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浙江省衢州市2026年中考二模考试模拟卷
数 学 试 题
姓名：________ 准考证号：______________
注意事项
1.答题前， 考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2 .考生作答时， 请在答题卡上作答〈答题注意事项见答题卡), 在本试卷、草稿纸上作答无效。
3 .不能使用计算器。
4 .考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题3分，共30分）
1．有理数－的相反数是（ ）
A．－2021 B． C．± D．2021
2．如图，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．2025年7月15日，长征七号遥十运载火箭托举着天舟九号货运飞船划破云霞，直冲云霄，将6500千克“太空快递”精准送达中国空间站，创下3小时18分的“宇宙速递”新纪录．数据6500用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图的几何体，从左面看，得到的平面图是（　　）
A． B．C． D．
5．已知反比例函数的图象过点，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．函数图象位于第一、三象限
C．图象必过 D．随的增大而增大
6．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
7．某市居民每月缴纳的自来水费包括两个项目：每月使用的净水费和同体积水的污水处理费，其中污水处理费的单价（元/立方米）是净水费的．小明家上个月用了自来水25立方米，共缴纳60元，求净水费和污水处理费每立方米各多少元．小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”．阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快．英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A．科普，B．文学，C．体育，D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．样本容量为400 B．类型D所对应的扇形的圆心角为
C．类型C所占百分比为 D．类型B的人数为120人
9．如图，、是的切线，切点分别为、，的延长线交于点，连接，，．若，，则等于（ ）
A．60° B．20° C．30° D．45°
10．把两个全等的等腰直角三角形透明纸片如图1放置（点与点重合），若将绕点在平面内旋转，分别交边于点（点均不与点重合）．设，在旋转过程中，与的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分）
11．计算： ______．
12．不等式组的解集是________．
13．如图，鹿鸣公园要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平线上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架无人机从A地出发，垂直上升50米到达C处，在C处观察B地的俯角α为30°，则A、B两地之间的距离为__________米．（结果保留根号）
14．用如图所示的两个转盘（均为三等分），设计一个“配紫色”的游戏，分别转动两个转盘（指针指向区域分界线时，忽略不计），若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则可配成紫色的概率为______．
15．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数．
；
；
；
；
根据上述规律，__．
16．如图，已知正方形的边长为4，E是边上的一个动点，，交于，连接，则的最小值是__________．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．计算：
(1)
(2)
18．解方程：
(1)
(2)（用配方法解）
19．如图，已知，相交于点A，M是的中点，，．求证：．
20．某校为了了解初一年级共480名学生身体素质情况，对他们进行了身体素质测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（单位：分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100
乙班15名学生测试成绩中的成绩为：91，92，94，90，93
【整理数据】
成绩（分）班级
甲 1 1 3 4 6
乙 1 2 3 5 4
【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲 92 a 93
乙 90 87 b
【应用数据】
(1)根据以上信息，可以求出：　 　，　 　；
(2)若规定测试成绩在90分（含90分）以上的学生身体素质为优秀，请估计初一年级480名学生中身体素质为优秀的学生共有多少名；
(3)根据以上数据，你认为哪个班学生的身体素质整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
21．已知一个正数的两个平方根分别是和．
(1)求这个正数；
(2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间．
22．如图，在中，，点为边的中点，以为直径作⊙，分别与交于点，过点作于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为5，求的长．
23．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．
(1)一个二次函数的“伴侣二次函数”有______ 个；
(2)①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；
②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．
(3)试探究a1与a2满足的数量关系．
24．如图，直线与y轴交于点C，与x轴交于B，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A.
