全2×2列联表如下：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
外科疗法 20 20 40
化学疗法 42 18 60
合计 62 38 100
（2）假设此种疾病治愈率是否与治疗方法无关，
则根据列联表中的数据计算，
所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为此种疾病治愈与治疗方法有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．
▉题型2 独立性检验
【知识点的认识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
4．下列说法错误的是（　　）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝3.937，根据小概率α＝0.05值的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
【答案】C
【解答】解：对于A，该校高一年级女生人数是，故A正确；
对于B，由8×75%＝6，得第75百分位数为，故B正确；
对于C，线性回归方程中，线性相关系数r绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误；
对于D，由χ2＝3.937＞3.841＝x0.05，可判断x与y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故D正确．
故选：C．
5．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（　　）
男生 女生
篮球迷 90 20
非篮球迷 60 30
附：
P（X2≥k） 0.10 0.05 0.01 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.789
A．有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
【答案】D
【解答】解：列出2×2列联表：
男生 女生
篮球迷 90 20 110
非篮球迷 60 30 90
150 50 200
零假设为H0：认为是否是篮球迷与性别无关联，
由表中数据计算可得，
故在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关．
故选：D．
6．下列说法中，正确的个数是（　　）
①根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的独立性检验（χ0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
②已知事件A，B，且，，，则；
③已知点在幂函数f（x）＝xm的图象上，则函数h（x）＝f（x）+lgx﹣18的零点所在区间为（2，3）；
④设Y～N（1，σ2）且P（Y＜0）＝0.2，则P（1＜Y＜2）＝0.2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：对于①，因为χ2＝4.712＞3.841，
所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验（χ0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故①正确；
对于②，已知事件A，B，且，，，
则P（B|A），故②正确；
对于③，已知点在幂函数f（x）＝xm的图象上，
所以，解得m＝3，
所以f（x）＝x3，
则函数h（x）＝f（x）+lgx﹣18＝x3+lgx﹣18，显然h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又因为h（2）＝8+lg2﹣18＝lg2﹣10＜0，h（3）＝27+lg3﹣18＝9+lg3＞0，
所以函数h（x）＝f（x）+lgx﹣18的零点所在区间为（2，3），故③正确；
对于④，设Y～N（1，σ2）且P（Y＜0）＝0.2，
则P（1＜Y＜2）＝P（0＜Y＜1）＝0.5﹣P（Y＜0）＝0.5﹣0.2＝0.3，故④错误，
所以正确的个数是3个．
故选：C．
7．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得：χ2≈7.822参照附表，则下列结论正确的是（　　）
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
【答案】A
【解答】解：零假设H0：爱好跳绳与性别无关，
选项A，∵χ2＝7.822＜7.879＝x0.005，
∴根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为爱好跳绳与性别无关，故选项A正确；
选项B，∵χ2＝7.822＜10.828＝x0.001，
∴根据小概率值α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为爱好跳绳与性别无关，但无法判断这个结论犯错误的概率是否超过0.001，故选项B错误；
选项C，∵χ2＝7.822＞3.841＝x0.05，
∴根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为爱好跳绳与性别有关，故选项C错误；
选项D，∵χ2＝7.822＞6.635＝x0.01，
∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关，故选项D错误．
故选：A．
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．经验回归直线x是由成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）中的两点确定的
B．如果两个变量的相关程度越强，则相关系数r越接近于1
C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2≈6.852，根据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验χ0.005＝7.879，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%
【答案】C
【解答】解：选项A，经验回归直线x是通过最小二乘法拟合所有样本点得到的，并不是只由两点确定，故选项A错误；
选项B，如果两个变量的相关程度越强，则|r|越接近于1，故选项B错误；
选项C，残差平方和是模拟预测值与实际值差异的平方和，所以残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故选项C正确；
选项D，χ2≈6.852＜χ0.005＝7.879，所以判断X与Y无关联，故选项D错误．
故选：C．
9．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验，结论为（　　）
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．变量x与y不独立
B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量x与y独立
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
【答案】C
【解答】解：由题意，χ2＝2.974＜3.841，
我们可以下结论变量x与y独立，故A错误，B错误；
所以不能得到：变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05；
故C正确，D错误．
故选：C．
10．下列说法中，正确的是（　　）
A．经验回归直线必经过样本点中心
B．样本相关系数r的值越大，两个变量的相关程度越强
C．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2≈3.56，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
【答案】A
【解答】解：对于A，经验回归方程必经过中心点，故A正确；
对于B，相关系数r的绝对值|r|越接近于1，两个变量的相关程度越强，故B错误；
对于C，在残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，
区域越宽，回归方程的预报精确度越低，故C错误；
对于D，由χ2≈3.56＜3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，
没有充分证据推断X与Y有关联，不可以判断此推断犯错误的概率不超过0.05，故D错误．
故选：A．
