资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 常用三角公式和解三角形（5大考点70题）
5大高频考点概览
考点01两角和与差正弦、余弦、正切公式
考点02二倍角公式
考点03三角变换的应用
考点04 正弦定理
考点05 余弦定理
一、单选题
1．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)下列说法中错误的个数是（ ）
①在锐角中，不等式恒成立
②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称
③若为斜三角形，则成立
A．0 B．1 C．2 D．3
2．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．(24-25高一下·上海宝山中学·期中)已知锐角，满足，，则___________．
4．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)化简______.
5．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)已知，则________．
6．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知，则______.
7．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________．
8．(24-25高一下·上海松江一中·期中)把化成的形式，则_________．
9．(23-24高一下·上海宝山区·期末)已知都是锐角，，，则_____.
10．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)已知，则__________．
11．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)已知，，则__________．
12．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)已知，则__________.
13．(24-25高一下·上海新川中学·期中)若方程的两根为与，则_____.
14．(24-25高一下·上海长征中学·期中)已知锐角，满足及，则______.
15．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)在锐角中，若，则的取值范围是________．
16．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知，若，，则________．
三、解答题
17．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)已知 .
(1)求 的值;
(2)求 的值.
18．(24-25高一下·上海通河中学·期中)（1）已知 ，求的值；
（2）已知.求的值.
一、填空题
19．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交于第三象限内的点，则__________．
20．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知，，则______.
21．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则_________．
22．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则_________．
23．(24-25高一下·上海行知中学·期中)若对任意的，存在，满足不等式，则实数的取值范围是__．
24．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)若存在实数 和正整数 ，使得函数 在区间 内恰有 1000 个零点，则所有满足条件的正整数 的取值集合为_____.
25．(24-25高一下·上海复旦大学附属复兴中学·期中)已知，则__________.
26．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知等腰三角形的底角的余弦值为，则该三角形顶角的正弦值为________．
27．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)若，则________.
二、解答题
28．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知都是锐角，且，，
(1)求的值；
(2)求的值.
29．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)已知，求值：
(1)；
(2)．
30．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
31．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点．
(1)求与的值；
(2)若角满足，且，求的值．
32．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)已知关于的方程的两根为和.
(1)求的值；
(2)求和的值.
33．(24-25高一下·上海延安中学·期中)（1）证明三倍角公式；
（2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式．
一、单选题
34．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)设函数.若实数使得对任意的实数恒成立，则的值等于（ ）
A．-2 B．2 C． D．
二、填空题
35．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知函数在时取得最大值，则__________.
36．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为______.
37．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)代数式可化为的形式，则的值为______.
38．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)对任意闭区间 ，用 表示函数 在 上的最小值.若正数 满足 ，则 的取值集合为_____.
三、解答题
39．(24-25高一下·上海进才中学·期中)已知函数的图象如图所示．
(1)求函数的解析式及最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值；
(3)在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值．
40．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设和都是定义域为的函数.若对任意的，均有，则称函数“三角优于”函数.
(1)如果（为常数），且对于任意的实数，函数“三角优于”函数，求满足上述条件的函数的表达式（写出一个即可）；
(2)试问：函数是否“三角优于”函数？请说明理由；
(3)若、为常数，且使得函数“三角优于”函数，证明：.
41．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)已知函数的定义域.若实数a，，且满足，则称a和b是“f相关”的.
(1)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b；
(2)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b；
(3)若，求所有满足a和b是“f相关”的实数b的取值范围.
42．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)设函数.
(1)若.求的值；
(2)议在处取得最大值.求；
(3)关于的方程在区间上恰有12个不同的实数解.求实数的取值范围.
一、填空题
43．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为______.（填写一个序号即可）
44．(24-25高一下·上海延安中学·期中)如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____．

45．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____.
46．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)在中，若，则的形状为__________.
47．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 _____
48．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)在锐角 中，若 ，则 等于_____.
二、解答题
49．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在中，已知，，分别根据下列条件求：
(1)；
(2)；
50．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点．
(1)若，求的长；（本题结果精确到米，，）
(2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值．
51．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)已知的内角所对边的长度分别为．
(1)若，求和外接圆半径的值；
(2)若，求的值．
52．(24-25高一下·上海顾村中学·期中)在中，角所对的边分别为，已知，.
(1)求的值；
(2)求的面积.
