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专题07 导数的概念、意义及其运算（5大考点46题）
5大高频考点概览
考点01导数的概念
考点02导数的几何意义
考点03基本初等函数的导数
考点04 导数的四则运算
考点05 简单复合函数的导数
一、单选题
1．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)若函数在处可导，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)设函数在点处可导，且，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．0 D．
3．(22-23高二下·上海七宝中学·期中)若函数在处导数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高二下·上海宜川中学·)某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（ ）
A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量
C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率
二、填空题
5．(24-25高二下·上海向明中学·期中)设函数的导函数为，若，则_____．
6．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)函数 在 到 之间的平均变化率是_____. (用含 的代数式表示)
7．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)已知函数在处可导，且，则________.
8．(24-25高二下·上海松江一中·月考)若函数的导函数存在，且，则_________.
一、单选题
9．(22-23高二下·上海复旦大学附属中学·期中)设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（ ）
①l与曲线可能没有交点 ； ②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
10．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为__________.
11．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是______．
12．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)如图所示，已知直线l是曲线在点处的切线，则__________.
13．(24-25高二下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论：
①在时高度关于时间的瞬时变化率为0；
②曲线在附近比在附近下降得慢；
③曲线在附近比在附近上升得快；
其中所有正确结论的序号是_________．
14．(24-25高二下·上海位育中学·期中)已知函数图像在点处的切线方程是，则_________．
15．(24-25高二下·上海西中学·期中)已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________．
一、单选题
16．(24-25高二下·上海高境第一中学·期中)下列命题正确的是 （ ）
A．平均变化率: 就是图象上两点 连线的斜率
B．函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越 “平缓”
C．若某质点运动的位移 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 之间的函数关系为 ，则该质点在 秒时的瞬时速度为 米/秒
D．已知函数 在 上可导，若 ，则
二、填空题
17．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)__________.
18．(24-25高二下·上海位育中学·期中)设函数，其中，则_________．
19．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)曲线，则______．
20．(24-25高二下·上海西中学·期中)某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系满足，其中，则该质点在时的瞬时速度为____________m/s．
一、单选题
21．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知泰勒展开式：，如果使用泰勒展开式求的值，下列最接近的是（ ）
A． B． C． D．
22．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)某正方形的边长以米/秒的速度在减小，则当正方形的周长为40米时，其面积的变化率为（ ）
A．平方米/秒 B．平方米/秒
C．平方米/秒 D．平方米/秒
23．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 （ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
24．(24-25高二下·上海建平中学·期中)曲线在处的切线斜率为_________．
25．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_____.
26．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)已知函数，若，则常数的值为：__________．
27．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________．
28．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知 ，函数在点处切线的斜率是4，则实数_____．
29．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数的导函数为，且满足关系式，则______．
30．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)曲线在处的切线方程为________．
31．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)已知函数和满足，函数满足，则______.
32．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设，则______.
33．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)已知函数，则的导函敎_____________.
三、解答题
34．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知函数．
(1)求在区间上的平均变化率；
(2)求曲线在处的切线．
一、单选题
35．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)假设聪明的你已掌握以下结论：函数图像关于中心对称的充要条件是对定义域内的任意恒成立.请你解决下面问题：已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论中正确的个数为（ ）.
①的图象关于点对称； ②的图象关于点对称；
③； ④
A． B． C． D．
36．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
37．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)下列求导运算中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
38．(24-25高二下·上海向明中学·期中)若函数的导函数为，则_____．
39．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数，则______．
40．(24-25高二下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)设函数，则______．
41．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)函数 在 处的切线方程为_____
42．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知函数，则_____.
43．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)已知函数 ，则 _____.
44．(24-25高二下·上海吴淞中学·期中)已知函数，则______.
三、解答题
45．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和.
(1)；
(2).
