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专题03 三角函数（Ⅰ）：正弦、余弦函数的图象与性质
（6大考点60题）
3大高频考点概览
考点01求sinx型三角函数的单调性
考点02求sinx型三角函数的单调性
考点03由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
考点04 由正弦（型）函数的最小正周期
考点05 利用正弦函数的对称性求参数
考点06 余弦函数的图象与性质
一、单选题
1．(24-25高一下·上海宜川中学·期中)函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解不等式，即可求得函数的单调递增区间.
【详解】求函数的单调递增区间.
由，可得，
因此，函数的单调递减区间是.
故选：C.
二、填空题
2．(24-25高一下·上海实验学校·期中)函数的严格增区间为______.
【答案】
【分析】根据正弦函数的单调区间求解函数在区间上的严格增区间即可.
【详解】因为，所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以当时，即时，函数严格递增，
所以函数的严格增区间为.
故答案为：.
3．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知关于的方程在有两个不等的实根，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数，分析该函数在上的性质即可.
【详解】函数，当时，，
当时，函数单调递增，函数值从1增大到，
当时，函数单调递减，函数值从减小到，
当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
即关于的方程在有两个不等的实根，
所以的取值范围为.
故答案为：
三、解答题
4．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知函数．
(1)求的值域，并写出的单调递增区间；
(2)求的对称轴方程，并求方程的解集．
【答案】(1)；
(2)；或
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变形，然后借助正弦函数来求值域和单调区间即可；
（2）然后借助正弦函数来求对称轴方程以及解三角方程即可.
【详解】（1）由，
因为，所以函数的值域为，
由解得：，
所以函数的单调递增区间是；
（2）由，解得：，
即函数的对称轴方程为，
由方程，
则或，
解得或，
故方程的解为或，
5．(24-25高一下·上海通河中学·期中)已知函数的表达式为.
(1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间；
(2)若，设函数的表达式为，求当 时，的值域.
【答案】(1)，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间；
（2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域.
【详解】（1）因为，由题知，解得，则，
由，解得，
所以单调递增区间为；
（2）由，知，
当时，，所以，
所以.
6．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，．
(1)当时，求，的值；
(2)求的单调增区间；
(3)函数，的最小值为，求实数的值．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或
【分析】（1）利用三角函数定义计算.
（2）利用给定关系列式，再利用和角的正弦及辅助角公式化简，借助正弦函数的单调性求出单调递增区间.
（3）利用二倍角的余弦公式变形，换元转化为求解二次函数在指定区间上的最值问题.
【详解】（1）依题意，，.
（2）依题意，
，
由，解得，
所以的单调递增区间为.
（3）由（2）得，
令，则，
函数的图象是开口方向向下，对称轴为的抛物线，
①当，即时，，解得；
②当，即时，，解得，
所以实数的值为或.
7．(24-25高一下·上海川沙中学·期中)设函数，
(1)求在上的解；
(2)求，的增区间．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的图象与性质直接求解即可；
（2）令，，再根据即可求出增区间.
【详解】（1）令，所以或，，
因为，所以.
（2）令，，解得.
因为，所以的增区间为.
8．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)已知.
(1)试将表示成的形式.
(2)当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间.
(3)对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正余弦的二倍角公式和辅助角公式即可化简；
（2）先写出表达式，利用其最小值求出，再利用正弦函数的单调区间即可求出答案；
（3）先求出的最大值，存在，则只需小于关于的函数的最大值，由此可得出答案.
【详解】（1）由二倍角公式及辅助角公式可得
.
（2）由题意得，，
由，，
令，解得，
在内，，所以单调减区间为.
（3）由（2）知在的最大值为，
在有解，即在有解，
而，所以.
9．(24-25高一下·上海新川中学·期中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.
【答案】(1)；
(2)，；
(3).
【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，进而求正弦函数的最小正周期；
（2）由正弦型函数的性质求增区间；
（3）由题设在上有两个不同根，且，，应用差角余弦公式、二倍角正弦公式求函数值.
【详解】（1）由题设，
所以，最小正周期；
（2）令，则，，
所以，增区间为，.
（3）由，则，
所以在上有两个不同根，且，，
由，若，则，
所以，故，
所以，
所以，可得，
所以.
