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2025-2026学年上海市松江区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）一个多边形的每一个外角都为，那么这个多边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）在中，的度数为，则（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（　　）
A．， B．， C．， D．，
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
5．（3分）在平面直角坐标系中以、、为三个顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）如图，已知正方形的边长为6，是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 　　．
8．（2分）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，那么　　．
9．（2分）已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为　　 ．
10．（2分）如果点在第二象限内，点到轴的距离是3，到轴的距离是4，那么点的坐标为 　　 ．
11．（2分）公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为 　　 ．
12．（2分）若平行四边形的周长为28，相邻两边的差为4，则较短边的长为　　 ．
13．（2分）矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线长为2，则矩形的面积为 　　．
14．（2分）已知菱形两条对角线的长分别为和，则这个菱形一边上的高为　　．
15．（2分）平行四边形中，，，边上的高是，则平行四边形的周长是　　 ．
16．（2分）如图，△的中线、相交于点，若△的面积是3，则四边形的面积是　　 ．
17．（2分）如图，在△中，，，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是 　　 ．
18．（2分）已知有两个完全相同的矩形、摆成如图的形状，将矩形绕点转动度，点、、分别对应点、、，当点落在直线上时，连接交直线于点，若，，则　　 ．
三、解答题：（本大题共8题，第19～24题每题8分，第25题10分，满分58分）
19．（8分）如图，网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，△的位置如图所示．
（1）写出点、、的坐标：　　 ，　　 ，　　 ；
（2）平移△，使点移动到点．
①画出平移后的△，其中点与点对应，点与点对应（不写画法，写出结论）；
②若点在△内，其平移后的对应点为，写出的坐标：　　 ．（用含，的代数式表示）
20．（8分）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点任意作直线分别交、于点、．
（1）求证：△△；
（2）若，，，求四边形的周长．
21．（8分）如图，已知在四边形中，、相交于点，且，，，、分别是、的中点，连接．
（1）求四边形的面积；
（2）求的长．
22．（8分）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，点在轴正半轴上．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若△为等腰三角形，求点的坐标．
23．（8分）如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，试判断四边形的形状，并说明理由．
24．（8分）如图，图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，点为线段上的一点．请使用无刻度的直尺按照下列要求分别作图（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，作出一个以为边的正方形；
（2）在（1）的基础上，在边上作点，使得平分正方形的面积；
（3）在图2中，作一个以为边的非正方形的菱形，则连接此菱形各边中点所形成的四边形的形状为　　 ．
25．（10分）综合与实践
【问题情境】在书法课上，为了实现图1的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题．在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索．
【操作探索】
操作一：把正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：沿着再一次折叠纸片，使点落在点处，得到折痕，交于点；
操作三：将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕．
【猜想验证】（1）根据以上操作，小华发现点、、三点共线，且①　　 ；②线段、、之间的数量关系为：　　 ．
（2）小海说：“我发现线段与线段的比值是，即点是线段的三等分点．”你认为小海的说法正确吗？请说明理由．
【问题探究】（3）在（1）和（2）的条件下，延长交线段于点，连接交于点，你能发现线段与线段的比值吗？请直接写出答案．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）一个多边形的每一个外角都为，那么这个多边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】
解：（边，
，
故选：．
2．（3分）在中，的度数为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】
解：四边形是平行四边形，
．
故选：．
3．（3分）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】
解：点与点关于轴对称，
，．
故选：．
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
【答案】
解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选：．
5．（3分）在平面直角坐标系中以、、为三个顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
解：现根据题意画图：
、、三点位置如图所示，要使四边形为平行四边形，则点有三种可能，即分别以、、为对角线的平行四边形，故第四个顶点不可能在第三象限．
故选：．
6．（3分）如图，已知正方形的边长为6，是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
【答案】
解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，
在△和△中，
，
△△，
，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，，
，
设，
，
，
，，
，
，
，
，，
在△中，由勾股定理得，
，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是 　12　．
【答案】12．
解：从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，
多边形的边数为：．
故答案为：12．
8．（2分）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，那么　　．
【答案】．
解：轴上点的横坐标为0，
，
．
故答案为：．
9．（2分）已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为或 ．
【答案】或．
解：分类：①点在点的上方，则，即；
②点在点的下方，则，即．
综上，点的坐标或．
故答案为：或．
10．（2分）如果点在第二象限内，点到轴的距离是3，到轴的距离是4，那么点的坐标为 ．
【答案】．
解：由点到轴的距离为3，到轴的距离为4，
得：，，
由点位于第二象限，
得：，，
点的坐标为，
故答案为：．
11．（2分）公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为 　　 ．
【答案】．
解：设中转站的坐标为，
由条件可知中转站为的中点，
，
中转站的坐标为．
故答案为：．
