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专题08 导数的应用（4大考点45题）（答案版）
1．D
2．C
3．C
4．
5．
6．/
7．
8．
9．
10．充分非必要
11．①②④
12．(1)当时，函数在单调递增；
当时，函数在单调递增，在单调递减.
(2)
13．C
14．D
15．B
16．A
17．B
18．
19．②④
20．①③④
21．/0.5
22．
23．(1)1
(2)函数的定义域为，
又，
当时，
由，解得或，所以在，上单调递增，
由，解得，所以在上单调递减；
当时恒成立（且仅在处等于），所以在上单调递增；
当时，
由，解得或，所以在，上单调递增，
由，解得，所以在上单调递减；
综上可得，
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时的单调递增为，无单调递减区间；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为.
24．(1)
(2)极大值，极小值
25．(1)
(2)的定义域为，
，
令，则，
当时，恒成立，所以即在上单调递增．
当时，由，得，由，得，
所以即在上单调递减，在上单调递增.
26．
27．(1)、、；
(2)极大值为；极小值为.
28．D
29．
30．
31．
32．(1)
(2)
33．(1)
(2)方程 可化简为，
方程的根就是函数 的零点，
由解析式易知在 ， 上单调递增，
因为 ，
所以函数在有唯一零点 ，且，
因为，，所以函数 在 有唯一零点 ，所以有且仅有一正一负根.
(3)
34．(1)
(2)
则，
则得，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
因此，对任意成立．
(3)．
35．(1)
(2)减区间是，增区间是；
(3)的最大值为.
36．(1)，单调递增区间为和.
(2)最大值为4，最小值为.
37．(1)或1；
(2)0
(3)2.
38．(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)
39．(1)
(2)
40．
41．
42．(1)，
(2).
43．(1)
(2)当时，利润最大，最大为520万元
44．(1)，其中
(2)，元
45．(1)
(2)当时，矩形的面积取得最大值
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专题08 导数的应用（4大考点45题）
4大高频考点概览
考点01利用导数研究函数的单调性
考点02利用导数研究函数的极值
考点03利用导数研究函数的最值
考点04 利用导数解决实际问题
一、单选题
1．(24-25高二下·上海延安中学·期中)函数的严格减区间为（ ）
A． B． C． D．和
【答案】D
【分析】求导，再令导数小于零，即可求出函数的减区间.
【详解】函数的定义域为，
，
令，得或，
所以函数的严格减区间为和.
故选：D.
2．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
【答案】C
【分析】构造函数，求证其单调性即可得，最后利用对数函数的单调性即可.
【详解】令，则，
则在上单调递减，则，
即，即，即，
因为增函数，则.
故选：C
3．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合图象判断函数单调性，可得的函数值正负情况，从而解，可得答案.
【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减，
则当时，，当时，，此时等号仅在时成立，
由于是定义在区间上的奇函数，
故在上单调递增，在上单调递减，
则当时，，当时，，此时等号仅在时成立，
故由可知或
得或，即不等式解集为，
故选：C.
二、填空题
4．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为________.
【答案】
【分析】构造函数，先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】由，得
设，所以，所以为R上的偶函数，
当时，，
因为当时，，所以当时，，
所以在区间上单调递增，
所以，即，
即，
等价于，即，解得，
所以关于的不等式的解集为.
故答案为：.
5．(24-25高二下·上海位育中学·期中)函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为_________．
【答案】
【分析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案.
【详解】由函数的图像可知, 在区间上单调递减,在区间上单调递增，即当时, ;当时, .
因为可化为或，解得：，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
6．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)函数的单调减区间是________.
【答案】/
【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解.
【详解】函数的定义域为，
又，
令，解得，所以的单调递减区间为.
故答案为：
7．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属中学宝山分校·期中)设是定义在R上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】构造，求定义域，求导，得到在上单调递增，结合，得到时，，故，求出为奇函数，故在上单调递增，故当时，，故，得到不等式解集.
【详解】令，的定义域为，
则，
时，恒成立，故，
所以在上单调递增，
又，所以，
故当时，，，
当时，，，
当时，，故，
是定义在R上的偶函数，故，
所以，
所以为奇函数，故在上单调递增，
，故，
当时，，，
故当时，，，
当时，，故，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
8．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点.对函数求导，对进行分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求解.
【详解】∵，∴.
当时，，∴函数在上单调递增，不符合题意；
当时，令，解得；令，解得，
∵函数在上不单调，∴，解得.
