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小升初--因数和倍数（专题训练） -2025-2026学年
人教版数学六年级下册
一、选择题
1．俗语中有句话是“管它三七二十一”，从数学的角度看“三”和“七”可以看作是“二十一”的（ ）。
A．奇数 B．倍数 C．因数 D．偶数
2．2025年中秋节期间，糕点铺推出“深港月韵”主题月饼礼盒，需将90块定制月饼分装至不同规格的礼盒中。以下哪种礼盒规格无法正好装完所有月饼？（ ）
A．双喜临门款（每盒装2块） B．三阳开泰款（每盒装3块）
C．四季平安款（每盒装4块） D．五福临门款（每盒装5块）
3．公元前100年，古希腊数学家尼科马库斯在《算术导论》首次提出“亏数”，“亏数”是指除自身以外，所有因数的和小于它本身的数，这样的数称为“亏数”。例如：4有3个因数：1、2、4，其中1＋2＜4，所以4就是“亏数”。下面数中，是“亏数”的是（ ）。
A．6 B．12 C．18 D．22
4．2025年，是公历平年，农历乙巳蛇年，还是中华人民共和国成立76周年。2025年春节也是我国第一个世界非遗版春节。下面关于“2025”的说法正确的是（ ）
A．2025既是奇数，也是质数
B．2025既是3的倍数，也是5的倍数
C．2025既是2的倍数，也是5的倍数
5．中国云南省昆明市被称为“春城”。因其独特的气候、丰富的历史文化和多样的旅游资源而闻名。暑假，乐乐一家从贵阳出发，乘坐高铁去昆明旅游，购票时乐乐发现开往昆明的火车车次都用奇数表示，从昆明开出的火车车次都用偶数表示。下面的车次，有（ ）个是开往昆明的。
G2865 G2801 G1422 G1236 G2128
A．2 B．3 C．4 D．5
6．一群小朋友一男一女间隔排列围成一个圆圈做丢手绢游戏，这一圈的总人数为（ ）。
A．偶数 B．奇数 C．质数D．奇数和偶数都有可能
7．妈妈用新鲜水果榨了一些果汁，倒入一个凉水壶（未满），妈妈说倒入果汁毫升数正好是最小的三个质数的倍数，则下面（ ）符合妈妈所说的数。
A．405 B．702 C．750
8．给16、24、32这几个数分解质因数，它们相同的质因数有（ ）。
A．2 B．1，2 C．1，2，3
9．下面的条件中，非0自然数M、N的最大公因数是1的有（ ）个。
①M＋1＝N
②M、N是两个质数
③M－N＝2
④M是质数，N是合数
A．1 B．2 C．3 D．4
10．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归……”如果1月1日三女同时归家，那么这一年中三女还会有（ ）天同时归家。
A．3 B．6 C．12 D．30
二、填空题
11．本届全运会期间，竞技比赛项目和群众赛事活动一共包含57个大项。其中，竞技项目共34个大项、419个小项，参与竞技项目的运动员共14252名。此外，还有6565名技术官员及3235名注册记者参与赛事运行与报道工作。在以上这些划线的数中，2的倍数有( )个，3的倍数有( )个，5的倍数有( )个。
12．用6个珠子在计数器上可以拨出6、15、24、60、501、2112、20013…若干数。它们位数不同，大小不同，但都是( )的倍数。
13．国庆假期，张华一家计划到澳门旅行，他家行李箱的密码是一个四位数：3□4□，同时是2、3和6的倍数，这个密码最大是( )。旅行途中，张华买一本书花了35澳元，折算成人民币大约是( )元（保留整数）（根据2025年最新汇率。1澳门元兑换人民币0.8824元）。
14．航模比赛前设置了公平性抽选环节，系统随机抽取1——9中的一个数字，抽到奇数则淘气先开赛，抽到偶数则笑笑先开赛。这个游戏规则( )，理由是：( )。（第一空填“公平”或“不公平”）
15．“趣味数学节” 上，同学们玩 “掷骰子比输赢” 游戏，同时掷 2个完全相同的骰子，以点数之和判断输赢。
(1)点数之和共有( )种可能。
(2)若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性( )（填“相同”或“不同”）。
16．李爷爷今年已过花甲之年（60岁），未到古稀之年（70岁），且年龄是合数，李爷爷今年最少( )岁。
17．“哥德巴赫猜想”是世界三大数学难题之一，目前尚未被完全证明。我国数学家陈景润在1966年证明了“1＋2”，即“任意一个足够大的偶数＝质数＋质数×质数”（三个质数可以相同，也可以不同），是目前最接近完全证明“哥德巴赫猜想”的成果。请用“1＋2”的方式表示24与36。
24＝( )＋( )×( )，36＝( )＋( )×( )。
三、解答题