一、单选题
53．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
54．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
55．(24-25高一下·上海西中学·期中)在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
56．(24-25高一下·上海建平中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________．
57．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度________米
58．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________.
59．(24-25高一下·上海进才中学·期中)在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________．
60．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为__________．
61．(24-25高一下·上海延安中学·期中)在中，，则_____．
62．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数、、满足：，，，则__________.
63．(24-25高一下·上海西中学·期中) 中，若 ，则该三角形的最大角为_____
三、解答题
64．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
(1)若，求；
(2)若面积等于，求的值．
65．(24-25高一下·上海延安中学·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，若．
(1)求的大小；
(2)若，，求的面积．
66．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)在中，a，b，c分别是角A，B，C．
(1)若，，求的外接圆的半径；
(2)若，求的值．
67．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)（1）在中，已知，求证：；
（2）在中，已知，求证：．
68．(24-25高一下·上海西中学·期中)如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口 的两条公路 ， 之间建造三角形的花园，已知 为 ，花园的另外两个顶点分别在 ， 两点（沿着公路且异于点 ，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道 ，已知观景通道长 ， 记
(1)试用 表示出 ， ，以及此花园 的面积.
(2) 为多少时，花园 的面积最大？最大面积为多少？
69．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施. 杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园. 如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到)

(1)若，求的长；
(2)记，求人行道路长度的最小值.
70．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)在中,内角所对的边分别为,的面积为,已知.
(1)求角A；
(2)若，求周长的取值范围.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 常用三角公式和解三角形（5大考点70题）
5大高频考点概览
考点01两角和与差正弦、余弦、正切公式
考点02二倍角公式
考点03三角变换的应用
考点04 正弦定理
考点05 余弦定理
一、单选题
1．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)下列说法中错误的个数是（ ）
①在锐角中，不等式恒成立
②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称
③若为斜三角形，则成立
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】利用正弦函数的单调性可判断①，利用辅助角公式结合最小值性质以及正弦函数对称性可判断②，利用正切的和角公式可判断③.
【详解】对于①，由在锐角中，由，可知，则，
根据锐角可知，，
又因为正弦函数在上单调递增，所以，故①正确；
对于②，由，其中，
因为在处取得最小值，
所以，
即，则，
所以有函数，
由于正弦函数关于点对称，可得函数的图像关于点对称，故②正确；
对于③，由为斜三角形，则，根据内角和定理有：，
再由两角和正切公式得：，
去分母得：，
整理得：，故③正确；
故选：A.
2．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把已知等式两边平方相加可求得的值.
【详解】由，可得①，
由，可得②，
①+②得，，
所以，所以.
故选：B.
二、填空题
3．(24-25高一下·上海宝山中学·期中)已知锐角，满足，，则___________．
【答案】
【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可．
【详解】，为锐角，
，
又，，
，
．
故答案为：
4．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)化简______.
【答案】/
【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式化简所求代数式，可得结果.
【详解】
.
故答案为：.
5．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)已知，则________．
【答案】
【分析】利用两角差的余弦公式展开，计算可得.
【详解】因为，
解得.
故答案为：
6．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知，则______.
【答案】
【分析】根据平方公式与正弦两角和公式求解即可.
【详解】因为，所以，
则.
故答案为：.
7．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为________．
【答案】
【分析】先利用展开变形，可得，再利用展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可.
【详解】,
则，
所以，
整理得，
因为，均为锐角，且，即，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以取得最大值时，的值为.
故答案为：
8．(24-25高一下·上海松江一中·期中)把化成的形式，则_________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简即得.
【详解】依题意，.
故答案为：
9．(23-24高一下·上海宝山区·期末)已知都是锐角，，，则_____.
【答案】
【分析】先根据的范围得出，再根据同角三角函数的关系求出、，最后利用两角和差的正弦公式即可.
【详解】因都是锐角，则，则，
因，则，
因，则，
则
.
故答案为：
10．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)已知，则__________．
【答案】
【分析】根据三角函数的同角求值，可求得，再结合两角和的正弦公式即可求解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以
.
故答案为：.
11．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)已知，，则__________．
【答案】
【分析】由平方关系求出，利用两角差的公式求出得解.
【详解】，，
，
则，所以.
故答案为：0.
12．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)已知，则__________.
【答案】
【分析】根据正弦的和差角公式即可求解.
【详解】，，，
,
由于，所以.
故答案为：
13．(24-25高一下·上海新川中学·期中)若方程的两根为与，则_____.
