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数学试卷
一、选择题: 本 题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是 符合题目要求的。
1. 样本数据 16,24,10,30,12,14,40 的中位数为
A. 24 B. 16 C. 15 D. 20
2. 设集合 ,则
A. B. C. D.
3. 记等差数列 的前 项和为 ,则
A. 120 B. 140 C. 160 D. 180
4. 在 的展开式中常数项为 6,则
A. B. 1 C. D. 6
5. 直线 与 轴相交于点 ,与抛物线 的准线相交 于点 , 过点 作 的准线的垂线与 相交于点 ,若 ,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 设 是定义在 上且周期为 2 的偶函数,当 时, ,则
A. B. C. D.
7. 已知 ,则
A. B. C. D.
8. 已知关于复数 的方程 的四个互异复根
在复平面上顺次连接构成一个凸四边形. 若这四个顶点恰好共圆,则当该圆的半径最
小时 的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、选择 题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则
A.
B.
C. 当 时,
D. 的极大值为
10. 已知曲线 与坐标轴交于 两点,点 在 上,则
A.
B. 为轴对称图形
C. 直线 与 有两个公共点
D. 使得 的面积为 的点 恰有 2 个
11. 水平桌面上有一个装满水的倒置的圆台形纸杯,下底面半径为 , 上底面半径为
,高为 . 将杯身倾斜,纸杯底最低点始终接触桌面, 当水面恰好同时经过杯
口最低点和杯底最高点时, 记杯身轴线与竖直方向夹角为 ,母线与轴线夹角为 ,
下列说法正确的有
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则水面与杯壁交线上两点间的最大距离为
D. 若 ,则水面与杯壁交线的离心率为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 ,平面向量 ,若 , 则函数 的单调递减区间为_____.
13. 曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程为_____.
14. 已知点 ,点 在双曲线 上,记 的面积为 , 的面积为 ，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
以离心率为 的椭圆 的顶点为顶点的四边形面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线交 于 ， 两点， ， 为坐标原点，求
的面积.
16. (15 分).
在三棱柱 中,底面 是正三角形， .
(1)求证: ；
(2)若 ，且 ，求直线 与平面 所成角的余 弦值.
17. (15 分)
已知
(1)设函数 ，讨论函数 的单调性；
(2)当 时， ，求实数 的取值范围.
18. (17 分)
已知等差数列 的公差为 4，其前 8 项之和为 144. 等比数列 的公比为
， 且 .
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 .
(i) 证明: 数列 是等比数列;
(ii) 证明: .
19. (17 分)
盒子 A 中装有 张普通卡片和 1 张幸运卡片,另有足够多的备用盒子,每盒各 有 张空白卡片( ). 每次操作分为以下步骤:
①将盒子 A 里的卡片取出并充分洗匀，随机分成数量相等的两叠；
②保留含有幸运卡片的一叠，另一叠移出不再使用；
③取一个备用盒，将其中的 张空白卡片全部加入保留的一叠卡片中并洗匀，放 入盒 A 中.
重复上述操作，直至盒子 A 中无普通卡片.
(1)当 时，进行 2 次操作后，记盒子 A 中普通卡片数量为 ，求 的分布列， 并求出此时盒子 A 中最有可能的普通卡片张数;
(2)记在某次操作后，盒子 A 中恰有 张普通卡片( 且 )，且从此时 起， 再经 次操作后盒子 A 中恰好无普通卡片.
(i) 若 ,证明: ;
(ii) 若 ,求 .数学试卷（四)参考答案及评分建议
一、单选题
题号
1
2
3
4
5
6
8
答案
B
C
A
B
C
D
二、多选题
题号
9
10
11
答案
BCD
ABD
ACD
三、填空题
题号
12
13
14
答案
x2+y2-2x-2y=0
2W5
四、解答题
15.解：(1)由题意：
S=2a2b=45,六.ab=25
…1分
1
…2分
ab=25
联立
[a=2
a=2c
a2=b2+c2
b=5
…3分
二椭圆的方程是
,y2
=1
…4分
43
(2)当直线1的斜率不存在时，26=25>125，不合题意…
…5分
7
当直线1的斜率存在时，令：y=x-2,4(,乃)，Bx2y2)
y=r-2
联立：
+-1得：8+42x2-16+4=0…
…7分
43
:△=(16k)2-16(3+42)=48(4k2-1)>0,∴.k>
…8分
∴M=+Fk-=+.,=+4842-D_452+42--125
3+4k2
3+4k2
3+4k2
7
解得k2=1…
…0分
经检验：1>分六=1符合题意…
…11分
原点O到直线4B的距离d=
三万…2分
Vk2+1
六5aw=hd=号l222=。
…13分
27
16.解：(1)证明：作AO平面ABC于点O,:BCc平面ABC,.AO⊥BC
又A4⊥BC，A4∩O4=4，A4c面4A0,4Oc面4AO
,,BC⊥平面AAO,AOC面AAO,。BC⊥AO…2分
同理可证：AB⊥C0…3分
又△MBC是正三角形，则O是△4BC的中心
连结AO并延长交BC于点E,连结CO并延长交AB于点F,则E,F分别为BC,AB的中点
又AEC面4A0,BC⊥4E,故4B=4C…5分
同理可证：4B=44
综上所述，41A=4B=A,C…6分
(2)如图：以BC的中点E为坐标原点，以EA,EB所在直线分别为x轴，y轴的正方向，
过E且与OA,平行的方向为：轴的正方向建立空间直角坐标系…………7分
则450.Ap10.G0-10,45a5
…8分
设面4马8的法向量为=，：而-50，西=29a5
AB.=-3x+y=0
4m=-25+
9分
3*
30
取2=1，则n=(2,9)…11分
又G=c+G:c+4--152分
令直线4AC,与平面44，B,B所成角为日
则sin0=cos
6
V10x5=5
**4…*1**…4…14分
:0s0=25,即：直线1C,与平面M4B所成角的余弦值2
…15分
5
5

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