⑴求抛物线的解析式；
⑵若点D是直线BC上方抛物线上一点，连接AD交BC于点Q,连接BD,记的面积为S1，的面积为S2，求的最大值及此时D的坐标．
⑶点P为抛物线上一动点（P不与B，C重合），点P关于直线BC的对称点P′ 落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标．
参考答案21世纪教育网精选资料
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A C A C C C D
1．B
【知识点】相反数的定义
直接利用相反数的定义即可求解．
解：的相反数是，
故选：B．
本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，两个数的和等于零，那么这两数互为相反数．
2．C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，由平角的定义得到的度数，再由平行线的性质即可得到答案．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3．C
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将6500写成（其中，n为整数）的形式即可．
解：．
故选：C．
4．A
【知识点】判断简单几何体的三视图
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
解：从左面看，是一列两个小正方形．
故选：A．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5．C
【知识点】判断反比例函数的增减性、求反比例函数解析式、判断反比例函数图象所在象限
先计算出的值，再根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可．
解：将点代入，得，故A错误，
∴反比例函数的解析式为，
∵，
∴函数图象在第二、四象限，故B错误，
当时，，
∴图象过点，故C正确，
对于选项D：举例点和，
在的同时，有，与随的增大而增大矛盾，故D错误．
6．A
【知识点】求两个位似图形的相似比
本题核心考查位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，其相似比（位似比）等于对应点到位似中心的距离之比，且相似图形的周长比等于相似比．利用这一性质可直接关联已知条件与所求周长比，进而分析求解．
解：，
，
与的相似比是，
与的周长比是．
故选：．
7．C
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组
先根据已知方程确定未知数x、y的含义，再根据总水费等于总净水费加总污水处理费，即可列出正确的方程．
解：∵污水处理费的单价（元/立方米）是净水费的，
∴净水费的单价是污水处理费的单价的5倍，
∵一个方程为，
∴x元表示净水费的单价，y元表示污水处理费的单价，
∴另一个方程为．
8．C
【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联
根据类型的条形统计图和扇形统计图信息可判断选项；利用乘以可判断选项；利用类型的人数除以样本总人数可判断选项；利用类型所在百分比乘以样本总人数即可判断选项．
解：，则样本容量为400，选项A说法正确；
，则选项B说法正确；
，则选项C说法错误；
（人），则选项D说法正确；
故选：C．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
9．C
【知识点】圆周角定理、等边三角形的判定和性质、切线的性质定理、斜边的中线等于斜边的一半
根据切线性质得出，根据，得出，证明是等边三角形，得出，根据圆周角定理即可得答案．
解：设交于，连接，
∵、是的切线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选：C．
本题考查切线的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的判定与性质及圆周角定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
10．D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象
本题考查了三角形中的动点与函数图象，勾股定理和旋转根据题意若点与点重合，则， ，确定的值，判断选项；证明，判断选项和，由，，，则，，，从而判断，解题的关键是通过函数图象获取信息及熟练掌握知识点的应用．
由题意可知，若点与点重合，则， ，
∴，故选项中的结论不正确，
由可得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，故选项中的结论不正确，选项中的结论正确，21世纪教育网精选资料
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，故选项中的结论不正确，
故选：．
11．3
【知识点】零指数幂、求一个数的绝对值
负数的绝对值是它的相反数，任何数的零次方都是1，除零以外，据此求解即可．
解：
故答案为：3
本题考查绝对值以及零次幂，熟记其运算是解题的关键．
12．
【知识点】求不等式组的解集
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解：，
解不等式，得．
解不等式，得．
则不等式组的解集为．
故答案为：．
13．
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
由题意知，，米，由知，据此计算可得．
解：由题意知，，米，
，
（米，
故答案为：．
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．
【知识点】列表法或树状图法求概率
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有3种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有3种，
可配成紫色的概率为，
故答案为：
15．
【知识点】多项式乘法中的规律性问题
本题考查的是有关探究规律的题目．根据“杨辉三角”的特点可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和；依据规律可得的各项系数依次为、、、、，据此即可完成本题．
解：根据题意可知图中第五行的数字依次为，，，，，