一、单选题
10．(24-25高一·上海宝山中学·期中)关于函数的判断，正确的是（ ）
A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数
B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数
C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数
D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数
【答案】D
【分析】由二倍角公式得，再结合余弦型函数的相关性质逐项判断即可．
【详解】，
则振幅为，值域为，
当，即时，函数单调递减，
则时，函数在上是单调减函数，在区间上不单调，
故在上是单调增函数，在区间上不单调，
故选：D．
11．(24-25高一下·上海光明中学·期中)在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为；②该函数为奇函数；
③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据“正余弦函数”定义结合题给条件得出，结合正弦函数性质，对“正余弦函数”的性质进行逐一判断.
【详解】由题知，点坐标为，则
.
性质①：，值域为，正确.
性质②：，
，所以，错误.
性质③：当时，，，非最值；
最值出现在，即，错误.
性质④：正弦函数为周期函数，最小正周期为，
故为周期函数，最小正周期为，正确.
综上，性质①④正确，共2个.
故选：B.
12．(24-25高一下·上海金山中学·期中)已知满足，有下列四个结论：
①、可能都是锐角；②、中一定存在钝角；③；④．
以上结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】假设，都是锐角，可得，与已知矛盾，从而可得以，中一定存在钝角，则角为锐角，从而可判断结论的真假.
【详解】假设，都是锐角，则，故是锐角.
则，同理，从而，矛盾.
故，中必定有一个为钝角，②对①错.
不妨设为钝角，则，为锐角.
，
，
，
看成关于的一元二次方程，注意到，
则判别式恒成立，且两根之积为负数.
从而对任意锐角，必存在唯一钝角符合关系式，因为，
所以也为钝角，所以为锐角. 故可取遍任意锐角，
所以，即，③正确，
又因为任意一个集合都是自身的子集，则，故④正确，
故选：C．
13．(24-25高一下·上海中学·期中)函数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】运用拆角变换，逆用差角的正弦公式，化简函数式，即可求得其最值.
【详解】因
，故其最大值为1.
故选：A.
二、填空题
14．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)定义，若函数，给出下列四个命题：
①该函数是周期函数，且最小正周期是；
②该函数的值域是；
③该函数是偶函数；
④对任意，恒成立.
上述命题中错误的序号是____________．
【答案】①②
【分析】根据题意化简得：据此逐项分析即可
【详解】令，解得：，
同理，解得：，
对于①，若最小正周期是，则成立，
所以，最小正周期不是，①错误
对于②，当时，，
，值域为，
当时，，
，值域为，
综上，该函数的值域是，②错误
对于③，定义域为，关于原点对称
，
，
是偶函数，③正确
对于④，当时，
，
当时，
，
综上，对任意，恒成立，④正确
故答案为：①②
15．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)函数，的值域是_________．
【答案】
【分析】利用正弦函数的性质即可求得值域.
【详解】因为，根据正弦函数的性质可知，
即函数的值域为，
故答案为：.
16．(24-25高一下·上海新川中学·期中)已知函数，.当时，则的最大值为_____.
【答案】2
【分析】应用正弦型函数的性质求区间最大值即可.
【详解】由，则，故，
所以的最大值为2.
故答案为：2
17．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为________.
【答案】/
【分析】首先从而求得及函数的最小正周期，再根据，可知的最小值为.
【详解】因为，所以，即，
且的最小正周期，
又存在实数、，对任意实数总有成立，
∴，，
的最小值为.
故答案为：.
三、解答题
18．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知，且的内角A满足为函数最大值．
(1)求函数的值域及角A的值；
(2)在（1）的条件下，又，求边的最小值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据正弦型函数值域及最值，利用整体法计算即可；
（2）由题意可得，结合基本不等式求解即可．
【详解】（1），
，
当，即时，取得最大值，
，
为函数最大值时，；
（2）由（1）知，设，角对应边为，
，解得，
由余弦定理，即，
（当且仅当时取等），
即边的最小值为．
19．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)如图，某公园有三条观光大道，，围成直角三角形，其中直角边，斜边.
(1)若甲乙都以每分钟的速度从点出发，甲沿运动，乙沿运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；
(2)现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点，，（，，分别是，，中点）.设，，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，求甲乙之间的最小距离，并指出此时的值.
