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专题05 空间向量及其应用（4大考点36题）（答案版）
1．
2．
3．
4．5
5．
6．3
7．
8．(1)证明：设，，，则，
底面是菱形，有，
则，
∴，即.
(2).
9．B
10．D
11．
12．/0.4
13．
14．5
15．(1)
(2)
16．
17．
18．
19．
20．/
21．
22．
23．3
24．
25．
26．B
27．B
28．
29．(1)

取的中点，连接，因是的中点，则且，
在直角梯形中，，，，则且.
故且，则四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，所以平面.
(2).
30．(1）， ，，
又平面，，平面，
又平面， ，
又 ，，平面，
平面 .
(2)
31．(1)
(2)
32．(1)底面是等腰直角三角形，且，
，
在直三棱柱中，平面，
又 平面， ，
，平面，
平面.
(2)
33．(1)因为分别为棱的中点，
所以，又因为，
所以，
平面，平面，
所以直线平面.
(2)
34．(1)在直三棱柱中，，则，，，
故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由题知，可得点，，，，，，
，，
则，，，
所以，，
所以，.
又，平面，平面，
所以平面.
(2)
35．(1)底面，底面，
，
是的中点,
，
则平面，平面，
平面.
(2).
36．(1)由于平面，，建立如图所示的空间直角坐标系，

由，得，
则，，，，，
设点，
由，得，
解得，即，
所以，，
所以，又，所以.
(2)
(3)或.
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专题05 空间向量及其应用（4大考点36题）
4大高频考点概览
考点01空间向量及其运算
考点02空间向量基本定理
考点03空间向量的坐标表示
考点04 空间向量在立体几何中的应用
一、填空题
1．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角_______．
【答案】
【分析】将，利用向量运算得，然后由公式计算夹角余弦值即可.
【详解】如图，因为，又，
所以，又，
所以，即，
所以，化简得，
所以，所以.
所以异面直线与的夹角为.
故答案为：.
2．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·期中)已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积.
【详解】
如图所示，设中心为，则平面，
则，
即，即，
所以点在以为球心，为半径的球上，
由已知正四面体的棱长为，
则，，
则
，
故答案为：.
3．(24-25高二下·上海建平中学·期中)如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则_____.
【答案】
【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可.
【详解】设分别为的中点，连接，
在正三角形中，，，
在正方形中，，，，
所以为二面角的平面角，即，
所以
.
故答案为：.
4．(24-25高二下·上海青浦高级中学·期中)如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是_____个.
【答案】5
【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数.
【详解】因为点满足且，
所以点在平面上，
因为，
所以为平面的中心，此时平面，
由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，，
所以数量积的不同取值的个数是5.
故答案为：5
5．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·期中)、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________．
【答案】
【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解.
【详解】因为，与、的夹角都是，且，，，
则，，，
则，
所以，
故答案为：.
6．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)正方体的棱长为2，点是棱上一点，且，则符合要求的点的个数为_________.
【答案】3
【分析】建立空间直角坐标系，根据两点距离公式，分类讨论求解方程的根即可求解.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则
当在上，则，，此时，无解，此时不存在，
当在上，则，，此时，解得，故此时，
当在上，则，，此时，无解，此时不存在，
当在上，则，，此时，无解，此时不存在，
当在上，则，，此时，无解，此时不存在，
当在上，则，，此时，无解，此时不存在，
当在上，则，，此时，无解，此时不存在，
当在上，则，，此时，解得，此时存在，
当在上，则，，此时，无解，此时不存在，
当在上，则，，此时，，此时存在，
当在上，则，，此时，无解，此时不存在，
当在上，则，，此时，无解，此时不存在，
综上可得：符合条件的有3个，
故答案为：3
7．(23-24高二下·上海华东师范大学第一附属中学·期中)如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则________.
【答案】
【分析】由平方求解.
【详解】解：因为分别是圆柱的上下底面的中心，
所以,
又因为圆柱的底面半径为2，高为5，，
且，
所以，
，
，
所以，
故答案为：.
二、解答题
8．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．