【答案】/
【分析】应用根与系数关系及和角正切公式求值即可.
【详解】由题设，，，
所以.
故答案为：
14．(24-25高一下·上海长征中学·期中)已知锐角，满足及，则______.
【答案】
【分析】结合角的范围根据同角关系求，，再根据两角差的正弦公式求.
【详解】由已知，，
所以，
因为，，
所以，，
所以.
故答案为：.
15．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)在锐角中，若，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换可得，利用锐角三角形可求得，可求范围.
【详解】
，
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
16．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知，若，，则________．
【答案】
【分析】先根据同角三角函数关系,再利用两角差的余弦公式即可得解.
【详解】由，，
则，
故，
由，所以
故答案为：
三、解答题
17．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)已知 .
(1)求 的值;
(2)求 的值.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）由正切函数的和差角公式可得的值，然后将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果；
（2）由代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
（2）因为 ， ，所以 ，
又 ， 所以 ，又
18．(24-25高一下·上海通河中学·期中)（1）已知 ，求的值；
（2）已知.求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用诱导公式进行化简，再利用条件，即可求解；
（2）根据条件，利用平方关系，求出，再利用余弦的差角公式，即可求解.
【详解】（1）因为，
又，所以.
（2）因为，
所以，，
则.
一、填空题
19．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交于第三象限内的点，则__________．
【答案】/
【分析】由条件求，再根据三角函数定义求，，根据二倍角正弦公式求结论.
【详解】因为角的终边与单位圆交于第三象限内的点，
所以，且，
所以，
所以，，
所以.
故答案为：.
20．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知，，则______.
【答案】
【分析】根据同角三角函数平方关系及正弦二倍角化简求值.
【详解】因为，所以，
则.
故答案为：
21．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则_________．
【答案】
【分析】根据题意，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】由角的终边与角的终边关于轴对称，可得，
因为，可得，
所以.
故答案为：.
22．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则_________．
【答案】
【分析】应用任意角三角函数定义及二倍角正弦公式计算求解.
【详解】因为终边过点，
所以
则．
故答案为：.
23．(24-25高一下·上海行知中学·期中)若对任意的，存在，满足不等式，则实数的取值范围是__．
【答案】
【分析】求出的最大值后结合绝对值不等式可得关于的不等式，故可求其范围.
【详解】,
因为，则，故，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，故，
而，
当且仅当时等号成立，故，
故或，
故答案为：
24．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)若存在实数 和正整数 ，使得函数 在区间 内恰有 1000 个零点，则所有满足条件的正整数 的取值集合为_____.
【答案】
【分析】通过讨论的解的个数确定的可能值.
【详解】，
由得，设，
记，由于，因此必有两个不等的实根，，
所以中至少有一根属于区间且两根一正一负，
（1）若，则，的另一根为，即或，
在上，有个解，有个解，
的零点个数为，显然无整数解，
但在上，有个解，有个解，
的零点个数为，由得，
所以；
（2）若，则，的另一根为，即或，
在上，有个解，有个解，
的零点个数为，显然无整数解，
但在上，有个解，有个解，
的零点个数为，由无整数解；
（3）若，则由得，不妨记，
在上，有个根，有个根，
的零点个数为，显然得，此时，
在上，有个根，有个根，
的零点个数为，显然无整数解；
（4）若，则，在或上，
有个根，无实数根，的零点个数为，
由得，此时或；
（5）若，则，无实数解，在上，
有个根，的零点个数为，由得，，
在上，有个根，的零点个数为，
由得，.
综上，的取值可能为，
故答案为：.
25．(24-25高一下·上海复旦大学附属复兴中学·期中)已知，则__________.
【答案】/
【分析】根据二倍角的正弦公式化简，再利用商数关系弦化切，代入求解即可.
【详解】，
故答案为：.
26．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知等腰三角形的底角的余弦值为，则该三角形顶角的正弦值为________．
【答案】
【分析】设等腰三角形的一个底角为，则顶角为，利用诱导公式与二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】设等腰三角形的一个底角为，则顶角为，由题意可知，
又，所以，
所以.
故答案为：.
27．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)若，则________.
【答案】
【分析】利用诱导公式求出，再由二倍角的余弦公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
二、解答题
28．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知都是锐角，且，，
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正切公式进行求解；
（2）利用同角三角函数的基本关系式分别求出，，的值，再利用两角和的余弦公式进行求解即可.
