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专题03 抛物线、曲线与方程（3大考点28题）
3大高频考点概览
考点01抛物线的标准方程
考点02抛物线的性质
考点03曲线与方程
一、填空题
1．(24-25高二下·上海金山中学·期中)在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则__________．
【答案】或
【分析】设点，得到，根据题意，结合焦半径公式和抛物线的方程，列出方程组，求得的值.
【详解】由抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，
设点，其中，抛物线的焦点为，则，
因为点到焦点的距离为，可得，解得或，
所以实数的值为或．
故答案为： 或．
2．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)准线为直线且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为_______.
【答案】
【分析】根据准线方程即可求解.
【详解】由题意可得，
故答案为：
3．(24-25高二下·上海吴淞中学·期中)抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则______.
【答案】/
【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义及已知条件可知轴，且垂足为点，即可得解.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
因为由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等，
又点到准线的距离与到轴的距离相等，所以轴，且垂足为点，即.
故答案为：
4．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)已知拋物线，则其准线方程为______.
【答案】
【分析】根据题意，利用抛物线的几何性质，即可求解.
【详解】由抛物线的方程为，可得，解得，且抛物线的开口向下，
所以抛物线的准线方程为.
故答案为：.
5．(24-25高二下·上海长征中学·期中)以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______.
【答案】
【分析】由抛物线方程得焦点坐标、准线方程，进一步得所求圆的半径即可得解.
【详解】因为抛物线的焦点，准线，
所求圆的圆心半径为，
所以圆的方程为.
故答案为：
二、解答题
6．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积；
(3)过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先判断曲线的类型，再确定其解析式.
（2）根据抛物线的焦点弦公式求弦长，点到直线的距离求高，可求出三角形的面积.
（3）根据焦点弦公式分别求弦长和，再结合基本不等式和换元法求的最小值.
【详解】（1）由题意：曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等，
所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线，所以.
所以曲线的方程为：.
（2）直线方程为：，代入，
整理得：，
由韦达定理得：.
所以.
又点到直线：的距离为：.
所以.
（3）如图：

设直线：，代入抛物线得：，
整理得：.
由韦达定理：.
所以.
用代替，可得.
所以.
设，则，当且仅当时取“”.
则.
一、单选题
7．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作出曲线的图形，即可根据相切求解斜率，结合图形即可求解.
【详解】当时，，此时曲线为开口向右的抛物线，
由于曲线关于轴对称，因此可作出曲线图象如下：
直线恒过定点,
当直线与相切时，则，
故，解得或，
结合图形可知此时，故，
同理直线与相切时，，
故当与直线没有公共点，则或，
故选：B
二、填空题
8．(24-25高二下·上海南洋模范中学·期中)拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________．
【答案】
【分析】先建立平面直角坐标系，再设直线方程并联立，得到点坐标关系，结合三角形面积公式，将面积之比转化为高之比，最后求解直线斜率可得结论
【详解】分别以直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线方程为，则焦点，
设直线，，，
联立，可得，
则，．
因为，所以．
则，，
则，
即，解得，
结合图象可得，则，
因为直线与直线的夹角与直线的倾斜角互余，且，
所以直线与直线的夹角的正切值为．
故答案为：
9．(24-25高二下·上海南洋模范中学·期中)直线被曲线截得的线段的长是________．
【答案】/
【分析】联立方程，利用弦长公式计算即可.
【详解】设直线与曲线交于点，
将代入整理得：，
则有，
故.
故答案为：
10．(24-25高二下·上海中学·期中)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有________条．
【答案】
【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，根据已知条件，求得参数之间的关系，结合一元二次方程根的情况，即可判断结果.
【详解】抛物线的焦点，
设直线方程为，，，
联立，整理可得，
则，所以，解得：，
当时，无解，此时直线不存在；
当时，，此时直线只有条；
当时，此时直线有条；
故当时，直线条数为条；当时，直线条数为条；当时，直线条数为条，
所以直线最多有条.