【答案】(1)m
(2)，当时，
【分析】（1）先设乙出发后的第末甲在D处，乙在E处，得出，，由余弦定理可得答案.
（2）先得出，，由正弦定理可以把表示为的函数，由三角函数的性质得出最值.
【详解】（1）在，，由，得，
设乙出发后的第末甲在D处，乙在E处，则，，
由余弦定理，得，解得，
所以乙出发后的第末甲乙之间的距离为.
（2）由（1）知，，，
在中，，则，
，，则，
由，即，得，
因此，，所以当时，y取最小值.
20．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)近年来，金山区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.
(1)若，求矩形的面积S；
(2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
【答案】(1)
(2)当时，取得最大值，最大值为
【分析】（1）在直角三角形中利用半径与分别表示出和，进而可得矩形面积表达式，利用二倍角公式及辅助角公式将化简变形，将代入即可求解；
（2）由（1）可知矩形的面积为，其中结合角的范围及正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）在中，，，
，，其中.
在中，，，
，，
∴矩形的面积为
当时，
，
即矩形的面积为 .
（2）由（1）知：矩形的面积为，其中.
，
∴当，即时，取得最大值，最大值为.
21．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)如图，某小区有一块空地，其中米，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上（，不与，重合，且在，之间），．设．
(1)若米，求的值；
(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小．问：当为多大时的面积最小？并求出面积的最小值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用余弦定理计算可求得，可得的值；
（2）利用正弦定理用表示出，再结合条件得到，根据三角函数性质求最值即可.
【详解】（1）由题意知为等腰直角三角形，且，
在中，由，，利用余弦定理可得：
，
即可得；
利用余弦定理的推论可得，
因此
（2）依题意可知，则；
在中由正弦定理，
可得；
在中，由正弦定理，
可得；
因此的面积为
，
因为，所以，即，
因此，
当且仅当时，即时，等号成立；
故面积的最小值为.
一、单选题
22．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先利用两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，
因为，所以，
因为，所以，
不妨令，即，则，所以，
所以，，
所以的取值范围是.
故选：D
二、填空题
23．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)若，则的最小值为________．
【答案】/
【分析】利用辅助角公式化简，即可得到，再由正弦函数的性质求出，的取值，即可得解.
【详解】因为，
，
若，
即，所以或，
根据对称性不妨令，
则，，
所以，
所以当时取得最小值.
故答案为：
24．(24-25高一下·上海实验学校·期中)函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】先求出，根据恰有个最高点，得到不等式，求出答案.
【详解】由于，所以，
由于图象在区间上恰有2个最高点，则，解得.
所以的取值范围为
故答案为：
25．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】由题意可知，对任意的，，参变分离得，利用正弦函数的基本性质求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可知，对任意的，恒成立，
即，
当时，，所以，则，
故，即实数的取值范围是.
故答案为：.
26．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若直线是函数图象的对称轴，且在上无最值，则__________．
【答案】或
【分析】首先利用辅助角公式化简，再根据对称性求出，根据函数在上无最值，求出的范围，即可得解.
【详解】因为
，
又直线是函数图象的对称轴，所以，
则；
当，则，
又在上无最值，所以，解得，则，
所以或，则或（负值舍去）；
故答案为：或
一、单选题
27．(23-24高一下·上海闵行区六校联考·期中)在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，
①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为.
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用三角函数新定义结合辅助角公式化简函数，然后根据正弦函数的性质一一判定各个命题即可.
【详解】由题意可知：，显然该函数的值域为，即①正确；
当时，，即该函数图象关于原点对称是错误的，故②错误；
当时，，即该函数图象不关于直线对称，故③错误；
易知该函数为周期函数，其最小正周期为，故④正确.
故选：B
二、填空题
28．(24-25高一下·上海育才中学·期中)函数的最小正周期为________．
【答案】
【分析】利用正弦型函数的周期公式计算.
【详解】利用正弦型函数的周期公式计算，得到函数的最小正周期为.
故答案为：2.
29．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)函数的最小正周期是_________．
【答案】
【分析】由周期公式即可求解.
【详解】函数的最小正周期是.
故答案为：.
30．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若函数的最小正周期是，则__________．
【答案】
【分析】用二倍角公式化简得，再根据最小正周期的计算方法求解即可.
【详解】函数化简为，所以函数的最小正周期为，所以.