11．为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的两倍，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的，根据小概率值α＝0.01 的独立性检验，推断出“学生性别和喜欢吃甜食”有关，则被调查的男生人数最少为（　　）
参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．
附：
α 0.05 0.01
xα 3.841 6.635
A．12人 B．13人 C．14人 D．15人
【答案】C
【解答】解：已知被调查的女生人数是男生人数的两倍，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的，
由题意可设男生的人数为：5m（m∈N*），则女生的人数为10m（m∈N*），
根据题意可列出如下的2×2列联表：
男生 女生 合计
喜欢吃甜食 2m 8m 10m
不喜欢吃甜食 3m 2m 5m
合计 5m 10m 15m
χ22.4m，
因为根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断出“学生性别和喜欢吃甜食”有关，
所以2.4m＞6.635；解得：m＞2.765，所以5m＞13.823，
因为m∈N*，所以5m的最小值为14．
故选：C．
12．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得χ2＝2.826，依据α＝0.05的独立性检验，结论为（　　）
参考值：
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
A．x与y不独立
B．x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．x与y独立
D．x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
【答案】C
【解答】解：零假设H0为：x与y独立，
由χ2＝2.826＜3.841，依据α＝0.05的独立性检验，可得H0成立，
故可以认为x与y独立．
故选：C．
13．为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算K2＝8.069，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（　　）
P（K2 k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%
【答案】B
【解答】解：因为K2＝8.069，且6.635＜8.069＜10.828，
所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过1%．
故选：B．
14．下列说法正确的是（　　）
A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0
D．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则D（η）＝3D（ξ）﹣2
【答案】B
【解答】解：对于A，数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为（17+20）＝18.5，选项A错误；
对于B，零假设H0：X与Y没有关联，计算χ2＝4.712＞3.841＝x0.05，
根据小概率值α＝0.05的独立性检验知，X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，选项B正确；
对于C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，选项C错误；
对于D，随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则D（η）＝9D（ξ），选项D错误．
故选：B．
15．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.174．依据α＝0.005的独立性检验，结论为（　　）
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.897 10.828
A．变量x与y独立
B．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
C．变量x与y不独立
D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
【答案】A
【解答】解：由题意，χ2＝7.174＜7.897，
所以依据α＝0.005的独立性检验，x与y独立．
故选：A．
16．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为6m（m∈N*），男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则m的最小值为（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【解答】解：根据题意，写出列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男 3m 3m 6m
女 4m 2m 6m
合计 7m 5m 12m
则．
因为有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，
所以，解得m≥19.352，所以m的最小值为20．
故选：B．
17．为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查，统计结果如表：
性别 体育锻炼 合计
喜欢 不喜欢
男
女 50 80
合计 110
下列结论不正确的是（　　）
A．样本中男生所占比例为60%
B．估计该校不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%
C．样本中喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人
D．没有99.9%的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关联
【答案】D
【解答】解：完善列联表如下：
性别 体育锻炼 合计
喜欢 不喜欢
男 80 40 120
女 30 50 80
合计 110 90 200
对于A，样本中男生所占比例为，故A正确；
对于B，估计不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%，故B正确；
对于C，喜欢体育锻炼的男生有80人，喜欢体育锻炼的女生有30人，故C正确；
对于D，根据表中数据，计算得到，
所以有99.9%的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关联，故D错误．
故选：D．
18．下列说法中正确的是（　　）
A．一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9的第60百分位数为6
B．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大
C．若甲、乙两组数据的相关系数分别为﹣0.91和0.89，则甲组数据的线性相关程度更强
D．在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大
【答案】C
【解答】解：对于A，数据从小到大排列为1，2，3，4，5，6，8，8，9，9，
因为10×60%＝6，所以第60百分位数为7，故A错误；
对于B，将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差不变，故B错误；
对于C，由相关系数的性质可知，相关系数的绝对值越接近于1，数据的相关性越强，
因为|﹣0.91|＞|0.89|，所以甲组数据的线性相关程度更强，故C正确；
对于D，在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越大，判断两个变量有关的把握越大，故D错误．
故选：C．
19．下列结论错误的是（　　）
A．若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，则D（η）＝4D（ξ）
B．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712．依据α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关
【答案】C
【解答】解：若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，由方差的性质可知D（η）＝4D（ξ），A选项正确；