【详解】（1），；
（2）都是锐角，，，
又，，，
，，，
，
，.
29．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)已知，求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式计算可得；
（2）利用二倍角公式及平方关系化为齐次式，再将弦化切，代入计算可得.
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，
所以.
30．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角关系求，，再结合两角差余弦公式求，
（2）结合（1）根据商的关系求，，再利用二倍角公式求，再结合两角差正切公式求.
【详解】（1）因为，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
（2）由（1），，，，
所以，，
所以，
所以.
所以.
31．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点．
(1)求与的值；
(2)若角满足，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数的定义直接求得的值，再利用二倍角公式求出；
（2）将表示为展开求解即可.
【详解】（1）由题：，
.
（2）因为且，所以，
又，
所以
，
即.
32．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)已知关于的方程的两根为和.
(1)求的值；
(2)求和的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据韦达定理和二倍角的余弦公式计算即可求解；
（2）由计算即可求出；由（1）求得，进而求得，则，结合二倍角的正切公式计算即可求解.
【详解】（1）由韦达定理得，
所以；
（2）由（1）得，
，
因为，，
故，则，
解得，所以，
故.
33．(24-25高一下·上海延安中学·期中)（1）证明三倍角公式；
（2）DS同学试着将代入第（1）小题中的公式，得到：，又由诱导公式可知，所以．若已知五倍角正弦公式对任意恒成立，试推导用表示的五倍角余弦公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）将表示成，再根据和角的正弦公式及二倍角正余弦公式展开即可得证；
（2）将代入公式的表达式，再根据诱导公式，即可得到的表达式.
【详解】（1）
；
（2）将代入公式，
可得，
因为，，
所以.
一、单选题
34．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)设函数.若实数使得对任意的实数恒成立，则的值等于（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式整理函数解析式，根据正弦的差角公式化简等式，由题意建立方程组，求解，可得答案.
【详解】由，则，其中，
可得
，
由题意可得，若，由①可得，显然③不成立，
故，则，解得，，易知，
当时，显然①③矛盾；故，可得，解得，
所以.
故选：A.
二、填空题
35．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知函数在时取得最大值，则__________.
【答案】
【分析】由辅助角公式可得，再由正弦型函数的最值可得，最后由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】，其中，
当时，即时，函数取得最大值，
即，
则
.
故答案为：
36．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据辅助角公式和对称性得到函数的解析式，要使得取得最小，则让取最值，结合图象即可求解.
【详解】
，
又函数的图像关于点对称，
即，即，
则，
所以的最大值为，最小值为，
对称轴：令，
当的取值最小时，
，，
且是在轴右侧连续的最值点，
则的最小值为
.
故答案为：
37．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)代数式可化为的形式，则的值为______.
【答案】
【分析】根据题意，由辅助角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由辅助角公式可得，
其中，则，
由可知，在第一象限，且，
所以.
故答案为：
38．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)对任意闭区间 ，用 表示函数 在 上的最小值.若正数 满足 ，则 的取值集合为_____.
【答案】
【分析】 分 ， 两种情况分类讨论,然后每种情况再结合的不同取值范围讨论的值，根据已知等量关系建立方程求解.
【详解】情况 1：如果，即，
又因为,所以,所以,即.
此时 ，因此：.
我们需要 ，即 在 上的最小值为 .
因为,
所以 或 或 或
所以 或 或 或 .
解 得,解得,
又因为即，所以,所以或.
情况 2：，即存在使得,
此时 ，所以,
所以,所以,
因为，所以,解得,
以，解得,，
所以,所以,所以,所以.
若,则,则.
我们需要：,这不可能（左边大于零，右边小于等于0）.
所以,所以，
所以，所以 ，因此：.
如果,,则 ，则 .
则,
， 或.
，矛盾，舍去.
如果,,则 ，
则 ,
即，所以,
所以，
综上所述， 的取值集合为.
故答案为：.
三、解答题
39．(24-25高一下·上海进才中学·期中)已知函数的图象如图所示．
(1)求函数的解析式及最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值；
(3)在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值．
【答案】(1)
(2)当时，的最小值为
(3)或．
【分析】（1）由图像求即可求解
（2）利用图像变换先求，进而得，由三角恒等变换化简即可求解；
（3）令，可得，令，得，利用二次方程根的分布即可求解.
