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专题09 计数原理（7大考点70题）
7大高频考点概览
考点01乘法原理与加法原理
考点02排列
考点03组合数的计算
考点04 组合数的性质
考点05 计数原理在古典概率中的应用
考点06 杨辉三角形和二项式定理
考点07 二项式系数的性质
一、单选题
1．(24-25高二下·上海进才中学·期中)若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，则一共有（ ）个“十全十美数”．
A．36 B．42 C．48 D．54
【答案】D
【分析】利用分类加法原理，根据三位数的具体情况，由列举法，可得答案.
【详解】任取一个＂十全十美三位数＂，包含有一个0的三位数：，分别为：
含有相同数字的三位数：，分别为：424，
不含有0，并且没有相同数字的三位数，分别为：
共54个.
故选：D.
2．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（ ）
A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条
【答案】D
【分析】由题确定圆上的整点，然后由两点确定一条直线及过圆整点的切线条数可得答案.
【详解】因，，则公共点为：
，共12个.
若这样的直线为圆的切线，则满足题意的切线有12条；
若这样的直线不为圆的切线，则由两点确定一条直线，满足的直线有条.
则这样的直线有78 条.
故选：D
二、填空题
3．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知数列，，，各项均为正整数，满足，且数列中存在一项为3，则可能的数列个数为__________.
【答案】65
【分析】由题意记，则，设，则，对于给定的可唯一确定一组数列，从而可求出数列的个数.
【详解】记，则，
对确定的，数列各项间的大小顺序即确定，
设，则，
对于给定的可唯一确定一组数列，
由于且，这样的数列共个，
其中不符合题设条件的数列各项均为1或2，这样的数列有个，
综上所述，符合要求的数列共有个.
故答案为：65.
4．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有_______种.
【答案】/
【分析】利用分步计数乘法原理，即可求解.
【详解】分步计数乘法原理：每封信都有种投法，所以总共有，
故答案为：
三、解答题
5．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)如图，某密码锁共有12位拨盘，包含0到9共10个数字和“*、#”两个特殊符号，某人知道开锁密码按顺序为“6位数字+1位特殊符号（6位数字可重复）”.已知，当拨盘依次是907856#时，锁才能打开.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
* 0 #
(1)如果该人记不得密码所包含的6位数字和1位特殊符号，则一次打开锁的概率是多少？
(2)如果该人只记得密码的最后两位数字是56，则他一次打开锁的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算“6位数字+1位特殊符号”的样本空间中的基本事件总个数，再计算“试开一次就把锁打开”所包含的基本事件即可；
（2）计算“4位数字+1位特殊符号”的样本空间中的基本事件总个数，再计算“试开一次就把锁打开”所包含的基本事件即可.
【详解】（1）密码锁的每个拨盘上有从0到9共10个数字，即有10种可能取法，
开锁密码顺序为“6位数字+1位特殊符号”，
则样本空间中的基本事件的总个数是，
显然基本事件出现的可能性是相等的，
设事件表示为“试开一次就把锁打开”， 事件中的基本事件的只有一个，
故，
即试开一次就能把锁打开的概率是.
（2）因为该人只记得密码的最后两位数字是56，
则样本空间中的基本事件的总个数是，
显然基本事件出现的可能性是相等的，
设事件表示为“试开一次就把锁打开”， 事件中的基本事件的只有一个，
故，
即试开一次就能把锁打开的概率是.
一、单选题
6．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．72种 C．96种 D．144种
【答案】D
【分析】应用分类分步计数，结合排列数求不同的排法数.
【详解】当乙在第五道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种，
当乙在第六道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种，
所以共有144种不同排法.
故选：D
7．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)若m为正整数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据组合数的计算公式得解.
【详解】因为，
即9个连续正整数相乘，且最大值为，
故，
故选：D
二、填空题
8．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知6位同学站成一排，若甲同学不站在两端，则有__________种不同的排法.
【答案】
【分析】先排甲，再排其余5人.
【详解】甲同学不站在两端有种排法，
其余5人的全排列有种排法，
则共有种不同的排法.
故答案为：.
9．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)某班周四下午的四节课分别为政治、数学、外语和生物.则数学与外语不连排的课表排法共__________种.
【答案】12
【分析】利用不相邻问题插空法即可.