46．(24-25高二下·上海进才中学·期中)已知．
(1)求函数的单调减区间；
(2)求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值．
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专题07 导数的概念、意义及其运算
（5大考点46题）（答案版）
1．D
2．B
3．D
4．D
5．4
6．
7．
8．4
9．B
10．
11．/
12．
13．①③
14．
15．
16．A
17．/
18．/
19．/
20．7
21．B
22．C
23．B
24．
25．
26．
27．
28．
29．
30．
31．/
32．
33．
34．(1)
(2)
35．C
36．D
37．B
38．/
39．或-0.5
40．
41．
42．
43．
44．1
45．(1)
(2)
46．(1)
(2)
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专题07 导数的概念、意义及其运算（5大考点46题）
5大高频考点概览
考点01导数的概念
考点02导数的几何意义
考点03基本初等函数的导数
考点04 导数的四则运算
考点05 简单复合函数的导数
一、单选题
1．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)若函数在处可导，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得.
【详解】因为，所以，
又函数在处可导，
所以.
故选：D
2．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)设函数在点处可导，且，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．0 D．
【答案】B
【分析】由导数的概念求解即可.
【详解】由.
故选：B.
3．(22-23高二下·上海七宝中学·期中)若函数在处导数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的定义即可直接求解.
【详解】
,
故选：D.
4．(24-25高二下·上海宜川中学·)某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（ ）
A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量
C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义即可得解.
【详解】由导数的几何意义可知，的实际意义是3秒时水管流水量的瞬时变化率.
故选：D.
二、填空题
5．(24-25高二下·上海向明中学·期中)设函数的导函数为，若，则_____．
【答案】4
【分析】利用导数的定义求解即可.
【详解】由题设，
所以.
故答案为：4.
6．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)函数 在 到 之间的平均变化率是_____. (用含 的代数式表示)
【答案】
【分析】由平均变化率的概念即可求解.
【详解】函数 在 到 之间的平均变化率是
.
故答案为：.
7．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)已知函数在处可导，且，则________.
【答案】
【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算可得.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：
8．(24-25高二下·上海松江一中·月考)若函数的导函数存在，且，则_________.
【答案】4
【分析】根据导数的概念可得答案.
【详解】函数的导函数存在，且.
即.
故答案为：4
一、单选题
9．(22-23高二下·上海复旦大学附属中学·期中)设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（ ）
①l与曲线可能没有交点 ； ②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据切线的定义，结合直线与曲线的位置关系，即可判断.
【详解】①因为直线为曲线在点处的切线，所以至少有交点，故①错误；
②有可能切线与曲线有其他的交点，故②错误；
③切线与曲线有可能除切点外，还有1个交点，即仅有两个交点，故③错误；
④切线与曲线有可能有无穷多个交点，比如与，故④正确.
故选：B
二、填空题
10．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为__________.
【答案】
【分析】根据导数的定义和几何意义即可求解.
【详解】根据导数的定义可知，所以，
根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率为.
故答案为：
11．(24-25高二下·上海莘庄中学·期末)设函数图像上任意一点处的切线为，总存在函数图像上一点处的切线，使得，则实数的最小值是______．
【答案】/
【分析】求出两个函数的导函数的值域后结合包含关系可求实数的最小值.
【详解】由题设有， ，
故，，
故，
因为函数图像上任意一点处的切线为，
总存在函数图像上一点处的切线，使得，
故为的子集，
所以，解得，故实数的最小值是，
故答案为：.
12．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)如图所示，已知直线l是曲线在点处的切线，则__________.
【答案】
【分析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得.
【详解】由图象可知直线过，
所以直线的斜率为，
所以.
故答案为：
13．(24-25高二下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论：
①在时高度关于时间的瞬时变化率为0；
②曲线在附近比在附近下降得慢；
③曲线在附近比在附近上升得快；
其中所有正确结论的序号是_________．
【答案】①③
【分析】对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即；对于②，比较，的大小即可；对于③，比较，的大小即可.
【详解】因为，所以，
对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，
所以切线的斜率为0，即，
所以在时高度关于时间的瞬时变化率为，故①正确；
对于②，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率，
又，所以，
所以，
即曲线在附近比在附近下降得快，故②错误；
对于③，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率，
又，所以，
所以，
即曲线在附近比在附近上升得快，故③正确；
所以所有正确结论的序号是①③.
故答案为：①③.
14．(24-25高二下·上海位育中学·期中)已知函数图像在点处的切线方程是，则_________．
【答案】
【分析】结合导数的定义求解即可.
【详解】因为函数图像在点处的切线方程是，
则函数图像在点处的切线的斜率为
故答案为：.
