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20.1勾股定理及其应用（第2课时）
第二十章 勾股定理
2026年新人教版八年级数学下册★★
复习引入
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边 长分别为a，b，斜边长为c，那 么 . 证明
a2+b2=c2
合作探究
例2 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
分析： 可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是木板斜着能通过的最大长度.求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.
合作探究
例2 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5，
∴ AC=≈2.24.
因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过.
解：当梯子底端沿OB向外移动0.8 m时，
设梯子的底端由点B移动到点D，顶端由
点A下滑到点C.可以看出，AC=OA OC.
合作探究
例3 如图，一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7 m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8 m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8 m吗
C
D
合作探究
在Rt△AOB中，根据勾股定理，
OA2=AB2 OB2=2.52 0.72=5.76，
∴OA=2.4.
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OC2=CD2 OD2=2.52 (0.7+0.8)2=4，
∴OC=2.
所以，AC=OA OC=2.4-2=0.4.
因此，当梯子底端向外移动0.8 m时，梯
子顶端并不是下滑0.8 m，而是下滑0.4 m.
C
D
实际问题
抽象
数学问题
几何模型
解决
建立
解决
典例分析
1. 如图，A，B是池塘边上的两点，点C是与BA方向成直角的方向上一点，测得BC=60 m，AC=20 m.求A，B两点间的距离(结果取整数).
解：根据勾股定理，
AB2=BC2 AC2=602 202=3200，
∴AB=40≈57(m).
∴A，B两点间的距离约为57 m.
典例分析
2.如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少
此题源自《九章算术》，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.(丈、尺是长度单位，1丈=10尺.)
典例分析
2.如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少
解：由题意得：AC=5尺，AB BC=1尺.
设BC=x尺，AB=(x+1)尺，根据勾股定理，
AC2+BC2=AB2，即52+x2=(x+1)2，
解得x=12，∴x+1=13.
答：水深12尺，芦苇长13尺.
方程思想
巩固练习
1. 如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度.位于地面上点A处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点B，仪器显示AB=23.1 m；再将激光射向楼顶端的点C，仪器显示AC=31.9 m；最后仪器自动显示出楼高BC=22 m.你能说出其中的数学道理吗
解：根据勾股定理，
BC2=AC2 AB2=31.92 23.12=484，
∴BC=22(m).
巩固练习
2. 电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸(1英寸=2.54 cm)为单位.王芳测得自家电视机的屏幕宽为71 cm，高为40 cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸(结果取整数)
解:记电视机屏幕为长方形ABCD，连接AC.由题意得：AB=71 cm，BC=40 cm.
根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=712+402=6641，
∴AC=81.5(cm)≈32(英寸).
∴这台电视机的屏幕尺寸约为32英寸.
巩固练习
3. 河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了
米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！
6
巩固练习
4. 如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3 m/s和4 m/s，则20 s后他们之间的距离
为（ 　）
A．70 m B．80 m
C．90 m D．100 m
D
巩固练习
5. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为
（ ）
A．3尺 B．3.2尺
C．3.6尺 D．4尺
B
巩固练习
6. 将一根24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm，则h的
最小值为 ，h的最大值为 ．
11 cm
12 cm
归纳总结
勾股定理的应用
将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待求量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般套路．
实际问题
抽象
数学问题
几何模型
解决
建立
解决
感受中考
1.（2025年江苏连云港）如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h
为 m．
2.4
感受中考
2.（2023年四川绵阳）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC=10m，∠B=30°，则中柱AD（D为底边中点）的长为 m．
感受中考
3.（2025年山东东营）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）
A．0.9 m B．1.3 m
C．1.6 m D．2 m
A
小结梳理
直角
三角形
定义
性质
判定
应用
有一个内角等于90°的三角形叫作直角三角形.
直角三角形的两个锐角互余.
勾
股
弦
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
利用勾股定理解决实际问题

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