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专题01 坐标平面上的直线和圆（8大考点53题）
8大高频考点概览
考点01直线的倾斜角与斜率
考点02直线的方程
考点03两条直线的位置关系
考点04 点到直线的距离
考点05 圆的标准方程
考点06 圆的一般方程
考点07 直线与圆的位置关系
考点08 圆与圆的位置关系
一、单选题
1．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)如图，直线、、的斜率分别为、、，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
2．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)若直线与直线的夹角为，则实数的值为_____.
3．(24-25高二上·上海师范大学附属中学·期中)已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.
4．(24-25高二下·上海高境第一中学·期中)已知一条直线经过点 、 ，则直线 的倾斜角是_____.
5．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)直线的倾斜角的大小为_____
一、单选题
6．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)若直线经过第一、二、四象限，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
二、填空题
7．(24-25高二下·上海中学·期中)直线的一个法向量可以是________．
8．(24-25高二下·上海嘉定区封浜高级中学·期中)已知点、，则直线的方程是___________.
9．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知直线经过点，且与直线的夹角为，则直线的一般式方程为________．
10．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______．
11．(24-25高二下·上海高境第一中学·期中)已知直线，，若 ，则 _____
12．(24-25高二下·上海高境第一中学·期中)直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是_____.
13．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)过点且与直线垂直的直线的一般式方程为_____.
三、解答题
14．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)已知在中，，，点是此三角形的重心.
(1)求边所在直线的一般式方程；
(2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程.
一、单选题
15．(24-25高二下·上海青浦高级中学·期中)若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
二、填空题
16．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)已知向量为直线的一个法向量，则a的值为________．
17．(24-25高二下·上海中学·期中)在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为________．
18．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)已知关于的方程组无解，则实数的值为_____.
19．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属中学宝山分校·期中)已知直线，若，则实数______
三、解答题
20．(24-25高二下·上海中学·期中)已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程．
一、填空题
21．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是_____.
22．(24-25高二下·上海宜川中学·期中)若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________；
23．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于______．
24．(24-25高二下·上海青浦高级中学·期中)在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是_____.
25．(24-25高二下·上海西中学·期中)直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为____________．
26．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)直线与直线的距离为_____.
27．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)直线 和直线间的距离是_____.
二、解答题
28．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知三个顶点坐标分别为、、．
(1)求的面积S；
(2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标．
29．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为．
(1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值；
(2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心；
(3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明．
一、单选题
30．(24-25高二下·上海中学·期中)曲线，公共点的个数（ ）
A．没有 B．有，且为奇数个 C．有，且为偶数个 D．有，但不能确定几个
二、填空题
31．如图，某圆拱形桥的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于________m（结果保留一位小数，）．

三、解答题
32．(24-25高二下·上海中学·期中)已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程．
一、单选题
33．(24-25高二下·上海嘉定区封浜高级中学·期中)已知表示圆，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
34．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
35．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)圆的圆心坐标为________．
36．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________．
37．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)若圆的方程为，则实数的取值范围为_____.
38．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)若圆的方程为，则该圆的半径 _____.
一、填空题
39．(24-25高二下·上海育才中学·期中)若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是_______.
40．(24-25高二下·上海中学·期中)平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点、两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为________．
41．(24-25高二下·上海中学·期中)直线与圆在第一象限有交点，则的范围是________．
42．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)若直线 上有且仅有一点 ，使得 ，则直线 被圆 截得的弦长为_____
43．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是________．
44．(24-25高二下·上海实验学校·期中)上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为：；（2）若军营所在区域为：；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为__________.
45．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)已知为圆上一动点，则的最大值为________．
46．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则________．
二、解答题
47．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点.
(1)若割线的方程为，求的值；
(2)求弦的中点的轨迹.