18．爱护环境，人人有责。星期天，南山小学环保小组的7名同学一起去清理小广告。在四道街，他们一共清理了30多张小广告，而且他们每人清理的数量相同。他们一共清理了多少张小广告？（列算式或文字说明均可）
19．寻找最大数与最小数。
（1）在685的后面加上两个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最大是多少？
（2）在685的前后各加上一个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最小是多少？
20．学校美术室进行升级改造。已知美术室长90分米，宽72分米，高40分米。
首先：粉刷美术室的天花板和四面墙壁。门窗和黑板面积约为5平方米不用粉刷。
然后：将美术室地面铺上方砖。
（1）如果每平方米用涂料0.25千克，一共需要涂料多少千克？
（2）如果用边长是整分米数的方砖铺满而没有剩余，至少需要准备多少块方砖？
21．中国书法历史悠久，字体沿革流变，具有深厚的历史积淀和独特的艺术魅力。五年级书法小组有若干名同学，6个6个地数或15个15个地数，都正好数完。五年级书法小组至少有多少人？
要求五年级书法小组至少有多少人，就是求6和15的( )，五年级书法小组至少有( )名同学。
22．每年的4月22日是世界地球日，是一个专门为世界环境保护而设立的节日。第五十六个世界地球日的主题是“珍爱地球，人与自然和谐共处”。为保护环境，实验小学五（3）班学生参加“保护环境，人人有责”的宣传活动，参与活动的学生人数在50人以内，每4人一组或5人一组都正好分完，五（3）班参与活动的学生可能有多少人？
23．五年级一班学生分组进行实践活动，每组5人或每组9人都正好，五年级一班最少有多少名学生？五年级二班学生去郊游，刘老师带了100袋小面包和44瓶矿泉水，平均分给这些学生，结果面包分完还剩4袋，矿泉水却少4瓶，五年级二班最多有多少名学生去郊游？
24．李阿姨和张阿姨结伴到泉州旅游，她们都喜欢泉州当地的特色美食——芋头饼，返程时买了一些带回去。芋头饼有甜味和咸味两种口味，李阿姨买32个甜味和24个咸味的芋头饼。
（1）李阿姨买的甜味芋头饼占她买的总数量的几分之几？（用最简分数表示）
（2）李阿姨计划将购买的芋头饼平均装在若干个盒子里送亲朋好友，每种口味的芋头饼个数相同，李阿姨最多要准备几个盒子？
（3）张阿姨计划将购买芋头饼数量的送邻居，送父母。张阿姨至少购买了多少个芋头饼？（请通过计算、文字描述或画图等方式说明理由）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B A A C A B B
1．C
【分析】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为 0 的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数；三七二十一对应算式“3×7＝21”，据此分析。
【详解】A．整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，奇数是一个数自身的特点，并不表示两个数的相互关系；
B．如果两个整数相乘等于另一个整数，那么这两个数都是后者的因数，后者是前两个数的倍数，应该说“二十一”是“三”和“七”的倍数；
C．“三”和“七”可以看作是“二十一”的因数；
D．整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，偶数是一个数自身的特点，并不表示两个数的相互关系。
故答案为：C
2．C
【分析】找到90的因数，每盒装的块数恰好为90的因数时，则礼盒规格正好装完所有月饼；若每盒装的块数不是90的因数时，则礼盒规格无法正好装完所有月饼。
【详解】90＝1×90＝2×45＝3×30＝5×18＝6×15＝9×10；
A．90÷2＝45（盒），即90块月饼刚好能装45盒；
B．90÷3＝30（盒），即90块月饼刚好能装30盒；
C．90÷4＝22（盒）……2（块），即这种礼盒规格无法正好装完所有月饼；
D．90÷5＝18（盒），即90块月饼刚好能装18盒。
故答案为：C
3．D
【分析】先列举出各数的所有因数，再根据“亏数”的意义，找出所有因数的和小于它本身的数即可。
【详解】A．6的因数：1，2，3，6；1＋2＋3＝6，6＝6，所以6不是“亏数”。
B．12的因数：1，2，3，4，6，12；1＋2＋3＋4＋6＝16，16＞12，所以12不是“亏数”。
C．18的因数：1，2，3，6，9，18；1＋2＋3＋6＋9＝21，21＞18，所以18不是“亏数”。