【详解】依题意，只需将数学与外语在政治与生物留下的三个空位进行插空，再考虑它们的顺序即可，故课表的排法有种.
故答案为：12.
10．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)2名男生和2名女生站成一列，其中两名女生相邻的排法共__________种.
【答案】12
【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可.
【详解】若两名女生相邻，我们把两名女生进行捆绑，看作一个整体，
这两名女生的排列方式共有种，
我们把这个整体与男生全排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理得两名女生相邻的排法共种.
故答案为：12
11．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)关于的不等式的解集是__________.
【答案】/
【分析】利用排列数的性质求解不等式即可.
【详解】由排列数的性质得，且，
当时，，不符合题意，当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
综上可得，原不等式的解集为.
故答案为：
12．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)若排列数，则________.
【答案】
【分析】根据排列数公式来求解的值.
【详解】排列数公式为，
这里
对比公式可看出.
故答案为：3.
13．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)某班3个男孩和2个女孩站成一排做游戏，这2个女孩不相邻的站法种数为__．
【答案】
【分析】采用插空法来求解.先排好个男孩，再在男孩形成的空位中插入个女孩，最后根据排列组合的乘法原理计算出所有的站法种数.
【详解】个男孩进行全排列，则个男孩的排列方法有种.
个男孩排好后会形成个空位（包括两端），从这个空位中选个空位安排个女孩.
则个女孩的排列方法有种.
根据排列组合的乘法原理： 所以个女孩不相邻的站法种数为（种）.
故答案为：72.
14．(24-25高二下·上海位育中学·期中)某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有_________种出场顺序．
【答案】
【分析】根据相邻问题捆绑，再把不相邻问题应用插空计算求解.
【详解】高三2个节目视作1个节目，与高二3个节目全排列，
再把高一的4个节目插入所成的5个空中的4个，所以共有 .
故答案为：.
15．(24-25高二下·上海行知中学·期中)某学校组织学生参加劳动实践活动， 其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动， 体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为_____． (用数字作答)
【答案】
【分析】先求农场主站在中间的方法数，以及利用捆绑法求农场主站在中间，且2名女生相邻的方法数，再利用间接法求得2名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数.
【详解】由题意，农场主站在中间有种方法，
农场主站在中间，且2名女生相邻有种方法，
所以2名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为.
故答案为：528.
16．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有________种．
【答案】144
【分析】利用捆绑法即可求得答案.
【详解】将3个舞蹈节目捆绑，再与其他3个节目全排列可得,
所以共有144种表演顺序，
故答案为：144.
17．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有_______种不同的站法.
【答案】24
【分析】根据题意，结合哪吒和敖丙的站法，分类讨论，确定太乙真人的站法，进而得到答案.
【详解】若哪吒和敖丙站第2、3位置，则太乙真人再第4位置，余下的两人站余下的位置，
此时有种站法；
同理，若哪吒和敖丙再第3、4位置，此时有种站法；
若哪吒和敖丙站在第1、2位置，则太乙真人再第3或第4位置，余下的两人站余下的位置，
此时有种站法；
同理，若哪吒和敖丙站第4、5位置，此时也有种站法，
综上可得，共有种站法.
故答案为：24.
三、解答题
18．(24-25高二下·上海建平中学·期中)（1）写出从这4个字母中，取出2个不同字母的所有排列；
（2）已知正整数满足，求正整数的值；
（3）有7名学生排成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？
【答案】（1） ；（2）；（3）．
【分析】（1）列出所有可能结果即可；
（2）根据排列数公式计算可得；
（3）分甲在排尾与甲不在排尾两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】（1）从这4个字母中，取出2个不同字母的排列有个，
分别为：；
（2）因为，
所以且，
解得；
（3）有7名学生排成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾，
若甲在排尾，则有种排法；
若甲不在排尾，则甲有种排法，乙有种排法，其余人全排列有种排法，
即有种排法；
综上可得一共有种不同的排法.
一、单选题
19．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A．没有空盒子的方法共有16种
B．有空盒子的方法共有256种
C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种
【答案】C
【分析】对于A，没有空盒即4个球4个盒子全排列即得；对于B，可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解； 对于C，恰有一个空盒，即另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，求解即得； 对于D，只需从四盒四球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即得．
【详解】对于选项A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，
相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，共有种方法，故A错误；
对于选项B，有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，
故共有种方法，故B错误；
对于选项C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，
而球共4个，则必有一个盒子放了2个球，
先将四盒中选一个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，
再对三个盒子全排共有种方法，故C正确；
对于选项D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种，
另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误.