故答案为：
三、解答题
31．(24-25高一下·上海延安中学·期中)求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值．
【答案】最小正周期，最大值为3，当，时取得最大值
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】依题意，，
函数的最小正周期，函数的最大值为3，
当，即，时取得最大值．
32．(23-24高一下·上海五爱高级中学·期中)已知函数（）.

(1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期；
(2)求函数的单调增区间；
(3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围.
【答案】(1)；最小正周期为
(2)
(3)图象见解析；
【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解；
（2）由（1）知，结合三角函数的性质，即可求解；
（3）根据五点作图法，画出函数的图象，根据题意，转化为和的图象在内有两个不同的交点，结合图象，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
所以函数的最小正周期为.
（2）解：由（1）知，
令，解得，
所以函数的单调递增区间.
（3）解：由，可得，
列表：
1 3 1 1
描点、连线

由函数在内有两个相异的零点，
即在内有两个相异的实根，
即和的图象在内有两个不同的交点，
因为，可得，
当时，即，可得；
当时，即，可得；
当时，即，可得，
要使得和的图象在内有两个不同的交点，
结合图象，可得，解得，即实数的取值范围为.

33．(23-24高一下·上海闵行区六校联考·期中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数，求函数的单调递减区间；
(3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，然后由周期公式可得；
（2）求出，然后由正弦函数的单调性即可求解；
（3）将问题转化为函数与的图象有两个交点，数形结合可得.
【详解】（1）因为，
所以.
（2），
由，解得，
所以函数的单调递减区间为.
（3）由得，
当时，，
所以，
作出函数在的图象，如图：

由函数与的图象有两个交点，
得，即，即实数的取值范围为.
34．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知函数的定义域为．满足条件“存在非零实数，只要（、且），都有”的的全体记作集合．若，称函数具有性质．
(1)下列三个函数中哪些函数具有性质？并写出对应的集合（无需证明）；
①；②；③（表示不超过的最大整数）．
(2)已知定义域为的函数具有性质．求证：“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”．
(3)已知函数具有性质且，且满足：当时；当时．若方程恰有4个解，试求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明过程见解析
(3)
【分析】（1）只需根据新定义来判断即可；
（2）证明不必要性只需举出例子即可，证明充分性只需结合新定义以及周期性的定义来证明即可；
（3）首先得出函数的一般的表达式，进一步画出函数图象，只需通过观察函数图象的交点个数并结合分类讨论即可求解.
【详解】（1）对于①，，若，、，，则只能，
若，，则，
故函数不具有性质；
对于②，，
若，、，，
由可得，
故，
取，且，则，故，
若，则时，
或，（），
若，则恒成立，
若，则，
而，故也成立，
综上，，
对于③，，
若，
则对任意的非零整数总有，
若存在，
也满足恒成立，
取，则，
， ，
故不存在非整数，使得具有性质，
综上，.
（2）若定义域为的函数具有性质，
则当且仅当使得当（、且）时，都有；
若为偶函数，因为为偶函数，故，
当时，则有，故，
故，故为周期函数，且周期为.
取，，则时，总有，
当为奇函数，
综上，“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”；
（3）由题意当且时，若，则只能，
又函数具有性质且（事实上根据新定义可知，函数具有性质且），
从而，
又，所以，从而在上的图象关于直线对称，
当且时，若，则只能，
因为函数具有性质且，
所以，而，从而在上的图象关于直线对称，
当时，此时的图象关于直线对称；
当时，此时的图象关于直线对称；
依次类推可得的图象在时关于直线对称，
当时，，
依次类推当时，，
因为当时，，所以当时，，
……，
所以当时，，
由此可画出函数的图象，如下图所示：
显然当时，方程有无数多个解，故不符合题意，
当时，的图象与反比例函数的图象在第二象限的一支会有无数多个交点，故不符合题意，
现在我们来看的情形，此时方程的根只能是正根，
当时，结合二次函数性质可知，方程的根的情况如下：
（i）当时，方程有2个根；
（ii）当时，方程有1个根；
（iii）当时，方程有0个根；
若方程恰有4个解，
（i）当时，若方程上有2个根，
则需满足，但这不可能成立；
（ii）当时，若方程上有3个根，
则需满足，但这不可能成立；
（iii）当时，若方程上有4个根，
则需满足，解得；
综上所述，满足题意的实数的取值范围为.