故答案为：.
9．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是________.
【答案】
【分析】令，求得，根据题意，得到在单调递增，再由函数是上的偶函数，把不等式转化为，得出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案.
【详解】令，可得，
当时，，可得，所以单调递增；
又因为是上的偶函数，可得的图象关于轴对称，
因为不等式，
即，即，即，
所以，可得，所以，
解得或，即的取值范围是.
故答案为：.
10．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的______条件.（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个）
【答案】充分非必要
【分析】利用推出思想来判断充要性，非必要性时可以举反例.
【详解】在函数在区间上可导的条件下，
由“函数在区间上是严格增函数”一定可以推出“对任意的成立”，故满足充分性，
反之：例举，此时，满足“对任意的成立”，
但是此时不是严格增函数，故非必要性，
所以“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要.
11．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为.则以下命题为真命题的序号是______.
①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数；
②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数：
③对于任意的，若为减函数，则为增函数；
④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调.
【答案】①②④
【分析】两边求导可判断①；设可判断②；举反例可判断③；设可判断④.
【详解】对①，若为奇函数，则，
两边求导得，即，所以为偶函数，①正确；
对②，不妨设，因为，所以为非奇非偶函数，
但为偶函数，②正确；
对③，不妨设，易知为减函数，但不是增函数，③错误；
对④，设，则单调递增，但在定义域上不单调，④正确.
故答案为：①②④
三、解答题
12．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设面积为，若恒成立，求的最小值.
【答案】(1)当时，函数在单调递增；
当时，函数在单调递增，在单调递减.
(2)
【分析】（1）求导函数，分和讨论函数的单调性即可；
（2）设，求过两点的切线方程，根据两条切线相互垂直得，进而得到，再求出，根据的范围得出的范围，最后根据恒成立求出的最小值.
【详解】（1）由题意，函数的定义域为，
，
则导数，
当时，恒成立，
则函数在单调递增；
当时，令，则，即函数在单调递增；
令，则，即函数在单调递减.
综上所述，当时，函数在单调递增；
当时，函数在单调递增，在单调递减.
（2）由函数，
设，
对求导得，
所以函数在点处的切线方程为.
令，则，即.
对求导得，
所以函数在点处的切线方程为.
令，则，即.
又因为两条切线垂直，
所以，即，
所以，
联立，
因为，即，
所以，解得，
因为，
又，根据基本不等式，
所以,
由恒成立，则，
所以的最小值为.
一、单选题
13．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，由可知是函数的极小值点，则，即可求出的值，即可求出函数解析式，再检验，最后再解不等式.
【详解】函数，则，
由图象可知，是函数的极小值点，则，解得，
此时，所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点，符合题意；，
所以不等式，即，解得，
所以不等式的解集为．
故选：C．
14．(24-25高二下·上海位育中学·期中)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）．
A．函数在点处的切线斜率小于零
B．函数在区间上严格增
C．函数在处取得极大值
D．函数在区间内至多有两个零点
【答案】D
【分析】根据导函数的图象，结合函数的切线斜率、单调性、极值、零点与导数的关系逐项判断即可得结论.
【详解】选项A:曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误；
选项B:函数在区间上单调递减，故B错误；
选项C:函数在左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，故C错误；
选项D:函数在区间先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，故D正确．
故选：D．
15．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列结论：
①在区间上严格增；
②的图像在处的切线斜率等于0
③在处取得极大值
④在处取得极小值
正确的个数是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据导函数图像得到导数的正负，从而得到函数的增减和极值情况，判断①②③，并根据导函数的增减判断④.
【详解】根据的图像可知，在上，，仅在处有，
所以在上单调递减，故①错误；
由可知，的图像在处的切线斜率等于0，故②正确；
在区间上单调，没有极值点，故③错误；
由的图像可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，故④正确．
故选：B
16．(24-25高二下·上海行知中学·期中)如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（ ）．
A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点
C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点
【答案】A
【分析】作出与直线平行且与的图象相切的直线，即可结合图象判断的正负性，从而判断函数单调性，从而求得函数极值点的个数.
【详解】作出与直线平行且与的图象相切的直线，
设切点的横坐标从小到大依次为，
则方程有三个根，即，
因， 则结合图象可知，
当时；时，；
时，；时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
故和为极小值点，为极大值点，
故有个极小值点，个极大值点.
故选：A.