【详解】（1）由图可得，最小正周期，则，
由，可得
又，所以，，所以，
（2）由题意得，
，
所以的最小值为，当，即；
（3），
令，可得，令，得，
由于，故方程必有两个不同的实数根，，且，
由知异号，不妨设，
若，则，无解，
在内有四个零点，不符题意；
若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意，此时，得；
若在有4个零点，
故在内应恰有2个零点，，此时
综上所述，或．
40．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设和都是定义域为的函数.若对任意的，均有，则称函数“三角优于”函数.
(1)如果（为常数），且对于任意的实数，函数“三角优于”函数，求满足上述条件的函数的表达式（写出一个即可）；
(2)试问：函数是否“三角优于”函数？请说明理由；
(3)若、为常数，且使得函数“三角优于”函数，证明：.
【答案】(1)（取法不唯一）
(2)是，理由见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据新定义得到对任意的，均有，取即可，不妨让；
（2）只需判断对任意的，不等式是否恒成立即可，通过不断分析得到了只需判断时，不等式是否恒成立即可，通过换元和奇偶性将问题转换为了不等式是否恒成立即可，利用结论即可得证.
（3）通过周期性，奇偶性、对称性分析得知当且仅当时，恒成立即可，进一步分析有，，恒成立，其中，结合辅助角公式即可得证.
【详解】（1）若函数“三角优于”函数，
则当且仅当对任意的，均有，注意到恒成立，
故只需让即可，从而只需，
所以取（取法不唯一）即可满足题意；
（2）函数“三角优于”函数，
当且仅当对任意的，均有，
显然都是周期为的函数，
所以只需考虑时，不等式是否恒成立即可，
因为，
所以恒成立，即当时，恒成立，
故我们只需考虑当且时，不等式是否恒成立即可，
即只需考虑时，不等式是否恒成立即可，
设，此时，从而
问题转换成了不等式是否恒成立即可；
显然都是偶函数，
且时，满足，
故我们只需考虑不等式是否恒成立即可；
由三角函数线可知恒成立，
从而恒成立，
综上所述，对任意的，均有，即函数“三角优于”函数；
（3）若函数“三角优于”函数，
则当且仅当对任意的，均有，
显然都是周期为的函数，
所以当且仅当时，不等式恒成立，
显然都是偶函数，
所以当且仅当时，不等式恒成立，
（i）当时，恒成立，这就要求；
（ii）当时，恒成立，这就要求；
从而首先有，
其次时，不等式恒成立，
设，则
，
所以在上的图象关于直线对称，在上的图象关于点对称，
当，若，
这就要求，
从而时，不等式恒成立，
当且仅当时，不等式恒成立，
若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的，
当时，，
要使得当时，恒成立，这就要求，从而，
而时，不等式恒成立，
当且仅当时，恒成立，
若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的，
当时，，
要使得当时，恒成立，这就要求，从而，
设，；
所以，，时，不等式恒成立等价于
不等式恒成立，其中，
即当时，不等式恒成立，
由辅助角公式可知使得，
而，这就要求
，即.
41．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)已知函数的定义域.若实数a，，且满足，则称a和b是“f相关”的.
(1)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b；
(2)若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b；
(3)若，求所有满足a和b是“f相关”的实数b的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)或；
(3)
【分析】（1）根据题意，由“相关”的定义代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由“相关”的定义以及正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，由“相关”的定义以及辅助角公式代入计算，即可得到的范围，从而得到结果.
【详解】（1）由题意可得，即，即，
且，故或.
（2）由题意可得，整理可得，
即，故或，
且，因此或.
（3）由题，，
整理可得，
转化为，
即，
由正弦函数的值域可得，
即，
化简可得，
即，且，
解得，
所以b的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义问题以及三角恒等变换的应用，难度较大，解答本题的关键在于理解“f相关”的定义，然后结合三角恒等变换的知识解答.
42．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)设函数.
(1)若.求的值；
(2)议在处取得最大值.求；
(3)关于的方程在区间上恰有12个不同的实数解.求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由得，又即可解出，即可求解；
（2）利用辅助角公式有，其中，最后利用二倍角公式即可求解；
（3）由得周期为，原问题等价于关于的方程在区间上恰有4个不同的实数解，又得关于对称，得关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，在即可求解.
【详解】（1）因为.
所以.
又因为.可得：.
解得：或（舍去）.
所以所以.所以
（2），其中.
所以存在.使得为函数在区间上的最大值.
所以，所以..
（3）因为.