一、单选题
48．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
49．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)圆与圆的位置关系不可能为（ ）
A．相切 B．相交 C．内含 D．外离
50．(24-25高二下·上海西中学·期中)若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
51．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)圆和与圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
二、填空题
52．(24-25高二下·上海中学·期中)两圆和的公共弦长为________．
53．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知圆与圆内切，则实数______．
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专题01 坐标平面上的直线和圆（8大考点53题）（答案版）
1．A
2．
3．
4．
5．
6．B
7．（答案不唯一）
8．
9．或
10．或，
11．
12．
13．
14．(1)
(2)或.
15．B
16．976
17．
18．
19．
20．或
21．
22．或
23．
24．/
25．/
26．/
27．
28．(1)5
(2)
29．(1)
(2)设，，，直线，
对任意固定的a、b，要使得
，最小，
那么由二次函数的性质可得，，
此时直线方程为，
过的重心，因此过的重心．
（3）由（2）知，取最小值时，l过的重心，不失一般性，
不妨设，，，其中，
此时l的方程为，这里θ表示直线l的倾斜角，
此时
，
此时为关于θ的函数、定义域为的函数，
令，，，
则，
若或，那么函数在上有且仅有一个最小值，这与已知条件取最小值至少有两条直线满足条件矛盾．
因此必须有且，即，
由得，
不妨取，
所以，，，
所以，即，
所以为等边三角形．
30．D
31．
32．
33．D
34．C
35．
36．
37．
38．
39．
40．
41．
42．
43．
44．
45．8
46．/0.96
47．(1)
(2)设点，当直线不过原点时，连接，则，
且，，
由题意可得，化简得，
当直线过原点时，点与点重合，此时点的坐标也满足方程，
所以点的轨迹是点为圆心，半径为，且位于圆内的一段弧.
48．C
49．C
50．C
51．B
52．
53．
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专题01 坐标平面上的直线和圆（8大考点53题）
8大高频考点概览
考点01直线的倾斜角与斜率
考点02直线的方程
考点03两条直线的位置关系
考点04 点到直线的距离
考点05 圆的标准方程
考点06 圆的一般方程
考点07 直线与圆的位置关系
考点08 圆与圆的位置关系
一、单选题
1．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)如图，直线、、的斜率分别为、、，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可.
【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知，
所以，即.
故选：A.
二、填空题
2．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)若直线与直线的夹角为，则实数的值为_____.
【答案】
【分析】根据题意求出直线的倾斜角，由此可得出实数的值.
【详解】直线的斜率为，倾斜角为，
因为直线与直线的夹角为，
所以直线的倾斜角为或，
若直线的倾斜角为，则不存在；
若直线的倾斜角为，则.
综上所述，.
故答案为：.
3．(24-25高二上·上海师范大学附属中学·期中)已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据斜率的定义以及正切函数的单调性可得结论.
【详解】因为在上为增函数,所以,
因为在上为增函数,所以,
又时,直线的斜率不存在,
所以直线的斜率的取值范围是.
故答案为：.
4．(24-25高二下·上海高境第一中学·期中)已知一条直线经过点 、 ，则直线 的倾斜角是_____.
【答案】
【分析】根据斜率公式，即可求解.
【详解】，所以.
故答案为：
5．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)直线的倾斜角的大小为_____
【答案】
【分析】根据直线倾斜角和斜率关系即可得到答案.
【详解】根据其斜率为，设其倾斜角大小为，则，
因为，则.
故答案为：.
一、单选题
6．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)若直线经过第一、二、四象限，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论.
【详解】由题意直线经过第一、二、四象限，
所以直线的斜率为负值，纵截距为正值.
直线方程化为斜截式：，
所以斜率且纵截距，
所以且，
故选：B.
二、填空题
7．(24-25高二下·上海中学·期中)直线的一个法向量可以是________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题意根据所给的直线方程利用直线的法向量的意义即可得出，从而可以得出结果
【详解】直线化为，斜率为，一个法向量可以是.
故答案为：.(答案不唯一)
8．(24-25高二下·上海嘉定区封浜高级中学·期中)已知点、，则直线的方程是___________.
【答案】
【分析】先根据两点求直线的斜率，再由点斜式方程即可求解.
【详解】设直线的斜率为，所以，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
9．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知直线经过点，且与直线的夹角为，则直线的一般式方程为________．
【答案】或
【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，可得，分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式分析求解.
