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专题02 椭圆和双曲线（7大考点39题）
一、填空题
1．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________．
【答案】8
【分析】根据椭圆定义得出焦点三角形周长即可.
【详解】因为椭圆，所以，设椭圆右焦点为，
由椭圆定义得
则的周长为．
故答案为：8.
2．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)若对任意实数 ，直线 与焦点在 轴上的椭圆 至少有一个交点，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【分析】先求得直线过的定点坐标，再根据直线与椭圆总有公共点，由点P在椭圆上或在椭圆的内部求解.
【详解】直线，即，直线恒过定点，
直线与椭圆至少有1个公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上．
所以，即，又，故．
故答案为：.
3．(24-25高二下·上海西中学·期中)设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________．
【答案】
【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦点的位置列出关于的不等式组，求解即可.
【详解】由题意可得：
，解得：.
所以的取值围为：.
故答案为：.
4．(22-23高二下·上海北中学·期中)已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为______．
【答案】
【分析】先设点，再由应用相关点法求轨迹方程即可.
【详解】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点，
所以，整理得，
所以点的轨迹方程是.
故答案为：
5．(23-24高二下·上海浦东新区·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为______．
【答案】4
【分析】由向量垂直的充要条件得出，然后根据椭圆的定义求出，再根据直线的斜率为，得到，，最后利用椭圆定义得到：，从而列出关于的方程，解出的值即可．
【详解】
由，，
又直线的斜率为，
则，，
又椭圆方程为：，.
,解得，
又，，，即.
故答案为：4．
一、单选题
6．(24-25高二下·上海育才中学·期中)我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的对称性，找到、、与地球半径之间关系，求解即可.
【详解】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、，由题可知，
由题意可得，
上述两个等式相乘可得，
因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米.
故选：A.
二、填空题
7．(24-25高二下·上海中学·期中)一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是________．
【答案】或
【分析】依题意分别讨论椭圆焦点在轴，轴上时的长轴、短轴的长，代入标准方程即可.
【详解】当是短轴端点时，可知椭圆焦点在轴上，
此时短轴长为，长轴长，即，
所以椭圆方程为；
当是长轴端点时，可知椭圆焦点在轴上，
此时长轴长为，短轴长，即，
所以椭圆方程为；
故答案为：或.
8．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)已知椭圆的参数方程为 ( 为参数)，则该椭圆的长轴长为_____.
【答案】6
【分析】根据椭圆的参数方程可以直接确定椭圆的长轴长.
【详解】已知椭圆的参数方程为 ( 为参数)，化为标准方程得到，则，则该椭圆的长轴长为.
故答案为：6.
9．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)椭圆的长轴的长为_____.
【答案】
【分析】求出的值，即可得出该椭圆的长轴长.
【详解】在椭圆中，，故该椭圆的长轴长为.
故答案为：.
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是___________．
【答案】①③
【分析】运用椭圆的定义和对称性进行分析即可判断①②；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③；椭圆上的点到中心的距离小于等于，由于点不在坐标轴上，可得，即可判断④.
【详解】因为椭圆，点在椭圆上，所以，
又短轴的两个端点分别为、，
又因为，
所以点在以，为焦点，长轴长为的椭圆上，相应的椭圆的方程为，
将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确；
又点为椭圆与椭圆的交点，
因为椭圆的长轴顶点为 ，短轴长度小于，
椭圆的长轴顶点为，短轴长度小于，
所以两个椭圆的交点有个，即对应的点有4个，故②不正确；
因为椭圆与椭圆长轴确定，所以点靠近坐标轴时（或），越大，
点远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值，
此时两椭圆方程为：，，
两方程相加得，即的最小值为，故③正确；
（或用代数法：联立，即，
即，
两式相加可得，
则，
当时，的最小值为，即当的最小值为；）
椭圆上的点到中心的距离小于等于，由于点不在坐标轴上，
∴，故④错误．
故答案为：①③．
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的对称性和到定点距离的最值的判断，解题关键是由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆．
一、单选题
11．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆Γ，太阳的中心是Γ的一个焦点．若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为ρ，最小值为μ，太阳半径为r，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设椭圆的焦距为，长轴长为，根据题意得到，计算可得离心率.
【详解】设椭圆的焦距为，长轴长为，
则由已知可得，
两式相加可得，两式相减可得，
则，，
所以离心率.
故选：A.
12．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，，根据椭圆的定义和余弦定理得，再根据基本不等式和离心率公式可得结果.
【详解】设，，则，
在中，，
所以，得，
所以，
因为，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，所以，
所以，所以，又，
所以.
故选：C
13．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线、 （如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程为（），分别列出过、和、的切线方程，联立切线和内层椭圆，由分别转化出、的表达式，结合可求与的关系式，齐次化可求离心率.