所以函数为周期函数.周期为.
所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有4个不同的实数解.
又由有关于对称，
可知关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解.
当时，，
所以.因为，所以.
因为.所以，解得.
所以的取值范围为.
一、填空题
43．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)奉贤中学的樱花（如左图所示）是一道美丽的风景线，每年樱花盛开的时候，赏花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设计了测量方案（如图所示），并做出了以下假设：假设1：假设樱花树顶端与底端构成的线段与教学楼平行；假设2：假设测量者能看到樱花树的顶端和底端；假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点.根据以上方案，同学们测量了以下数据：①；②；③；④；⑤.由于大雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4个数据依旧能计算出樱花树的高度，则模糊不清的数据可能为______.（填写一个序号即可）
【答案】②或④（填②/④/②④都算对）
【分析】首先设，再结合，根据条件，不同三角形中，根据正弦定理，即可求解树的高度，从而判断模糊不清的数据.
【详解】设，
因为，，所以，
在中，，
由正弦定理可得，可求得的长度，
在中，，，
由正弦定理可得，可求得及，
因为，所以，可求出樱花树的高度，
此过程中未用到数据②，故选②：
同理，若借助求及的长度，则无需用到数据④，故选④亦可.
故答案为：②或④
44．(24-25高一下·上海延安中学·期中)如图，货轮在海上以的速度沿着南偏东的方向航行，货轮在处观测到灯塔在其南偏东的方向上，航行半小时到达点，此时灯塔在其北偏东的方向上，则点与灯塔的距离为_____．

【答案】
【分析】在中，可得，，，结合正弦定理，即可求解
【详解】如图所示，由题意得，在中，可得，
，，
所以
由正弦定理得．
因此，点与灯塔的距离为是.

故答案为：.
45．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三角形有两个，则 的取值范围为_____.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.
【详解】在中，由及正弦定理可得：.
∵有两解，，即.
故答案为：.
46．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)在中，若，则的形状为__________.
【答案】直角三角形
【分析】利用正弦定理角化边，进而判断三角形形状.
【详解】在中，及正弦定理，得，
所以为直角三角形.
故答案为：直角三角形
47．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知 中，三边分别为 ，所对角为 、 、 ，若 ， 则 _____
【答案】/
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由可得，
故,
由于，故，
故答案为：
48．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)在锐角 中，若 ，则 等于_____.
【答案】/
【分析】利用正弦定理将已知等式中的边化为角，然后求解角的值.
【详解】已知，由正弦定理可得到，即
可得.因为是三角形内角，且为锐角,则 .
故答案为：.
二、解答题
49．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在中，已知，，分别根据下列条件求：
(1)；
(2)；
【答案】(1)无解
(2)或
【分析】（1）由正弦定理进行求解；
（2）由正弦定理进行求解．
【详解】（1）由正弦定理得，，得，
故无解．
（2）由正弦定理得，，得，
因为，所以或．
50．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点．
(1)若，求的长；（本题结果精确到米，，）
(2)以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值．
【答案】(1)米
(2)当时，为最大值，最大值为.
【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得；
（2）设，利用正弦定理表示出，从而表示出，，将转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）在为直角三角形，，，，
所以，则，
又，所以，
所以，
在中由正弦定理，即，
所以（米）.
（2）设，则，
在中由正弦定理，即，
所以，
所以，
，
所以
，
因为，所以当，即时为最大值，且最大值为，
即当时，为最大值，最大值为.
51．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)已知的内角所对边的长度分别为．
(1)若，求和外接圆半径的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解.
【详解】（1）因为，则，且.
由正弦定理得（为外接圆的半径），即，
即，，
因为，所以，
因此，；
（2）因为，
由正弦定理可得，
所以，
又，所以，所以，则，
又，所以.
52．(24-25高一下·上海顾村中学·期中)在中，角所对的边分别为，已知，.
(1)求的值；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理，得到，即可求解；
（2）由（1）知，得到，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：在中，因为，且，
由正弦定理得，所以.
（2）解：由，可得，所以，且，
又由（1）知，所以，
因为，则，
所以的面积为.
一、单选题
53．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)在中，角、、的对边分别是、、，，若表示的面积，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理得，余弦定理得，进一步可将目标式子转换为的二次函数即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
所以
令，则，当且仅当，即时取等号，
所以，则的最大值为．
故选：B．
54．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解；
对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解；
对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解；
对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解.