D．22的因数：1，2，11，22；1＋2＋11＝14，14＜22，所以22是“亏数”。
4．B
【分析】末位是（1、3、5、7、9）的数为奇数；只有1和它本身两个因数的数为质数；各位数字之和是否能被3整除的数是3的倍数；末位是0或5的数是5的倍数；末位是（0、2、4、6、8） 的数是2的倍数。据此分析各选项的正确性。
【详解】A．2025的末位是5，属于奇数；2025末位为5，能被5整除（2025÷5＝405），说明有因数5，因此不是质数。选项A错误。
B．2025的各位数字之和为2＋0＋2＋5＝9，9能被3整除，因此2025是3的倍数；末位为5，能被5整除，因此2025也是5的倍数。选项B正确。
C．2025的末位为5，不是偶数，因此不是2的倍数。选项C错误。
5．A
【分析】奇偶数：整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数；个位是0，2，4，6，8的数是偶数，个位是1，3，5，7，9的数是奇数，据此可以判断。
【详解】奇数有2865，2801，因此有G2865和G2801两个是开往昆明的。
6．A
【分析】分析题目，一群小朋友一男一女间隔排列围成一个圆圈做丢手绢游戏，那么男生和女生的人数相等，如果男生人数是奇数则女生人数也是奇数，如果男生人数是偶数则女生人数也是偶数，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以男女生人数加在一起一定是偶数，据此解答。
【详解】根据分析可知：一群小朋友一男一女间隔排列围成一个圆圈做丢手绢游戏，这一圈的总人数为偶数。
故答案为：A
7．C
【分析】质数是指只能被1和它本身整除的数，而且大于1的自然数。则最小的三个质数是2，3，5。同时是这三个数的倍数，也就是它们的最小公倍数的倍数。先算最小公倍数。2、3、5都是质数，所以它们的最小公倍数就是它们的乘积，即2×3×5＝30。所以这个数必须是30的倍数，也就是能被30整除的数。最后分析每个选项的数，据此解答即可。
【详解】A．405不能被30整除。
B．702不能被30整除。
C．750能被30整除。
故答案为：C
8．A
【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数，分解后找到相同的质因数即可。
【详解】16＝2×2×2×2
24＝2×2×2×3
32＝2×2×2×2×2
即它们相同的质因数有2。
9．B
【分析】非0自然数M、N的最大公因数是1，也就是M和N这两个数互质，由此结合选项进行分析，进而得出结论。
【详解】①M＋1＝N，M和N是相邻的两个数，是互质数；
②M、N是两个质数，说明M、N则互质，所以最大公因数为1；
③M－N＝2，M和N的最大公因数不确定；
④M是质数，N是合数，M和N的最大公因数不确定。
非0自然数M、N的最大公因数是1的有2个。
10．B
【详解】先求出三个女儿归家周期的最小公倍数，得到她们同时归家的间隔天数，再计算1月1日后一年里还能同时归家的次数。
【解答】5、4、3的最小公倍数是60，即每60天同时归家一次；
365÷60＝6（次）……5（天）
11． 2 1 2
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】在57、34、419、14252、6565、3235中，
2的倍数是：34、14252，有2个；
3的倍数是：57，有1个；
5的倍数是：6565、3235，有2个。
填空如下：
2的倍数有（2）个，3的倍数有（1）个，5的倍数有（2）个。
12．3
【分析】一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】在计数器上拨数时，每个珠子代表所在数位的一个计数单位，因此拨出的数的各位数字之和等于珠子的总数，即6。它们位数不同，大小不同，但都是3的倍数。
13．
3948
31
【分析】求四位数密码3□4□的最大值，条件1：是2的倍数， 个位必须是偶数（0、2、4、6、8）。条件2：是3的倍数，各位数字之和能被3整除。 条件3：是6的倍数， 同时满足是2和3的倍数即可。 已知1澳门元兑换人民币0.8824元，所以35 澳门元可以兑换 35 × 0.8824 ≈ 31 元人民币。
【详解】根据分析得出：
我们设这个四位数为 3a4b。 数字之和：3 ＋ a ＋ 4 ＋ b ＝ 7 ＋ a ＋ b 要让这个数最大，我们优先让千位后的 a 尽可能大，再确定 b。 先试 a ＝ 9时，数字和：7 ＋ 9 ＋ b ＝ 16 ＋ b 要让 16 ＋ b 能被3整除，且 b 是偶数， 16 ＋ b 可以取 18、24… 当 16 ＋ b ＝ 18 时，b ＝ 2（偶数，符合） 当 16 ＋ b ＝ 24 时，b ＝ 8（偶数，符合） 所以 b ＝ 8 时数最大 ，3948。
