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专题06 向量的数量积定义与运算律
（6大考点46题）（答案版）
1．B
2．B
3．/
4．
5．13
6．
7．/
8．
9．
10．
11．
12．
13．当时，与方向相反，，所以，
所以在方向上的投影向量为.
14．D
15．D
16．D
17．C
18．
19．
20．③
21．(1)
(2)3
22．(1)；
(2).
23．(1)
(2)
24．C
25．4
26．
27．
28．
29．
30．
31．
32．(1)
(2)
33．(1)
(2)
34．(1)；
(2)；
(3)存在，.
35．(1)
(2)
36．
37．/
38．
39．2
40．(1)；
(2)
41．(1)
(2)
42．
43．/
44．(1)
(2)
(3)
45．(1)
(2)
46．(1)
(2)
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专题06 向量的数量积定义与运算律（6大考点46题）
6大高频考点概览
考点01向量的概念和线性运算
考点02向量的投影
考点03用定义求向量的数量积
考点04 数量积的运算律
考点05 已知数量积求模
考点06 向量夹角的计算
一、单选题
1．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若，是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则，不是共线向量
D．若，，则
【答案】B
【分析】对于A，由题意或，对于B，由相等向量的定义即可得解；对于CD，举反例即可判断.
【详解】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误；
对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误.
故选：B.
2．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知为单位向量，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量模的定义即可判断A；根据零向量的概念即可判断B；根据平面向量的加减法运算即可判断CD．
【详解】对于A，由平面向量模的定义知，故A错误；
对于B，根据零向量和任一向量平行，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误；
故选：B．
二、填空题
3．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知向量与不平行，与平行，则实数__________．
【答案】/
【分析】根据向量平行可列出方程组，即可求解.
【详解】由于与平行，故设，
即，而向量与不平行，
故，解得，
故答案为：
4．(23-24高一下·上海奉贤中学·)四边形为菱形，其中，，则__________.
【答案】
【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案.
【详解】四边形为菱形，其中，
连接，所以为边长为等边三角形，所以
故答案为：
5．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________
【答案】13
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，，
，
当且仅当，即时取等.
故答案为：13.
6．(23-24高一下·上海嘉定区第一中学·期中)化简向量运算：______．
【答案】
【分析】根据向量加法的运算法则即可求解.
【详解】.
故答案为：.
7．(22-23高一下·上海延安中学·期中)若，，则_________.
【答案】/
【分析】根据计算得到答案.
【详解】
故答案为：
8．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在中，化简________
【答案】
【分析】利用向量的加、减法运算即可.
【详解】.
故答案为：
一、填空题
9．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________
【答案】
【分析】由在上的数量投影为，直接计算即可．
【详解】在上的数量投影为．
故答案为：．
10．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知，向量在向量方向上的数量投影为，则________
【答案】
【分析】利用平面向量数量投影的定义可求得的值，结合向量夹角的定义可求得的值.
【详解】由题意可知，向量在向量方向上的数量投影为，
可得，
因为，故.
故答案为：.
11．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 _____(结果用数值表示)
【答案】
【分析】根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，向量 在向量 方向上的投影向量为，
所以有.
故答案为：.
12．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知，若，则在方向上的数量投影为__________.
【答案】
【分析】由数量投影定义计算即可.
【详解】已知，，
则，
则在方向上的数量投影为.
故答案为：.
二、解答题
13．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)设，是两个向量，其中，在方向上的投影是，我们知道结论“无论取何实数，在方向上的投影都是”成立；请用代数方法证明上述结论中的一种情况：当时，在方向上的投影都是；
【答案】证明见解析
【分析】根据向量数乘的运算性质和投影向量公式证明即可.
【详解】当时，与方向相反，，所以，
所以在方向上的投影向量为.
一、单选题
14．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知 . 都是单位向量，以下命题正确的是（ ）
A． B． C．若 ，则 D．
【答案】D
【分析】根据向量的数量积公式及模长判断各个选项.
【详解】因为 ， 都是单位向量，所以，设 ， 夹角为，
因为，不一定等于1，故A选项错误；
，不一定等于1，故B选项错误；
若 ，可能向量方向相反，则 或，故C选项错误；
，故D选项正确.