故选：C.
二、填空题
20．(24-25高二下·上海建平中学·期中)若，则正整数_________．
【答案】
【分析】利用组合数计算公式求解即可.
【详解】由可得，
化简可得，
故答案为：.
21．(24-25高二下·上海实验学校·期中)上海市实验学校为了组织2025体育节，从高二年级挑选3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种.
【答案】
【分析】将4项工作分成3组，再分配即可.
【详解】第一步，将4项工作分成3组，由种，
第二步，将3组分配到3名志愿者，有种，
共种，
故答案为：
22．(24-25高二下·上海金山中学·期中)为进一步了解学生的学习和生活，某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有__________种
【答案】36
【分析】先从4名老师中选2名作为一组 ，将这三组对应三个学生家进行全排列，根据分步乘法计数原理，安排方式共有种.
【详解】某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动，
每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，选派方案为：1，1，2；不同的安排方式有：（种）．
故答案为：36
23．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)有9名学生站在一排拍毕业纪念照，其中甲要和乙站在一起，丙的个子最高站在中间，则不同排法有______种．
【答案】
【分析】先确定丙站在正中间，然后分甲乙都在丙的左手边和甲乙都在丙的右手边计数，最后利用分类加法计数原理求排法总数.
【详解】由题知，当丙站在正中间，其左右各有4个位置，
若甲乙两位同学站在一起且都在丙的左手边，则从剩下6个人中选2个人，连同甲乙一起站在丙的左手边，其余4个位置的人站法按全排列站在丙的右手侧，
有种，
同理，当甲乙两个人站在丙的右手侧时，有种
由分类加法计数原理知，共有种排法.
故答案为：
24．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)从6名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有______种安排方法（用数字作答）
【答案】
【分析】先从6人中选出4人，再将4人分成3组，其中一组2人，最后进行全排列，即可求解.
【详解】根据题意，先从6人中选出4人，再将4人分成3组，其中一组2人，最后进行全排列，
所以有一天安排两人，另两天各安排一人，共有种.
故答案为：.
25．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设为正整数，若，则______.
【答案】
【分析】利用排列数和组合数公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】由题意可知且，由可得，
整理可得，解得.
故答案为：.
26．(24-25高二下·上海西中学·期中)将3名志愿者分配到2个项目进行培训，若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有____________种．
【答案】6
【分析】先分为两组，再进行排列，得到答案.
【详解】先分为两组，再进行排列，故不同的分配方案为种.
故答案为：6
27．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知袋中有个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为______（用最简分数表示）.
【答案】/
【分析】利用超几何分布求概率，利用对钩函数单调性来求最大值即可.
【详解】根据题意可得：，
由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
而，所以比较
可知，所以，
故答案为：.
28．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)已知是大于等于3的正整数，且，则的值为________________．
【答案】5
【分析】根据组合数以及排列数公式求解，即得答案.
【详解】由得且，
即，即，
故答案为：5
三、解答题
29．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共8个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中不放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．
【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2、3、3；
(2)游戏不公平，理由见解析
【分析】（1）利用古典概型公式通过方程组思想求解即可；
（2）先利用古典概型公式计算甲胜的概率，如果概率不等于，那就是不公平的.
【详解】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得，解得．
盒中红球,黄球,蓝球的个数分别是；
（2）记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，
则，所以,
所以此游戏不公平．
一、单选题
30．(24-25高二下·上海建平中学·期中)根据组合数的性质可知，（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由,利用组合数性质计算即可.
【详解】,
故选:C.
二、填空题
31．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标，则指标个数的不同分配方法共有__________种.
【答案】36
【分析】应用隔板法结合组合数公式计算求解.
【详解】因为个评优指标没有差别，把他们排成一排．相邻名额之间形成个空隙．
在个空档中选个位置插个隔板，把评优指标分成份，对应地分给3个班级，每一种隔板方法对应一种分法，则有有种分法．
故答案为：36.
32．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)关于n的方程的解为__________．
【答案】6
【分析】根据组合数的计算公式列出方程，再通过试数法求解三次方程即可．
【详解】，
由题知，，
当，，
当，，
当，，
当，，所以，
故答案为：6．
33．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)若，则_____.