因为7×60%＝4.2，
所以数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为第5个数据9，B选项正确；
用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是，C选项错误；
由χ2＝4.712＞x0.05＝3.841，结合独立检验的基本思想，在α＝0.05小概率情况下可判断X与Y有关，D选项正确．
故选：C．
20．对于独立性检验，下列说法中错误的是（　　）
A．χ2的值越大，说明两事件相关程度越大
B．χ2的值越小，说明两事件相关程度越小
C．χ2≤3.841时，则在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A与B有关
D．χ2＞3.841时，则可以大概率认为事件A与B有关
【答案】C
【解答】解：对于A，B，因观测值，χ2的值越大，|ad﹣bc|越大，事件A与事件B关系越强；反之，事件A与事件B关系越弱，故A，B项均正确；
对于C，D，因只有P（χ2≥3.841）≈0.05时，说明在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A与B有关，而χ2≤3.841，故C错误；D正确．
故选：C．
21．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班中各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表如表所示：
班级 人数 总计
优秀 非优秀
A班 14 6 20
B班 7 13 20
总计 21 19 40
则下列说法正确的是（　　）
A．能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.01
B．能据此推断环保知识测试成绩与专业无关，且犯错误概率不超过0.01
C．能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.05
D．能据此推断环保知识测试成绩与专业无关，且犯错误概率不超过0.05
【答案】C
【解答】解：由列联表中数据，
得K24.9123＞3.841，
∴有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关，
且犯错误概率不超过0.05．
故选：C．
22．为研究男生和女生对数学课程的喜爱程度是否有差异，运用2×2列联表进行检验，经计算得χ2＝3.526，参考下表，则认为“男生和女生对数学课程的喜爱程度有差异”犯错误的概率不超过（　　）
α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．10% B．5% C．1% D．0.1%
【答案】A
【解答】解：由题意及表格可知，χ2＝3.526＞2.706，
所以认为“男生和女生对数学课程的喜爱程度有差异”犯错误的概率不超过0.100．
故选：A．
23．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为6m（m∈N*），男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则m的最小值为（　　）
附：．
临界值表：
α 0.050 0.010
xα 3.841 6.635
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【解答】解：根据题意，列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男 3m 3m 6m
女 4m 2m 6m
合计 7m 5m 12m
则，
因为有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即χ2≥6.635，
即，
解得m≥19.352，
又m∈N*，则m的最小值为20．
故选：B．
24．手机给人们的生活带来便捷，但同时也对中学生的生活和学习造成了一定的影响．某校几个学生成立研究性学习小组，就使用手机对学习成绩的影响随机抽取了该校100名学生的期末考试成绩并制成如下的表，则下列说法正确的是（　　）
手机使 用情况 成绩
成绩优秀 成绩不优秀 总计
不用手机 40 10 50
使用手机 5 45 50
总计 45 55 100
（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）
A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为使用手机与学习成绩无关
B．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为使用手机与学习成绩无关
C．有99%的把握认为使用手机对学习成绩有影响
D．无99%的把握认为使用手机对学习成绩有影响
【答案】C
【解答】解：由列联表中的数据，计算，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为使用手机与学习成绩有关，AB错误；
有99%的把握认为使用手机对学习成绩有影响，C正确，D错误．
故选：C．
（多选）25．下列说法正确的是（　　）
A．依据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.301＞6.635＝x0.01，则依据α＝0.01的独立性检验，没有充分的证据推断x与y有关联
B．极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度
C．若事件A、B发生的概率分别为P（A）、P（B），且P（A）P（B）＝P（AB），则A与B独立
D．若随机变量X N（4，σ2），且，则
【答案】BCD
【解答】解：对于A：因为χ2＝7.301＞6.635＝x0.01，
所以认为变量x与y有关联，故A错误；
对于B：因为极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度，故B正确；
对于C：根据定义，若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与B相互独立，故C正确；
对于D：由X N（4，σ2），则μ＝4，
因为，则，
所以，故D正确．
故选：BCD．
（多选）26．下列关于统计量X2的说法中，正确的是（　　）
A．统计量X2的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强
B．若求出统计量X2＝6.31，由于6.31比较接近X0.01＝6.635，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01
C．独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量X2所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的
D．根据统计量X2的构造过程可知，X2的值越小，零假设H0成立的可能性越大
【答案】CD
【解答】解：对于A，统计量X2的值，用于判断两个分类变量是否有关系，故A错误，
对于B，若求出统计量X2＝6.31，由于6.31比较接近X0.01＝6.635，不能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01，故B错误，
对于C，独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量X2所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的，故C正确，
对于D，根据统计量X2的构造过程可知，X2的值越小，零假设H0成立的可能性越大，故D正确．
故选：CD．
27．随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（10≤m≤20，m∈N*）
支持 不支持
男生 70﹣m 10+m
女生 50+m 30﹣m
若通过计算得，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 　66　 ．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】66．
【解答】解：因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，
所以，
即（m﹣10）2≥28.8075，
因为函数y＝（m﹣10）2在10≤m≤20时单调递增，
且m∈N*，（15﹣10）2＜28.8075，（16﹣10）2≥28.8075，
所以m的最小值为16，
所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为50+16＝66．
故答案为：66．
