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专题10 概率初步（续）（3大考点22题）
3大高频考点概览
考点01全概率公式
考点02随机变量的分布与特征
考点03常用分布
一、单选题
1．(24-25高二下·上海实验学校·期中)2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（ ）
A． B．
C． D．无法确定与的大小关系
【答案】C
【分析】利用古典概型概率公式和全概率公式，求出和，由比值确定大小关系.
【详解】设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则，
在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品，
更换后，
若一开始选中的无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换后，
故，
由于风吹掉为随机吹掉，故所有个盲盒中有个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，，
因此，故.
故选：.
二、填空题
2．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是__________.
【答案】
【分析】根据全概率公式进行求解.
【详解】设从甲盒取出2个红球；从甲盒取出2个白球；
从甲盒取出1个白球和1个红球；从乙盒取出2个红球.
所以
.
故答案为：.
3．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)一批灯泡中有60%来自甲厂，40%来自乙厂，已知两个厂产品的正品率分别是88%和90%.从中随机抽取1个，取得正品的概率为__________.
【答案】0.888
【分析】由全概率公式即可求解.
【详解】由全概率公式可知，所求为.
故答案为：0.888.
4．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)（1）甲、乙、丙、丁、戊，己六人站成一排拍照，记甲、乙两人不相邻的概率为；
（2）高二年级举行演讲比赛，共有10名学生参赛，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名．记一班的3名学生恰好被排在一起的概率为；
（3）一个盒子中有大小与质地相同的20个球，10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，记第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率为；
（4）从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，记该球是黑色的概率为．
则从小到大的顺序为：__________．
【答案】
【分析】利用排列计数问题及古典概率求出；利用分步乘法计数原理及古典概率求出；利用条件概率及全概率公式求出，进而比较大小.
【详解】（1）6个人的全排列数为，其中甲乙不相邻的排列数为，则；
（2）10名学生的全排列数为，一班的3名学生恰好被排在一起的排列数为，；
（3）两人各摸1个球的方法数为，第一、二个人分别摸红、白球的方法数为，；
（4）记从甲袋摸出2白球、1白1黑球、2黑球的事件分别为，乙袋中摸出1黑球的事件为，
则，，
由全概率公式得，
而，所以从小到大的顺序为.
故答案为：
5．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)设有两个罐子，罐中放有2个白球、1个黑球，罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球并交换，求这样交换3次后，黑球还在罐中的概率为：__________．
【答案】
【分析】先求出一次交换后黑球在罐和不在罐的概率，然后通过递推的方式，运用全概率公式逐步计算出交换次后黑球还在罐的概率．
【详解】一次交换后黑球还在罐有两种情况：
从罐中摸出白球与罐中摸出的白球交换，罐中摸出白球的概率为，
罐中摸出白球的概率为，这种情况的概率为．
一次交换后黑球不在罐的情况：
从罐中摸出黑球与罐中摸出的白球交换，罐中摸出黑球的概率为，
罐中摸出白球的概率为，这种情况的概率为．
若第一次交换后黑球在罐（概率为），第二次交换后黑球还在罐的概率为；
若第一次交换后黑球不在罐（概率为），第二次交换后黑球回到罐的概率为．
根据全概率公式，两次交换后黑球在罐的概率为．
若第二次交换后黑球在罐（概率为），第三次交换后黑球还在罐的概率为；
若第二次交换后黑球不在罐（概率为），第三次交换后黑球回到罐的概率为．
根据全概率公式，三次交换后黑球在罐的概率为．
交换次后，黑球还在罐中的概率为．
故答案为：
6．(24-25高二下·上海实验学校·期中)2025上海市实验学校举办盛大体育节，高二（6）班组成篮球队参赛，为了取得优异比赛成绩，篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第n次传球后篮球在队员甲手中的概率为______.
【答案】
【分析】设表示经过第n次传球后球在甲手中，n次传球后球在甲手中的概率为，由全概率公式可得，构造等比数列，利用等比数列通项公式可得.