一、单选题
35．(24-25高一下·辽宁沈阳二十中学·)设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元，将原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，继而数形结合，列出符合题意的不等式，求得答案.
【详解】令，则，令，则，
则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，
使得，求的取值范围；
作出和的图象，如图：
结合图象可知满足条件的最短区间的长度为，
最长区间的长度为，
故得，解得，即，
故选：B
二、填空题
36．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________.
【答案】
【分析】首先根据两角和的正弦公式化简，依题意可得为的一个对称中心，即可求出的取值集合，再根据单调性求出的范围，即可得到的值，再一一检验即可.
【详解】因为，
由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心，
又，所以，即，；
又函数在区间上是单调函数，
所以，解得，
所以或或，
当时，由，所以，
因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去；
当时，由，所以，
因为在上单调递减，所以在上单调递减，符合题意；
当时，由，所以，
因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去；
综上可得.
故答案为：
37．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数，若满足（），则的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据解析式画出大致图象，结合正弦函数的对称性有，对数函数的性质得，即可得.
【详解】由解析式，函数的大致图象如下，
由图，要使，则，且，
令，可得，令，可得，
所以，故.
故答案为：
38．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据函数对称性定义得出函数关于直线对称，再结合方程在上有奇数个不同的实数解得出即可求参.
【详解】，
得关于直线对称，
而原方程有奇数个实数解，由对称性必为原方程的一个实数解，
从而，
故答案为:
39．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____.
【答案】
【分析】依题意可得，根据正弦型函数的周期公式计算可得.
【详解】因为和是函数相邻的两个零点，设函数的最小正周期为，
所以，则，又，解得.
故答案为：
40．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据题意得到的图象关于直线对称，从而三角函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为，则在取得最值，
所以的图象关于直线对称，且，
又函数在区间上有且仅有一个零点，设的最小正周期为，
所以，即，所以.
故答案为：
41．(24-25高一下·上海延安中学·期中)直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____．
【答案】2
【分析】利用正弦函数的周期性得到，再利用整体代入法求出对称轴，进而求出的横坐标，再代入解析式中结合诱导公式求解参数即可.
【详解】由正弦函数性质得的周期为，
如图，由题意得直线与函数图像的相邻的三个交点，
从左自右依次为、、，
则，因为，所以，
解得，令，解得，
由正弦函数性质得、关于对称，且设的横坐标为，
则，
而的纵坐标为，代入解析式中得到，
.
故答案为：
一、单选题
42．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】先根据余弦函数对称轴的性质求出的表达式，在代入中计算即可.
【详解】令，解得， 是函数图像的一条对称轴，，
则，
当为偶数时，，则；
当为奇数时，，则，
的值为或.
故选：C.
43．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)下列命题中不正确的是（ ）
A．在中，若，则三角形为钝角三角形
B．半径为2的圆上，圆心角为1rad所对的弧长为2
C．若且，则
D．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标为
【答案】C
【分析】由正余弦定理可判断A，由弧长公式可判断B，由余弦函数图象性质可判断C，由旋转公式可判断D.
【详解】对A，，则，
令，
，由余弦定理得最大角为钝角，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，则，故C错误；
对D，设点在角的终边上，且，则，，
点在角的终边上，且，
于是点的坐标满足：，，
所以，故D正确.
故选：C.
44．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知有两解，以为整体，结合余弦函数图象分析求解.
【详解】令，可得，
函数在上有且仅有2个零点，即有两解，
因为，且，则，可知的区间长度为，
可得，解得，
所以的取值范围为.
故选：A.
二、填空题
45．(24-25高一下·上海光明中学·期中)函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则______．
【答案】1
【分析】根据余弦函数的周期结合题意，列式求解，即得答案.
【详解】函数的最小正周期为，
则由相邻两条对称轴之间的距离为，可得.
故答案为：1
46．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】已知对任意都有成立，说明是函数的最小值，是函数的最大值，而的最小值就是半个周期.
【详解】对于余弦函数，其周期公式为，
因为对任意的都有成立，所以是函数的最小值，是函数的最大值，
根据余弦函数的性质，相邻的最大值点与最小值点之间的水平距离是半个周期，所以的最小值为,
已知，则.
故答案为：.