【详解】由题意可知：直线斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
则，解得，
设两直线夹角为，则，
可得，所以.
设直线的倾斜角为，则，，
①当时，，
此时，则轴，直线的方程为；
②当时，显然直线的斜率存在，
则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即；
综上所述：的方程为或．
故答案为：或．
10．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为______．
【答案】或，
【分析】表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，即可得到直线方程.
【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点，
所以直线的斜率存在，可设直线的方程为，
所以，，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，此时，
此时直线的方程为或，
故答案为：或，
11．(24-25高二下·上海高境第一中学·期中)已知直线，，若 ，则 _____
【答案】
【分析】根据一般式直线方程的形式，根据平行关系，列式求解.
【详解】由条件可知，，
，得，或，
当时，两直线重合，不满足条件，当时，满足上面不等式，成立.
故答案为：
12．(24-25高二下·上海高境第一中学·期中)直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解.
【详解】直线的斜率，，直线与轴的交点为，，
由题意可知，，解得：或.
故答案为：
13．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)过点且与直线垂直的直线的一般式方程为_____.
【答案】
【分析】由垂直关系求得斜率，再由点斜式即可求解.
【详解】由，可知其斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线方程为：
，
即，
故答案为：
三、解答题
14．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)已知在中，，，点是此三角形的重心.
(1)求边所在直线的一般式方程；
(2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据向量知识推出重心的坐标公式，求出顶点C坐标，再写出边所在直线的方程.
（2）通过讨论截距为0和不为0两种情况即可求解.
【详解】（1）设交于，则为的中点，设，
因为点是三角形的重心，
所以，所以，
所以，，
所以，
所以 ，
故，解得.
边所在直线的方程为，即.
（2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：，
当截距不为0时，
设直线方程为：，因为点在直线上，
所以，可得，
即直线方程为：；
综上所述：直线方程为或.
一、单选题
15．(24-25高二下·上海青浦高级中学·期中)若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若直线与直线平行，则且，
因为“”“且”，
但“”“且”，
因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件.
故选：B.
二、填空题
16．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)已知向量为直线的一个法向量，则a的值为________．
【答案】976
【分析】根据直线法向量定义计算求参.
【详解】因为向量为直线的一个法向量，
则，所以.
故答案为：976.
17．(24-25高二下·上海中学·期中)在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为________．
【答案】
【分析】联立的平分线直线方程和边上的高所在直线方程可求出点坐标，利用角平分线的性质结合点关于直线的对称点的计算可求出直线的方程，再利用边上的高所在直线的斜率以及点坐标求出直线的方程，联立求解即可得到点的坐标.
【详解】由解得，所以.
因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上，
所以直线的方程为，整理得.
又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，整理得.
由，解得，所以则点的坐标为.
故答案为：.
18．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)已知关于的方程组无解，则实数的值为_____.
【答案】
【分析】将问题转化成直线与直线平行，进而可求解.
【详解】方程组无解，
等价于直线与直线平行，
可得：，
解得：或，
当时，直线方程分别为：和重合舍去，
当时，直线方程分别为：和，平行，
故，
故答案为：
19．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属中学宝山分校·期中)已知直线，若，则实数______
【答案】
【分析】运用一般式下的平行判定计算即可.
【详解】将直线化成一般式，，
根据一般式下直线的平行判定，知道，且，解得.
故答案为：.
三、解答题
20．(24-25高二下·上海中学·期中)已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程．
【答案】或
【分析】设出直线与直线的交点坐标，根据给定条件列式探求两个交点坐标间的关系，求出直线方程作答.
【详解】设直线与直线分别交于点，
则，两式相减得：，而，
即，解得或，
由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意，
由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意，
所以直线l的方程为或.
一、填空题
21．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是_____.
【答案】
【分析】先分析出该集合所对应的图形形状，再分别计算各部分图形的面积，最后将各部分面积相加得到总面积.
【详解】已知集合所表示的图形是一个边长为的正方形和两个半径是的半圆.如图所示.