已知1澳门元兑换人民币0.8824元，所以35 澳门元可以兑换 ：35 × 0.8824 ≈ 31 元人民币
14． 不公平 因为1~9中奇数有5个，偶数有4个，5＞4，抽到奇数的可能性大于抽到偶数的可能性，所以游戏不公平。
【分析】不能被2整除的数叫做奇数；能被2整除的数叫做偶数；据此求出1~9中的奇数个数和偶数个数。
游戏规则的公平性就是指对游戏的双方来说，机会是均等的，也就是双方获胜的可能性的大小相等。确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。
【详解】1~9中，奇数有：1，3，5，7，9，一共有5个；
偶数有：2，4，6，8，一共有4个。
因为1~9中奇数有5个，偶数有4个，5＞4，抽到奇数的可能性大于抽到偶数的可能性，所以游戏不公平。
航模比赛前设置了公平性抽选环节，系统随机抽取1~9中的一个数字，抽到奇数则淘气先开赛，抽到偶数则笑笑先开赛。这个游戏规则不公平，理由：因为1~9中奇数有5个，偶数有4个，5＞4，抽到奇数的可能性大于抽到偶数的可能性，所以游戏不公平。
15．(1)
11
(2)
相同
【分析】一个骰子共有6个面，分别对应6个不同的数字，所以朝上的面的点数可能是1、2、3、4、5、6共6种可能；列表格分析两个骰子的点数之和，由表格可知，点数之和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12共11种可能。偶数：是2的倍数的数叫偶数；个位是0、2、4、6、8的数字是2的倍数；奇数：不是2的倍数的数叫奇数。据此判断谁赢的可能性大。
【详解】根据分析得出表格：
2、4、6、8、10、12是偶数，由表格知：点数之和为偶数有18种情况；3、5、7、9、11是奇数，由表格知：点数之和为奇数有18种情况；所以同时掷2个骰子，以点数之和判断输赢。
（1）点数之和共有（11）种可能。
（2）若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性（相同）。
16．62
【分析】先明确年龄范围是60到70岁之间（不含60、70），然后从最小的数开始依次判断每个数是否为合数（合数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，还有其他正因数的数），找到第一个符合合数条件的数，就是所求的最小年龄。
【详解】根据分析可知：
排除质数61、67，剩余可能的年龄为62、63、64、65、66、68、69。
最小的是62，所以李爷爷今年最少62岁。
17．
3
3
7
3
3
11
【分析】根据对“哥德巴赫猜想”的“1＋2”形式的理解，即将一个偶数表示为“质数＋质数×质数”的形式。
质数是指大于1且只能被1和自身整除的自然数。对于24和36，需要找到合适的质数组合，使得等式成立。通过尝试较小的质数乘积，并计算其与偶数的差是否为质数，即可找到符合条件的表示方式。
对于24：尝试质数乘积，3×7＝21，24－21＝3，且3是质数；
对于36：尝试质数乘积，3×11＝33，36－33＝3，且3是质数。
【详解】24＝3＋3×7，36＝3＋3×11。（答案不唯一）
18．35张
【分析】根据题意，7名同学每人清理的数量相同，说明总数量是7的倍数；同时总数量是“30多张”，所以需要找出7的倍数中大于30且小于40的数，再通过“人数×每人清理的数量”计算总数量，据此解答。
【详解】确定每人清理的数量：7的倍数中，30多的数是35，因为7×5＝35。
答：他们一共清理了35张小广告。
19．（1）68580（2）26850
【分析】需要构造五位数并满足同时是2、3、5的倍数的条件。解题时先确定个位数字，再计算各位数字之和是否满足3的倍数要求，最后根据题目要求选择最大或最小的数。
（1）同时是2和5的倍数，个位必须是0。因此五位数最后一个数字为0。原数为685后加两位数字，构造为685X0其中X为第四位。各位数字之和，必须是3的倍数。X为2，5，8时原数是3的倍数。为使五位数最大，X应取最大的可能值8，五位数为68580，验证：是3的倍数。
（2）构造五位数为A685B，个位B为0以满足2和5的倍数条件， 五位数形式为A6850，其中A为首位数字 （不能为0）。各位数字之和，必须是3的倍数。A为2，5，8时原数是3的倍数。为使五位数最小，A应取最小的可能值2。五位数为26850，验证：是3的倍数。
【详解】（1）在685的后面加上两个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最大是68580；
