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专题07 向量的坐标表示（6大考点49题）（答案版）
1．D
2．
3．
4．
5．
6．
7．/
8．(1)
(2)
9．(1)由三点共线，可知存在实数，使，
即，化简得
结合，由平面向量基本定理得，
所以．
(2)4
(3)
10．，
11．(1)，；
(2)．
12．(1)
(2)
(3)
13．A
14．
15．/
16．
17．/
18．
19．
20．(1)
(2)
(3).
21．C
22．D
23．
24．
25．
26．
27．
28．
29．
30．(1)
(2)共线，向量与向量共线，证明如下：
设，因为，，
所以，，因为，
则，
即，解得，所以，
所以，，所以，故与共线.
31．(1)
(2)
32．B
33．C
34．
35．
36．;
37．
38．
39．(1)
(2)
(3)
40．(1)
(2)
41．(1)
(2)
42．(1)，
(2)
43．(1)
(2)
(3)或
44．(1)6
(2)
45．(1)；；
(2)不存在，不存在
，
得，
若与平行，则，
得，
得，而，则此方程无实数根，
故不存在实数，使得与平行.
（3）因为，所以，
由复数的三角不等式，
由，得，所以，
所以，
综上所知，.
46．B
47．B
48．
49．(1)的值域为，所以，所以函数的相伴向量，，
所以函数的“相伴向量”为单位向量；
(2)；
(3)
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专题07 向量的坐标表示（6大考点49题）
6大高频考点概览
考点01用基底表示向量
考点02平面向量基本定理的应用
考点03向量正交分解与坐标表示
考点04 向量线性运算的坐标表示
考点05 数量积的坐标表示
考点06 坐标计算向量的模
一、单选题
1．(24-25高一下·上海洋泾中学·期中)在中，为的中点，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，设，，则用，表示为________
3．(24-25高一下·上海行知中学·期中)在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为__．
4．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)在 中，点 是边 上一点， ，设 ，用 .表示 _____.
5．(24-25高一下·上海格致中学·期中)在中，为上一点，，，，若用向量、表示，则________．
6．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点， ，则 _____.
7．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)设 是平面上两个不共线的向量， ，若 三点共线，则 的值为_____
三、解答题
8．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)如图，在中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且．
(1)用向量、表示；
(2)用向量、表示．
9．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设．
(1)若，证明：；
(2)若，，求的值；
(3)求的取值范围．
10．(24-25高一下·上海嘉定区第二中学·期中)在中，已知是的中点，是的重心，记，，试用、表示、.
11．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)在中，，点满足：．
(1)若，求与的值；
(2)若，求角的值．
12．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)如图，在等腰梯形中，，，为线段上的一个动点．
(1)若，，，求的值；
(2)若，为线段上一点，且，求实数的值；
(3)设，，求的取值范围．
一、单选题
13．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知、为两个不平行的非零向量，则是的（ ）条件
A．充要 B．既不充分也不必要 C．充分非必要 D．必要非充分
二、填空题
14．(24-25高一下·上海吴淞中学·期中)如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=____
15．(24-25高一下·上海西中学·期中)在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点A） ，若，则的最小值为_____
16．(24-25高一下·上海育才中学·期中)设为平行四边形的对角线、的交点，为平行四边形所在平面内的一个动点，若，则________．
17．(24-25高一下·上海大同中学·期中)在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为________.
一、填空题
18．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)已知，点，则点的坐标为______.
19．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知向量的夹角为，且，，则______．
二、解答题
20．(24-25高一下·上海格致中学·期中)定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”.
(1)若，求的“特征向量”的坐标；
(2)设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围；
(3)设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围.
一、单选题
21．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知集合是平面直角坐标系内的点集，为坐标原点.若任取，，均存在不全为0的实数，，使得，则的充分条件是（ ）
A． B． C． D．
22．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知，，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
23．(24-25高一下·上海大同中学·期中)已知，，，若，，三点共线，则________.
24．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知，，若，则______．
25．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知向量，，若存在、，使得，则实数的取值集合为________.
26．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)向量 ，若 ，则实数 的值为_____.
27．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)设非零向量，若，则实数满足__________．
28．(24-25高一下·上海新川中学·期中)若向量，，则_____.
29．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知集合，．若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为________．
三、解答题
30．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足.
(1)求点的坐标；
(2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论.
31．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)平面内给定三个向量 ，
(1)求向量在上的投影向量的坐标
(2)若，求实数.
一、单选题
32．(24-25高一下·上海行知中学·期中)设平面向量，若与不能作为平面向量的一组基底，则（ ）
A．2 B． C． D．0
33．(24-25高一下·上海川沙中学·期中)窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则以下命题正确的个数是（ ）
①与能构成一组基底；②；
③在向量上的投影向量为
④若P在线段BC（包括端点）上，且，则取值范围
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
34．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知，，则在方向上的投影向量为________．（用坐标表示）
35．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为_________．
36．(24-25高一下·上海洋泾中学·期中)已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________．
37．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是__________.