15．(24-25高二下·上海西中学·期中)已知函数，则曲线在点处的切线方程为____________．
【答案】
【分析】求得，得到，进而求得切线的方程，得到答案.
【详解】由函数，可得，则，
即曲线在点处的切线的斜率为，切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：.
一、单选题
16．(24-25高二下·上海高境第一中学·期中)下列命题正确的是 （ ）
A．平均变化率: 就是图象上两点 连线的斜率
B．函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越 “平缓”
C．若某质点运动的位移 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 之间的函数关系为 ，则该质点在 秒时的瞬时速度为 米/秒
D．已知函数 在 上可导，若 ，则
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，物理意义，定义，即可判断选项.
【详解】A.根据平均变化率的定义，对于函数，在区间上的平均变化率，从几何意义上讲，就是函数图象上两点连线的斜率，故A正确；
B.导数的几何意义是函数在某一点处的切线的斜率，反映函数的变化快慢，应该是函数的导数的绝对值越小，说明函数在某点处切线斜率的绝对值越小，即函数的变化越慢，函数的图象就越平缓，故B错误；
C.，，所以该质点在秒时的瞬时速度为米/秒，故C错误；
D.已知函数在上可导，若，
即，所以，故D错误.
故选：A
二、填空题
17．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)__________.
【答案】/
【分析】根据导数的定义求极限即可.
【详解】由.
故答案为：
18．(24-25高二下·上海位育中学·期中)设函数，其中，则_________．
【答案】/
【分析】由基本初等函数的导数公式计算即可得答案.
【详解】因为，所以，则.
故答案为：.
19．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)曲线，则______．
【答案】/
【分析】根据导数的定义求解即可.
【详解】由导数的定义可知：，
又，∴，.
故答案为：.
20．(24-25高二下·上海西中学·期中)某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系满足，其中，则该质点在时的瞬时速度为____________m/s．
【答案】7
【分析】根据题意，求导可得，代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，则，
即质点在时的瞬时速度为m/s．
故答案为：
一、单选题
21．(24-25高二下·上海同济大学第一附属中学·期中)已知泰勒展开式：，如果使用泰勒展开式求的值，下列最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题中的泰勒公式，进行求导数，可得，令，结合诱导公式，进行近似计算，可得答案.
【详解】因为,
则,
当时，则有,
又 ,
则
.
故选∶B
22．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)某正方形的边长以米/秒的速度在减小，则当正方形的周长为40米时，其面积的变化率为（ ）
A．平方米/秒 B．平方米/秒
C．平方米/秒 D．平方米/秒
【答案】C
【分析】将给定的时刻设为初始时刻，确定，再利用正方形面积公式确定，最后结合导数的定义求解即可.
【详解】设初始正方形的周长为40米，则边长为10米，
且设现在边长为，运动时间为，得到，
由正方形面积公式得面积为，
则，而初始时刻，易得，
综上可得当正方形的周长为40米时，其面积的变化率为平方米/秒，故C正确.
故选：C
23．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义求出该切线的斜率，结合线线的位置关系建立关于的方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，，
所以该切线的斜率为，
又该切线与直线垂直，
所以，解得.
故选：B
二、填空题
24．(24-25高二下·上海建平中学·期中)曲线在处的切线斜率为_________．
【答案】
【分析】求导，然后分别计算在处的函数值和导数值，最后可得结果.
【详解】由题可知：，所以，
所以曲线在处的切线斜率为2
故答案为：2
25．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】先根据导数的运算求出，再根据恒成立列不等式组求解即可.
【详解】由题意可得，
若对于任意，都有，
则，解得，
故答案为：
26．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)已知函数，若，则常数的值为：__________．
【答案】
【分析】根据导数的定义及基本初等函数的导数公式可求解.
【详解】因为，又，所以，
又，所以，所以，所以.
故答案为：.
27．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，
∴，设切点为，则，
切线方程为：，
∵切线过原点，
∴，
整理得：，
∵切线有两条，∴，
∴的取值范围是，
故答案为：
28．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知 ，函数在点处切线的斜率是4，则实数_____．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义列方程，求解即可.
【详解】由题意，，
因为函数在点处切线的斜率是4，
所以，解得.
故答案为：.
29．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数的导函数为，且满足关系式，则______．
【答案】
【分析】求导后，令可得结果.