47．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________
【答案】
【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可.
【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，
而且，，
所以由函数的定义域为，值域为，
可得：，所以实数的取值范围为，
故答案为：.
48．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为______.
【答案】
【分析】由可求出的取值范围，根据余弦函数的单调性得出，即可求出的取值范围，进而可得出的最大值.
【详解】当时，，
函数在上是严格减函数，则，
则，解得，所以的最大值为.
故答案为：.
49．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)函数是________函数（填“奇”或“偶”）
【答案】偶
【分析】由诱导公式、偶函数的定义即可得解.
【详解】显然的定义域关于原点对称，
且，故函数是偶函数.
故答案为：偶.
50．(24-25高一下·上海中学·期中)定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】由三角函数新定义，将已知不等式等价转化成，利用同角的三角函数基本关系式化简右式，借助于基本不等式即可求得其最值即可.
【详解】由已知可得，
即，
因为，所以，
则，
因，当且仅当时等号成立，
此时，故.
故答案为：.
51．(24-25高一下·上海大同中学·期中)设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为________.
【答案】
【分析】直接解方程即可得
【详解】令，则有或，
解得或，
又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，
所以，，，，，，，，
故，.
所以即，
则，解得，
故答案为：.
52．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由为偶函数，其图象关于轴对称，得到一个零点为，求得，得到函数的零点，转化为与的图象交点个数，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，
可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称，
因为有5个零点，所以必有一个零点为，
则，可得，
所以函数的零点，
等价于函数与的图象在上的交点个数，
由，可得，
要使得函数与的图象在上有5个交点，
则满足，解得，即实数的范围为.
故答案为：.
53．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知实数、满足方程，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据指数函数和三角函数的性质可得，从而得解.
【详解】由得，
因为，所以，
所以，故，
所以，故.
故答案为：.
54．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知函数给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为；
（2）该函数的最小正周期为；
（3）当且仅当，时，；
（4）对任意，恒成立．上述命题中正确的序号是______．
【答案】（3）（4）
【分析】化简函数后作出函数在一个周期内的图象，根据函数图象求出函数的值域和周期判断（1）（2），结合函数图象及周期性判断（3），根据诱导公式和同角三角函数基本关系，分段化简求值即可判断（4）.
【详解】因为，所以，
即，所以，
因为，所以，
即，所以，
综上，，且，
则在一个周期的图象如下：
由图知：值域为，故（1）不正确；
该函数是以为最小正周期的周期函数，故（2）不正确；
该周期内的区间为，
故恒有，故（3）正确；
当时，
当时，
当时，
；
综上，任意恒成立，故（4）正确．
故答案为：（3）（4）
55．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，则的值为______.
【答案】/
【分析】利用奇函数的性质及周期性有，再应用解析式即可求值.
【详解】由题设.
故答案为：
56．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】参变分离可得在上有解，根据余弦函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为关于的方程在上有解，
所以在上有解，
又，所以，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：
57．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)函数的单调增区间为_______．
【答案】
【分析】先求出函数的增区间，再与取交集即可解出．
【详解】令，解得，
所以的增区间为，
又，所以在上的单调增区间为.
故答案为：.
58．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)设，若，则的最大值等于__________．
【答案】6
【分析】根据给定条件，结合正余弦函数的有界性求出的所有值，进而求出比值的最大值.
【详解】由，得，则，同理，
于是，而，
因此，解得，
又，则，
要最大，则同号，且最小，最大，
所以当时，取得最大值6.
故答案为：6
三、解答题
59．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
(1)已知，判断它是否为“函数”；
(2)若函数是“函数”，当，，求在上的解.
(3)判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由.
【答案】(1)是“函数”
(2)
(3)是，，，
【分析】（1）根据函数新定义列式计算判断即可；
（2）根据函数新定义结合正弦函数余弦函数值域计算求解；
（3）应用辅助角公式结合新定义列式计算求参.
【详解】（1）若是为“函数”，则存在实数，，使得对任意的实数恒成立，
即，即对任意的实数恒成立，
则， 解得，
所以是“函数”
（2）因为函数是“函数”，所以，
由于当，，
当，则，所以，
当，则，所以，
当，则，所以，
当，则，所以，
则，
所以当，，
令，则，
所以或，即或，
因为，所以
故在上的解为.