17．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知函数的定义域为，则下 列是“在处取不到极大值”的充分条件的是（ ）
A．存在无穷多个，满足
B．对任意有理数，均有
C．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数
D．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数
【答案】B
【分析】结合极大值的定义，举例说明判断ABCD.
【详解】对于A，函数的如图①所示，
显然函数满足条件，而是的极大值点，故A错误；
对于B，在附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值大于，如图②所示，
因此函数在处取不到极大值，B正确；
对于C，函数，函数在上为严格增函数，在上为严格减函数，是的极大值点，C错误；
对于D，函数如图③所示，
函数在上为严格减函数，在上为严格增函数，是的极大值点，D错误.
故选：B.

二、填空题
18．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】利用导数刻画函数的图象，结合过原点与特殊点处的直线的斜率可求参数的取值范围.
【详解】，
当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
且时，恒成立，故的图象如图所示，
因为，，故，
又，因为,所以,
因为有且仅有一个整数，使得点在直线上方，故，
故答案为：.
19．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是_____.
①函数在区间上严格递减；
②；
③函数在处取极大值；
④函数在区间内有两个极小值点.
【答案】②④
【分析】先由图得函数的单调性，进而逐一判断即可.
【详解】由图可知，当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以函数在 区间递增上，在区间上递减，故①错误，②正确；
所以的极小值点为和，极大值点为，故③错误，④正确.
故答案为：②④.
20．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有_____.
① 有 2 个驻点
② 在处取得极小值
③ 有极大值，没有极小值
④ 在上严格增
【答案】①③④
【分析】根据给定的导函数图象，确定驻点，函数的单调区间，进而确定极值情况即可得解.
【详解】观察图象知，当时，，当且仅当，当时，，且，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，无极小值，
因此①③④正确，②错误.
故答案为：①③④.
21．(23-24高二下·上海七宝中学·期中)函数的驻点为______．
【答案】/0.5
【分析】求出函数的导数，再求出驻点即得.
【详解】函数，求导得，由，得，
所以函数的驻点为.
故答案为：
22．(24-25高二下·上海西中学·期中)已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为：____________．
①在区间上严格增；②是的极小值点；
③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点．
【答案】
【分析】已知导函数的图象，结合图象可识别导数值的正负，从而判断函数的单调情况，由变号零点的先负后正或先正后负判断极小或极大值点即可得解.
【详解】当时，，此时，函数单调递减，①错误；
时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
则是的极小值点，②正确；
时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，
则是的极大值点，③正确，④错误.
故答案为：
三、解答题
23．(24-25高二下·上海向明中学·期中)已知函数
(1)若是函数的驻点，求实数的值；
(2)当时，求函数的单调区间；
【答案】(1)1
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可得解.
（2）求出函数的定义域与导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
【详解】（1）因为，
则，依题意，即，解得；
（2）函数的定义域为，
又，
当时，
由，解得或，所以在，上单调递增，
由，解得，所以在上单调递减；
当时恒成立（且仅在处等于），所以在上单调递增；
当时，
由，解得或，所以在，上单调递增，
由，解得，所以在上单调递减；
综上可得，
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时的单调递增为，无单调递减区间；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为.
24．(24-25高二下·上海向明中学·期中)已知曲线．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的极值．
【答案】(1)
(2)极大值，极小值
【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，再由点斜式方程即可得出答案；
（2）利用导数考查函数的单调性，求出极值点，进一步计算即可.
【详解】（1）由题意可知：，则
因为曲线在处的切线的斜率为，
又因为，
所以曲线在处的切线方程：，
化简可得：.
（2）因为，
当时，；当时，；
可知函数的单调递增区间为和；
函数的单调递减区间为，
的极大值为，的极小值为.
25．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数．
(1)若，求的极小值；
(2)讨论导函数的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值；
（2）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再令，求出，再由的正负可求出的单调区间.
【详解】（1）当时，，的定义域为，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值．
（2）的定义域为，
，
令，则，
当时，恒成立，所以即在上单调递增．
当时，由，得，由，得，
所以即在上单调递减，在上单调递增.
26．(24-25高二下·上海延安中学·期中)已知函数，若的极大值为1，求实数的值；
【答案】
【分析】分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可.
【详解】的定义域为，，
当时，，在上单调递增，函数无极值；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得极大值，极大值为，解得，
经验证符合题意，故实数a的值为.