【详解】因为，所以，
所以，得.
故答案为：
30．(24-25高二下·上海四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）·期中)曲线在处的切线方程为________．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义结合直线的点斜式方程即可求得答案.
【详解】由题意得，当时，，
所以曲线在处的切线方程为，即，
故答案为：.
31．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)已知函数和满足，函数满足，则______.
【答案】/
【分析】根据商的导数的运算法则求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
32．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设，则______.
【答案】
【分析】根据导数定义及基本初等函数的导数计算求解.
【详解】因为，所以，
则.
故答案为：.
33．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)已知函数，则的导函敎_____________.
【答案】
【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的加法运算法则即可.
【详解】因，则
故答案为：
三、解答题
34．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知函数．
(1)求在区间上的平均变化率；
(2)求曲线在处的切线．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平均变化率的定义计算可得；
（2）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；
【详解】（1）因为，所以，，
所以在区间上的平均变化率为；
（2）因为，所以，
所以，
所以切点为，切线的斜率，
所以曲线在处的切线为，即.
一、单选题
35．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)假设聪明的你已掌握以下结论：函数图像关于中心对称的充要条件是对定义域内的任意恒成立.请你解决下面问题：已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论中正确的个数为（ ）.
①的图象关于点对称； ②的图象关于点对称；
③； ④
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的对称性与周期性直接判断.
【详解】对于①，因为为奇函数，所以，
即，所以的图象关于中心对称，正确；
对于②，由为偶函数，所以，
所以，即，
即，则，
所以的图象关于中心对称，正确；
对于③，由，即，则，即，即是以为周期的函数，且，，
不妨设，所以，周期均为且，，，，
所以，所以③错误；
对于④，由，，知，
又，，所以，
所以，即，所以为周期是的函数，
即，故④正确；
故选：C.
36．(24-25高二下·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算可得.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：D
37．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)下列求导运算中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】逐项求导判断即可.
【详解】因为：， ，
，
故ACD计算正确；
因为，故B计算错误.
故选：B
二、填空题
38．(24-25高二下·上海向明中学·期中)若函数的导函数为，则_____．
【答案】/
【分析】求导，得到，再代入求出答案.
【详解】因为，
所以
故答案为：.
39．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数，则______．
【答案】或-0.5
【分析】根据函数在某点处导数的定义，结合所给函数的导数公式进行求解.
【详解】根据函数的导数定义，
表示的是函数在处的导数.
根据复合函数求导法则，.
所以.
故答案为：.
40．(24-25高二下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)设函数，则______．
【答案】
【分析】求，结合导函数的定义计算可得出答案.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：.
41．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)函数 在 处的切线方程为_____
【答案】
【分析】先求出，再利用导数的意义求出切线的斜率，由点斜式得到直线方程即可.
【详解】，
，，
所以函数 在 处的切线方程为，即.
故答案为：.
42．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知函数，则_____.
【答案】
【分析】求出，结合导数的概念可求得的值.
【详解】因为，则，由导数的概念可得.
故答案为：.
43．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)已知函数 ，则 _____.
【答案】
【分析】先根据复合函数求导法则求出函数的导数，再将代入中，即可求出的值。
【详解】根据复合函数求导法则，所以.
将代入中，可得.
故答案为：.
44．(24-25高二下·上海吴淞中学·期中)已知函数，则______.
【答案】1
【分析】求导再求解即可.
【详解】，故.
故答案为：1
三、解答题
45．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求赋值代入计算即可，求需要先求出的导数然后赋值代入计算即可.
（2）求赋值代入计算即可，求需要先应用复合函数求导及分式求导求出的导数然后赋值代入计算即可.
【详解】（1）因为，
所以.
因为，
所以.
（2）因为，
所以.
因为，
所以.
46．(24-25高二下·上海进才中学·期中)已知．
(1)求函数的单调减区间；
(2)求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的恒等式化简函数解析式，利用整体思想以及复合函数单调性，由正弦函数的单调区间，建立不等式组，可得答案；
（2）利用求导法则求导，利用整体思想以及余弦函数的最值，建立方程，可得答案.
【详解】（1），
令，其中，
解得，其中，
所以函数的单调减区间为.
（2），
易知当时，其中，函数取得最小值为，
所以函数取得最小值时，，其中.
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