故选：D.
15．(24-25高一下·上海西中学·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则夹角为钝角
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】当时，可判断A；，可判断B；由已知可得或或，可判断C；由已知可得，可判断D.
【详解】对于A，若时，因零向量与任意向量是共线向量，故得不出，故A错误；
对于B，因，取，符合条件，但不是钝角，故B错误；
对于C，由，可得，可得或或，
所以或或，故C错误；
对于D，由，可得，所以，
所以，故D正确.
故选：D.
16．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（ ）
A．在上的投影向量为 B．
C． D．
【答案】D
【分析】由投影向量定义计算即可判断A；由数量积定义和相等向量定义即可依次判断BC；由数量积运算律计算即可判断D.
【详解】对于A，由题在上的投影向量为，故A错误；
对于B，由题，故B错误；
对于C，两单位向量的方向不知，当两向量方向不同时不相等，故C错误；
对于D，，所以，故D正确.
故选：D
17．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知非零向量与满足，则三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】由，利用数量积运算化简得，得解.
【详解】由条件，即,
，展开并整理得，
故三角形为等腰三角形.
故选：C.
六、填空题-考点3：用定义求向量的数量积
18．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知中的边，，，若为边上的动点，则________．
【答案】
【分析】利用基底表示出，结合数量积的运算可得答案.
【详解】依题意设。，
则，，
所以
因为，
所以，
所以.
故答案为：2
19．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为________．
【答案】
【分析】设，则由题干条件可得，，利用三角换元及同角三角函数的关系及基本不等式即可求解.
【详解】设，则，，
不妨设，设，
则，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：．
20．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若，，是非零向量，则下列命题中真命题是__________．（填写序号）
①若，则；
②若，则；
③若，则．
【答案】③
【分析】举反例可以否定①②，利用向量数量积的定义可以证明③成立.
【详解】对于①：如，，，满足，显然，故①错误；
对于②：当时，恒成立，不能得出，故②错误；
对于③：若，即，
即，
又，，是非零向量，所以，即，
所以或，所以，故③正确；
故答案为：③
二、解答题
21．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知，，且与的夹角为，
(1)求的值，
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据数量积的定义可得，再结合数量积的运算律运算求解即可；
（2）根据题意可得，再结合数量积的运算律运算求解即可.
【详解】（1）因为，，且与的夹角为，则，
所以.
（2）由（1）可知：，，，
若，则，
可得，即，解得.
22．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)在中，角所对的边分别为，且.
(1)若满足，求角大小；
(2)若，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量数量积的定义，将题设条件转化成三角形的边角关系，根据余弦定理化简整理得出，再结合条件计算得出为等边三角形，即可求出角；
（2）利用正弦定理进行边角互化，结合（1）的结论解出，利用余弦定理计算出，从而可得出，再根据三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）由可得，，
即，
根据余弦定理，，
则有，整理可得.
因为，则，即，解得或（舍去），所以.
则，即，故，为等边三角形，
所以.
（2）根据正弦定理，由可得，
因为，所以.
由（1）可知，，即，
由可解得，则.
根据余弦定理，，
因为，所以.
所以.
23．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知，与的夹角，求：
(1)；
(2)向量和的夹角余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的定义可得，再根据模长与数量积的关系求解即可；
（2）根据平面向量夹角余弦公式求解即可.
【详解】（1）因为，与的夹角，
所以，
则
所以；
（2）.
一、单选题
24．(24-25高一下·上海育才中学·期中)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的个数是（ ）
①；
②，；
③；
④与的夹角为；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据向量在坐标系中的坐标定义，建立向量与坐标的一一对应关系，利用向量的数量积定义，向量的模，向量的垂直判断，向量的夹角计算公式逐一判断即得.
【详解】依题意，，，且，.
对于①，因，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，由①已得，所以，故③正确；
对于④，因，
则，
且，
则，
因，故与的夹角为，故④正确．
综上可得，有②，③，④共3个结论正确.
故选：C.