(1)求证：；
(2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系；
（2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系；
【详解】（1）证明：设，，，则，
底面是菱形，有，
则，
∴，即.
（2）要使平面，只需且.
欲使，则可证明，即，
也就是，
即，
由于，显然当时，上式成立.
同理可得，当时，.
因此，当时，能使平面.
一、单选题
9．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果.
【详解】因为，所以，
，
令，则，
又，故点共面，
所以.
故选：B.
10．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断.
【详解】因为向量，，是不共面的三个向量，
对于A：因为，所以，，共面，
所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误；
对于B：因为，所以，，共面，
所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误；
对于C：因为，所以，，共面，
所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误；
对于D ：假定向量，，共面，
则存在不全为的实数，，使得，整理得，
而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面，
即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确；
故选：D
二、填空题
11．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________.

【答案】
【分析】由，结合已知可得，利用共面向量基本定理求解.
【详解】因为，
因为，所以，
所以，又，
所以，所以，因为共面，
所以，解得.
故答案为：
12．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则_________．
【答案】/0.4
【分析】根据空间向量共面定理即可求得.
【详解】∵，
由空间向量共面定理得：，
故答案为：.
13．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为_____.
【答案】
【分析】利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系，结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度.
【详解】设，
则，
，
，
所以
.
所以.
故答案为：
14．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______．
【答案】5
【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数.
【详解】因为点满足且，所以点在平面上，
因为，所以为平面的中心，此时平面，
由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，，
所以数量积的不同取值的个数是5.
故答案为：5
三、解答题
15．(24-25高二下·上海建平中学·期中)在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量.
(1)取的中点，用向量，，来表示向量；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可；
（2）根据空间向量的数量积和模长公式计算即可.
【详解】（1）；
（2）因为，，，
所以，，
所以
，
所以.
一、填空题
16．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_____.
【答案】
【分析】由有，即，进而得解出即可.
【详解】由有，即，即，
故答案为：.
17．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为__．
【答案】
【分析】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可.
【详解】因为，且的夹角为钝角，
所以且与不共线（反向），
由，则，解得，
当与共线时，，则，解得，
综上可得实数的取值范围为.
故答案为：
18．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知空间向量，，若，则实数的值为______．
【答案】
【分析】利用向量共线定理求解.
【详解】根据题意，因为，设，则有，
可得，所以.
故答案为：.
19．已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示）
【答案】
【分析】由题意可设设，，结合，，求得和，再结合向量夹角得坐标表示即可求解.
【详解】可设，设，
则，
所以，
两式相减可得：，再代入第一个式子，
可得：
设向量与向量夹角为，
则，
易知对于当即取得最大值，
此时取得最大值，
即的最大值为，时取得，
再由余弦函数的单调性可知的最小值为，
故答案为：
20．(24-25高二下·上海行知中学·期中)向量 且 ，则实数 _____.
【答案】/
【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解.
【详解】，，
因为，所以，
即，
有，
故实数 .
故答案为：
21．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)正方体棱长为4，点满足，点满足，，则的最小值为________.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，先根据题目条件得出点、点和点三点共线，进而设出点，的坐标；再借助二次函数得出当时，的最小值为；最后再根据点的轨迹和的几何意义即可求解.
【详解】如图建立空间直角坐标系：