【详解】设表示经过第n次传球后球在甲手中，n次传球后球在甲手中的概率为，
，2，3， ，则有，，
所以
，
即，所以，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
故答案为：
7．(24-25高二下·上海宜川中学·期中)某校面向高二全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%，10%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为________；
【答案】0.162
【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.
【详解】依题意，成绩是优秀的概率为.
故答案为：0.162
8．(24-25高二下·上海新川中学·期中)某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则__________．（精确到0.001）
【答案】
【分析】根据条件概率分别求出第次出现红球、绿球情况下第n次出现红球的概率，利用全概率公式计算求出的递推公式，进而求出.
【详解】设“第次出现红球”，“第次出现绿球”，D＝“第n次出现红球”，
则，，，，
由全概率公式得
，，
，，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，
，所以.
故答案为：
三、解答题
9．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球．
(1)当盒中的白球数时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率．
(2)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求与，并判断事件A与B是否独立．
(3)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n．
【答案】(1)
(2)，不独立；
(3)当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小.
【分析】（1）根据次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式求解即可；
（2）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可.
（3）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值.
【详解】（1）有放回的抽取，每次抽取到白球的概率为，取到黑球的概率为，
由次独立重复试验知，恰有一次取到黑球的概率为.
（2）当时，盒中有6个白球，14个黑球，，，
，
，则，所以事件与相互不独立.
（3）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率，
设，当时，，
，当时，，
当时，，因此，
而，则，
所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小.
10．(21-22高二下·上海中学·期中)设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电.
(1)假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率；
(2)若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的、、，且各车间的次品率分别为、、，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少
【答案】(1)；
(2)甲车间，乙车间，丙车间．
【分析】（1）根据分步乘法计数原理，可直接求解；
（2）求出各种产量的数量，然后根据全概率公式求出次品率，然后根据条件概率求解即可.
【详解】（1）第3次才抽到合格品的概率.
（2）设“从一批产品中检查出1个次品”，“零件为甲车间加工”，“零件为乙车间加工”，“零件为丙车间加工”.则，且两两互斥.
由题意可知，，，，
，，.
由全概率公式可得，.
则该次品来自甲车间的概率
，
该次品来自乙车间的概率
，
该次品来自丙车间的概率
.
一、填空题
11．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)已知，，则________．
【答案】/0.5
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】，
故答案为：
12．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)已知随机变量的分布为，，2，3，则________．
【答案】
【分析】根据给定的分布列，利用期望、方差的定义求解.
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：
13．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)掷一颗骰子所得的样本空间为．令事件，．则__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.
【详解】依题意，，所以.
故答案为：
14．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知，，随机变量的分布列如下：
若．则______．
【答案】
【分析】由分布列的性质以及期望的计算公式，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，且，
即，所以.
故答案为：
15．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)设袋中有大小质地相同的8个红球，2个白球，现从袋中任取4个球，若表示摸出的红球个数，则________．（用小数作答）
【答案】3.2
【分析】根据超几何的期望公式即可求解.
【详解】由于服从超几何分布，且，故,
故答案为：3.2
16．(24-25高二下·上海新川中学·期中)已知书架的第一层随机摆放了1本语文书，2本不同的数学书，3本不同的英语书.现从中抽取2本书，则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下，第二本抽取的是数学书的概率为__________．
【答案】/0.4
【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率.
【详解】依题意，抽取第二本书有5个不同结果，第二本抽取的是数学书有2个结果，
所以所求概率为.
故答案为：
二、解答题
17．(24-25高二下·上海宜川中学·期中)某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，，其中，技能测试是否通过相互独立．
(1)若该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为，求的值；
(2)已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率公式列式求解.
（2）根据二项分布的期望公式求解去甲公司的期望，根据相互独立事件的概率乘法公式可求解去乙公式通过项目的概率，即可求解期望，进而比较两者的期望即可求解.
【详解】（1）依题意，解得，
所以的值为.