二、填空题
25．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，且，，则___________
【答案】4
【分析】根据向量模长公式及数量积公式，得，再解方程即可．
【详解】，
即，解得或（舍去），
则．
故答案为：．
26．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为______.
【答案】
【分析】问题化为，应用向量数量级的运算律及二次函数的性质求最小值，即可得.
【详解】对任意的实数，不等式恒成立，即，
由，
对称轴，所以，所以.
故答案为：
27．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若非零向量满足，，则__________．
【答案】
【分析】首先可得，再将两边平方计算可得.
【详解】因为，所以，
又，所以，
即，即，解得（负值舍去）；
故答案为：
28．(24-25高一下·上海格致中学·期中)若向量、满足，且，，则向量与的夹角为________．
【答案】
【分析】利用条件得到，再利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】因为，则，又，则，
又，则，又，则，
故答案为：.
29．(24-25高一下·上海洋泾中学·期中)已知正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】连接，根据向量的线性运算（或极化恒等式）可得，故可求的取值范围.
【详解】
方法一：正六边形的内切圆半径为，外接圆的半径为.
因为，即，所以，可得．
方法二：连接，则由极化恒等式知，
又易知，所以，可得，
故的取值范围是．
故答案为：.
30．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知，，且，则的值为______.
【答案】
【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知求参数值.
【详解】由题设，即.
故答案为：
31．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)已知平面向量，，且，，向量满足，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】通过数量积的运算律先求出及，再利用绝对值不等式来确定的取值范围，即可得解.
【详解】由，，
得，
，
所以，
又，所以，
解得，即.
故答案为：.
三、解答题
32．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知
(1)求与的夹角大小；
(2)求在上的数量投影.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律求得，然后根据夹角公式计算即可；
（2）根据数量投影的概念计算即可.
【详解】（1）由题可知：，
所以
则，，
又，所以夹角为
（2）在上的数量投影为.
33．(24-25高一下·上海大学附属中学·)设与均为单位向量.
(1)若，求向量与的夹角；
(2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的定义及运算性质，利用向量的夹角公式求解；
（2）根据向量的模可得，利用重要不等式求解．
【详解】（1）因为与均为单位向量，，
所以，
又，
所以，
又，所以．
（2）因为，与的夹角为与均为单位向量，
所以，
即，所以，
解得，所以，
当且仅当时等号成立，即的最大值为
34．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知、都是单位向量，，，函数，.
(1)当时，求值；
(2)若，求实数的值；
(3)是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）由题设，代入自变量求函数值即可；
（2）由题设有，，令，则，对称轴，结合二次函数的性质，讨论区间与对称轴位置关系，根据最小值列方程求参数值；
（3）问题化为或在上有四个不同的实根，结合余弦函数图象列不等式组求解即得.
【详解】（1）当时，，则；
（2）由，则，
则，
令，则，则，其对称轴，
当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）；
当，即时，当时函数取得最小值，得，符合题意；
当，即时，当时函数取得最小值，得（舍）.
综上，实数的值为.
（3）令，得或，
方程或在上有四个不同的实根，
则即得，，即得，
即实数的取值范围是.
35．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知向量，满足，，设与的夹角为，
(1)当时，求与的夹角；
(2)若对任意实数，不等式恒成立，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出，再利用夹角公式即可得解；
（2）把不等式两边平方，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可得解.
【详解】（1）向量，满足，，设与的夹角为，
所以，
，则，
则，
故与夹角为.
（2）将不等式两边同时平方，
得，
即
因为，与的夹角为，
则恒成立，
所以，
化简得，解得．
一、填空题
36．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知向量，，，的夹角为，则______.
【答案】
【分析】根据向量的模长公式即可求解.
【详解】，
故答案为：.
37．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知平面向量，，满足，且，则的最大值为________．
【答案】/
【分析】记，分，，三种情况计算可求最大值.
【详解】因为，所以，记，
当，则，
此时，，当且仅当共线同向时取等号；
当，则，
此时，，当且仅当共线同向时取等号；
当，则，
此时，，当且仅当共线同向时取等号；
所以的最大值为.
故答案为：.