将正方形面积和圆的面积相加，可得点集所表示图形的面积.
故答案为：.
22．(24-25高二下·上海宜川中学·期中)若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________；
【答案】或
【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值.
【详解】直线，即与直线之间的距离为，
则，解得或，经验证，符合题意，
所以实数的值为或.
故答案为：或
23．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于______．
【答案】
【分析】利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离.
【详解】由题意，直线，则且，所以.
所以：与直线：之间的距离.
故答案为：.
24．(24-25高二下·上海青浦高级中学·期中)在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是_____.
【答案】/
【分析】分直线位于直线的同侧还是两侧分类讨论，确定直线的轨迹，则面积可求得
【详解】①位于直线的同侧，如左图所示，，正方形边长为，
直线是与正方形的边平行的直线，
到直线的距离之差的绝对值为，
即正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意;
②位于直线的异侧，如右图所示，和是半径为的圆上的两段弧，
其中，
直线是或的切线，到直线的距离之差绝对值为，
即或的切线均符合题意.
不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示，
其面积.
故答案为：.
25．(24-25高二下·上海西中学·期中)直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为____________．
【答案】/
【分析】先直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，再利用两直线平行求出的值，最后利用平行直线间距离公式计算.
【详解】直线的斜率为，则直线的方程为，即，
因直线与直线平行，则，得，
则直线与之间的距离为.
故答案为：
26．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)直线与直线的距离为_____.
【答案】/
【分析】利用平行线间的距离公式可求出这两条平行直线间的距离.
【详解】直线的方程可化为，由题意可知，，
所以，直线与直线的距离为.
故答案为：.
27．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)直线 和直线间的距离是_____.
【答案】
【分析】利用平行线间的距离公式可求得答案.
【详解】易知直线 和直线平行，
这两条直线间的距离为.
故答案为：.
二、解答题
28．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知三个顶点坐标分别为、、．
(1)求的面积S；
(2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）确定直线的方程及，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积；
（2）的斜率求得高线的斜率，再根据B的坐标，写出高线方程，求出的中点，即可求出边上的中线，然后联立高线方程和中线方程，求交点坐标即可.
【详解】（1）因为，所以直线的方程为，即.
所以点到直线的距离.
因为，
所以.
（2）因为，所以AC边上的高的斜率为，
所以AC边上的高线的方程为，即.
因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为，
由，解得，
所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为.
29．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为．
(1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值；
(2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心；
(3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)等边三角形，证明见解析
【分析】（1）根据定义及点到直线距离公式即可求解；
（2）设，，，直线，根据定义得出，由二次函数的性质得，，代入直线方程即可证明；
（3）不妨设，，，，l的方程为，，得出，由反证法得出，即可证明．
【详解】（1），，，
故．
（2）设，，，直线，
对任意固定的a、b，要使得
，最小，
那么由二次函数的性质可得，，
此时直线方程为，
过的重心，因此过的重心．
（3）由（2）知，取最小值时，l过的重心，不失一般性，
不妨设，，，其中，
此时l的方程为，这里θ表示直线l的倾斜角，
此时
，
此时为关于θ的函数、定义域为的函数，
令，，，
则，
若或，那么函数在上有且仅有一个最小值，这与已知条件取最小值至少有两条直线满足条件矛盾．
因此必须有且，即，
由得，
不妨取，
所以，，，
所以，即，
所以为等边三角形．
一、单选题
30．(24-25高二下·上海中学·期中)曲线，公共点的个数（ ）
A．没有 B．有，且为奇数个 C．有，且为偶数个 D．有，但不能确定几个
【答案】D
【分析】根据圆的方程可得圆心与半径，由半径的值不能确定，可得答案.
【详解】由曲线，则曲线为圆，即圆心为，半径为，如下图示，
易知曲线与曲线共同过原点，由半径不能确定，则交点个数不能确定.
故选：D.
二、填空题
31．如图，某圆拱形桥的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于________m（结果保留一位小数，）．

【答案】
【分析】设拱形所在圆的圆心为，半径为，由题意圆心在轴上，利用勾股定理求出，即可求出圆的方程，再设，，代入计算可得.