则由题意可得，,，.
因为点满足，，
所以点、点和点三点共线.
设，，
则，，
所以
则.
令，则该函数可以看做是关于t的二次函数，
则当时，函数有最小值，为.
所以要使最小，可先取，此时，其几何意义是点在平面上的射影点到点的距离.
又因为，
所以点的轨迹是以点为球心，为半径的球面，
则射影点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆及其内部.
所以
又因为，
所以
故答案为：.
22．(24-25高二下·上海复旦中学·期中)，，则向量在向量上的投影向量是______．
【答案】
【分析】由投影向量计算公式即可直接求解.
【详解】向量在向量上的投影向量是：
．
故答案为：
23．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)已知，空间向量，，．若，，共面，则______．
【答案】3
【分析】设，列出方程，可求的值.
【详解】因为，，共面，所以，存在，使得，
即，解得.
故.
故答案为：3
24．(24-25高二下·上海宝山区上海大学附属中学·期中)如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）．
【答案】
【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果.
【详解】
,
故答案为：
25．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 _____.
【答案】
【分析】由题意可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解.
【详解】因为点在平面上的射影分别为，
所以，
则，所以.
故答案为：
一、单选题
26．(24-25高二下·上海建平中学·期中)在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可.
【详解】因为，
所以，，
设平面的法向量为，则
，令，则，
对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误，
对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确，
对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误，
对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误.
故选：B
27．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属中学宝山分校·期中)设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】B
【分析】根据线面平行时直线的方向向量和法向量的位置关系判断.
【详解】当时，直线或直线在平面上，故充分性不成立，
当时，则必有，必要性成立，
故是的必要不充分条件.
故选：B.
二、填空题
28．(24-25高二下·上海行知中学·期中)如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点为线段上一动点，则异面直线与所成角的最小值为_____．(结果用反余弦表示)
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法将用一元函数进行表示，再对是否为进行分类讨论，求出的最大值，进而找到的最小值即可.
【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
在棱长为4的正方体中，得到，，
，，，，
因为为的中点，所以由中点坐标公式得，
则，，设，，
得到，，
即，，，解得，
故，则，
设异面直线与所成角为，，
则，
，
令，当时，，
当时，，
令，则可化为，
由二次函数性质得在上单调递增，
由复合函数性质得在上单调递增，
故在上单调递减，则，得到，
若异面直线与所成角最小，则最大，
此时，故.
故答案为：
三、解答题
29．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面是的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用向量法求出线面角.
【详解】（1）

取的中点，连接，因是的中点，则且，
在直角梯形中，，，，则且.
故且，则四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，所以平面.
（2）由（1）知，直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的大小为.
30．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.

(1)求证：平面 ；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由条件得到平面，再结合，即可求证；
（2）建系，求得平面法向量，代入距离公式求解即可.
【详解】（1）， ，，
又平面，，平面，
又平面， ，
又 ，，平面，
平面 .
（2）如图：

以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
在中，因， ，则，即，得，，
则在中，，
则，，
，
设平面法向量为，
则，可得：，
取，可得，，
，
则，
即点到平面的距离.
31．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)如图，已知正方体的棱长为2，点为棱所在直线上一点，直线与所成角为 .
(1)求与平面所成角的正弦值；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知条件求出相关点的坐标. 利用向量垂直的性质求出点的坐标，进而得到直线的方向向量.求出平面的法向量，利用线面角的向量公式求解与平面所成角的正弦值.
（2）分别求出平面与平面的法向量，利用二面角的向量公式求解二面角的余弦值.
【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
已知正方体棱长为，则，，，，
设.所以，.
因为直线与所成角为，即.
根据向量垂直的性质，则，
即，解得，所以，那么.
设平面的法向量为，，.
由，可得.
令，则，，所以.
设与平面所成角为.
根据线面角的向量公式.
，，.
所以.
（2）对于平面，其法向量已求得为.
平面的法向量：因为平面，所以可作为平面的一个法向量.
设二面角为，根据二面角的向量公式.
，，.
所以，观察图形可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
32．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，再由直棱柱的性质得到，即可得证；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标徐，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）底面是等腰直角三角形，且，
，
在直三棱柱中，平面，
又 平面， ，
，平面，
平面.
（2）因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，、，，
则，取，
设直线与平面所成角为 ，
则，
所以直线与平面所成角为的大小为 .
33．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，分别为棱的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线平行的传递性及线面平行的判定定理即可证明；
（2）取线段中点，由面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法即可求解.
【详解】（1）因为分别为棱的中点，
所以，又因为，
所以，
平面，平面，
所以直线平面.
（2）取线段中点，连接，则正三角形中有，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为原点，分别以向量，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，则，
设直线与平面所成的角为，
.
所以直线AM与平面PBC所成角的正弦值为.
34．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)如图所示，在直三棱柱中，，，，D是棱的中点.
(1)求证：平面BCD；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.利用空间向量的方法证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明；
（2）由（1）知是平面DBC的一个法向量，求出平面ABD的法向量，利用空间向量的方法即可求解.
【详解】（1）在直三棱柱中，，则，，，
故以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由题知，可得点，，，，，，
，，
则，，，
所以，，
所以，.
又，平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，
设是平面ABD的法向量，
则，即，
令，可得，，，
即平面ABD的一个法向量是.
由（1）知，是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为，
则.
又，∴.
结合三棱柱可知，二面角是锐角，
∴所求二面角的大小是.
35．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)如图，三棱柱中，底面是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，三棱柱的体积为8，求异面直线与所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用线面垂直和等腰三角形性质分别证得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角，
【详解】（1）底面，底面，
，
是的中点,
，
则平面，平面，
平面.
（2）因为，所以，
则三棱柱的体积，所以.
如图，以点为坐标原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设异面直线与所成角为，
则，
所以.
36．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)如图，在平面 中， ，在四棱锥 中， 平面 为 的中点， 在 上，且 .
(1)求证: ；
(2)求点到平面的距离 ；
(3)求平面与平面所成的二面角大小；
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由直线方向向量的共线即可证明；
（2）由点到平面距离的向量公式即可求解.
（3）先求得平面法向量，利用向量夹角的向量公式计算即可.
【详解】（1）由于平面，，建立如图所示的空间直角坐标系，