38．(24-25高一下·上海西中学·期中)设 、 为夹角为 的单位向量，求 _____.
【答案】
【分析】根据，结合数量积的运算求解，即得答案.
【详解】由于 、 为夹角为 的单位向量，
故，
故答案为：
39．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)已知平面向量满足.，且，则__________.
【答案】2
【分析】由得，根据即可求解.
【详解】因为，所以，即.
因为.所以.
又.
所以.
故答案为：2.
二、解答题
40．(24-25高一下·上海通河中学·期中)已知 ，
(1)求 和 ；
(2)已知 ，且 ，求实数的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）向量的模，可根据向量模的计算公式求解；向量的夹角可通过向量的数量积公式计算；
（2）向量垂直则根据向量垂直的性质来确定实数的值.
【详解】（1）根据向量模的计算公式，.
已知，，所以.
再根据向量模的计算公式求出.
然后根据向量的夹角公式可得.
因为两向量夹角的范围是，所以.
（2）已知，，，则.
因为，根据向量垂直的性质，所以.
即，解得.
41．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知向量，满足，，．
(1)求；
(2)设，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解.
（2）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算.
【详解】（1）由，，，得，
所以.
（2）由，得，
则，即，所以.
一、填空题
42．(24-25高一下·上海新中高级中学·期中)已知菱形ABCD的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围为_________．
【答案】
【分析】由，结合二次函数的性质可得，由，可得，向量在方向上数量投影为，即得.
【详解】由题意，
设，则，
，
由二次函数的性质可知，当，取得最小值，
由得，得，
向量在方向上数量投影为，
故向量在方向上数量投影的取值范围为，
故答案为：
43．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)“向量” 一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.已知平面向量 为单位向量， .若平面向量 满足 ，则 的最大值是_____.
【答案】/
【分析】根据数量积坐标公式计算结合辅助角公式计算求解.
【详解】平面向量 为单位向量，设平面向量 的夹角为，
则 ，由得，
又 ，设，其中，
则，
当时，
故①
而
②，
其中为锐角且，故，
当时，此时，而，故，
故①②等号可同时取得；
当时，此时，而，故，
故①②等号可同时取得；
故此时，
当时，
故③
而
④，
当时，此时，而，故，
故③④等号可同时取得；
当时，此时，而，故，
故③④等号可同时取得；
故此时，
综上，
故答案为：.
二、解答题
44．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.

(1)在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）；
(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值；
(3)在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得；
（2）利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值.
（3）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值.
【详解】（1）由可得，
则，
所以；
（2）依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，，
，
因为与的夹角为，则由，
可得，解得.
（3）依题意，设，
因为是的中点，则，
因为是的中点，则，
故
因为，，
则，
在中，由余弦定理得，即，代入上式可得，
，
在中，由正弦定理可得，
设，则，
于是
，
其中为锐角，且，
因为，则，
故当时，取最大值，
则，即的最大值为.
45．(24-25高一下·上海西中学·期中)已知两个不共线的平面向量，记.
(1)若，求的值.
(2)若时，，求的夹角.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意意可得，利用向量相等可求；
（2）由，可求得，利用向量的夹角公式可求的夹角.
【详解】（1）因为，不共线，所以为非零向量，所以由可得存在，使得，
即，
所以，解得；
（2）当时，，又，
所以，
又，所以，解得，
所以，又，所以，
所以的夹角为.
46．(22-23高一下·上海复兴高级中学·期中)已知向量是同一平面内的两个向量，其中．
(1)若，且与垂直，求与的夹角；
(2)若，向量满足，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直得到，得到答案.
（2）计算得到，得到答案.
【详解】（1）与垂直，则，
故，，故.
（2），故，即，
即，故.
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专题06 向量的数量积定义与运算律（6大考点46题）
6大高频考点概览
考点01向量的概念和线性运算
考点02向量的投影
考点03用定义求向量的数量积
考点04 数量积的运算律
考点05 已知数量积求模
考点06 向量夹角的计算
一、单选题
1．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若，是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则，不是共线向量
D．若，，则
2．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知为单位向量，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知向量与不平行，与平行，则实数__________．
4．(23-24高一下·上海奉贤中学·)四边形为菱形，其中，，则__________.