27．(24-25高二下·上海西中学·期中)已知函数．
(1)当时，直线过点与曲线有且仅有1个公共点，求直线的方程．
(2)若函数在处有极值，求函数的极值．
【答案】(1)、、；
(2)极大值为；极小值为.
【分析】（1）分两种情况讨论，直线斜率不存在和斜率存在，斜率不存在时写出直线方程再检验，斜率存在时联立方程组，解即可；
（2）先求导，解得出的值，再求导研究的单调性即可求极值.
【详解】（1）当时，，
当直线斜率不存在时，与曲线有且仅有1个公共点，符合题意；
当直线斜率存在时，设，
联立，得，
因直线与曲线有且仅有1个公共点，
则，得或，
则直线的方程为：或
综上，符合条件的直线方程为、、.
（2）由，得，
因函数在处有极值，则，得，
则，，
则得或；得，
则在上单调递增，在上单调递减，
则极大值为，极小值为．
一、单选题
28．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数，其中正确结论的是（ ）
A．当时，函数有最大值
B．对于任意的，函数是上的减函数
C．对于任意的，都有函数
D．对于任意的，函数一定存在最小值
【答案】D
【分析】对函数进行求导，根据导数的性质进行逐一判断即可.
【详解】，
A：当时，，所以该函数是实数集上的增函数，故不存在最大值，不正确；
B：当，时，因为，所以是上的增函数，因此不正确；
C：当时，因为当时，，，所以对于任意的不恒成立，故不正确，
D：当时，设，因为，
所以，因此是增函数，因为当，所以，
当时，，因此函数有唯一零点，设为，
因此当时，，即，此时函数在单调递减，
当时，，即，此时函数在单调递增，
因此当时，函数有最小值，正确，
故选：D
二、填空题
29．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)函数，的最小值是________.
【答案】
【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，求出端点处的函数值，即可得解.
【详解】因为，，所以，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以.
故答案为；
30．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)已知，若函数恰有四个零点，则实数k的取值范围是__________.
【答案】
【分析】分离参数可得，判断的单调性，计算极值，作出的函数图象，根据直线与的图象有四个交点得出k的范围.
【详解】当时，，
令，可得：，
令，
则，
对于函数，对称轴为，所以函数在上单调递减，当时，.
所以，当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
又因为当时，；当时，取得极小值；
当时，；当时，，
作出函数的大致图象如图所示：
因为函数恰有四个零点，所以直线与的图象有四个交点，
所以，
故答案为：.
31．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)已知函数有三个零点，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【分析】当时，令，得到有2个零点；当时，转化为，在有1解，令，可得，再令，得到，求得函数的单调性，得到，进而得到在上单调递减，得到不等式，即可求解.
【详解】当时，令，解得或，有2个零点；
当时，令，即，在有且仅有1解，
令，可得，
令，可得，
当时，可得；当时，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以时，恒成立，即，所以在上单调递减，
又由，，所以，解得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
32．(24-25高二下·上海位育中学·期中)已知，．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设，若，求时函数的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率与切点纵坐标，从而得函数的切线方程；
（2）求导函数，根据已知条件确定函数的单调性即可得最值.
【详解】（1），则，
所以，
所以函数在处的切线方程为，即；
（2），
则，，
因为，则恒成立，所以函数在上单调递减，
所以.
33．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)已知函数 .
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)证明方程 有且仅有一正一负根:
(3)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题可得，判断导函数符号，可得函数的单调性，即可得函数的最小值；
（2）问题转换成单调性结合零点存在性定理即可得答案；
（3）令，求导得，然后分，两种情况讨论可得答案；
【详解】（1），
当，，单调递减，
当，，单调递增，
；
（2）方程 可化简为，
方程的根就是函数 的零点，
由解析式易知在 ， 上单调递增，
因为 ，
所以函数在有唯一零点 ，且，
因为，，所以函数 在 有唯一零点 ，所以有且仅有一正一负根.
（3）设，
则当时恒成立，
①由（1）得，
当时，
，，单调递减，
，，单调递增，
.∴
②当时，，这与矛盾，
综上，．
所以实数 的取值范围.
34．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数，的图象在处的切线为．
(1)求函数的解析式；
(2)设，比较与大小关系，并说明理由；
(3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)．
【分析】（1）根据以及即可求得；
（2）研究的单调性，得出即可；
（3）利用参变分离构造函数，只需求其最小值即可.