由，得，
则，，，，，
设点，
由，得，
解得，即，
所以，，
所以，又，所以.
（2）由（1）得，则，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，
，又，
所以点到平面的距离为.
（3）由（2）得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成的二面角大小为或.
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考点02空间向量基本定理
考点03空间向量的坐标表示
考点04 空间向量在立体几何中的应用
一、填空题
1．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角_______．
2．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·期中)已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________．
3．(24-25高二下·上海建平中学·期中)如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则_____.
4．(24-25高二下·上海青浦高级中学·期中)如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是_____个.
5．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·期中)、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________．
6．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)正方体的棱长为2，点是棱上一点，且，则符合要求的点的个数为_________.
7．(23-24高二下·上海华东师范大学第一附属中学·期中)如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则________.
二、解答题
8．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．

(1)求证：；
(2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明．
一、单选题
9．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
二、填空题
11．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则________.

12．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则_________．
13．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为_____.
14．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·期中)如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______．
三、解答题
15．(24-25高二下·上海建平中学·期中)在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量.
(1)取的中点，用向量，，来表示向量；
(2)求.
一、填空题
16．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_____.
17．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为__．
18．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知空间向量，，若，则实数的值为______．
19．已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示）
20．(24-25高二下·上海行知中学·期中)向量 且 ，则实数 _____.
21．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)正方体棱长为4，点满足，点满足，，则的最小值为________.
22．(24-25高二下·上海复旦中学·期中)，，则向量在向量上的投影向量是______．
23．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)已知，空间向量，，．若，，共面，则______．
24．(24-25高二下·上海宝山区上海大学附属中学·期中)如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）．
25．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 _____.
一、单选题
26．(24-25高二下·上海建平中学·期中)在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（ ）．
A． B． C． D．
27．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属中学宝山分校·期中)设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
二、填空题
28．(24-25高二下·上海行知中学·期中)如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点为线段上一动点，则异面直线与所成角的最小值为_____．(结果用反余弦表示)
三、解答题
29．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面是的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
30．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.

(1)求证：平面 ；
(2)求点到平面的距离.
31．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)如图，已知正方体的棱长为2，点为棱所在直线上一点，直线与所成角为 .
(1)求与平面所成角的正弦值；
(2)求二面角的余弦值.
32．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
33．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面平面，分别为棱的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
34．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)如图所示，在直三棱柱中，，，，D是棱的中点.
(1)求证：平面BCD；
(2)求二面角的大小.
35．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)如图，三棱柱中，底面是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，三棱柱的体积为8，求异面直线与所成角的大小.
36．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)如图，在平面 中， ，在四棱锥 中， 平面 为 的中点， 在 上，且 .
(1)求证: ；
(2)求点到平面的距离 ；
(3)求平面与平面所成的二面角大小；
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