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专题06 数列（3大考点24题）（答案版）
1．
2．
3．1
4．
5．10
6．4
7．(1)
(2)最小值；
8．2
9．2
10．或
11．
12．
13．6
14．
15．(1)
(2)8
(3)2012
16．(1)不是，因为，，∴，
即，不满足②，
因此与不是无穷互补数列.
(2)
17．C
18．/
19．
20．
21．
22．
23．
24．(1)由对正整数恒成立，
所以.
是以为首项，1为公差的等差数列，
，.
(2)，
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专题06 数列（3大考点24题）（解析版）
3大高频考点概览
考点01等差数列
考点02等比数列
考点03数列的概念与性质
一、填空题
1．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)记为等差数列的前n项和，若，，则该等差数列的公差是__________.
2．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知等差数列中，公差，且，则_____．
3．(24-25高二下·上海吴淞中学·期中)若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为______.
4．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知集合，，是由函数，的图像上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为______.
5．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____.
6．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值=_____.
二、解答题
7．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值.
一、填空题
8．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知等比数列的首项为1，公比为，则__________.
9．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)设为等比数列的前项和，已知，则公比_____
10．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)已知数列是等比数列，其前n项和为，若，则公比=______．
11．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)________.
12．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)若正数数列 是等比数列，则正数 _____.
13．(24-25高二下·上海奉贤中学·月考)首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为_____.
14．(24-25高二下·上海宝山中学·月考)已知是无穷等比数列，其前项和为，，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是________．
二、解答题
15．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知函数对任意实数、都满足，且
(1)当时，求的表达式；
(2)设，记数列的最小项的项数为，求 的值．
(3)设，数列的前项和为，若对恒成立，求最小正整数．
16．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)对于无穷数列与，记，若同时满足条件：①均为严格增数列；②且，则称与是无穷互补数列．
(1)若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；
(2)若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和.
一、单选题
17．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
18．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为__________.
19．(24-25高二下·上海进才中学·期中)设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为________．
20．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是__．
21．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____
22．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____.
23．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)已知数列的前项和为，则 _____.
三、解答题
24．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)在数列中，， .
(1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(2)若 ，记数列的前项和，求以及.
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专题06 数列（3大考点24题）（解析版）
3大高频考点概览
考点01等差数列
考点02等比数列
考点03数列的概念与性质
一、填空题
1．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)记为等差数列的前n项和，若，，则该等差数列的公差是__________.
【答案】
【分析】由等差数列的通项公式及前n项和公式，联立组成方程组计算即可.
【详解】是等差数列，设首项为，公差为，
又，，
，即，
解得：，
故答案为：.
2．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知等差数列中，公差，且，则_____．
【答案】
【分析】根据等差数列的性质求得，进而得公差，即可求得.
【详解】由题意，在等差数列中，，
由，解得或，
因为公差，所以，则，
所以公差，所以.
故答案为：10.
3．(24-25高二下·上海吴淞中学·期中)若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为______.
【答案】1
【分析】根据等差数列的性质，即可列式求解.
【详解】由条件可知，，则.
故答案为：1
4．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知集合，，是由函数，的图像上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为______.
【答案】
【分析】确定数列中最大值为，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数．
【详解】由已知条件得,
设，则，
因为函数，则，
所以 ，
若，则,
由，得或或，
对应点,
由，得，对应点,
因此产生集合的集合中，点一定存在，至少有一个，
所以集合的个数为.
若，则,
由，得或，
对应点,
由，得或，
对应点,
因此产生集合的集合中，
点一定存在，至少有一个，至少有一个，至少有一个，
所以集合的个数为.
综上，集合的个数为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数．
5．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____.
【答案】10
【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列性质可得，又，可判断数列为递减数列，且，得解.
【详解】由，得，
，又，
所以数列为递减数列，且，
，
所以当时，取得最大值.
故答案为：10.
6．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值=_____.
【答案】4
【分析】根据等差数列的定义和求和公式即可得到答案.
【详解】因为，则数列为公差为2的等差数列，
则，
则当时，取得最小值.
故答案为：.
二、解答题
7．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值.
【答案】(1)
(2)最小值；
【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组，再利用等差数列的通项公式即可；
（2）根据的正负性可判断的最小值
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则由题意可得，解得，
则，
故数列的通项公式为.
（2）当时，；当时，，
则当时，取最小值，最小值为.
一、填空题
8．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知等比数列的首项为1，公比为，则__________.
【答案】2
【分析】应用等比数列求和公式结合极限计算求解.
【详解】等比数列的首项为1，公比为，则.
故答案为：2.
9．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)设为等比数列的前项和，已知，则公比_____
【答案】2
【分析】将给定的两个等式相减求出公比，再验证得解.
【详解】由，得，则，
等比数列的公比，
所以.
故答案为：2
10．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)已知数列是等比数列，其前n项和为，若，则公比=______．
【答案】或
【分析】根据等比数列的求和公式即可求解.
【详解】由可知公比不为1，
当时，,符合题意；
当时，，故，
故答案为：或
11．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)________.
【答案】
【分析】根据等比求和公式即可求解.
【详解】，
故.
故答案为：
12．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)若正数数列 是等比数列，则正数 _____.
