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专题04 三角函数（Ⅱ）（3大考点30题）
3大高频考点概览
考点01求图象变化前后的解析式
考点02由图象确定正余弦型函数解析式
考点03正切函数的图象与性质
单选题
1．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的最大值为1
C．将的图象向左平移单位后得的图象
D．将的图象向左平移单位后得的图象
【答案】D
【分析】先根据诱导公式化简，再结合三角函数的性质，对四个选项逐个分析可选出答案.
【详解】由诱导公式，，，
所以，
对于A，最小正周期为，故A错误；
对于B，的最大值为，故B错误；
对于C，将的图象向左平移单位后得，故C错误；
对于D，将的图象向左平移单位后得，故D正确.
故选：D.
2．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（ ）的图象
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.
【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，
将向右平移个单位得到.
故选：D
二、填空题
3．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则__________．
【答案】
【分析】由周期求出，即可求出的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到的值.
【详解】因为最小正周期为，
所以，解得，所以．
将的图象向左平移个单位长度，可得的图象，
根据所得图象关于轴对称，可得，解得，
又，所以．
故答案为：．
4．(24-25高一下·上海大同中学·期中)将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________.
【答案】
【分析】根据函数的朋友可得解析式，再根据正弦型函数的对称轴方程得解.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数，
令，
解得，
当时，得对称轴方程为，
故答案为：.
5．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为_________．
【答案】/
【分析】根据函数图象变换法则求出函数的解析式，解方程求，再结合条件求的最小值.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，
所以，
令，可得，
则或，
解得或，
所以的取值大于等于的零点从小到大依次为，
若在上至少有个零点，
则不小于第个零点的横坐标即可，
所以的最小值为，
故答案为：．
6．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的单调增区间为________.
【答案】
【分析】根据平移得出函数解析式，再由余弦函数的单调性得解.
【详解】由题意，，
令，解得，
所以函数的单调增区间为
故答案为：
7．(24-25高一下·上海育才中学·期中)函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为________.
【答案】
【分析】利用二倍角公式得，根据题意知的周期相同，得，由图像变换得到，再由函数的最大值为10，知同时取最大值，得到，从而求得的最小值.
【详解】，
对任意实数，，当时，都有成立，则有相同的周期，故，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
又因为函数的最大值为10，
所以同时取最大值.
所以，,所以的最小值为.
故答案为：.
8．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是__________.
【答案】.
【分析】求出平移后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可解得的最小正值.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，且该函数为偶函数，
则，解得，
因为，则当时，取最小值.
故答案为：.
三、解答题
9．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知函数的图象，如图所示：

(1)求的解析式；
(2)若在上是严格增函数，求实数的最大值.
(3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
(3).
【分析】（1）观察图象确定函数的最值，周期，由此可求，，再结合关系及的范围，求，由此可得的解析式；
（2）由条件结合正弦函数的单调性结论列不等式求的最大值即可，
（3）根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据条件根据正弦函数性质列不等式可求的取值范围.
【详解】（1）设函数的最小正周期为，
观察图象可得函数的最大值为，最小值为，，
所以，
所以，，
所以，
又，所以，
所以，，又，
所以
所以.
（2）由条件可得，，
设，则当时，，
因为在上是严格增函数，又
由条件，，
所以，解得，
所以.
所以的最大值是.
（3）因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象，
将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象，
所以，
令，可得，所以，，
所以，，
因为在区间上至少有个最大值，
又，
所以，所以，
所以，又，
所以.
10．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知函数
(1)求的最小值；
(2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心；
(3)当时，的值域为，求的值.
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，从而可得正弦型三角函数的最大值；
（2）根据图象变换得函数，结合正弦型三角函数的性质解方程求得的值，利用整体代换法求解函数的对称轴和对称中心即可；
（3）根据正弦型函数的性质确定函数的值域列不等式即可求得的值.
【详解】（1）由题意可得：.
因为，所以的最小值为.
（2）由平移变换知，
又因为，则，解得，
又因为，可得，所以，
令，对称轴为，
令，对称中心为
（3）当时，则，此时的值域为，
因为，可知，
且，可得，
则，解得，可得，
由可知，解得，
且，或，解得，或，所以的值为或.
11．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知，其中.
(1)若对任意的恒成立，且，求的值；
(2)当时，将函数图像向右平移个单位，得到函数的图像.设，若函数在上恰好有100个零点，求的最小值；
(3)当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据题意可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的周期公式求解；
（2）根据三角函数图象变换规律得到，求出函数的零点，利用正弦型函数的周期性求解；
（3）分别求出两个函数在上的值域，利用值域间的包含关系得到关于的不等式，求解即可.
【详解】（1）由题意，，
因为对任意的恒成立，且，
所以函数的最小正周期为，所以，得.