（3）由题可得：，
则，其中，且，
由于，可化为，
即
由已知条件，上式对任意的实数恒成立，故必有：
解得：，
由，解得：
所以函数为“函数，其中，，.
60．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数，的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式化简，再由正弦型函数的单调性求解；
（2）由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简，换元后转化为二次函数求值域即可.
【详解】（1）
，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）,
令，由可得，
则，，
对称轴为，图象开口向下，
所以当时，，
当时，，
所以函数值域为.
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专题03 三角函数（Ⅰ）：正弦、余弦函数的图象与性质
（6大考点60题）（答案版）
1．C
2．
3．
4．(1)；
(2)；或
5．(1)，单调递增区间为
(2)
6．(1)，；
(2)
(3)或
7．(1)
(2)
8．(1)
(2)
(3)
9．(1)；
(2)，；
(3).
10．D
11．B
12．C
13．A
14．①②
15．
16．2
17．/
18．(1)；
(2)
19．(1)m
(2)，当时，
20．(1)
(2)当时，取得最大值，最大值为
21．(1)
(2)
22．D
23．/
24．
25．
26．或
27．B
28．
29．
30．
31．最小正周期，最大值为3，当，时取得最大值
32．(1)；最小正周期为
(2)
(3)；
33．(1)；
(2)；
(3).
34．(1)对于①，，若，、，，则只能，
若，，则，
故函数不具有性质；
对于②，，
若，、，，
由可得，
故，
取，且，则，故，
若，则时，
或，（），
若，则恒成立，
若，则，
而，故也成立，
综上，，
对于③，，
若，
则对任意的非零整数总有，
若存在，
也满足恒成立，
取，则，
， ，
故不存在非整数，使得具有性质，
综上，.
（2）若定义域为的函数具有性质，
则当且仅当使得当（、且）时，都有；
若为偶函数，因为为偶函数，故，
当时，则有，故，
故，故为周期函数，且周期为.
取，，则时，总有，
当为奇函数，
综上，“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”；
(3)
35．B
36．
37．
38．
39．
40．
41．2
42．C
43．C
44．A
45．1
46．
47．
48．
49．偶
50．
51．
52．
53．
54．（3）（4）
55．/
56．
57．
58．6
59．(1)是“函数”
(2)
(3)是，，，
60．(1)
(2)
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专题03 三角函数（Ⅰ）：正弦、余弦函数的图象与性质
（6大考点60题）
3大高频考点概览
考点01求sinx型三角函数的单调性
考点02求sinx型三角函数的单调性
考点03由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
考点04 由正弦（型）函数的最小正周期
考点05 利用正弦函数的对称性求参数
考点06 余弦函数的图象与性质
一、单选题
1．(24-25高一下·上海宜川中学·期中)函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
2．(24-25高一下·上海实验学校·期中)函数的严格增区间为______.
3．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知关于的方程在有两个不等的实根，则的取值范围为________．
三、解答题
4．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)已知函数．
(1)求的值域，并写出的单调递增区间；
(2)求的对称轴方程，并求方程的解集．
5．(24-25高一下·上海通河中学·期中)已知函数的表达式为.
(1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间；
(2)若，设函数的表达式为，求当 时，的值域.
6．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设函数，．
(1)当时，求，的值；
(2)求的单调增区间；
(3)函数，的最小值为，求实数的值．
7．(24-25高一下·上海川沙中学·期中)设函数，
(1)求在上的解；
(2)求，的增区间．
8．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)已知.
(1)试将表示成的形式.
(2)当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间.
(3)对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围.
9．(24-25高一下·上海新川中学·期中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.
一、单选题
10．(24-25高一·上海宝山中学·期中)关于函数的判断，正确的是（ ）
A．振幅为1，值域为，在区间上是单调减函数
B．振幅为，值域为，在区间上是单调减函数
C．振幅为1，值域为，在区间上是单调增函数
D．振幅为，值域为，在区间上是单调增函数
11．(24-25高一下·上海光明中学·期中)在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为；②该函数为奇函数；
③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．(24-25高一下·上海金山中学·期中)已知满足，有下列四个结论：
①、可能都是锐角；②、中一定存在钝角；③；④．
以上结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．(24-25高一下·上海中学·期中)函数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
二、填空题
14．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)定义，若函数，给出下列四个命题：
①该函数是周期函数，且最小正周期是；
②该函数的值域是；
③该函数是偶函数；
④对任意，恒成立.