28．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有　30　 人．
参考数据及公式如下：
P（K2≥k0） 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
，n＝a+b+c+d．
【答案】30．
【解答】解：设男生人数为x，
由女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，
可得列联表如下：
喜欢追星 不喜欢追星 总计
男生 x
女生
总计
在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则K2＞3.841，
由，解得x＞25.61，
由题知x应为6的整数倍，
所以若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则男生至少有30人．
故答案为：30．
29．为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）：
每日阅读时长≥30分钟 每日阅读时长＜30分钟
专注力达标 170 80
专注力不达标 100 150
（1）记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求P（A）和P（B）；
（2）根据α＝0.01的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？附：．
P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1），P（B）；
（2）有关系．
【解答】解：（1）由题可得170+80+100+150＝500，
所以，；
（2）零假设H0：中学生的专注力与阅读时长没有关系，
由表中数据可得39.452＞6.635，
根据α＝0.01的独立性检验，我们推断假设不成立，
所以认为中学生的专注力与阅读时长有关系．
30．为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：附表：
近视情况 每天看电子产品的时间 合计
超过一小时 一小时内
近视 10人 5人 15人
不近视 10人 25人 35人
合计 20人 30人 50人
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
．
（1）根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求P（X＝Y）的值．
【答案】（1）认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）零假设H0为：学生患近视与长时间使用电子产品无关，
计算可得，，
根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关；
（2）每天看电子产品超过一小时的人数为ξ，
则，
所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是；
（3）依题意，，，
事件X＝Y＝1包含两种情况：
①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；
②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，
于是，
所以P（X＝Y）＝P（X＝Y＝0）+P（X＝Y＝1）+P（X＝Y＝2）．
31．在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．
（1）现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：
选择甲公司直播间购物 选择乙公司直播间购物 合计
用户年龄段19﹣24岁 40 50
用户年龄段25﹣34岁 30
合计
请将表格补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？
（2）若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．χ2临界值表：
P（χ2≥k） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关；
（2）．
【解答】解：（1）2×2列联表如下：
选择甲公司直播间购物 选择乙公司直播间购物 合计
用户年龄段19﹣24岁 40 10 50
用户年龄段25﹣34岁 20 30 50
合计 60 40 100
所以，χ216.667＞10.828，
所以，有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关．
（2）解：记事件A：小李第一天去甲直播间，事件B：小李第二天去甲直播间，
则P（A）＝P（），P（B|A），P（B|），
由全概率公式可得P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）．
因此，小李第二天去乙直播间购物的概率为．
▉题型3 实际推断原理和假设检验
【知识点的认识】
1、小概率原理（实际推断原理）认为概率很小的事件在一次试验中实际上不会出现，并且小概率事件在一次试验中出现了，就被认为是不合理的．
2、假设检验的基本思想：
假设检验是除参数估计之外的另一类重要的统计推断问题．它的基本思想可以用小概率原理来解释．所谓小概率原理，就是认为小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的．如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了，这与小概率原理相违背，表明原来的假设有问题，应予以否定，即拒绝这个假设．若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现，就没有理由否定这个假设，表明试验或抽样结果支持这个假设，这时称假设与实验结果是相容的，或者说可以接受原来的假设．
32．小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小…”．他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…．已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（　　）
A．840mm，594mm B．840mm，588mm
C．594mm，420mm D．588mm，420mm
【答案】A
【解答】解：A4纸的宽为210mm，设其长为xmm，
若两张A4纸的宽拼在一起，
则A3纸的宽为210mm，长为2xmm，
且，故舍去；
若两张A4纸的长拼在一起，
即A3纸的宽为xmm，长为420mm，
A2纸的宽为420mm，长为2xmm，
A1纸的宽为2xmm，长为840mm，
由所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，
可得，解得x≈297，则2x≈594，
所以A1纸的长和宽约为840mm，594mm．
故选：A．第8章第3节 列联表与独立性检验
题型1 等高堆积条形图 题型2 独立性检验
题型3 实际推断原理和假设检验
▉题型1 等高堆积条形图
【知识点的认识】
﹣等高堆积条形图：用于显示分类数据的组成部分，条形的高度代表总体数值的累积．
【解题方法点拨】
﹣绘制：将不同分类的数值堆叠在条形上，展示每部分的相对比例．
（多选）1．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（　　）
A．该平台女性主播占比的估计值为0.4
B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
（多选）2．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，即对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校学生中按男女生比例分配样本，采用分层随机抽样选取了100名学生，其中男生60人，女生40人，调查他们每日使用手机的时间，若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾，根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，则下列说法正确的有（　　）
A．该校男生和女生人数之比为3：2
B．手机是否成瘾一定与学生的性别有关系
C．从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率
D．从该校学生中抽样到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为