【详解】设内层椭圆方程为，因为内、外层椭圆离心率相同，
所以外层椭圆方程可设成，
设切线方程为，与联立得，
，
由，化简得：，
设切线方程为，同理可求得，
所以，，
所以，因此.
故选：B.
二、填空题
14．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 _____.
【答案】/
【分析】由题意得出，等式两边同时除以，可得出关于的方程，结合可求出的值.
【详解】因为椭圆的焦距为，且，即，
等式同时除以可得，即，
因为，解得.
故答案为：
三、解答题
15．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)已知椭圆的方程为，椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线l与椭圆交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）.
(1)若椭圆的离心率为，求a的值；
(2)若，求的面积的最大值；
(3)已知，点，点，若直线AP、AQ分别与直线交于M、N两点.求的取值范围.
【答案】(1)3
(2)2
(3)
【分析】（1）根据离心率得到方程，求出；
（2）设直线l的方程为，，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用表达出三角形面积，由基本不等式求出最大值；
（3）设出直线方程，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，进而得到直线AP的方程，求出，同理，计算出，求出取值范围.
【详解】（1）椭圆的离心率为，故，
解得；
（2）时，，故，所以，，
P、Q均不在x轴上，故直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为，，，
联立与得，
所以，是方程的两根，
，
，，
所以，
又，故的面积，

而，
当且仅当，即时等号成立，
所以的面积的最大值为2；
（3）时，，所以，，
椭圆方程为，
设直线l的方程为，，，
联立与可得，

所以，是方程的两根，
，，
故，
，
又，故直线AP的方程为，
令得，故，
所以，同理可得，
所以
，
所以的取值范围为.
一、填空题
16．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是_____.

【答案】
【分析】设双曲线的标准方程为，分析可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上，由此可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出双曲线的标准方程.
【详解】以双曲线最小口径所在直线为轴，轴与该双曲线两交点连线线段的中点为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，

由题意可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上，
设双曲线的标准方程为，
由题意可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
17．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解.
【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即，
实轴长，即，
于是虚半轴长，
所以所求双曲线方程为．
故答案为：
18．已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】联立方程，消得，再由题设条件即可求出结果.
【详解】联立可得，由题意可知，关于x的方程无实数解，
则，解得，
故答案为：．
19．(23-24高二下·上海浦东新区·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为_______________.
【答案】
【分析】设，根据题意得到相关线段关于的表达式，再利用勾股定理建立关于方程，进而求得，从而得解.
【详解】设，由知在双曲线的右支上，可得，，
所以，，又由，知，
所以在中，由勾股定理可得，
解得或（舍去），又，则，
所以，，
所以的面积为.
故答案为：.
二、解答题
20．(24-25高二下·上海实验学校·期中)在平面直角坐标系中，双曲线.对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体.对任意直线，记为与的两个交点，定义.若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意直线，，均有，则称为“好点”.求所有好点所构成的区域的面积.
【答案】4
【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，由可得的范围，然后根据“好点”的定义代入计算，即可得到，然后代入检验，即可得到结果.
【详解】设为好点，考虑需满足的充要条件.
对任意直线，设的倾斜角为，
则的参数方程可写为①
将①代入的方程，整理得关于的方程
②
根据条件，②有两个不同的实数解，这等价于，
且判别式.
化简得③
当的倾斜角满足③时，由①中参数的几何意义及的定义，
可知其中(因不在上).
当与交于轴异侧两点时，由双曲线的性质知.
此时显然满足③，且.
当且仅当时，取到最小值，这里直线.
当与交于轴同侧两点时，要求满足③且.
根据题意，对任意这样的(如果这样的存在)，均有
即，而这等价于.
换言之，需满足：对任意，③都不成立，
即对任意，均有④
在④中令，分别得，
由此可知
反之，当时，注意到当时有，
故
即④成立.
因此，为好点当且仅当.
于是所有好点对应的区域为.所求面积为.
21．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远．
(1)P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由；
(2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）．
【答案】(1)P、Q分别在圆弧的中点，理由见解析
(2)36.8
【分析】（1）根据，当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大；
（2）如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系，则A、B两点在以C、D为焦点的双曲线上，根据双曲线性质得解.
【详解】（1）由题意可得
，
当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大，
此时P、Q两点分别在圆弧的中点，距离为160米．
（2）如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系，
则，．
根据题意可得，
则C、D两点在以A、B为焦点的双曲线上，，即．
设双曲线方程为，则，
解得，
所以，即．
因此音箱距中轴线距离约为36.8时为最佳放置点．
一填空题
22．(24-25高二下·上海长征中学·期中)双曲线的渐近线方程为_____.