【答案】3或4
【分析】利用组合数的性质即可求解.
【详解】由有或，所以或.
故答案为：3或4.
34．(24-25高二下·上海位育中学·期中)若，则的值为_________．
【答案】
【分析】根据组合数的性质列方程求解即可得的值.
【详解】因为，所以，
故，所以.
故答案为：.
35．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)若 为正整数，则不等式 的解集是_____
【答案】
【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得.
【详解】 化为，即.解得，因为，则.故原不等式的解集为.
故答案为：.
36．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)若，则的值为______．
【答案】1或4
【分析】利用组合数性质即可.
【详解】由题意可得或，得或，
经检验，或满足题意.
故答案为：1或4
37．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)若，则__．
【答案】
【分析】根据组合数的性质与计算公式求解即可
【详解】已知，由组合数公式可得.
分别讨论的取值，
当时，，所以.
当时，，所以.
当时，，满足条件.
当时，，满足条件.
当时，，所以.
当时，，所以.
故答案为：或.
38．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有__________种（用数字作答）
【答案】240
【分析】先将5名篮球新秀分为4组，再利用排列知识进行求解
【详解】将5名篮球新秀分为4组，再和4支篮球队进行全排列，
故有种分配方法.
故答案为：240
一、单选题
39．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)“冰雪同梦，亚洲同心”，2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，彰显了中国冰雪运动的蓬勃发展和举办大型赛事的实力.在运动会的某比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、短道速滑（○）、速度滑冰（○）、花样滑冰（○）这5个项目中随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“○”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出恰有1项当天会决出奖牌、2项都不会当天决出奖牌、5个项目中随机选择2个项目的种类数，再利用古典概型求概率即可.
【详解】恰有1项当天会决出奖牌有种选择，2项都不会当天决出奖牌有种选择，
5个项目中随机选择2个项目有种选择，
则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为.
故选：D
二、填空题
40．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知袋中有大小相同的黑球和白球共9个.若从中任取2个，所得都为白球的概率是，则袋中白球个数为__________.
【答案】
【分析】设袋中白球个数为，利用古典概型概率公式列方程求解即可.
【详解】设袋中白球个数为，
试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有种结果
而满足条件的事件是从个球中取2个，共有种结果
则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，
由题意知，即，
化简得.
解得或(舍去)
故袋中原有白球的个数为.
故答案为：.
41．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)将甲、乙、丙、丁四名学生分到2个不同的班，每个班至少分到一名学生，则甲、乙两名学生不能分到同一个班的概率为__．
【答案】
【分析】首先求出基本事件总数，再求出甲、乙两名学生不能分到同一个班的事件数，最后由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】将甲、乙、丙、丁四名学生分到2个不同的班，每个班至少分到一名学生，
则不同的分配方法有种，
其中甲、乙两名学生不能分到同一个班的有种，
所以甲、乙两名学生不能分到同一个班的概率.
故答案为：
42．(24-25高二下·上海建平中学·期中)某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有_________种．
【答案】
【分析】易知选出代表中都有男女生的情况有：1男2女或2男1女，即可求解.
【详解】由题意知，选出代表中都有男女生的情况有：1男2女或2男1女，
共有种选法.
故答案为：9
43．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)为了增强法治观念，甲、乙两位老师在，，，，共5所学校中各自选1所学校开展普法讲座．在甲、乙分别选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为______．
【答案】/
【分析】应用排列、组合数求出甲、乙分别选择了2所不同的学校，恰有一位老师选择学校开展讲座的选法数，再应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】由题意，甲、乙分别选择了2所不同的学校有种，
恰有一位老师选择学校开展讲座，甲或乙选学校有种，另一位老师在其它4所学校中任选一种有种，
所以在甲、乙分别选2所不同的学校条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为.
故答案为：
44．(24-25高二下·上海新川中学·期中)第33届夏季奥运会在法国巴黎举办，这届奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目．现有三个场地分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有__________种．
【答案】390
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合分组分配问题列式求解.
【详解】三个场地分别承担个项目，不同安排方法种数为；
三个场地分别承担个项目，不同安排方法种数为；
三个场地分别承担个项目，不同安排方法种数为，
综上，不同的安排方法共有（种）.
故答案为：390
45．(24-25高二下·上海延安中学·期中)从1~6的6个数字中任取两个不同的数，这两个数字和为偶数的概率为___________.