（2）当时，，
则，最小正周期，
令，则，
所以或，
得或，
因为函数在上恰好有100个零点，
所以的最小值为.
（3）当时，，
当时，，所以，
所以函数的值域为，
因为对任意，存在，使得成立，即成立，
设在上的值域为，
当时，，所以，
因为，所以的值域，
根据题意，，
则有，解得，又因为，所以.
所以实数的取值范围为.
一、单选题
12．(23-24高一下·上海五爱高级中学·期中)下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用周期可求，由图象可求，进而利用图象过点，可求，进而可得解析式.
【详解】由图象可得周期，所以，所以，
所廖以，由图象和各选项可得，
所以，由图象过点，
所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选：D.
13．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象关于直线对称
【答案】C
【分析】根据三角函数图像及性质，可求得其解析式，进而可判断A、B选项错误，再结合三角函数的对称性即可判断C选项正确，D选项错误.
【详解】设的周期为，根据函数图像可得，解得，故B错误；
又，解得，
因为当时，取得最小值，且，所以，
所以，即，
所以，解得，
又，取，得，所以，故A错误；
对于C，当时，，可得，
所以的图象关于点对称，故C正确；
对于D，当时，，取不到最大值或最小值，
所以直线不是图象的对称轴，故D错误．
故选：C.
二、填空题
14．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则________
【答案】
【分析】由“五点法”， 结合图象分别求出即可求解.
【详解】由图象知，，，即，
由图象过点，代入函数，
即，因为，则，
所以.
故答案为：.
15．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________．
【答案】.
【分析】根据图像求出周期和振幅，再根据最大值点求出.
【详解】由图可知，，
当时，函数取得最大值2，
故，
所以，又，
所以，
故答案为：.
16．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)函数的图象如图，则 的值为_____.
【答案】
【分析】先由函数图象得到符合题意的的表达式，再求出一个周期的值，再根据函数的周期性求值即可.
【详解】由图象可知，，解得，
又因为，所以，所以，
因为的图象过点，所以，
所以，所以，因为，令，可得，
所以.
所以，
因为，所以，
因为一共有2026项，且，
所以.
故答案为：
17．(24-25高一下·上海长征中学·期中)函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足______.
【答案】，
【分析】求函数的最小正周期，条件可转化为与关于对称，且，由此可求的值，的范围.
【详解】因为，所以函数的最小正周期，
所以函数在区间上的图象为一个周期的图象，
又函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，，
所以与关于对称，且，
所以，即，
故，所以，
故答案为：，.
18．(24-25高一下·上海西中学·期中)如图为函数 的部分图象，则 的值为_____
【答案】/
【分析】根据函数图象确定函数周期，求出的值，再结合在函数单调递增区间上，代入求解，即可得答案.
【详解】由图可知，则，
由图象可知点在函数单调递增区间上，则，
则，则，
由于，故，
故答案为：
19．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)函数的部分图象如图，则该函数的单调增区间为_____.
【答案】
【分析】根据函数图象求函数解析式，再应用正弦型函数的性质求单调增区间.
【详解】由图，则，故，可得，
所以，则，
所以，可得，而，故，
所以，
令，则，
所以函数单调递增区间为.
故答案为：
三、解答题
20．(24-25高一下·上海嘉定区第二中学·期中)已知函数，，的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)当时，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦型函数图象观察可得，利用代入最高点可得，从而可得解析式；
（2）利用正弦函数单调递增区间即可解得；
（3）利用定义域可得正弦函数的值域，从而可得函数值域.
【详解】（1）
根据图象可得：，，
由，因为，所以解得，
此时，代入最高点可得;
，可得，，
又因为，所以，
即；
（2）由，，解得，，
所以的递增区间为；
（3）当时，，此时有，
即的值域为.
21．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表：
x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
(1)请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由；
(2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式；
(3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？
【答案】(1).理由见解析
(2)
(3)1点进港，5点离港，或点进港，点离港；4小时；
【分析】（1）结合散点图即可判断；
（2）结合散点图即可求解；
（3）由（2）求解即可求解.
【详解】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点，
根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，
（2）由已知数据结合图象可得，，，，
故.
又，可取，
所以；
（3）由题意可得，则，，
所以，解得，
又，取可得：，取，可得，
所以该船可以1点进港，5点离港，或点进港，点离港，
所以卸货最多只能用4小时时间.
一、填空题
22．(24-25高一·上海宝山中学·期中)如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度___________来截.
【答案】
【分析】设正方形的边长为，可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得，结合可求得的值.
【详解】设正方形的边长为，则，，，
因为，即，则，可得，
又因为正方形的边长为，
由题意可得，整理可得，即，
因为，则，可得或，解得.
故答案为：.
23．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知函数，则的最小正周期为_________．
【答案】
【分析】利用二倍角正切公式化简，再根据周期函数的定义求解.