【答案】
【分析】根据双曲线方程直接代入渐近线方程计算可得结果.
【详解】由双曲线可得其标准方程为；
所以渐近线方程为；
故答案为：
23．(24-25高二下·上海嘉定区封浜高级中学·期中)以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______.
【答案】
【分析】由已知可得右焦点坐标，渐近线方程，由点到直线的距离公式求得圆的半径，根据圆的标准方程即可求解.
【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，即，
所以点到直线的距离为，
所以圆心为，半径为的圆的方程为.
故答案为：.
24．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知双曲线过点，则双曲线的渐近线方程为________．
【答案】
【分析】代入点的坐标求出，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程
【详解】因为双曲线过点，
所以，解得，所以双曲线，
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
25．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)若圆心为的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的标准方程为______．
【答案】
【分析】根据点到直线的距离等于半径即可求解圆的半径得解.
【详解】设圆的方程为，
的渐近线方程为，
故，解得，
故圆的方程为，
故答案为：
26．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知实数、满足，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】首先分类讨论、的范围，再画出图象，设，求出与有交点时的范围即可求解．
【详解】当时，，为双曲线的一部分，一条渐近线为；
当时，，不成立；
当时，，为椭圆的一部分；
当时，，为双曲线的一部分，一条渐近线为；
作出图象，如图所示，
设，则，
当与有交点时，
，整理得，
，解得，
又，即，
所以，
所以，
故答案为：．
27．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为________．
【答案】/
【分析】求解双曲线的渐近线方程，然后求解夹角即可．
【详解】双曲线的两条渐近线为，直线的倾斜角为，，，
所以两条渐近线的夹角的余弦值为．
故答案为：．
28．(24-25高二下·上海宝山区海滨中学·期中)已知双曲线，则其渐近线方程为________．
【答案】
【分析】由方程求得，即可求解.
【详解】由双曲线方程可知：，双曲线的焦点在轴上，
所以渐近线方程为：，
故答案为：
29．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)已知双曲线，其渐近线方程为________．
【答案】
【分析】根据双曲线方程直接求解其渐近线方程即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
即.
故答案为：
一、填空题
30．(24-25高二下·上海育才中学·期中)已知双曲线的一条渐近线方程为，则__________．
【答案】
【分析】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案．
【详解】因为双曲线为，所以它的渐近线方程为，
因为有一条渐近线方程为，所以．
故答案为：.
31．(24-25高二下·上海中学·期中)双曲线的一条渐近线方程为，则________．
【答案】
【分析】写出双曲线的标准方程，利用双曲线的渐近线方程直接求解即可.
【详解】由题意，双曲线的标准方程为，所以，
因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，
所以.
故答案为：.
32．(24-25高二下·上海向明中学·期中)若双曲线的一条渐近线与直线平行，则_____．
【答案】3
【分析】由题意可得出渐近线的斜率，据此列方程求解即可.
【详解】若双曲线的一条渐近线与直线平行，
故，解得：.
故答案为：3.
33．(24-25高二下·上海延安中学·期中)已知双曲线的一条渐近线方程为，且点是上的一点，则双曲线的标准方程为____________.
【答案】
【分析】由题意设双曲线的方程为，利用待定系数法求出即可得解.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，
设双曲线的方程为，
则，
所以双曲线的方程为，标准方程为.
故答案为：.
一、填空题
34．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知双曲线（）的左 右焦点分别为 .经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，得出点坐标，再结合双曲线的定义可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由，则，，
则，，
设，则，解得，
由题意可得直线的斜率，则方程为，
将代入上式，则，解得，即，
由题意可得，
则，.
故答案为：
35．(24-25高二下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为_________．
【答案】
【详解】因为直线的斜率为，
则与直线垂直的渐近线的斜率为，
所以，所以.
故答案为：.
36．(24-25高二下·上海中学·期中)如图，已知，为双曲线的左、右焦点，，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为________.
【答案】
【分析】利用双曲线的定义、对称性，以及平行四边形的性质和圆的直径性质，结合勾股定理列方程即可求解.
【详解】设，则.
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：.
连接，则有，.
∵点在以为直径的圆周上，∴.
∵四边形为平行四边形，∴，∴.
在中，由勾股定理可知，即，
整理得：，∴，.
在中，由勾股定理可知，即，
∴.
故答案为：.
37．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知双曲线的离心率为2，其两条渐近线的夹角大小为______．
【答案】
【分析】根据离心率求出，即可求出双曲线的渐近线方程，根据斜率求出渐近线的倾斜角，即可求解.
【详解】因为双曲线的离心率为2，所以，
所以，所以渐近线方程为，所以渐近线的倾斜角分别为与，
所以其两条渐近线的夹角大小为.