【详解】（1）由得，，
因函数的图象在处的切线为，则，
因切点为，则，则，
故
（2）
则，
则得，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
因此，对任意成立．
（3），
因对任意的恒成立，则，
即对任意的恒成立，
令，则，
则得，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
则，即，故最大整数．
35．(24-25高二下·上海高境第一中学·期中)已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间;
(3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)减区间是，增区间是；
(3)的最大值为.
【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解；
（2）首先求函数的导数，根据导数的正负，判断函数的单调区间；
（3）首先根据（2）的结果解不等式，再转化不等式，利用参变分离，转化为函数最值问题，即可求解.
【详解】（1），，，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2），
当时，，，所以，所以在区间上单调递减，
当时，，，所以，所以在区间上单调递增，
所以函数的减区间是，增区间是；
（3），，则，，
由（2）可知，，即，即，即,
当时，，设，
设，得，
当时，，单调递减，当，，单调递增，
所以函数在的最小值是，则，
当时，恒成立，
当时，，，所以恒成立，
综上可知，，所以的最大值为.
36．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式及单调增区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
【答案】(1)，单调递增区间为和.
(2)最大值为4，最小值为.
【分析】（1）先求导，根据函数取得极值计算参数，再根据导数的几何意义确定参数，从而得出解析式，结合导函数判定单调递增区级即可；
（2）利用第一问结论结合端点值及极值确定最值即可.
【详解】（1）由，则，
因为函数在处取得极值，则，即，
此时，则，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极小值，则，
又函数在点处的切线方程为，
则，所以，
单调递增区间为和.
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以函数的最大值为4，最小值为.
37．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数，（b为常数）．
(1)函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数b的值；
(2)若，，存在使得成立，求满足上述条件的最大整数M；
(3)当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求b的取值范围．
【答案】(1)或1；
(2)0
(3)2.
【分析】（1）利用导数求出函数的图象在点处的切线方程，再由直线与函数的图象相切求出的值.
（2）求出函数在上的最值，再由能成立求出范围.
（3）根据给定条件变形不等式并构造函数，利用导数探讨单调性，进而求出.
【详解】（1）函数，求导得，则，而，
因此函数的图象在点处的切线方程为，
由直线与函数的图象相切，得有两个相等的实根，
方程中，，解得或，
所以实数b的值为或1.
（2）当时，，，求导得，
函数在上单调递减，，
由存在使得成立，得，
而，即，则，
所以最大整数M的值为0.
（3）由，不妨设，
而函数在上单调递增，则，
当时，函数在上单调递减，则，
不等式，
即，令，
依题意，，成立，因此函数在上单调递增，
则，成立，即在上恒成立，
而函数在上单调递增，当时，，因此，而，
所以.
38．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知函数 ．
(1)当时，判断在定义域上的单调性；
(2)若函数在上的最小值为，求实数的值．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)
【分析】（1）先对求导得到，再结合参数范围讨论导函数正负，进而得到原函数单调性即可.
（2）由（1）的信息，按分段讨论函数的单调性，进而确定最小值，列式求解并判断.
【详解】（1）由题意得函数的定义域为，
因为，所以，
当时，令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，，，
若，则，，当且仅当时取等号，
函数在上单调递增，，解得，不符合题意；
若，则，，当且仅当时取等号，
函数在上单调递减，，解得，不符合题意；
若，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，解得，
所以.
39．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设且，，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个不同的驻点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式可得切线方程；
（2）对求导，令导函数为0，然后用根的判别式计算的取值范围.
【详解】（1）因为，求导得，
令代入，曲线在点处的切线方程为.
（2）因为且，，
求导得，
且因为定义域为，函数有两个不同的驻点，
故在有两个不同正解，令，故，
设两个不同正解分别为和，
即，解得，即.
一、填空题
40．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知某商品的成本 和产量 满足关系 ，该商品的销售单价 和产量 满足关系式 ，则当产量 等于_____时，利润最大.
【答案】
【分析】先求得利润的表达式，然后利用导数求得正确答案.
【详解】依题意，即，解得.
依题意可知，利润，
，令，解得（负根舍去），
所以在上，单调递增；
在区上，单调递减.
所以当时，利润最大.
故答案为：
41．(24-25高二下·上海莘庄中学·期中)如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________．
【答案】
【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用相似可得出，利用柱体的体积公式得出，其中，再利用导数法可求得的最大值.