38．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若.为的中点.则__________.
三、解答题
39．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)已知，，函数，函数图象的相邻对称轴之间的距离为；
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的严格增区间；
(3)将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象；关于的方程在有且仅有一解，求实数的取值范围.
40．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)已知两个向量和满足，；
(1)求的模；
(2)求和的夹角；
41．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知向量，．
(1)若与共线，，求，的值；
(2)设函数，，求的值域．
42．(24-25高一下·上海大同中学·期中)已知向量，，，且，.
(1)求与；
(2)求向量与的夹角.（结果用反三角表示）
43．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知向量 .
(1)求在上的数量投影；
(2)求满足的实数的值；
(3)若向量满足，且，求的坐标.
44．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知向量，.
(1)当且时，求实数的值；
(2)当，，求向量与的夹角.
45．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位.
(1)设，求复向量与的模；
(2)对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由.
(3)我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由；
一、单选题
46．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B． C．4 D．2
47．(24-25高一下·上海格致中学·期中)向量在上的投影为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
48．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)若向量，则的单位向量的坐标为______.
三、解答题
49．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，，函数的“相伴向量”为．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
(1)设，若的值域为，求证：其“相伴向量”为单位向量；
(2)设，若，求其“相伴向量”的模的取值范围；
(3)设，若的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
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专题07 向量的坐标表示（6大考点49题）
6大高频考点概览
考点01用基底表示向量
考点02平面向量基本定理的应用
考点03向量正交分解与坐标表示
考点04 向量线性运算的坐标表示
考点05 数量积的坐标表示
考点06 坐标计算向量的模
一、单选题
1．(24-25高一下·上海洋泾中学·期中)在中，为的中点，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算表示即可.
【详解】

如图，，
故选：D.
二、填空题
2．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，设，，则用，表示为________
【答案】
【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可.
【详解】
因为是对角线上靠近点的三等分点，所以，
则．
故答案为：.
3．(24-25高一下·上海行知中学·期中)在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为__．
【答案】
【分析】由向量的线性运算可得，则，再由基本不等式求解即可.
【详解】解：因为是中线，所以，
又因为是的中点，所以
因为，所以，
所以，
因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，取到最小值，
故答案为：.
4．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)在 中，点 是边 上一点， ，设 ，用 .表示 _____.
【答案】
【分析】可根据向量的加减法法则以及已知的线段比例关系，将用与表示出来.
【详解】根据向量加法的三角形法则可知，.
因为，所以.
根据向量减法的三角形法则可知，，又因为，，所以.
由，，可得.
将代入中，可得：
故答案为：.
5．(24-25高一下·上海格致中学·期中)在中，为上一点，，，，若用向量、表示，则________．
【答案】
【分析】根据条件，利用向量的线性运算，即可求解.
【详解】因为，则，
所以，
故答案为：.
6．(24-25高一下·上海师范大学附属中学闵行分校、宝山分校·期中)在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点， ，则 _____.
【答案】
【分析】根据平面向量共线定理及加法的三角形法则得到向量的表达式，再由平面向量基本定理得到的值，即可求出的值.
【详解】
如图，在平行四边形中，
因为为边上靠近点的三等分点，
所以，
所以，
所以，即.
故答案为：
7．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)设 是平面上两个不共线的向量， ，若 三点共线，则 的值为_____
【答案】/
【分析】利用平面向量共线定理，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】由三点共线，可得，
即，
则代入已知条件得：
整理得：，
因为 是平面上两个不共线的向量，
根据平面向量基本定理可得：，
解得，，
故答案为：.
三、解答题
8．(24-25高一下·上海五爱高级中学·期中)如图，在中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且．
(1)用向量、表示；
(2)用向量、表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】（1）因为，所以为的中点，又是的中点，
所以。
（2）因为，所以为的中点，又是的中点，
所以.
9．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设．
(1)若，证明：；
(2)若，，求的值；
(3)求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）由三点共线，可知存在实数，使，进而得出，根据平面向量基本定理即可证明；
（2）用表示出，根据向量平行及即可求解；
（3）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解．
【详解】（1）由三点共线，可知存在实数，使，
即，化简得
结合，由平面向量基本定理得，
所以．
（2）在等腰梯形中，由，
可得，
根据，可得，
又，所以，
所以，
因为三点共线，所以向量互相平行，
可得，结合，解得，
所以．
（3）由（1）的结论，可得，
过作的垂线，垂足分别为，
因为等腰梯形中，，
所以，可得，
又，得．
所以，，
可得
，
结合，可得．
10．(24-25高一下·上海嘉定区第二中学·期中)在中，已知是的中点，是的重心，记，，试用、表示、.