由此可得的各项展开式的系数除首尾两项外都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，
依规律可得的各项系数依次为：、、、、，
因为它的每一行的数字正好对应了为非负整数)的展开式中按次数从大到小排列的项的系数，
所以．
故答案为：．
16．5
【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、其他问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合
设，，证明，可得，从而得到当时，，再由勾股定理可得，从而得到当最小时，的值最小，此时的值最小，即可求解．
解：设，，
四边形是边长为4的正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
整理得，
当时，，
，且，
随的增大而增大，
当最小时，的值最小，此时的值最小，
当时，，
的最小值是5，
故答案为：5．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算，也考查了二次函数的性质和正方形的性质．
17．(1)
(2)
【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、整式的混合运算、计算单项式乘单项式
（1）先计算乘方，再计算器乘法即可；
（2）先运用单项式乘以单项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
本题考查整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
18．(1)
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、解一元二次方程——配方法
本题主要考查了解分式方程和一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的方法，准确计算．
（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）用配方法解方程即可．
（1）解：，
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
把代入得：，
∴是原方程的解；
（2）解：，
移项得：，
方程两边同加1得：，
即，
开方得：，
∴．
19．见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用SAS证明三角形全等（SAS）
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，得出，再根据证明即可．
证明：∵，
∴，
∴，
∵M是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴．
20．(1)100，91；
(2)估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有256人；
(3)甲班成绩较好，理由见解析
【知识点】运用方差做决策、求众数、求中位数、由样本所占百分比估计总体的数量
（1）根据中位数和众数的定义进行求解即可得；
（2）用480乘以样本中优秀的人数占比即可得到答案；
（3）从平均数和方差两方面进行描述即可．
（1）解：∵甲班15名学生测试成绩100出现次数最多，
∴众数是100分，则；
把乙组15个数按从小到大排列，则中位数是第8个数，
即中位数出现在这一组中，故；
故答案为：100，91；
（2）解：根据题意得：（人），
答：估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有256人；
（3）解：甲班成绩较好，理由如下：
因为甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，所以甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定．
本题主要考查了众数和中位数，用样本估计总体，用平均数和方差做决策，灵活运用所学知识是解题的关键．
21．(1)81
(2)的算术平方根在之间
【知识点】估计算术平方根的取值范围、已知一个数的平方根，求这个数
本题考查了平方根及算术平方根：
（1）根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解；
（2）由（1）得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解；
熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
（1）解：由题意得，
解得：，
∴，
这个正数是81．
（2）由（1）得：，
，
∵，
∴，
的算术平方根在之间．
22．(1)见解析
(2)
【知识点】解直角三角形的相关计算、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、证明某直线是圆的切线
（1）连接，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可；
（2）连接，根据是直径，可得，从而得到，进而得到，由勾股定理可得，再由，可得，即可求解．
（1）证明：连接，
，
，
是中点，，
，
，
∴，
又，
，
即是的切线；
（2）解：连接，
是直径，
，
，
的半径为5，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
又，
，
∴．
此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，正弦的定义，综合运用以上知识是解本题的关键．
23．(1)无数
(2)①（-2，0），（-1，0）；②y=-（x+1）2=-x2-2x-1
(3)当h≠m时，a1=-a2；当h=m时，a1、a2为任意不为零的实数
【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax +bx+c的图象与性质
（1）根据伴侣二次函数的定义，可得答案；
（2）①根据函数值为0，可得函数与x轴的交点的横坐标就是，可得答案；②根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数；
（3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．