【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则由相似可得，可得，
令，结合，则，
圆柱的体积，
则，其中，
当时，；当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值，即.
故答案为：．
二、解答题
42．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件.
(1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数；
(2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数.
【答案】(1)，
(2).
【分析】（1）根据给定函数模型写出解析式.
（2）由（1）中函数，求出导数，利用导数求出最大值.
【详解】（1）依题意，，.
（2）由（1）知，，，
，
令，解得，，
当时，，当时，，在上严格单调递减，
时，的最大值为，即；
当时，，当时，，在上严格单调递增，
当时，，在上严格单调递减，
则当时，的最大值为，即，
所以.
43．(24-25高二下·上海松江一中·期中)某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件.
(1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数；
(2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？
【答案】(1)
(2)当时，利润最大，最大为520万元
【分析】（1）根据已知条件列式得出函数；
（2）先求出导函数，再根据导函数正负判断函数单调性即可得出最大值.
【详解】（1）由题意知，
，
.
（2），
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
则当时，利润最大，最大为520万元.
44．(24-25高二下·上海闵行中学·期中)某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时元；固定部分成本为每小时元．
(1)设该轮船航行速度为（），试将其每小时的运输成本表示为的函数；
(2)当该轮船的航行速度为多少（单位：）时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？
【答案】(1)，其中
(2)，元
【分析】（1）设每小时的可变成本为，根据可变部分成本与航行速度的立方成正比可求，从而可求每小时的运输成本；
（2）该轮船每千米的运输成本，利用导数求其单调性即可.
【详解】（1）设该轮船航行速度为时，其每小时的可变成本为（单位：元），
则，其中． 由题意，得，解得，故．
所以每小时的运输成本，其中．
（2）该轮船每千米的运输成本，其中，
求导，得，
令，解得．
由，解得；故在区间上单调递增；
由，解得；故在区间上单调递减．
所以当时，取得最小值．
故当该轮船的航行速度为时，其每千米的运输成本最低，且为元．
45．(23-24高二下·上海师范大学附属中学闵行分校·期中)如图是一块空地，其中是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量：三点在一条直线上，，（单位：百米）．开发商计划利用这块空地建造一个矩形游泳池，矩形顶点都在空地的边界上，其中点在直线段上，设（百米），矩形草坪的面积为（百米）
(1)求的解析式
(2)当为多少时，矩形草坪的面积最大？
【答案】(1)
(2)当时，矩形的面积取得最大值
【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用点的坐标求解直线方程以及抛物线方程，即可根据点的位置分类讨论求解，
（2）利用导数求解函数的单调性，即可求解时的最值，利用二次函数的性质即可求解上的最值，结合分段函数的性质即可求解.
【详解】（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
由于,
所以点的坐标为，点的坐标为，
由于三点在一条直线上，所以直线，
由于，所以,故点的坐标为
由于抛物线的顶点为，对称轴为，可设抛物线方程为
将点的坐标代入得，所以抛物线方程为，
直线的方程是，直线的方程是，
因为设，所以当时，点的坐标为，点的坐标为，
所以矩形的面积，
当时，的坐标为，
所以矩形的面积为，
所以矩形的面积为，
（2）当时，，
令，得，
所以，当时，；当时，，
所以，当时，矩形的面积取得最大值，
当时，，
所以，函数在区间上单调递减，
当时，矩形的面积取得最大值，
又，
综上，当时，矩形的面积取得最大值.
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专题08 导数的应用（4大考点45题）
4大高频考点概览
考点01利用导数研究函数的单调性
考点02利用导数研究函数的极值
考点03利用导数研究函数的最值
考点04 利用导数解决实际问题
一、单选题
1．(24-25高二下·上海延安中学·期中)函数的严格减区间为（ ）
A． B． C． D．和
2．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
3．(24-25高二下·上海朱家角中学·期中)已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
4．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为________.
5．(24-25高二下·上海位育中学·期中)函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为_________．
6．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)函数的单调减区间是________.
7．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属中学宝山分校·期中)设是定义在R上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为______.
8．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______.
9．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是________.
10．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的______条件.（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个）
11．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为.则以下命题为真命题的序号是______.
①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数；
②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数：
③对于任意的，若为减函数，则为增函数；
④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调.
三、解答题
12．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设面积为，若恒成立，求的最小值.