【详解】设拱形所在圆的圆心为，半径为，由题意圆心在轴上，如图，

则，所以，
则圆的标准方程为．
由题意设，，代入圆的方程得，解得（负值已舍去）,
所以支柱的高度约为米.
故答案为：．
三、解答题
32．(24-25高二下·上海中学·期中)已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程．
【答案】
【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，可求出对称后的圆的方程.
【详解】易知圆的圆心为，
设圆心关于直线对称的点坐标为，
可得，解得，
即圆的圆心坐标为，对称后半径不变，
所以圆的方程为.
一、单选题
33．(24-25高二下·上海嘉定区封浜高级中学·期中)已知表示圆，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解.
【详解】由题意知，由可得，
所以，即，解得或，
当时，方程为，可化为，不合题意；
当时，方程为，可化为，符合题意，
所以.
故选：.
34．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】作出圆关于轴对称的圆，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
作圆关于轴对称的圆，其圆心
因此，
当且仅当是线段与轴的交点时取等号，
所以的最小值为.
故选：C
二、填空题
35．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)圆的圆心坐标为________．
【答案】
【分析】化一般方程为标准方程，得到圆心坐标.
【详解】圆，
得，
得圆心坐标为.
故答案为：
36．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________．
【答案】
【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程.
【详解】圆化成标准方程为：，
所以圆心，半径，
而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等，
即圆心，半径，
所以圆的标准方程为：.
故答案为：
37．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)若圆的方程为，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【分析】由圆的一般方程可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为圆的方程为，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
38．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)若圆的方程为，则该圆的半径 _____.
【答案】
【分析】直接配方即可得到其半径.
【详解】，化简得.
则其半径为.
故答案为：.
一、填空题
39．(24-25高二下·上海育才中学·期中)若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是_______.
【答案】
【分析】根据直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，准确画出曲线方程所表示曲线形状解决问题.
【详解】曲线即,
如图所示，当即时，直线与曲线有两个公共点，
直线向左上移动，当直线与曲线相切时，有一个公共点，
原点到直线的距离为半径，即，解得，
所以，当有两个公共点时.
故答案为：.
40．(24-25高二下·上海中学·期中)平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点、两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为________．
【答案】
【分析】设两个圆的方程为，依题意可得且，根据圆过点得到，设的倾斜角为，则，令，则，代入前述方程，利用韦达定理求出，最后由二倍角公式计算可得.
【详解】由题意设两个圆的方程为，
依题意可得且．
因为两圆均过点，所以①，
设的倾斜角为，则，．
令，则．将其代入式①整理得．
由韦达定理可得，从而（负值已舍去），
所以，
故直线的方程为．
故答案为：
41．(24-25高二下·上海中学·期中)直线与圆在第一象限有交点，则的范围是________．
【答案】
【分析】由直线方程可得其所过定点，由圆的方程可得其与坐标轴正半轴的交点，由题意可直观想象直线的位置，进而可得斜率的范围，可得答案.
【详解】由直线，整理可得，则直线过定点，
由圆，则圆与坐标轴正半轴的交点分别为与，
由题意可得直线在点与连线与点与连线之间，
由直线斜率为，则或，解得或.
故答案为：.
42．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)若直线 上有且仅有一点 ，使得 ，则直线 被圆 截得的弦长为_____
【答案】
【分析】先根据直线上有且仅有一点使得，得出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长计算公式求出弦长.
【详解】因为直线上有且仅有一点，使得，这意味着直线与以原点为圆心，半径为的圆相切.
则原点到直线的距离为：
由于直线与以原点为圆心，半径为的圆相切，所以，即.
已知圆，其圆心为，半径.
由前面可知圆心到直线的距离.
根据圆的弦长计算公式，可得直线被圆截得的弦长为：
.
故答案为：.
43．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】画出图象，数形结合，求出直线与半圆恰好相切时的值，再求出临界值，即可得解.