故答案为：
11．(24-25高二下·上海向明中学·期中)探照灯，汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为_____．
【答案】20
【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果.
【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点，
分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示：
由抛物线方程可知准线方程为，
再由抛物线定义可得，
因此光线从点到点经过的总路程为.
故答案为：20
12．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)已知双曲线的左、右焦点为，，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则双曲线的离心率为________.
【答案】/
【分析】由题意可得抛物线方程为，直线的方程为，联立方程组可求得，结合，可求得，可求离心率.
【详解】由双曲线，可得左、右焦点为，，
可得以为焦点的抛物线方程为，
因为，不妨设点P在第一象限，所以直线的方程为，
联立方程可得，消去，可得，解得，所以，
所以，
又，.
故答案为：.
13．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为________．
【答案】
【分析】由题意可求得的坐标为，进而可求的的斜率.
【详解】为的中点，过点作垂直于轴于点为的中位线，
则的坐标为则，而，则直线的斜率为.
故答案为：．
三、解答题
14．(24-25高二下·上海长征中学·期中)已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程；
(3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）将点代入抛物线方程计算可得，即可求出结果；
（2）设点，，根据中点坐标公式进行代换可得点的轨迹方程；
（3）联立直线方程并利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积的坐标运算即可求得结果.
【详解】（1）已知点在抛物线上
代入得
所以抛物线方程为
（2）易知抛物线焦点为，
设动点，中点的坐标为
显然；
且，
；
即点的轨迹方程为；
（3）设点在抛物线上，则
直线的方程为，如下图：
联立，解得，；
所以，
因此
依题意可得
可得
整理可得，即，
解得或或或；
显然当或时，与重合，不合题意；
所以存在，满足题意.
15．(24-25高二下·上海嘉定区封浜高级中学·期中)已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点.
(1)若直线过抛物线的焦点，求弦的长；
(2)若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立，设，，由韦达定理可得，，根据弦长公式即可求解；
（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理结合直线方程可得，，根据已知可知，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】（1）因为，所以，所以焦点坐标为，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
即，
联立，整理得，
设，，所以，，
所以；
（2）
由已知可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，
联立，整理得，
因为直线与抛物线有两个交点，所以，
所以且，
所以，，
所以，
因为以为直径的圆过坐标原点，所以,
又，，所以，即，
解得，满足且，
所以直线的方程为，即.
16．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点．
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度；
(3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标．
【答案】(1)；
(2)8
(3)证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为；
（2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案；
（3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
则，即，所以抛物线为；
（2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：，
得．，设，
由韦达定理得，
故.
（3）由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程．
联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：，
则．由韦达定理可得，
又由已知，则．
此时直线恒过点．
17．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，问卡车的限高为多少米？
【答案】2.29米
【分析】由题意建立坐标系，求得抛物线的方程，根据卡车宽度建立方程，可得答案.
【详解】由题意建立坐标系，如下：
设抛物线的方程为，依题意抛物线过点，
则，所以抛物线的方程为，车的截面为矩形ABCD，
设，则，所以米，
即限高为2.29米．
18．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用抛物线定义求解；
（2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可.
【详解】（1）根据抛物线的定义可知，
，即，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）
由（1）知，抛物线焦点为,
若直线l的斜率不存在，则,
则，不满足题意，
所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则，
设，
联立，消去可得，，
所以，
因为，
解得，
所以直线的方程为.
19．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)已知抛物线的准线方程为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线的准线方程可求出的值，由此可得出抛物线的标准方程；
（2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限，利用抛物线的定义结合已知条件求出点的坐标，由此可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的横坐标，再利用抛物线的定义可求得的值.
【详解】（1）抛物线的准线方程为，所以，即，
因此，抛物线的标准方程为.
（2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限，
由抛物线的定义可得，可得，则，可得，
所以点，易知点，
所以直线的斜率为，则直线的方程为，
联立可得，解得，，
所以.