12．（2分）若平行四边形的周长为28，相邻两边的差为4，则较短边的长为　5　 ．
【答案】5．
解：设较长边为，较短边为，
由平行四边形性质，相邻两边之和为周长的一半，
即，
又相邻两边差为4，即，
得方程组，
解得，
故若平行四边形的周长为28，相邻两边的差为4，则较短边长为5，
故答案为：5．
13．（2分）矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线长为2，则矩形的面积为 　　．
解：矩形的两条对角线的夹角为：，
矩形对角线相等且互相平分，
为等边三角形，
，
在直角中，，，
，
故矩形的面积为：．
故答案为：．
14．（2分）已知菱形两条对角线的长分别为和，则这个菱形一边上的高为　　 ．
解：菱形两条对角线的长分别为和，
对角线的一半分别是、，
根据勾股定理，菱形的边长，
设这个菱形一边上的高为 ，
则菱形的面积，
解得．
故答案为：．
15．（2分）平行四边形中，，，边上的高是，则平行四边形的周长是或 ．
【答案】或．
解：四边形是平行四边，
，，
设上的高是，
，
，，，
，，
当在△的内部时，如图：
，
此时的周长；
当在△的外部时，如图：
，
此时的周长，
综上所述：的周长是或．
故答案为：或．
16．（2分）如图，△的中线、相交于点，若△的面积是3，则四边形的面积是　6　 ．
【答案】6．
解：由题知，
和是△的中线，
点和点分别为和的中点，点为△的重心，
，，．
，
，，
，
．
故答案为：6．
17．（2分）如图，在△中，，，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是 　　 ．
【答案】．
解：连接，
由条件可知是△的中位线，
，
当最小时，最小，
当时，最小，
在△中，，，，
则，
当时，
，
，
解得：，
的最小值为，
故答案为：．
18．（2分）已知有两个完全相同的矩形、摆成如图的形状，将矩形绕点转动度，点、、分别对应点、、，当点落在直线上时，连接交直线于点，若，，则　2　 ．
【答案】2．
解：如图，过点作，垂足为，连接，
，矩形与完全相同，
，，，
，
，
则，
，
，
解得，
，，＄．
三、解答题：（本大题共8题，第19～24题每题8分，第25题10分，满分58分）
19．（8分）如图，网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，△的位置如图所示．
（1）写出点、、的坐标： ，　　 ，　　 ；
（2）平移△，使点移动到点．
①画出平移后的△，其中点与点对应，点与点对应（不写画法，写出结论）；
②若点在△内，其平移后的对应点为，写出的坐标：　　 ．（用含，的代数式表示）
【答案】（1），，；
（2）①
②．
解：（1），，；
故答案为：，，；
（2）①如图，△为所作；
②点平移后的对应点的坐标为．
故答案为：．
20．（8分）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点任意作直线分别交、于点、．
（1）求证：△△；
（2）若，，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）15．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
在△和△中，
，
△△；
（2）△△，
，，
，
又，
四边形的周长．
21．（8分）如图，已知在四边形中，、相交于点，且，，，、分别是、的中点，连接．
（1）求四边形的面积；
（2）求的长．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的面积，解题的关键是掌握以上知识点．解：（1），
；
（2）取中点．连接，，
是的中点，
，，
，
，
是的中点，是的中点，
，，
，
．
22．（8分）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，点在轴正半轴上．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若△为等腰三角形，求点的坐标．
【答案】（1），，，，
，，，
．
四边形是平行四边形；
（2）或或，，
【解答】（1）证明：，，，，
，，，
．
四边形是平行四边形；
（2）如图，过点作于点，
，，，，为的中点，
，，
在△中，由勾股定理得：，
当时，，
；
当时，，
，
；
当时，如图2，
，，
点在点的左侧，
设，则，
在△中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，，
综上所述，点的坐标为或或，．
23．（8分）如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1），
，
平分，
，
，
，
在△与△中，
，
△△，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）四边形为矩形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
四边形为矩形．
【解答】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
在△与△中，
，
△△，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形为矩形，
理由：，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
四边形为矩形．
24．（8分）如图，图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，点为线段上的一点．请使用无刻度的直尺按照下列要求分别作图（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中，作出一个以为边的正方形；
（2）在（1）的基础上，在边上作点，使得平分正方形的面积；
（3）在图2中，作一个以为边的非正方形的菱形，则连接此菱形各边中点所形成的四边形的形状为　矩形　 ．
【答案】（1）如图1中，正方形即为所求；
（2）如图1中，点即为所求；
（3）如图，菱形即为所求，菱形的中点四边形是矩形．
解：（1）如图1中，正方形即为所求；
（2）如图1中，点即为所求；
（3）如图，菱形即为所求，菱形的中点四边形是矩形．
故答案为：矩形．
25．（10分）综合与实践
【问题情境】在书法课上，为了实现图1的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题．在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索．
【操作探索】
操作一：把正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：沿着再一次折叠纸片，使点落在点处，得到折痕，交于点；
操作三：将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕．
【猜想验证】（1）根据以上操作，小华发现点、、三点共线，且①　45　 ；②线段、、之间的数量关系为：　　 ．
（2）小海说：“我发现线段与线段的比值是，即点是线段的三等分点．”你认为小海的说法正确吗？请说明理由．
【问题探究】（3）在（1）和（2）的条件下，延长交线段于点，连接交于点，你能发现线段与线段的比值吗？请直接写出答案．
【答案】（1）①45；；
（2）小海的说法正确，理由如下：
设，，其中，，
四边形是正方形，
，，
△是直角三角形，，
由折叠性质得：，，，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
整理得：，
，，
，
，
即点是线段的三等分点，
小海的说法正确；
（3）．
解：（1）①如图1所示：
四边形是正方形，
，
由折叠性质得：，，，，，，
，
、、三点共线，
，
又，，
，
，
即；
故答案为：45；
②，，
，
又、、三点共线，
，
故答案为：；
（2）小海的说法正确，理由如下：
设，，其中，，
四边形是正方形，
，，
△是直角三角形，，
由折叠性质得：，，，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
整理得：，
，，
，
，
即点是线段的三等分点，
小海的说法正确；
（3）如图2所示：
设，，其中，，
四边形是正方形，
，，
由折叠性质得：，，，，
，，
，
又，
是△的中位线，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在△中，，
由勾股定理得：，
，
整理得：，
，，
，
，
由（2）的结论得：，
．

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