（2）在685的前后各加上一个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最小是26850。
【点睛】根据2,3,5的倍数特征，判断末尾为0，结合题目要求填出最大最小的数。
20．（1）47.35千克
（2）20块
【分析】（1）粉刷面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗和黑板的面积，粉刷面积×每平方米用涂料质量＝需要的涂料总质量，据此列式解答，注意统一单位；
（2）方砖越大需要的方砖数量就越少，求出美术室长和宽的最大公因数就是最大方砖的边长，先把长、宽分解质因数，然后把它们的公有质因数相乘，积就是长、宽的最大公因数。
根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，分别计算美术室和方砖面积，美术室面积÷每块方砖面积＝需要的方砖数量。
【详解】（1）90分米＝9米，72分米＝7.2米，40分米＝4米
9×7.2＋9×4×2＋7.2×4×2－5
＝64.8＋72＋57.6－5
＝189.4（平方米）
189.4×0.25＝47.35（千克）
答：一共需要涂料47.35千克。
（2）90＝2×3×3×5，72＝2×2×2×3×3
90和72的最大公因数是：2×3×3＝18
即方砖的最大边长是18分米。
（90×72）÷（18×18）
＝6480÷324
＝20（块）
答：至少需要准备20块方砖。
21． 最小公倍数 30
【分析】6个6个地数或15个15个地数，都正好数完，说明五年级书法小组的人数是6和15的公倍数，求五年级书法小组至少有多少人就是求6和15的最小公倍数。求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是这两个数的最小公倍数；
【详解】，，所以6和15的最小公倍数是：
所以要求五年级书法小组至少有多少人，就是求6和15的最小公倍数，五年级书法小组至少有30名同学。
22．20人或40人
【分析】每4人一组或5人一组都正好分完，所以参与活动的人数是4和5的公倍数。因为参与人数在50人以内，所以需要先求出4和5的最小公倍数，再找出50以内4和5的最小公倍数的倍数，即为五（3）班参与活动的学生人数。
【详解】4×5＝20
4和5的最小公倍数是20。
50以内4和5的公倍数有：20×1＝20，20×2＝40。
答：五（3）班参与活动的学生可能有20人或40人。
23．五年级一班：45人；五年级二班：48人
【分析】五年级一班：学生分组时，每组5人或每组9人都正好分完，说明学生人数是5和9的公倍数。要求最少的学生人数，即求5和9的最小公倍数；根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积；据此解答。
五年级二班：面包分完剩4袋，实际分了100－4＝96袋；矿泉水少了4瓶，实际需要44＋4＝48瓶；学生人数实际是96和48的最大公因数，根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此解答。
【详解】五年级一班：
5和9是互质数，5和9的最小公倍数是5×9＝45；五年一班有45人。
五年级二班：
100－4＝96（袋）
44＋4＝48（瓶）
96和48为倍数关系，96和48的最大公因数是48；五年二班最多有48人。
答：五年级一班有45人，五年级二班有48人。
24．（1）
（2）8个
（3）40个
【分析】（1） 首先计算李阿姨买的芋头饼总数量， 然后计算甜味芋头饼占总数量的几分之几 。
（2） 要将购买的芋头饼平均装在若干个盒子里，且每种口味的芋头饼个数相同，就是求32和24的最大公因数。
（3） 张阿姨计划将购买芋头饼数量的送邻居，送父母，说明芋头饼的数量应该是8和5的公倍数。由此解答即可。
【详解】（1）32÷（32＋24）
＝32÷56
＝
＝
＝
答：李阿姨买的甜味芋头饼占她买的总数量的。
（2）32的因数有1，2，4，8，16，32；
24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24；
32和24的最大公因数是8，所以李阿姨最多需要准备8个盒子。
答：李阿姨最多要准备8个盒子。
（3）8和5的最小公倍数是5×8＝40，所以张阿姨至少购买了40个芋头饼。
答：张阿姨至少购买了40个芋头饼。
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