一、单选题
13．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
14．(24-25高二下·上海位育中学·期中)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）．
A．函数在点处的切线斜率小于零
B．函数在区间上严格增
C．函数在处取得极大值
D．函数在区间内至多有两个零点
15．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列结论：
①在区间上严格增；
②的图像在处的切线斜率等于0
③在处取得极大值
④在处取得极小值
正确的个数是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
16．(24-25高二下·上海行知中学·期中)如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（ ）．
A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点
C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点
17．(24-25高二下·上海七宝中学·期中)已知函数的定义域为，则下 列是“在处取不到极大值”的充分条件的是（ ）
A．存在无穷多个，满足
B．对任意有理数，均有
C．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数
D．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数
二、填空题
18．(24-25高二下·上海建平中学·期中)已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是_________．
19．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是_____.
①函数在区间上严格递减；
②；
③函数在处取极大值；
④函数在区间内有两个极小值点.
20．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有_____.
① 有 2 个驻点
② 在处取得极小值
③ 有极大值，没有极小值
④ 在上严格增
21．(23-24高二下·上海七宝中学·期中)函数的驻点为______．
22．(24-25高二下·上海西中学·期中)已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为：____________．
①在区间上严格增；②是的极小值点；
③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点．
三、解答题
23．(24-25高二下·上海向明中学·期中)已知函数
(1)若是函数的驻点，求实数的值；
(2)当时，求函数的单调区间；
24．(24-25高二下·上海向明中学·期中)已知曲线．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的极值．
25．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数．
(1)若，求的极小值；
(2)讨论导函数的单调性．
26．(24-25高二下·上海延安中学·期中)已知函数，若的极大值为1，求实数的值；
27．(24-25高二下·上海西中学·期中)已知函数．
(1)当时，直线过点与曲线有且仅有1个公共点，求直线的方程．
(2)若函数在处有极值，求函数的极值．
一、单选题
28．(24-25高二下·上海川沙中学·期中)已知函数，其中正确结论的是（ ）
A．当时，函数有最大值
B．对于任意的，函数是上的减函数
C．对于任意的，都有函数
D．对于任意的，函数一定存在最小值
二、填空题
29．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)函数，的最小值是________.
30．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)已知，若函数恰有四个零点，则实数k的取值范围是__________.
31．(24-25高二下·上海闵行区莘庄中学·期中)已知函数有三个零点，则实数的取值范围是_______.
三、解答题
32．(24-25高二下·上海位育中学·期中)已知，．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设，若，求时函数的最大值．
33．(24-25高二下·上海宝山区世外学校·期中)已知函数 .
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)证明方程 有且仅有一正一负根:
(3)若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
34．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数，的图象在处的切线为．
(1)求函数的解析式；
(2)设，比较与大小关系，并说明理由；
(3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值．
35．(24-25高二下·上海高境第一中学·期中)已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间;
(3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最大值.
36．(24-25高二下·上海师范大学附属中学·期中)已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式及单调增区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值.
37．(24-25高二下·上海闵行第三中学·期中)已知函数，（b为常数）．
(1)函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数b的值；
(2)若，，存在使得成立，求满足上述条件的最大整数M；
(3)当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求b的取值范围．
38．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知函数 ．
(1)当时，判断在定义域上的单调性；
(2)若函数在上的最小值为，求实数的值．
39．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·期中)设且，，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个不同的驻点，求的取值范围.
一、填空题
40．(24-25高二下·上海行知中学·期中)已知某商品的成本 和产量 满足关系 ，该商品的销售单价 和产量 满足关系式 ，则当产量 等于_____时，利润最大.
41．(24-25高二下·上海莘庄中学·期中)如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________．
二、解答题
42．(24-25高二下·上海交通大学附属中学·期中)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件.
(1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数；
(2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数.
43．(24-25高二下·上海松江一中·期中)某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件.
(1)将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数；
(2)当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？
44．(24-25高二下·上海闵行中学·期中)某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时元；固定部分成本为每小时元．
(1)设该轮船航行速度为（），试将其每小时的运输成本表示为的函数；
(2)当该轮船的航行速度为多少（单位：）时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？
45．(23-24高二下·上海师范大学附属中学闵行分校·期中)如图是一块空地，其中是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量：三点在一条直线上，，（单位：百米）．开发商计划利用这块空地建造一个矩形游泳池，矩形顶点都在空地的边界上，其中点在直线段上，设（百米），矩形草坪的面积为（百米）
(1)求的解析式
(2)当为多少时，矩形草坪的面积最大？
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