3．为了研究某种疾病的治愈率，某医院从过往病例中随机抽取了100名患者，其中一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如图．
（1）根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2×2列联表：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
外科疗法
化学疗法 18
合计 100
（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关．
附：，P（χ2≥3.841）≈0.05．
▉题型2 独立性检验
【知识点的认识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
4．下列说法错误的是（　　）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝3.937，根据小概率α＝0.05值的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
5．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（　　）
男生 女生
篮球迷 90 20
非篮球迷 60 30
附：
P（X2≥k） 0.10 0.05 0.01 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.789
A．有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
6．下列说法中，正确的个数是（　　）
①根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的独立性检验（χ0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
②已知事件A，B，且，，，则；
③已知点在幂函数f（x）＝xm的图象上，则函数h（x）＝f（x）+lgx﹣18的零点所在区间为（2，3）；
④设Y～N（1，σ2）且P（Y＜0）＝0.2，则P（1＜Y＜2）＝0.2．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得：χ2≈7.822参照附表，则下列结论正确的是（　　）
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．经验回归直线x是由成对样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n）中的两点确定的
B．如果两个变量的相关程度越强，则相关系数r越接近于1
C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2≈6.852，根据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验χ0.005＝7.879，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5%
9．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验，结论为（　　）
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．变量x与y不独立
B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量x与y独立
D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
10．下列说法中，正确的是（　　）
A．经验回归直线必经过样本点中心
B．样本相关系数r的值越大，两个变量的相关程度越强
C．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2≈3.56，根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05
11．为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的两倍，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的，根据小概率值α＝0.01 的独立性检验，推断出“学生性别和喜欢吃甜食”有关，则被调查的男生人数最少为（　　）
参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．
附：
α 0.05 0.01
xα 3.841 6.635
A．12人 B．13人 C．14人 D．15人
12．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得χ2＝2.826，依据α＝0.05的独立性检验，结论为（　　）
参考值：
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
A．x与y不独立
B．x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．x与y独立
D．x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
13．为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算K2＝8.069，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（　　）
P（K2 k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%
14．下列说法正确的是（　　）
A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712，根据小概率值α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0
D．若随机变量ξ，η满足η＝3ξ﹣2，则D（η）＝3D（ξ）﹣2
15．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.174．依据α＝0.005的独立性检验，结论为（　　）
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.897 10.828
A．变量x与y独立
B．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
C．变量x与y不独立
D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005
16．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为6m（m∈N*），男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则m的最小值为（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
17．为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查，统计结果如表：
性别 体育锻炼 合计
喜欢 不喜欢
男
女 50 80
合计 110
下列结论不正确的是（　　）
A．样本中男生所占比例为60%
B．估计该校不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%
C．样本中喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人
D．没有99.9%的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关联
18．下列说法中正确的是（　　）
A．一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9的第60百分位数为6
B．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大
C．若甲、乙两组数据的相关系数分别为﹣0.91和0.89，则甲组数据的线性相关程度更强
D．在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大
19．下列结论错误的是（　　）
A．若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，则D（η）＝4D（ξ）
B．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712．依据α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关