故答案为：
38．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________．
【答案】/
【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得.
【详解】

如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故，
且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形，
则可得点的坐标为，代入，整理得：
，
因，代入整理得：，
即，解得，因，故.
故答案为：.
二、解答题
39．(23-24高二下·上海师范大学附属中学闵行分校·期中)已知双曲线
(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
(2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数
【答案】(1)顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为；
(2)答案见解析
【分析】（1）将双曲线方程化为标准方程，确定的值，即可求得答案；
（2）联立直线方程和双曲线方程，结合所得方程的二次项系数以及判别式，即可得结论.
【详解】（1）由题意得，可得，
故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为；
（2）联立方程，消去得，
当或时，
即或时，有1个交点；
当时，即且时，有2个交点；
当时，即或时，无交点.
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专题02 椭圆和双曲线（7大考点39题）（答案版）
1．8
2．
3．
4．
5．4
6．A
7．或
8．6
9．
10．①③
11．A
12．C
13．B
14．/
15．(1)3
(2)2
(3)
16．
17．
18．
19．
20．4
21．(1)P、Q分别在圆弧的中点，由题意可得
，
当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大，
此时P、Q两点分别在圆弧的中点，距离为160米．
(2)36.8
22．
23．
24．
25．
26．
27．/
28．
29．
30．
31．
32．3
33．
34．
35．
36．
37．
38．/
39．(1)顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为；
(2)联立方程，消去得，
当或时，
即或时，有1个交点；
当时，即且时，有2个交点；
当时，即或时，无交点.
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专题02 椭圆和双曲线（7大考点39题）
一、填空题
1．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________．
2．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)若对任意实数 ，直线 与焦点在 轴上的椭圆 至少有一个交点，则实数 的取值范围是_____.
3．(24-25高二下·上海西中学·期中)设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是____________．
4．(22-23高二下·上海北中学·期中)已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为______．
5．(23-24高二下·上海浦东新区·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为______．
一、单选题
6．(24-25高二下·上海育才中学·期中)我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A． B． C．2 D．
二、填空题
7．(24-25高二下·上海中学·期中)一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是________．
8．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)已知椭圆的参数方程为 ( 为参数)，则该椭圆的长轴长为_____.
9．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)椭圆的长轴的长为_____.
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是___________．
一、单选题
11．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆Γ，太阳的中心是Γ的一个焦点．若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为ρ，最小值为μ，太阳半径为r，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若 ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线、 （如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 _____.
三、解答题
15．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)已知椭圆的方程为，椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线l与椭圆交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）.
(1)若椭圆的离心率为，求a的值；
(2)若，求的面积的最大值；
(3)已知，点，点，若直线AP、AQ分别与直线交于M、N两点.求的取值范围.
一、填空题
16．(24-25高二下·上海浦东新区·期中)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是_____.

17．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为________．
18．已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是________．
19．(23-24高二下·上海浦东新区·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为_______________.
二、解答题
20．(24-25高二下·上海实验学校·期中)在平面直角坐标系中，双曲线.对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体.对任意直线，记为与的两个交点，定义.若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意直线，，均有，则称为“好点”.求所有好点所构成的区域的面积.
21．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远．
(1)P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由；
(2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）．
一填空题
22．(24-25高二下·上海长征中学·期中)双曲线的渐近线方程为_____.
23．(24-25高二下·上海嘉定区封浜高级中学·期中)以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______.
24．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知双曲线过点，则双曲线的渐近线方程为________．
25．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)若圆心为的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的标准方程为______．
26．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知实数、满足，则的取值范围是______．
27．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为________．
28．(24-25高二下·上海宝山区海滨中学·期中)已知双曲线，则其渐近线方程为________．
29．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)已知双曲线，其渐近线方程为________．
一、填空题
30．(24-25高二下·上海育才中学·期中)已知双曲线的一条渐近线方程为，则__________．
31．(24-25高二下·上海中学·期中)双曲线的一条渐近线方程为，则________．
32．(24-25高二下·上海向明中学·期中)若双曲线的一条渐近线与直线平行，则_____．
33．(24-25高二下·上海延安中学·期中)已知双曲线的一条渐近线方程为，且点是上的一点，则双曲线的标准方程为____________.
一、填空题
34．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知双曲线（）的左 右焦点分别为 .经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______.
35．(24-25高二下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为_________．
36．(24-25高二下·上海中学·期中)如图，已知，为双曲线的左、右焦点，，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为________.
37．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知双曲线的离心率为2，其两条渐近线的夹角大小为______．
38．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________．
二、解答题
39．(23-24高二下·上海师范大学附属中学闵行分校·期中)已知双曲线
(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
(2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数
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