【答案】/0.4
【分析】根据给定条件，利用古典概率，结合组合计数问题列式计算.
【详解】从1~6的6个数字中任取两个不同的数，有个不同结果，
其中取出的两个数字和为偶数的事件有个结果，
所以这两个数字和为偶数的概率为.
故答案为：
三、解答题
46．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中摸出2个球，摸完后放回，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.
(1)求顾客摸到均为红球的概率；
(2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率.
【答案】(1)
(2)、、.
【分析】（1）利用组合知识得到；
（2）分别计算出四种情况的概率，比较后得到顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率.
【详解】（1）由题意得；
（2）由题意知，，，
，，
由于，因此顾客分别获一、二、三等奖的概率分别为、、.
47．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)现有5名男生4名女生站成一排，求：
(1)女生都不相邻有多少种排法；
(2)男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序），有多少种排法；
(3)男甲不在首位，男乙不在末位的概率．
【答案】(1)43200
(2)60480
(3)
【分析】（1）利用不相邻问题插空法列式求解.
（2）利用写序问题倍缩法求解.
（3）利用对立事件，结合古典概率求解.
【详解】（1）先排5名男生，再在每个排列形成的6个间隙中插入4个女生，
所以女生都不相邻的排法种数为.
（2）9人的全排列种数为，其中男生甲、乙、丙的排列种数为，
而男生甲、乙、丙排序一定，即男生甲、乙、丙的排列只有1种，
所以所求排列种数为.
（3）9人的全排列种数为，其中男甲在首位的排列种数为，男乙在末位的排列种数为，
男甲在首位且男乙在末位的排列种数为，
所以男甲不在首位，男乙不在末位的概率为.
一、填空题
48．(24-25高二下·上海行知中学·期中) 的二项式展开式中，常数项为_____．
【答案】
【分析】写出通项公式，令的指数为0，解得，代入通项公式即可求常数项.
【详解】由题意，通项公式为，
令，解得，则，即常数项为70.
故答案为：70.
49．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____.
【答案】10
【分析】由题可得，然后由二项展开式通项公式可得答案.
【详解】因二项式 的展开式共有 6 项，则，
则展开式第项满足：，令，则系数为.
故答案为：
二、解答题
50．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知为非零实数，考虑的二项展开式.
(1)若，且展开式中的系数是的系数的7倍，求的值；
(2)若，且展开式中的系数是的系数与的系数的等差中项，求的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用二项式定理得到的通项，进而求出各项系数，再结合题意建立方程，合理取舍即可得到的值.
（2）利用二项式定理得到的通项，进而求出各项系数，再结合等差中项的性质建立方程，即可得到的值.
【详解】（1）当时，，
利用二项式定理对展开，通项公式为，
令，解得，则的系数为，
令，解得，则的系数为，
因为展开式中的系数是的系数的7倍，所以，
即，解得或，
由，得.
（2）当时，，
利用二项式定理对展开，通项公式为，
令，解得，则的系数为，
令，解得，则的系数为，
令，解得，则的系数为，
因为展开式中的系数是的系数与的系数的等差中项，
所以，化简得，
因为为非零实数，所以，解得或.
51．(24-25高二下·上海位育中学·期中)在的二项展开式中
(1)求第5项的系数；
(2)求常数项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得展开式的通项为，进而求得展开式的第5项的系数；
（2）由（1）展开式的通项，令，即可求得常数项.
【详解】（1）由二项式展开式的通项为：，
所以展开式的第5项的系数为.
（2）由（1）展开式的通项为，
令，可得常数项为.
一、单选题
52．(24-25高二下·上海育才中学·期中)若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出的展开式的通项，令的次数等于，求出对应的值，再代入系数结合题意即可求得实数的值.
【详解】二项式的展开式的通项为,
令，解得，
所以，解得
故选：D.
二、填空题
53．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)若，则________．
【答案】
【分析】令可得，令可得，再由平方差公式计算可得.
【详解】因为，
令可得，
令可得，
所以
.
故答案为：
54．(24-25高二下·上海实验学校·期中)在的展开式中，的系数是 _________（结果用数字表示）.
【答案】
【分析】由中和的系数即可求解.
【详解】中的系数为，的系数为，
所以的展开式中，的系数是，
故答案为：
55．(24-25高二下·上海位育中学·期中)若，则_________．
【答案】
【分析】根据二项式的展开式分别令，即可得所求.