20．对于独立性检验，下列说法中错误的是（　　）
A．χ2的值越大，说明两事件相关程度越大
B．χ2的值越小，说明两事件相关程度越小
C．χ2≤3.841时，则在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A与B有关
D．χ2＞3.841时，则可以大概率认为事件A与B有关
21．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班中各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表如表所示：
班级 人数 总计
优秀 非优秀
A班 14 6 20
B班 7 13 20
总计 21 19 40
则下列说法正确的是（　　）
A．能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.01
B．能据此推断环保知识测试成绩与专业无关，且犯错误概率不超过0.01
C．能据此推断环保知识测试成绩与专业有关，且犯错误概率不超过0.05
D．能据此推断环保知识测试成绩与专业无关，且犯错误概率不超过0.05
22．为研究男生和女生对数学课程的喜爱程度是否有差异，运用2×2列联表进行检验，经计算得χ2＝3.526，参考下表，则认为“男生和女生对数学课程的喜爱程度有差异”犯错误的概率不超过（　　）
α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．10% B．5% C．1% D．0.1%
23．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为6m（m∈N*），男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则m的最小值为（　　）
附：．
临界值表：
α 0.050 0.010
xα 3.841 6.635
A．18 B．20 C．22 D．24
24．手机给人们的生活带来便捷，但同时也对中学生的生活和学习造成了一定的影响．某校几个学生成立研究性学习小组，就使用手机对学习成绩的影响随机抽取了该校100名学生的期末考试成绩并制成如下的表，则下列说法正确的是（　　）
手机使 用情况 成绩
成绩优秀 成绩不优秀 总计
不用手机 40 10 50
使用手机 5 45 50
总计 45 55 100
（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）
A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为使用手机与学习成绩无关
B．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为使用手机与学习成绩无关
C．有99%的把握认为使用手机对学习成绩有影响
D．无99%的把握认为使用手机对学习成绩有影响
（多选）25．下列说法正确的是（　　）
A．依据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.301＞6.635＝x0.01，则依据α＝0.01的独立性检验，没有充分的证据推断x与y有关联
B．极差、方差、标准差均能刻画一组数据的离散程度
C．若事件A、B发生的概率分别为P（A）、P（B），且P（A）P（B）＝P（AB），则A与B独立
D．若随机变量X N（4，σ2），且，则
（多选）26．下列关于统计量X2的说法中，正确的是（　　）
A．统计量X2的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强
B．若求出统计量X2＝6.31，由于6.31比较接近X0.01＝6.635，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01
C．独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量X2所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的
D．根据统计量X2的构造过程可知，X2的值越小，零假设H0成立的可能性越大
27．随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（10≤m≤20，m∈N*）
支持 不支持
男生 70﹣m 10+m
女生 50+m 30﹣m
若通过计算得，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 　　 ．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 6.635 7.879 10.828
28．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有　　 人．
参考数据及公式如下：
P（K2≥k0） 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
，n＝a+b+c+d．
29．为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）：
每日阅读时长≥30分钟 每日阅读时长＜30分钟
专注力达标 170 80
专注力不达标 100 150
（1）记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求P（A）和P（B）；
（2）根据α＝0.01的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？附：．
P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
30．为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：附表：
近视情况 每天看电子产品的时间 合计
超过一小时 一小时内
近视 10人 5人 15人
不近视 10人 25人 35人
合计 20人 30人 50人
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
．
（1）根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求P（X＝Y）的值．
31．在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．
（1）现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：
选择甲公司直播间购物 选择乙公司直播间购物 合计
用户年龄段19﹣24岁 40 50
用户年龄段25﹣34岁 30
合计
请将表格补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？
（2）若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．χ2临界值表：
P（χ2≥k） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
▉题型3 实际推断原理和假设检验
【知识点的认识】
1、小概率原理（实际推断原理）认为概率很小的事件在一次试验中实际上不会出现，并且小概率事件在一次试验中出现了，就被认为是不合理的．
2、假设检验的基本思想：
假设检验是除参数估计之外的另一类重要的统计推断问题．它的基本思想可以用小概率原理来解释．所谓小概率原理，就是认为小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的．如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了，这与小概率原理相违背，表明原来的假设有问题，应予以否定，即拒绝这个假设．若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现，就没有理由否定这个假设，表明试验或抽样结果支持这个假设，这时称假设与实验结果是相容的，或者说可以接受原来的假设．
32．小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小…”．他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…．已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（　　）
A．840mm，594mm B．840mm，588mm
C．594mm，420mm D．588mm，420mm

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