5．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________
6．(23-24高一下·上海嘉定区第一中学·期中)化简向量运算：______．
7．(22-23高一下·上海延安中学·期中)若，，则_________.
8．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在中，化简________
一、填空题
9．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，，，则在上的数量投影为___________
10．(24-25高一下·上海建平中学·期中)已知，向量在向量方向上的数量投影为，则________
11．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 _____(结果用数值表示)
12．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知，若，则在方向上的数量投影为__________.
二、解答题
13．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)设，是两个向量，其中，在方向上的投影是，我们知道结论“无论取何实数，在方向上的投影都是”成立；请用代数方法证明上述结论中的一种情况：当时，在方向上的投影都是；
一、单选题
14．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知 . 都是单位向量，以下命题正确的是（ ）
A． B． C．若 ，则 D．
15．(24-25高一下·上海西中学·期中)下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则夹角为钝角
C．若，则 D．若，则
16．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（ ）
A．在上的投影向量为 B．
C． D．
17．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知非零向量与满足，则三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
六、填空题-考点3：用定义求向量的数量积
18．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知中的边，，，若为边上的动点，则________．
19．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为________．
20．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若，，是非零向量，则下列命题中真命题是__________．（填写序号）
①若，则；
②若，则；
③若，则．
二、解答题
21．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知，，且与的夹角为，
(1)求的值，
(2)若，求的值．
22．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)在中，角所对的边分别为，且.
(1)若满足，求角大小；
(2)若，且，求的面积.
23．(24-25高一下·上海实验学校·期中)已知，与的夹角，求：
(1)；
(2)向量和的夹角余弦值.
一、单选题
24．(24-25高一下·上海育才中学·期中)如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的个数是（ ）
①；
②，；
③；
④与的夹角为；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
25．(24-25高一·上海宝山中学·期中)已知向量、的夹角为，且，，则___________
26．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为______.
27．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)若非零向量满足，，则__________．
28．(24-25高一下·上海格致中学·期中)若向量、满足，且，，则向量与的夹角为________．
29．(24-25高一下·上海洋泾中学·期中)已知正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________.
30．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知，，且，则的值为______.
31．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)已知平面向量，，且，，向量满足，则的取值范围是______.
三、解答题
32．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)已知
(1)求与的夹角大小；
(2)求在上的数量投影.
33．(24-25高一下·上海大学附属中学·)设与均为单位向量.
(1)若，求向量与的夹角；
(2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值.
34．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知、都是单位向量，，，函数，.
(1)当时，求值；
(2)若，求实数的值；
(3)是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.
35．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知向量，满足，，设与的夹角为，
(1)当时，求与的夹角；
(2)若对任意实数，不等式恒成立，求的值．
一、填空题
36．(24-25高一下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)已知向量，，，的夹角为，则______.
37．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知平面向量，，满足，且，则的最大值为________．
38．(24-25高一下·上海西中学·期中)设 、 为夹角为 的单位向量，求 _____.
39．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)已知平面向量满足.，且，则__________.
二、解答题
40．(24-25高一下·上海通河中学·期中)已知 ，
(1)求 和 ；
(2)已知 ，且 ，求实数的值.
41．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)已知向量，满足，，．
(1)求；
(2)设，若，求的值．
一、填空题
42．(24-25高一下·上海新中高级中学·期中)已知菱形ABCD的边长为1，设，若恒成立，则向量在方向上数量投影的取值范围为_________．
43．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)“向量” 一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.已知平面向量 为单位向量， .若平面向量 满足 ，则 的最大值是_____.
二、解答题
44．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记.

(1)在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）；
(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值；
(3)在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值.
45．(24-25高一下·上海西中学·期中)已知两个不共线的平面向量，记.
(1)若，求的值.
(2)若时，，求的夹角.
46．(22-23高一下·上海复兴高级中学·期中)已知向量是同一平面内的两个向量，其中．
(1)若，且与垂直，求与的夹角；
(2)若，向量满足，且，求的值．
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