20．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知抛物线 经过点 .
(1)求 的值和抛物线 的准线方程；
(2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 .
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）代入，求解即可；
（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式求解即可.
【详解】（1）解：代入 ，
得解得，
所以准线方程是；
（2）解：由，
可得，
设方程的两根为，
则，，
所以.
一、单选题
21．(24-25高二下·上海延安中学·期中)已知曲线上点的坐标都是方程的解，则下列命题中正确的是（ ）
A．曲线是方程的解
B．不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解
C．凡坐标不满足方程的点都不在曲线上
D．以方程的解为坐标的点都在曲线上
【答案】C
【分析】利用曲线的意义判断A；利用互逆关系、互逆否关系命题的真假关系判断BCD.
【详解】对于A，曲线是点的集合，集合中的每个元素对应的坐标是方程的解，
不能说成曲线是方程的解，A错误；
对于BD，不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解，等价于方程的解
为坐标的点都在曲线上，它是命题“曲线上点的坐标都是方程的解”的逆命题，
而互逆的两个命题不一定同真同假，BD错误；
对于C，坐标不满足方程的点都不在曲线上，等价于
“曲线上点的坐标都是方程的解”，C正确.
故选：C
22．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)已知方程所表示的曲线为，则下列四个结论中正确的个数是（ ）
（1）当时，曲线表示一条直线
（2）当时，曲线表示椭圆
（3）存在实数，使得曲线为等轴双曲线
（4）存在实数，使得曲线为抛物线
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对实数的取值进行分类讨论，结合曲线的形状与方程之间的关系判断即可.
【详解】对于（1），当时，曲线方程为，即或，此时曲线表示两条直线，（1）错；
对于（2），当时，曲线的方程可化为，
若曲线表示椭圆，则，解得且，（2）错；
对于（3），当时，曲线的方程可化为，曲线表示双曲线，
若曲线为等轴双曲线，则，解得，（3）对；
对于（4），由上可知，当时，曲线表示两条直线，
当时，曲线表示椭圆或圆，
当时，曲线表示双曲线，
综上所述，不存在实数，使得曲线为抛物线，（4）错.
因此，正确的命题个数为.
故选：A.
二、填空题
23．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)若曲线上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为________．
【答案】
【分析】根据曲线的对称性，只需要分析第一象限的情况，故，，根据三角函数的有界性求出最值即可
【详解】设上任意的一点，
将代入方程，方程不变，
所以曲线关于 x轴、y轴、原点以及直线对称，
不妨设，，
代入得
，
所以，
由，得，
即
又，即，
当且仅当时，，此时曲线上的点到原点的最小距离，
即该圆半径的最小值为，
故答案为：
24．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为________．
【答案】
【分析】利用中点坐标公式，设出线段中点的坐标以及点的坐标，再根据点在已知曲线上，将点的坐标代入曲线方程，进而得到中点的轨迹方程.
【详解】设线段的中点为，点的坐标为.
因为是的中点，所以可得，即.
因为点在曲线上，所以将代入曲线方程可得.化简得：
故答案为：.
25．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为_____.
【答案】
【分析】以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，直接写出方程即可.
【详解】如图，以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，
因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
则其方程为.
故答案为：.
26．(23-24高二下·上海大同中学·期中)在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 ______.
【答案】
【分析】根据公式法将极坐标方程化为直角坐标方程，结合点线距计算即可求解.
【详解】圆化为直角坐标方程为，圆心坐标为，
直线化为直角坐标方程为，
所以圆心到直线的距离是.
故答案为：
27．(23-24高二下·上海大同中学·期中)直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则______.
【答案】/
【分析】根据消参可得直线方程，和曲线方程，联立直线与曲线方程，根据弦长公式即可求解.
【详解】直线方程为，曲线，
联立消去整理可得，
设则，
.