（2）分别记“该应聘者应聘甲 乙公司三项专业技能测试中通过的项目数分别为”，
依题意，则；
的所有可能取值为，
，
，
，
因此的分布列为
0 1 2 3
数学期望，
由，得，解得，
所以的范围为：.
一、单选题
18．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（ ）
A．数列和都严格增
B．数列严格增，数列严格减
C．数列严格减，数列严格增
D．数列和都严格减
【答案】B
【分析】将乙盒中原有的1个黑球与从甲盒抽取的黑球数结合，利用超几何分布的期望公式计算可判断数列的单调性；结合乙盒总球数的变化，分析概率随抽取球数的变化趋势可判断的单调性.
【详解】从甲盒中随机抽取n个球，这n个球中黑球的个数设为，
服从超几何分布，且，
乙盒中有1个球且为黑球，放入n个球后，，
因为，所以，
因为，所以当从增加到时，
随的增大而增大，所以数列严格增；
从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，乙盒中此时有个球，黑球有个，
所以
，
因为，所以当从增加到时，
单调递减，所以严格减.
故选：B.
19．(24-25高二下·上海行知中学·期中)下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（ ）．
A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为
B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为
D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为
【答案】D
【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可.
【详解】对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数服从二项分布，A不是；
对于B，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，第一次摸出黑球时的总次数不是超几何分布，B不是；
对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为服从两点分布，C不是；
对于D，从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数服从超几何分布，D是.
故选：D
二、填空题
20．(24-25高二下·上海行知中学·期中)据统计，某种脐橙的果实横径 (单位： ) 服从正态分布 ，现任取 10 个这种脐橙．设其果实横径在的个数为 ，则 _____．
附： ．
【答案】
【分析】由正态分布的概率计算公式可得的值，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，
则
，
则，所以.
故答案为：
21．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是______.
【答案】/
【分析】根据正面次数多和反面次数多各占一半即可得解，或者利用二项分布概率公式求解即可.
【详解】因为正面出现次数和反面出现次数不可能相等，
将每一种正面出现次数多的结果的所有硬币翻转，即可得到反面次数多于正面次数的结果，
所以正面次数多和反面次数多各占一半，故所求概率为.
另解：记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为事件，则，
则抛掷5次硬币，正面出现的次数服从二项分布，
则正面向上的次数多于反面向上的次数的概率为：
.
故答案为：
三、解答题
22．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产， 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%.
(1)设甲工厂试生产的这批零件有 件，乙工厂试生产的这批零件有 件，证明: ；
(2)用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ，求 的分布列、数学期望和方差.
【答案】(1)证明见解析
(2)分布列见解析 数学期望为，方差为
【分析】（1）由全概率公式，根据混合后合格品率的计算公式建立等式来证明；
（2）先确定服从二项分布，再根据分布列的公式求出各取值的概率，进而计算期望和方差.
【详解】（1）设M事件为“抽取出来混放在一起的零件来自甲工厂”，
事件N为“抽取出来混放在一起的零件来自乙工厂”，
事件C为“混放在一起的某一个零件为合格品”，
则，
.
即 .
得.即，
所以
（2）由可知，零件来自甲工厂的概率为，来自乙工厂的概率为.
表示这个零件中来自甲工厂的个数，则服从参数为，的二项分布，即.
则，.
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
所以的分布列为：
则，所以期望为，
方差为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题10 概率初步（续）（3大考点22题）（答案版）
1．C
2．
3．0.888
4．
5．
6．
7．0.162
8．
9．(1)
(2)，不独立；
(3)当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小.
10．(1)；
(2)甲车间，乙车间，丙车间．
11．/0.5
12．
13．
14．
15．3.2
16．/0.4
17．(1)；
(2).
18．B
19．D
20．
21．/
22．(1)设M事件为“抽取出来混放在一起的零件来自甲工厂”，
事件N为“抽取出来混放在一起的零件来自乙工厂”，
事件C为“混放在一起的某一个零件为合格品”，
则，
.
即 .
