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2025-2026学年度下学期高二年级期中检测
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数在点处的切线斜率为，则等于( )
A. B. C. D.
2.若一质点的位移单位：关于时间单位：的函数关系为，则该质点在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3.如图，是圆的切线，是圆上的动点，设，扫过的圆内阴影部分的面积是的函数，则这个函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.若，则的解集为( )
A. B. C. D.
5.若定义在上的可导函数满足，则函数在处的瞬时变化率等于( )
A. B. C. D.
6.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. 曲线在点处的切线斜率小于零
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在区间内至多有两个零点
7.已知抛物线，为坐标原点，是抛物线上任意一点，为焦点，且，则直线的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若实数，满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，则正整数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 当时，为增函数 B. ，
C. ， D. ，
10.若圆，，，点在直线上，则( )
A. 圆上存在点使得 B. 圆上存在点使得
C. 直线上存在点使得 D. 直线上存在点使得
11.已知函数，则( )
A. 当时，
B. 存在实数，使得在上单调递增
C. 存在实数，使得有三个零点
D. 过点且与曲线相切的直线有且只有一条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为 ．
13.若函数，则在点处切线的方程为 ．
14.若函数有个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列，满足，．
求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式
求证：，
16.本小题分
已知函数．
讨论的单调性
当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面．
求证：三棱柱是直三棱柱
若，，，是线段上一点，且试问：在线段上是否存在一点，使得、、、、五个不同的点在同一个球的表面若存在，求的长若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，离心率为，过作两条互相垂直的弦，，其中，在轴上方设，的中点分别为，．
求椭圆的方程
证明：直线过定点，并求出此定点坐标
设为直线，的交点，求面积的最小值．
19.本小题分
已知函数，．
若在区间上单调递减，求实数的取值范围
求证：，
在空间直角坐标系中，任取异于原点的点，记直线与坐标平面、、的夹角分别为、、求的最值．
参考答案
1.【答案】
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3.【答案】
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6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.解：
，
令，，
显然函数单调递增，
所以函数有个零点，
等价于有两个根，
即有两个根，
设过原点且与曲线相切的直线方程为，切点为，
因为，所以，
解得，，得切线方程为，
如下图，作出函数的图象及其过原点的切线，
可知当，即时有两个交点，
即有两个根，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
由递推公式和，可得，
故两边取倒数，得：，即．
所以数列是以为首项，公差的等差数列．
由等差数列通项公式可得：，故．
由知，则。
设数列的前项和为，则。
先证：当时，，
当时，，所以。
综上，对任意，
再证：因为当时，，
所以当时，；
当时，
，
因为，所以
综上，，故结论成立．
16.，令，解得或，
时，则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
时，则，且仅在处取等号，故函数在上单调递增；
时，则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
综上：若，在和上单调递增，在上单调递减；
若，在上单调递增；
若，在和上单调递增，在上单调递减
当时，由知，故函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，在区间的最小值为：，
最大值为或，于是，
所以，
当时，令，，
可知单调递减，
所以的取值范围是
当时，单调递增，
所以的取值范围是．
综上，的取值范围．
17.证明：平面内取一点不在直线及直线上，
作于点，作于点．
平面平面，平面平面，平面，，
平面，
又平面，，
同理，，、平面，
平面，
三棱柱是直三棱柱
解：如图，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
故A，，，
设，则，
，
，点为侧棱的中点．
设球心，半径，其中，，
则球心，
由得，解得，
则球心，半径．
设，
则，
，
解得或舍．
在线段上存在一点，使得，，，，五点在同一个球的表面，且．

18.解：由题意：，，，，
则椭圆的方程为；
证明：，斜率均存在，
设直线方程为：，
再设，，
则有，
联立得：
消去得：，
，即，
将上式中的换成，同理可得：，
若，解得：，直线斜率不存在，
此时直线过点；
下证动直线过定点，
若直线斜率存在，则，
直线为，
令，得，
综上，直线过定点；
解：连接，如图，设为的中点，连接，，，，
又是的中点，所以，所以同理，，所以，
故，
又，所以，
由知，，
则
．
同理可得．
所以．
易知，所以，当且仅当时，等号成立
故面积的最小值为．

19.在区间内单调递减，
即，对恒成立，
设，则上述不等式等价于，对恒成立．
记，，，，
当时，，
单调递减，，不等式成立．
当时，，单调递增，
，与已知不符．
当时，设，，，，
，的两不等实根记为，由韦达定理，得，
故有，，，
从而，当时，，，单调递增，
，与已知不符．
综上所述，实数的取值范围为；
由，当时，得，，，
令，，则，即，
依次取，，，，，得，，，，，
各式相加，得．
设，且，坐标平面、、的法向量依次可取为，，，
则，，，
，
，
当且仅当 ，即时取“”，
．
当，，中某一个取，另两个取时取“”，
．

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