【详解】因为，
所以令可得，
令可得，
所以.
故答案为：.
56．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)若组合数，则的最大值为：__________．
【答案】11
【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出的范围即可.
【详解】由及二项式系数的增减性，得，解得，而，
所以的最大值为11.
故答案为：11
57．(24-25高二下·上海进才中学·期中)若，，则被7除所得的余数为________．
【答案】
【分析】应用赋值法计算系数和，再应用二项式化简计算余数即可.
【详解】若，
令，，
只有不是7的倍数，则被7除所得的余数为6.
故答案为：6.
58．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)二项式的展开式中所有项的系数和为______．
【答案】
【分析】令即可得到所有项的系数和.
【详解】因为，所有项的系数和即为.
令，则.
故答案为：.
59．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)若，则的值为__．
【答案】
【分析】令可得，令可得，即可得解.
【详解】因为，
令可得，
令可得，
所以.
故答案为：
60．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)在的展开式中，常数项为_______.
【答案】
【分析】先求出二项展开式的通项公式，然后由的次数为零求出，从而可求出常数项.
【详解】，
令，
所以.
故答案为：
61．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)在的展开式中，不含的所有项的系数和为______（用数值作答）.
【答案】
【分析】先将问题转化为各项的系数之和，再通过赋值法即可得到答案.
【详解】二项式，
其展开式的通项为，
令，则，
则不含的项的系数和等于的各项系数之和，
令，则.
故答案为：.
62．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设为正整数，若的展开式中含有常数项，则的最小值为______.
【答案】
【分析】利用展开式的通项公式来进行求解即可.
【详解】由展开式的通项公式得：，
由展开式中含有常数项可得：，
所以的最小值为，此时，常数项为，
故答案为：.
63．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知的二项展开式中系数最大的项为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用二项式系数的最大性质求解.
【详解】展开式某项的系数即为该项的二项式系数，所以所求系数最大的项为.
故答案为：
64．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)二项式展开式中的常数项是______.
【答案】
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，得到，求出常数项即可.
【详解】二项式的展开式通项为，
令，则，
故常数项为.
故答案为：.
三、解答题
65．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)已知在的展开式中，
(1)求常数项；
(2)求二项式系数最大的项．
【答案】(1)-84
(2)和
【分析】（1）根据二项式展开式的通项特征，即可求解，
（2）根据二项式系数的单调性，即可求解.
【详解】（1），
令，∴常数项
（2），
∴二项式系数最大的项和
66．(24-25高二下·上海宜川中学·期中)设．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求，，…，中的最大值．
【答案】(1)；
(2)6561；
(3)3075072.
【分析】（1）利用赋值法列式求出值.
（2）由（1）结合赋值法求出目标值.
（3）把代入，求出，再作商结合组合数计算求出最大值.
【详解】（1）取，得，因此，
所以.
（2）当时，由（1）知，
取，得，所以
.
（3）当时，，，
当时，，解得，
于是，
所以，，…，中的最大值为.
67．(24-25高二下·上海新川中学·期中)已知二项式的展开式中第6项和第7项的系数相等．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，列式求出幂指数，再利用二项式系数的性质求解.
（2）利用赋值法求出常数项及所有项系数和即可.
【详解】（1）依题意，，即，解得，
所以的展开式中二项式系数最大的项是第5项：.
（2）由（1）知，，
取，得，取，得，
所以.
68．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知二项式的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
(1)求所有项系数和与二项式系数和；
(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
【答案】(1)所有项系数和为；二项式系数和为
(2)
【分析】（1）根据题意及二项展开式的通项公式先求出，赋值法令求出所有项系数和，由求出二项式系数和；
（2）由通项公式求出有理项项数，进而利用插空法与古典概型即可求解.
【详解】（1）展开式的通项公式为：，.
∵第4项的系数与倒数第4项的系数之比为，
∴，解得.
∴所有项系数和为；
二项式系数和为.
（2）由（1）知展开式的通项公式为，.
展开式中一共有8项，当时为有理项，
所以由插空法得有理项不相邻的概率为：.
69．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)设，求下列各式的值；
(1)求，并求出第几项二项式系数最大
(2).