故选：D.
55．(24-25高一下·上海西中学·期中)在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由，利用向量的数量积和三角形的面积公式，得到，求得，再由余弦定理，结合，列出方程求得，得到，即可得到答案.
【详解】由，可得，
即，可得，
因为，可得，
又由余弦定理，可得，
因为，可得，所以，
整理得，即，所以，所以，
所以为等边三角形.
故选：B.
二、填空题
56．(24-25高一下·上海建平中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________．
【答案】
【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解.
【详解】根据正弦定理由可得，
又，所以，
故,
故答案为：
57．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度________米
【答案】
【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可.
【详解】设塔的高，
在中，，同理可得，，
在中，，则，
，
即，解得.
所以塔的高度为米.
故答案为：.
58．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)如图，在半径为的圆O中，弦BC所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为_________.
【答案】
【分析】连接，易得，，在中，求得，然后在中，利用余弦定理结合，求得，求出扇形OBC的面积为，然后由图中阴影区域的面积为求解.
【详解】连接，
因为，所以，，
，
在中，由余弦定理得
因，则，得，
所以，
，
扇形OBC的面积为，
所以图中阴影区域的面积为.
故答案为：
59．(24-25高一下·上海进才中学·期中)在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________．
【答案】
【分析】切化弦后化简，利用正弦定理得出，再由余弦定理及三角形面积公式转化为关于的二次函数求最值.
【详解】，，
则，
，
所以的面积
，
，即时，的面积的最大值为
故答案为：
60．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为__________．
【答案】
【分析】连接，利用余弦定理得到的长，再利用圆内接四边形的面积公式即可得到答案.
【详解】连接，
因为在圆内接四边形中，，，，，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中，，
，即，
解得或（舍去），则，
所以圆内接四边形的面积.
故答案为：.
61．(24-25高一下·上海延安中学·期中)在中，，则_____．
【答案】
【分析】先根据正弦定理得到三边的关系，再由余弦定理求出角，再利用分式的性质求解即可.
【详解】因为，
由正弦定理，
可得，设，
由余弦定理可得，
因为，所以，
由，可得，
因为
，
所以，
故答案为：.
62．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数、、满足：，，，则__________.
【答案】
【分析】结合余弦定理，将、、作为三角形的边，可得在内部，且，且，，，亦可知的三边，结合勾股定理及三角形面积公式可得解.
【详解】
设，，，
由，且，
则，，即，，
同理可得，，，，
则，即，
所以，
又，
则，
故答案为：.
63．(24-25高一下·上海西中学·期中) 中，若 ，则该三角形的最大角为_____
【答案】
【分析】由题意可得，可得最大，利用余弦定理可求最大角.
【详解】在中，由正弦定理可得，
设，所以在中，最大，
由余弦定理可得，
所以.
故答案为：.
三、解答题
64．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
(1)若，求；
(2)若面积等于，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由正弦定理求得，再根据大边对大角判断角的范围，即可求得角；
（2）先由三角形面积公式得，再由余弦定理求得，然后联立方程即可求得的值.
【详解】（1）由正弦定理，，即，
因，故，即是锐角，故；
（2）因为的面积为，所以，所以，
由余弦定理可得，所以，
所以，所以，解得或，所以或.
65．(24-25高一下·上海延安中学·期中)在中，角，，所对的边分别为，，，若．
(1)求的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用正弦定理，结合特殊角的三角函数值，即可得到；
（2）运用余弦定理，结合完全平方公式求出，再运用三角形的面积公式即可得所求．
【详解】（1）因为，
由正弦定理，得，
即，
所以，即
因为
所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，，
由余弦定理，得，
∵，，
∴，得，
所以的面积.
66．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)在中，a，b，c分别是角A，B，C．
(1)若，，求的外接圆的半径；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理求解可得；
（2）由余弦定理求得，进而得解.
【详解】（1）设的外接圆的半径为，
由正弦定理得：，
所以，故的外接圆的半径.
（2）由，得，
所以，又，则，
∴.
67．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)（1）在中，已知，求证：；
（2）在中，已知，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用余弦定理化简即得证；
（2）利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式代入化简，利用同角的基本关系式化弦为切即可得证.
【详解】（1）由和余弦定理，可得，化简得：，即得；
（2）由和正弦定理，可得，
因，
代入上式并整理得：(*)，
因是的内角，故，，
将（*）两边同除以，可得.