【详解】由，则，且，
所以表示以为圆心，为半径的圆在及直线右侧部分，
直线是与平行的直线，
如图所示：
当直线与曲线相切时，则（正值舍去），
当直线过点时，，结合图形分析得的取值范围是.
故答案为：.
44．(24-25高二下·上海实验学校·期中)上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为：；（2）若军营所在区域为：；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为__________.
【答案】
【分析】若军营所在区域为，利用圆的方程的知识画出军营区域及河岸线，作出关于河岸线的对称点，根据对称性质和圆的性质即可求得；若军营所在区域为，先画出在第一象限的军营区域，再利用对称性画出运营区域，注意观察军营区域内哪一个到最近，即可求得.
【详解】（1) 若军营所在区域为，
圆：的圆心为原点，半径为1，作图1如下：
设将军饮马点为，到达营区点为，设为关于直线的对称点，
因为，所以线段的中点为，则，
又，联立解得：，即.
所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，
即点到圆上的点的最短距离，即为.

（2）军营所在区域为，
对于，在，时为，令，得，令，则，
图形为连接点和的线段，根据对称性得到的图形为图2中所示的菱形，
容易知道：为这个菱形的内部(包括边界).
由图2可知，最短路径为线段，连接交直线于点，
则饮马最佳点为点Q，所以点到区域最短距离.
即“将军饮马”最短总路程为.
综上：两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程相差值为.
故答案为：.
45．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)已知为圆上一动点，则的最大值为________．
【答案】8
【分析】设，由题意直线与圆有公共点，通过圆心到直线的距离与半径的关系可以求解.
【详解】设，则在直线上，
又因为在圆上，
所以直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，解得.
所以的最大值为.
故答案为：.
46．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则________．
【答案】/0.96
【分析】根据圆的切线的求解方法可求得切线斜率，利用直线夹角公式可求得，再结合同角三角函数关系可求得结果.
【详解】由得：，则圆心为，半径；
则过点作圆的切线，切线斜率必存在，可设切线方程为：，即，
圆心到切线的距离，解得：，，
，又，.
故答案为：.
二、解答题
47．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点.
(1)若割线的方程为，求的值；
(2)求弦的中点的轨迹.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得的值；
（2）设点，由化简可得出点的轨迹方程，结合实际条件可得出点的轨迹.
【详解】（1）圆的圆心为原点，半径为，
圆心到直线的距离为，所以.
（2）设点，当直线不过原点时，连接，则，
且，，
由题意可得，化简得，
当直线过原点时，点与点重合，此时点的坐标也满足方程，
所以点的轨迹是点为圆心，半径为，且位于圆内的一段弧.
一、单选题
48．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案.
【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
则，，，
由，则两圆相交.
故选：C.
49．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)圆与圆的位置关系不可能为（ ）
A．相切 B．相交 C．内含 D．外离
【答案】C
【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解.
【详解】，
故的圆心为，半径为，
，
故的圆心为，半径为，
故，当且仅当时，等号成立，而，
当时，两圆外离或相交，时，两圆内切，
故两圆不可能内含.
故选：C
50．(24-25高二下·上海西中学·期中)若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
【答案】C
【分析】求出圆心距满足的范围，得到答案.
【详解】设圆心距为，由于两圆相交，故，即，
所以ABD错误，C正确.
故选：C
51．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)圆和与圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】B
【分析】求出两圆圆心距，利用几何法可得出两圆的位置关系.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
因为，所以，
故圆与圆相交.
故选：B.
二、填空题
52．(24-25高二下·上海中学·期中)两圆和的公共弦长为________．
【答案】
【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
又，所以，即两圆相交，
两圆方程作差得到公共弦方程为，
又圆心到公共弦的距离，
所以公共弦长为.
故答案为：
53．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知圆与圆内切，则实数______．
【答案】
【分析】根据两圆内切列方程，求解即可解答.
【详解】，故圆心为，半径为1，
的圆心为，半径为2，
因为两圆内切，所以两圆圆心距离为两半径之差，故，解得.
故答案为：
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