【答案】(1)，第51项
(2)1
【分析】（1）将赋值为，求得常数项，由二项式系数的单调性，可得答案；
（2）利用赋值法，表示各项系数之和与奇偶项，结合平方差公式，可得答案.
【详解】（1）令，则，最大，即第51项二项式系数最大.
（2）令，则，
令，则，
原式
.
70．(24-25高二下·上海西中学·期中)设．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
【答案】(1)
(2)6561
【分析】（1）令，得，根据二项展开式的通项公式可得.
（2）令，得，令，得，根据平方差公式展开求解即可
【详解】（1）令，
得，解得，
所以
（2）当时，
令，得，
令，得，
即，
所以
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专题09 计数原理（7大考点70题）
7大高频考点概览
考点01乘法原理与加法原理
考点02排列
考点03组合数的计算
考点04 组合数的性质
考点05 计数原理在古典概率中的应用
考点06 杨辉三角形和二项式定理
考点07 二项式系数的性质
一、单选题
1．(24-25高二下·上海进才中学·期中)若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，则一共有（ ）个“十全十美数”．
A．36 B．42 C．48 D．54
2．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（ ）
A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条
二、填空题
3．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知数列，，，各项均为正整数，满足，且数列中存在一项为3，则可能的数列个数为__________.
4．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有_______种.
三、解答题
5．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)如图，某密码锁共有12位拨盘，包含0到9共10个数字和“*、#”两个特殊符号，某人知道开锁密码按顺序为“6位数字+1位特殊符号（6位数字可重复）”.已知，当拨盘依次是907856#时，锁才能打开.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
* 0 #
(1)如果该人记不得密码所包含的6位数字和1位特殊符号，则一次打开锁的概率是多少？
(2)如果该人只记得密码的最后两位数字是56，则他一次打开锁的概率是多少？
一、单选题
6．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．72种 C．96种 D．144种
7．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)若m为正整数，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知6位同学站成一排，若甲同学不站在两端，则有__________种不同的排法.
9．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)某班周四下午的四节课分别为政治、数学、外语和生物.则数学与外语不连排的课表排法共__________种.
10．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)2名男生和2名女生站成一列，其中两名女生相邻的排法共__________种.
11．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)关于的不等式的解集是__________.
12．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)若排列数，则________.
13．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)某班3个男孩和2个女孩站成一排做游戏，这2个女孩不相邻的站法种数为__．
14．(24-25高二下·上海位育中学·期中)某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有_________种出场顺序．
15．(24-25高二下·上海行知中学·期中)某学校组织学生参加劳动实践活动， 其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动， 体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为_____． (用数字作答)
16．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有________种．
17．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有_______种不同的站法.
三、解答题
18．(24-25高二下·上海建平中学·期中)（1）写出从这4个字母中，取出2个不同字母的所有排列；
（2）已知正整数满足，求正整数的值；
（3）有7名学生排成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？
一、单选题
19．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A．没有空盒子的方法共有16种
B．有空盒子的方法共有256种
C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种
二、填空题
20．(24-25高二下·上海建平中学·期中)若，则正整数_________．
21．(24-25高二下·上海实验学校·期中)上海市实验学校为了组织2025体育节，从高二年级挑选3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种.
22．(24-25高二下·上海金山中学·期中)为进一步了解学生的学习和生活，某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有__________种
23．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)有9名学生站在一排拍毕业纪念照，其中甲要和乙站在一起，丙的个子最高站在中间，则不同排法有______种．
24．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)从6名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有______种安排方法（用数字作答）
25．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设为正整数，若，则______.
26．(24-25高二下·上海西中学·期中)将3名志愿者分配到2个项目进行培训，若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有____________种．
27．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知袋中有个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为______（用最简分数表示）.
28．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)已知是大于等于3的正整数，且，则的值为________________．
三、解答题
29．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共8个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中不放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．
一、单选题
30．(24-25高二下·上海建平中学·期中)根据组合数的性质可知，（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
31．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标，则指标个数的不同分配方法共有__________种.
32．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)关于n的方程的解为__________．
33．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)若，则_____.
34．(24-25高二下·上海位育中学·期中)若，则的值为_________．
35．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)若 为正整数，则不等式 的解集是_____
36．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)若，则的值为______．
37．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)若，则__．
38．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有__________种（用数字作答）
一、单选题
39．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)“冰雪同梦，亚洲同心”，2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，彰显了中国冰雪运动的蓬勃发展和举办大型赛事的实力.在运动会的某比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、短道速滑（○）、速度滑冰（○）、花样滑冰（○）这5个项目中随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“○”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
40．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知袋中有大小相同的黑球和白球共9个.若从中任取2个，所得都为白球的概率是，则袋中白球个数为__________.