得.即，
所以
（2）由可知，零件来自甲工厂的概率为，来自乙工厂的概率为.
表示这个零件中来自甲工厂的个数，则服从参数为，的二项分布，即.
则，.
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
所以的分布列为：
则，所以期望为，
方差为.
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专题10 概率初步（续）（3大考点22题）
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考点02随机变量的分布与特征
考点03常用分布
一、单选题
1．(24-25高二下·上海实验学校·期中)2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（ ）
A． B．
C． D．无法确定与的大小关系
二、填空题
2．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是__________.
3．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)一批灯泡中有60%来自甲厂，40%来自乙厂，已知两个厂产品的正品率分别是88%和90%.从中随机抽取1个，取得正品的概率为__________.
4．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)（1）甲、乙、丙、丁、戊，己六人站成一排拍照，记甲、乙两人不相邻的概率为；
（2）高二年级举行演讲比赛，共有10名学生参赛，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名．记一班的3名学生恰好被排在一起的概率为；
（3）一个盒子中有大小与质地相同的20个球，10个红球，10个白球，两人依次不放回地各摸1个球，记第一个人摸出1个红球，且第二个人摸出1个白球的概率为；
（4）从一个放有大小与质地相同的3个黑球、2个白球的袋子里摸出2个球并放入另外一个空袋子里，再从后一个袋子里摸出1个球，记该球是黑色的概率为．
则从小到大的顺序为：__________．
5．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)设有两个罐子，罐中放有2个白球、1个黑球，罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球并交换，求这样交换3次后，黑球还在罐中的概率为：__________．
6．(24-25高二下·上海实验学校·期中)2025上海市实验学校举办盛大体育节，高二（6）班组成篮球队参赛，为了取得优异比赛成绩，篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第n次传球后篮球在队员甲手中的概率为______.
7．(24-25高二下·上海宜川中学·期中)某校面向高二全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%，10%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为________；
8．(24-25高二下·上海新川中学·期中)某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则__________．（精确到0.001）
三、解答题
9．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球．
(1)当盒中的白球数时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率．
(2)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求与，并判断事件A与B是否独立．
(3)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n．
10．(21-22高二下·上海中学·期中)设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电.
(1)假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率；
(2)若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的、、，且各车间的次品率分别为、、，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少
一、填空题
11．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)已知，，则________．
12．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)已知随机变量的分布为，，2，3，则________．
13．(24-25高二下·上海奉贤区奉城高级中学·期中)掷一颗骰子所得的样本空间为．令事件，．则__________．
14．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知，，随机变量的分布列如下：
若．则______．
15．(24-25高二下·上海高桥中学·期中)设袋中有大小质地相同的8个红球，2个白球，现从袋中任取4个球，若表示摸出的红球个数，则________．（用小数作答）
16．(24-25高二下·上海新川中学·期中)已知书架的第一层随机摆放了1本语文书，2本不同的数学书，3本不同的英语书.现从中抽取2本书，则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下，第二本抽取的是数学书的概率为__________．
二、解答题
17．(24-25高二下·上海宜川中学·期中)某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试．已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，，其中，技能测试是否通过相互独立．
(1)若该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率为，求的值；
(2)已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求的取值范围．
0 1 2 3
一、单选题
18．(24-25高二下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（ ）
A．数列和都严格增
B．数列严格增，数列严格减
C．数列严格减，数列严格增
D．数列和都严格减
19．(24-25高二下·上海行知中学·期中)下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（ ）．
A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为
B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为
D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为
二、填空题
20．(24-25高二下·上海行知中学·期中)据统计，某种脐橙的果实横径 (单位： ) 服从正态分布 ，现任取 10 个这种脐橙．设其果实横径在的个数为 ，则 _____．
附： ．
21．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是______.
三、解答题
22．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产， 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%.
(1)设甲工厂试生产的这批零件有 件，乙工厂试生产的这批零件有 件，证明: ；
(2)用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ，求 的分布列、数学期望和方差.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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