上述命题中错误的序号是____________．
15．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)函数，的值域是_________．
16．(24-25高一下·上海新川中学·期中)已知函数，.当时，则的最大值为_____.
17．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知，是函数的最大值，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值为________.
三、解答题
18．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知，且的内角A满足为函数最大值．
(1)求函数的值域及角A的值；
(2)在（1）的条件下，又，求边的最小值．
19．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)如图，某公园有三条观光大道，，围成直角三角形，其中直角边，斜边.
(1)若甲乙都以每分钟的速度从点出发，甲沿运动，乙沿运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；
(2)现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点，，（，，分别是，，中点）.设，，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，求甲乙之间的最小距离，并指出此时的值.
20．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)近年来，金山区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设.
(1)若，求矩形的面积S；
(2)若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
21．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)如图，某小区有一块空地，其中米，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上（，不与，重合，且在，之间），．设．
(1)若米，求的值；
(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小．问：当为多大时的面积最小？并求出面积的最小值
一、单选题
22．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
23．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)若，则的最小值为________．
24．(24-25高一下·上海实验学校·期中)函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为______.
25．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________．
26．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若直线是函数图象的对称轴，且在上无最值，则__________．
一、单选题
27．(23-24高一下·上海闵行区六校联考·期中)在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，
①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为.
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
28．(24-25高一下·上海育才中学·期中)函数的最小正周期为________．
29．(24-25高一下·上海闵行区普高·期中)函数的最小正周期是_________．
30．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若函数的最小正周期是，则__________．
三、解答题
31．(24-25高一下·上海延安中学·期中)求函数的最小正周期、最大值，并求出取得最大值时所有的值．
32．(23-24高一下·上海五爱高级中学·期中)已知函数（）.

(1)化简的解析式，并写出函数的最小正周期；
(2)求函数的单调增区间；
(3)用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数k的取值范围.
1 3 1 1
33．(23-24高一下·上海闵行区六校联考·期中)已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数，求函数的单调递减区间；
(3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围.
34．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知函数的定义域为．满足条件“存在非零实数，只要（、且），都有”的的全体记作集合．若，称函数具有性质．
(1)下列三个函数中哪些函数具有性质？并写出对应的集合（无需证明）；
①；②；③（表示不超过的最大整数）．
(2)已知定义域为的函数具有性质．求证：“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”．
(3)已知函数具有性质且，且满足：当时；当时．若方程恰有4个解，试求的取值范围．
一、单选题
35．(24-25高一下·辽宁沈阳二十中学·)设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
36．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________.
37．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知函数，若满足（），则的取值范围是______.
38．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的取值范围是________．
39．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____.
40．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________．
41．(24-25高一下·上海延安中学·期中)直线与函数图像的相邻的三个交点从左自右依次为、、，若，则_____．
一、单选题
42．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（ ）
A． B．
C．或 D．或
43．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)下列命题中不正确的是（ ）
A．在中，若，则三角形为钝角三角形
B．半径为2的圆上，圆心角为1rad所对的弧长为2
C．若且，则
D．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标为
44．(24-25高一下·上海华东政法大学附属中学·期中)若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
45．(24-25高一下·上海光明中学·期中)函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则______．
46．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________．
47．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为________
48．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为______.
49．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)函数是________函数（填“奇”或“偶”）
50．(24-25高一下·上海中学·期中)定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为________．
51．(24-25高一下·上海大同中学·期中)设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若满足，则的值为________.
52．(24-25高一下·上海莘庄中学·期中)已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________．
53．(24-25高一下·上海闵行中学·期中)已知实数、满足方程，则的取值范围是________．
54．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知函数给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为；
（2）该函数的最小正周期为；
（3）当且仅当，时，；
（4）对任意，恒成立．上述命题中正确的序号是______．
55．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，则的值为______.
56．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______.
57．(24-25高一下·上海张堰中学·期中)函数的单调增区间为_______．
58．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)设，若，则的最大值等于__________．
三、解答题
59．(24-25高一下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
(1)已知，判断它是否为“函数”；
(2)若函数是“函数”，当，，求在上的解.
(3)判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由.
60．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数，的值域．
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