故答案为：
三、解答题
28．(24-25高二下·上海中学·期中)椭圆中，动弦长为．
(1)请写出椭圆的参数方程；
(2)求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）整理椭圆方程，结合同角三角函数的平方式，可得答案；
（2）利用参数方程设出动点坐标，根据两点距离公式以及三角函数的恒等式，写出直线方程，根据点到直线距离，结合三角函数面积公式，可得答案.
【详解】（1）由，则，令，则.
（2）设，，，
则，
所以，
所以，
从而，由，
可得，则
又直线的方程为，
所以点到的距离，
所以.
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专题03 抛物线、曲线与方程（3大考点28题）（答案版）
1．或
2．
3．/
4．
5．
6．(1)
(2)
(3)
7．B
8．
9．/
10．
11．20
12．/
13．
14．(1)
(2)
(3)存在，
15．(1)
(2)
16．(1)；
(2)8
(3)由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程．
联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：，
则．由韦达定理可得，
又由已知，则．
此时直线恒过点．
17．2.29米
18．(1)
(2)
19．(1)
(2)
20．(1).
(2).
21．C
22．A
23．
24．
25．
26．
27．/
28．(1)
(2)
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专题03 抛物线、曲线与方程（3大考点28题）
3大高频考点概览
考点01抛物线的标准方程
考点02抛物线的性质
考点03曲线与方程
一、填空题
1．(24-25高二下·上海金山中学·期中)在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则__________．
2．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)准线为直线且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为_______.
3．(24-25高二下·上海吴淞中学·期中)抛物线上一点到准线的距离与到轴的距离相等，则______.
4．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)已知拋物线，则其准线方程为______.
5．(24-25高二下·上海长征中学·期中)以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______.
二、解答题
6．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积；
(3)过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值.
一、单选题
7．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．(24-25高二下·上海南洋模范中学·期中)拱宸桥，如图①，始建于明崇祯四年，是京杭大运河南端终点的标志桥下三个孔洞均为半圆形．其左侧两洞的结构简图如图②，若半圆与相切于点，过，的直线与两个半圆从左到右分别交于点，，，直线与半圆，相切，点位于直线上且．若以为焦点的抛物线过，，三点，且与的面积之比为，则直线与直线夹角的正切值为________．
9．(24-25高二下·上海南洋模范中学·期中)直线被曲线截得的线段的长是________．
10．(24-25高二下·上海中学·期中)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有________条．
11．(24-25高二下·上海向明中学·期中)探照灯，汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为_____．
12．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)已知双曲线的左、右焦点为，，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则双曲线的离心率为________.
13．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为________．
三、解答题
14．(24-25高二下·上海长征中学·期中)已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程；
(3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
15．(24-25高二下·上海嘉定区封浜高级中学·期中)已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点.
(1)若直线过抛物线的焦点，求弦的长；
(2)若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程.
16．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点．
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度；
(3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标．
17．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，问卡车的限高为多少米？
18．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程．
19．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)已知抛物线的准线方程为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值.
20．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知抛物线 经过点 .
(1)求 的值和抛物线 的准线方程；
(2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 .
一、单选题
21．(24-25高二下·上海延安中学·期中)已知曲线上点的坐标都是方程的解，则下列命题中正确的是（ ）
A．曲线是方程的解
B．不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解
C．凡坐标不满足方程的点都不在曲线上
D．以方程的解为坐标的点都在曲线上
22．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)已知方程所表示的曲线为，则下列四个结论中正确的个数是（ ）
（1）当时，曲线表示一条直线
（2）当时，曲线表示椭圆
（3）存在实数，使得曲线为等轴双曲线
（4）存在实数，使得曲线为抛物线
A． B． C． D．
二、填空题
23．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)若曲线上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为________．
24．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为________．
25．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为_____.
26．(23-24高二下·上海大同中学·期中)在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 ______.
27．(23-24高二下·上海大同中学·期中)直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则______.
三、解答题
28．(24-25高二下·上海中学·期中)椭圆中，动弦长为．
(1)请写出椭圆的参数方程；
(2)求面积的取值范围．
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