【详解】因为，
设是的周期，则，即，
，故或，，
即或，，
所以的最小正周期为.
故答案为：.
24．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)函数的最小正周期为______．
【答案】
【分析】根据正切函数最小正周期公式，即可求解.
【详解】函数的最小正周期为.
故答案为：
25．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)函数的最小正周期为______.
【答案】
【分析】根据正切型函数的性质计算可得.
【详解】函数的最小正周期.
故答案为：
26．(24-25高一下·上海建平中学·期中)把函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象，则的最小正周期为________.
【答案】
【分析】由题得到函数的解析式，再根据最小正周期计算公式计算即可.
【详解】函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象，
则函数，所以函数的最小正周期为.
故答案为：
27．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________．
【答案】
【分析】根据阴影面积得出，再结合诱导公式求出函数值.
【详解】函数的最小正周期，
由图可知，，函数，
所以，
故答案为：
28．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)点__________正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”）
【答案】是
【分析】先求出正切函数的对称中心，再判断即可.
【详解】的对称中心为，
所以是正切函数图象的对称中心.
故答案为：是
29．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)已知函数，则函数的最小值为_____.
【答案】
【分析】利用正切函数单调性求出最小值.
【详解】在上单调递增，
故当时，函数取得最小值为.
故答案为：
二、解答题
30．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)已知函数．
(1)若，求函数的最小正周期；
(2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围；
(3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期；
（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；
（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围．
【详解】（1）由于，且，
所以的最小正周期为.
（2）由，且，得，
若函数在区间上严格递增，
则只需保证，求得，则，
则的范围为．
（3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根，
则关于的方程至少有2024个根，
则至少存在个使得，
因函数的最小正周期为，
故至少包含2023个周期，即
又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则，
得，
所以的取值范围为．
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专题04 三角函数（Ⅱ）（3大考点30题）（答案版）
1．D
2．D
3．
4．
5．/
6．
7．
8．.
9．(1)
(2).
(3).
10．(1)
(2)，
(3)或
11．(1)；
(2)；
(3).
12．D
13．C
14．
15．.
16．
17．，
18．/
19．
20．(1)
(2)
(3)
21．(1).
(2)
(3)1点进港，5点离港，或点进港，点离港；4小时；
22．
23．
24．
25．
26．
27．
28．是
29．
30．(1)
(2)
(3)
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、产士三
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0307766中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 三角函数（Ⅱ）（3大考点30题）
3大高频考点概览
考点01求图象变化前后的解析式
考点02由图象确定正余弦型函数解析式
考点03正切函数的图象与性质
单选题
1．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的最大值为1
C．将的图象向左平移单位后得的图象
D．将的图象向左平移单位后得的图象
2．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（ ）的图象
A． B．
C． D．
二、填空题
3．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则__________．
4．(24-25高一下·上海大同中学·期中)将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________.
5．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为_________．
6．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的单调增区间为________.
7．(24-25高一下·上海育才中学·期中)函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为________.
8．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是__________.
三、解答题
9．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知函数的图象，如图所示：

(1)求的解析式；
(2)若在上是严格增函数，求实数的最大值.
(3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围.
10．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知函数
(1)求的最小值；
(2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心；
(3)当时，的值域为，求的值.
11．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知，其中.
(1)若对任意的恒成立，且，求的值；
(2)当时，将函数图像向右平移个单位，得到函数的图像.设，若函数在上恰好有100个零点，求的最小值；
(3)当时，设，记，若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围.
一、单选题
12．(23-24高一下·上海五爱高级中学·期中)下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
13．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象关于直线对称
二、填空题
14．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则________
15．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________．
16．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)函数的图象如图，则 的值为_____.
17．(24-25高一下·上海长征中学·期中)函数在区间上的图象截直线和所得弦长相等且不为，则参数和要同时满足______.
18．(24-25高一下·上海西中学·期中)如图为函数 的部分图象，则 的值为_____
19．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)函数的部分图象如图，则该函数的单调增区间为_____.
三、解答题
20．(24-25高一下·上海嘉定区第二中学·期中)已知函数，，的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)当时，求函数的值域.
21．(24-25高一下·上海浦东新区·期中)在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表：
x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
(1)请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由；
(2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式；
(3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？
一、填空题
22．(24-25高一·上海宝山中学·期中)如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度___________来截.
23．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知函数，则的最小正周期为_________．
24．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)函数的最小正周期为______．
25．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)函数的最小正周期为______.
26．(24-25高一下·上海建平中学·期中)把函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象，则的最小正周期为________.
27．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________．
28．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)点__________正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”）
29．(24-25高一下·上海杨浦区·期中)已知函数，则函数的最小值为_____.
二、解答题
30．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)已知函数．
(1)若，求函数的最小正周期；
(2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围；
(3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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