41．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)将甲、乙、丙、丁四名学生分到2个不同的班，每个班至少分到一名学生，则甲、乙两名学生不能分到同一个班的概率为__．
42．(24-25高二下·上海建平中学·期中)某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有_________种．
43．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)为了增强法治观念，甲、乙两位老师在，，，，共5所学校中各自选1所学校开展普法讲座．在甲、乙分别选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为______．
44．(24-25高二下·上海新川中学·期中)第33届夏季奥运会在法国巴黎举办，这届奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目．现有三个场地分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有__________种．
45．(24-25高二下·上海延安中学·期中)从1~6的6个数字中任取两个不同的数，这两个数字和为偶数的概率为___________.
三、解答题
46．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中摸出2个球，摸完后放回，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.
(1)求顾客摸到均为红球的概率；
(2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率.
47．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)现有5名男生4名女生站成一排，求：
(1)女生都不相邻有多少种排法；
(2)男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序），有多少种排法；
(3)男甲不在首位，男乙不在末位的概率．
一、填空题
48．(24-25高二下·上海行知中学·期中) 的二项式展开式中，常数项为_____．
49．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 的项的系数是_____.
二、解答题
50．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知为非零实数，考虑的二项展开式.
(1)若，且展开式中的系数是的系数的7倍，求的值；
(2)若，且展开式中的系数是的系数与的系数的等差中项，求的值.
51．(24-25高二下·上海位育中学·期中)在的二项展开式中
(1)求第5项的系数；
(2)求常数项．
一、单选题
52．(24-25高二下·上海育才中学·期中)若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
53．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)若，则________．
54．(24-25高二下·上海实验学校·期中)在的展开式中，的系数是 _________（结果用数字表示）.
55．(24-25高二下·上海位育中学·期中)若，则_________．
56．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)若组合数，则的最大值为：__________．
57．(24-25高二下·上海进才中学·期中)若，，则被7除所得的余数为________．
58．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)二项式的展开式中所有项的系数和为______．
59．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)若，则的值为__．
60．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)在的展开式中，常数项为_______.
61．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)在的展开式中，不含的所有项的系数和为______（用数值作答）.
62．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设为正整数，若的展开式中含有常数项，则的最小值为______.
63．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知的二项展开式中系数最大的项为______．
64．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)二项式展开式中的常数项是______.
三、解答题
65．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)已知在的展开式中，
(1)求常数项；
(2)求二项式系数最大的项．
66．(24-25高二下·上海宜川中学·期中)设．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求，，…，中的最大值．
67．(24-25高二下·上海新川中学·期中)已知二项式的展开式中第6项和第7项的系数相等．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)若，求的值．
68．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知二项式的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
(1)求所有项系数和与二项式系数和；
(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
69．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)设，求下列各式的值；
(1)求，并求出第几项二项式系数最大
(2).
70．(24-25高二下·上海西中学·期中)设．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
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专题09 计数原理（7大考点70题）（答案版）
1．D
2．D
3．65
4．/
5．(1)
(2)
6．D
7．D
8．
9．12
10．12
11．/
12．
13．
14．
15．
16．144
17．24
18．（1） ；（2）；（3）．
19．C
20．
21．
22．36
23．
24．
25．
26．6
27．/
28．5
29．(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2、3、3；
(2)游戏不公平
记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，
则，所以,
所以此游戏不公平．
30．C
31．36
32．6
33．3或4
34．
35．
36．1或4
37．
38．240
39．D
40．
41．
42．
43．/
44．390
45．/0.4
46．(1)
(2)、、.
47．(1)43200
(2)60480
(3)
48．
49．10
50．(1)
(2)或
51．(1)
(2)
52．D
53．
54．
55．
56．11
57．
58．
59．
60．
61．
62．
63．
64．
65．(1)-84
(2)和
66．(1)；
(2)6561；
(3)3075072.
67．(1)；
(2).
68．(1)所有项系数和为；二项式系数和为
(2)
69．(1)，第51项
(2)1
70．(1)
(2)6561
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