（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有无数个．
故答案为 无数；
（2）①令y=0，即x2+3x+2=0．
解得：x1=-1，x2=-2．
∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（-2，0），（-1，0）．
②∵y=x2+3x+2=（x+）2-
∴顶点坐标为．
设以（-2，0）为顶点且经过的抛物线的函数关系式为y=a（x+2）2，
将代入y=a（x+2）2得 a=-1．
∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为y=-（x+2）2=-x2-4x-4，
同理可求以（-1，0）为顶点且经过的抛物线的函数关系式．
即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为y=-（x+1）2=-x2-2x-1；
（3）设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（-m，n），
y=a2（x+h）2+k，其顶点为（-h，k）．
根据“伴侣二次函数”定义可得，
∴a1（-h+m）2=-a2（-m+h）2．
当h≠m时，a1=-a2
当h=m时，a1、a2为任意不为零的实数．
本题考查了二次函数的性质，伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键．
24．（1）；（2）的最大值为，此时；（3）或．
【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、根据成轴对称图形的特征进行求解、待定系数法求二次函数解析式
（1）先根据直线的解析式求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）如图（见解析），先根据三角形的面积公式可得，再利用抛物线的解析式求出点A的坐标，从而解直角三角形可得AG的长，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，又利用二次函数的性质求出DF的最大值，从而可得的最大值，由此即可得出答案；
（3）分点落在x轴上和点落在y轴上两种情况，先求出直线的解析式，从而可得线段中点的坐标，再利用点坐标的规律可得点P的坐标，最后代入抛物线的解析式求解即可得．
（1）对于
当时，，解得，则点B的坐标为
当时，，则点C的坐标为
将点、代入抛物线的解析式得：
解得
则抛物线的解析式为；
（2）如图，过点D作于点E，过点A作于点G，轴交BC于点F
对于
当时，，解得或
则点A的坐标为，
在中，
在中，
解得
当DE取得最大值时，也取得最大值
轴
又
解得
则当DF取得最大值时，DE也取得最大值
设点，则点，且
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为2
的最大值为
的最大值为
此时，
则点D的坐标为
故的最大值为，此时点D的坐标为；
（3）由题意，分以下两种情况：
①当点落在x轴上时，设点的坐标为
设直线的解析式为
将点代入得：，解得
则直线的解析式为
联立，解得
则与BC的交点，即的中点为
设点P的坐标为
则，解得
则
将代入抛物线的解析式得：
解得或
当时，
则此时点P的坐标为，恰好与点B重合，不符题意，舍去
当时，
则此时点P的坐标为
②当点落在y轴上时，设点的坐标为
设直线的解析式为
将点代入得：
则直线的解析式为
联立，解得
则与BC的交点，即的中点为
设点P的坐标为
则，解得
则
将代入抛物线解析式得：
解得或
当时，
则此时点P的坐标为，恰好与点C重合，不符题意，舍去
当时，
则此时点P的坐标为
综上，点P的坐标为或．
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分两种情况讨论，并熟练运用轴对称的性质是解题关键．21世纪教育网精选资料(共5张PPT)
浙江省衢州市2026年中考数学二模考试模拟卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 相反数的定义
2 0.94 根据平行线的性质求角的度数
3 0.94 用科学记数法表示绝对值大于1的数
4 0.94 判断简单几何体的三视图
5 0.85 求反比例函数解析式；判断反比例函数的增减性；判断反比例函数图象所在象限
6 0.85 求两个位似图形的相似比
7 0.85 根据实际问题列二元一次方程组
8 0.85 条形统计图和扇形统计图信息关联
9 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；圆周角定理；等边三角形的判定和性质；切线的性质定理
10 0.4 动点问题的函数图象；根据旋转的性质求解；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
二、填空题
11 0.94 零指数幂；求一个数的绝对值
12 0.85 求不等式组的解集
13 0.85 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
14 0.85 列表法或树状图法求概率
15 0.65 多项式乘法中的规律性问题
16 0.65 其他问题(二次函数综合)；根据正方形的性质证明；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 同底数幂相乘；幂的乘方运算；积的乘方运算；计算单项式乘单项式；计算单项式乘多项式及求值；整式的混合运算；运用平方差公式进行运算
18 0.85 解一元二次方程——配方法；解分式方程（化为一元一次）
19 0.85 用SAS证明三角形全等（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
20 0.85 求众数；运用方差做决策；由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数
21 0.85 估计算术平方根的取值范围；已知一个数的平方根，求这个数
22 0.65 圆与三角形的综合(圆的综合问题)；解直角三角形的相关计算；证明某直线是圆的切线
23 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；抛物线与x轴的交点问题
24 0.15 解直角三角形的相关计算；根据成轴对称图形的特征进行求解；相似三角形的判定与性质综合；待定系数法求二次函数解析式

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