68．(24-25高一下·上海西中学·期中)如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口 的两条公路 ， 之间建造三角形的花园，已知 为 ，花园的另外两个顶点分别在 ， 两点（沿着公路且异于点 ，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道 ，已知观景通道长 ， 记
(1)试用 表示出 ， ，以及此花园 的面积.
(2) 为多少时，花园 的面积最大？最大面积为多少？
【答案】(1)，，；
(2)；.
【分析】（1）已知三角形中的两角一边，用内角和定理和正弦定理可表达剩余两边；
（2）表达面积，应用余弦定理和基本不等式可得解.
【详解】（1）在种，由已知可得，，
由正弦定理可知，，
则整理可得：，，
面积.
（2）因为，当有最大值时，三角形的面积最大，
由已知及余弦定理，可得
则，即，此时，，为等腰三角形，，
.
69．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施. 杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园. 如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到)

(1)若，求的长；
(2)记，求人行道路长度的最小值.
【答案】(1)米；
(2)米.
【分析】（1）根据题意，结合已知求其长度即可；
（2）由题意可得，应用二倍角正切公式、基本不等式求最小值，注意及取值条件，即可得.
【详解】（1）由，又，
且，，则，
所以米；
（2）由题设，知
，
由在的中点到之间运动（含端点），故，
而，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为米.
70．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)在中,内角所对的边分别为,的面积为,已知.
(1)求角A；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理与两角和的正弦公式即可求解；
（2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，再由三角形三边关系定理即可求解.
【详解】（1），
由正弦定理，可得，
.
，又.
（2）由余弦定理，可得
.
，当且仅当时取等号，
又有，
故的周长.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 常用三角公式和解三角形
（5大考点70题）（答案版）
1．A
2．B
3．
4．/
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．
12．
13．/
14．
15．
16．
17．(1)3
(2)
18．（1）；（2）
19．/
20．
21．
22．
23．
24．
25．/
26．
27．
28．(1)
(2)
29．(1)
(2)
30．(1)
(2)
31．(1)
(2)
32．(1)
(2)
33．（1）证明见解析；（2）
34．A
35．
36．
37．
38．
39．(1)
(2)当时，的最小值为
(3)或．
40．(1)（取法不唯一）
(2)函数“三角优于”函数，
当且仅当对任意的，均有，
显然都是周期为的函数，
所以只需考虑时，不等式是否恒成立即可，
因为，
所以恒成立，即当时，恒成立，
故我们只需考虑当且时，不等式是否恒成立即可，
即只需考虑时，不等式是否恒成立即可，
设，此时，从而
问题转换成了不等式是否恒成立即可；
显然都是偶函数，
且时，满足，
故我们只需考虑不等式是否恒成立即可；
由三角函数线可知恒成立，
从而恒成立，
综上所述，对任意的，均有，即函数“三角优于”函数；
（3）若函数“三角优于”函数，
则当且仅当对任意的，均有，
显然都是周期为的函数，
所以当且仅当时，不等式恒成立，
显然都是偶函数，
所以当且仅当时，不等式恒成立，
（i）当时，恒成立，这就要求；
（ii）当时，恒成立，这就要求；
从而首先有，
其次时，不等式恒成立，
设，则
，
所以在上的图象关于直线对称，在上的图象关于点对称，
当，若，
这就要求，
从而时，不等式恒成立，
当且仅当时，不等式恒成立，
若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的，
当时，，
要使得当时，恒成立，这就要求，从而，
而时，不等式恒成立，
当且仅当时，恒成立，
若满足题意则也满足题意，所以不妨设所求的，
当时，，
要使得当时，恒成立，这就要求，从而，
设，；
所以，，时，不等式恒成立等价于
不等式恒成立，其中，
即当时，不等式恒成立，
由辅助角公式可知使得，
而，这就要求
，即.
41．(1)或；
(2)或；
(3)
42．(1)
(2)
(3)
43．②或④（填②/④/②④都算对）
44．
45．
46．直角三角形
47．/
48．/
49．(1)无解
(2)或
50．(1)米
(2)当时，为最大值，最大值为.
51．(1)，
(2)
52．(1)
(2)
53．B
54．D
55．B
56．
57．
58．
59．
60．
61．
62．
63．
64．(1)
(2)或
65．(1)
(2)
66．(1)
(2)
67．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
68．(1)，，；
(2)；.
69．(1)米；
(2)米.
70．(1)
(2)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