【答案】
【分析】根据等比中项定义，可求得的值.
【详解】由题，可得，又，
.
故答案为：4.
13．(24-25高二下·上海奉贤中学·月考)首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为_____.
【答案】6
【分析】先由等比数列的求和公式，得到前项和，对前项和求极限，即可得出结果.
【详解】因为无穷等比数列的首项为，公比为，
因此其前项和为，
所以的各项的和为.
故答案为：
14．(24-25高二下·上海宝山中学·月考)已知是无穷等比数列，其前项和为，，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】由等比数列求和公式，通过讨论的奇偶性，即可求解；
【详解】由，，可得，
所以，
所以
由，即得，
当为偶数时，，
即，
对于，易知当时，取得最小值，
所以，
当为奇数时，，
即
对于，易知当时，，
当时，，所以，
所以的取值范围是，
故答案为：
二、解答题
15．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知函数对任意实数、都满足，且
(1)当时，求的表达式；
(2)设，记数列的最小项的项数为，求 的值．
(3)设，数列的前项和为，若对恒成立，求最小正整数．
【答案】(1)
(2)8
(3)2012
【分析】（1）通过赋值，结合等比数列的定义，即可求得；
（2）根据（1）中所求，求得，判断其单调性，即可求得结果；
（3）根据（1）中所求，求得，结合等差数列前项和公式，求得，再利用裂项相消求和，根据其范围，即可求得.
【详解】（1）由题可知，，即 ，
故数列 是首项为，公比为的等比数列，则．
（2）由题可知，，又，
则=
当，严格递增；当，严格递减，
所以数列的最小项为，则.
（3）由题可知，，又，
故数列是首项为，公差为的等差数列，
则
所以
=
.
当时，为单调减函数，故为单调增函数，
又故要满足题意，只需，解得，故最小正整数的取值为2012．
16．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)对于无穷数列与，记，若同时满足条件：①均为严格增数列；②且，则称与是无穷互补数列．
(1)若，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；
(2)若且与是无穷互补数列，求数列的前512项的和.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据，利用无穷互补数列的定义判断即可.
（2）判断数列的前512项是的所有整数，除去之后剩下的整数，再根据等差数列与等比数列的求和公式求解.
【详解】（1）因为，，∴，
即，不满足②，
因此与不是无穷互补数列.
（2）因为，所以，
因为与是无穷互补数列，
所以数列的前512项是的所有整数除去之后剩下的整数，
所以数列的前512项的和为：
.
一、单选题
17．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于1；②为等差数列；③为严格减数列；④中存在小于的项.其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】令求出，进而令，求出，①正确；
假设为等差数列，由等差中项得到，代入验证，故②错误；
逻辑分析及反证可得，③④正确.
【详解】对于①，当时，，
因为数列的各项均为正数，所以，
当时，，
由数列的各项均为正数，解得：，①正确；
对于②，若为等差数列，则，解得：，
将代入，
故不是等差数列，②错误；
对于③，因为数列的各项均为正数，故必单调递增，而，
所以单调递减，③正确；
对于④，假设的所有项大于等于，取，则，，
则与已知矛盾，故④正确.
故选：C
二、填空题
18．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知数列中，，且（n为正整数），则的最小值为__________.
【答案】/
【分析】利用累加法得，进而得，利用单调性即可求解.
【详解】由题意有：，，
上式相加得，
所以，所以，
因为在单调递减，在单调递增，
所以，
故答案为：.
19．(24-25高二下·上海进才中学·期中)设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为________．
【答案】
【分析】设，，，，分析可得出的最大值为16，最小值为，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合中所有元素之和.
【详解】对于集合中的元素，不妨设，，，，
则
为偶数，
根据题意可知，，，，，
则，
不妨取，此时，取最小值，
当取最小值时，最大，且的最小值为，
则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数，
对取特殊值进行验证，列表如下：
因此，集合的所有元素之和为.
故答案为： .
20．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是__．
【答案】
【分析】根据题意，由数列的通项公式可得，即可得到的最大值是，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】由，可得或，即，
又函数的图象开口向下，对称轴为，
所以数列的前项为负数，，当时，数列中的项均为负数，
所以前项或前项和最大，且，
又，的最大值是，
又，所以，
故答案为：.
21．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为_____
【答案】
【分析】利用数列单调性定义列式求解得答案.
【详解】根据题意，可得，即，
，对，
又数列是单调递减数列，则，
.
故答案为：.
22．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知数列的前项和 ，设为数列的前项和，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围.
【详解】由，，
，
，
则，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，
所以当时，取最小值的取值范围是.
故答案为：.
23．(24-25高二下·上海顾村中学·期中)已知数列的前项和为，则 _____.
【答案】
【分析】由即可得答案.
【详解】因为数列的前项和为，
则.
故答案为：.
三、解答题
24．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)在数列中，， .
(1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(2)若 ，记数列的前项和，求以及.
【答案】(1)证明见解析，
(2)，
【分析】（1）利用给定的递推公式变形，结合等差数列定义判断得证.
（2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求解即得.
【详解】（1）由对正整数恒成立，
所以.
是以为首项，1为公差的等差数列，
，.
（2）由（1）知，，
.
.
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