【答案】，
【分析】利用向量的中线公式、重心的性质及向量的线性运算，即可求解.
【详解】因为是的中点，则，又是的重心，
则，
又，
所以，.
11．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)在中，，点满足：．
(1)若，求与的值；
(2)若，求角的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（１）需要根据已知条件将和用与表示出来，然后通过向量相等求出与的值；（２）在第一问的基础上，利用向量数量积公式进行化简，进而求出角的值．
【详解】（1）由可得，那么．
因为，且，所以．
又因为．
则．
已知，根据向量相等的定义，可得，．
（2）由（1）可知，．
因为，所以．
展开左边可得：
- 则．
- 移项可得，两边同时乘以得．
- 设，因为，所以．
- 根据向量数量积公式，将，代入可得：
，即，化简得．
- 因为，两边同时除以得，解得．
- 又因为，所以．
12．(24-25高一下·上海普陀区曹杨二中·期中)如图，在等腰梯形中，，，为线段上的一个动点．
(1)若，，，求的值；
(2)若，为线段上一点，且，求实数的值；
(3)设，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，在中，利用余弦定理可求得；（2）设，由已知可得，进而可得，结合已知可求；
（3）设，由已知可得，结合平面向量基本定理可得，计算可求的取值范围.
【详解】（1）因为在等腰梯形中，所以为锐角，
又，所以，
在中，，，由余弦定理可得，
所以；
（2）因为，所以，所以，
又因为为线段上一点，所以，又，
所以，解得；
（3）因为为线段上的一个动点，所以存在实数，使，
，
又，所以，所以，
由，因为，可得，
所以，
因为，所以.
所以的取值范围为．
一、单选题
13．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知、为两个不平行的非零向量，则是的（ ）条件
A．充要 B．既不充分也不必要 C．充分非必要 D．必要非充分
【答案】A
【分析】根据平面向量的基本定理，结合基底的性质确定参数值，即可得条件间的关系.
【详解】由、为两个不平行的非零向量，且，则必有，反之亦成立，
所以是的充要条件.
故选：A
二、填空题
14．(24-25高一下·上海吴淞中学·期中)如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=____
【答案】
【分析】结合图形，由向量的加法和减法法则以及基本定理计算即可.
【详解】因为为的中点，所以，
所以．
又因为，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
15．(24-25高一下·上海西中学·期中)在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点A） ，若，则的最小值为_____
【答案】/
【分析】设，由点 为 的三等分点，得到，求得，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，因为在线段上，可设，其中，
又因为点 为线段 的三等分点（靠近点），可得，
所以，
因为，所以，其中，
则，其中，
设，可得的开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
故答案为：.
16．(24-25高一下·上海育才中学·期中)设为平行四边形的对角线、的交点，为平行四边形所在平面内的一个动点，若，则________．
【答案】
【分析】利用平行四边形的对角线性质与平面向量基本定理计算即得.
【详解】
如图，点为的中点，则，
于是，.
故答案为：20.
17．(24-25高一下·上海大同中学·期中)在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为________.
【答案】/
【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得，再根据三角形面积公式可得，
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，整理得，
故，因为，所以，
又，所以，
如图，由题意可得，，
因为，，三点共线，
故可设，，
又因，，三点共线，故，即，
所以，
因为，
所以，
于是，即
两边平方得：，
当且仅当时等号成立，
故，即，
所以的最小值为，
故答案为：.
一、填空题
18．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)已知，点，则点的坐标为______.
【答案】
【分析】设，根据平面向量的坐标表示计算可得.
【详解】设，因为，所以，
又，所以，解得，
所以.
故答案为：
19．(24-25高一下·上海七宝中学·期中)已知向量的夹角为，且，，则______．
【答案】
【分析】求得，，进而利用可求值.
【详解】因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
二、解答题
20．(24-25高一下·上海格致中学·期中)定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”.
(1)若，求的“特征向量”的坐标；
(2)设向量的“特征三角函数”为，若关于x的方程在上有两个不同的实根，求k的取值范围；
(3)设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）利用两角和的正弦公式及两角差的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的“特征向量”的定义即可求解；
（2）将题意转化为关于x的方程在上有两个不同的实根，求出的值域，即可得出答案；
（3）通过换元法结合同角三角函数的基本关系可得（），再根据二次函数的性质分，和求出，使得，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）由题意可得：
，
则的“特征向量”.
（2）由题意可得，其中（）.
因为关于x的方程在上有两个不同的实根，
所以关于x的方程在上有两个不同的实根.
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，，，
所以，即.
（3）由题意可得.
设，
则，所以（）.
当，即时，在上单调递增，
则，解得，
因为，所以；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得；
当，即时，在上单调递减，
则，解得，
因为，所以.
综上，a的取值范围是.
一、单选题
21．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知集合是平面直角坐标系内的点集，为坐标原点.若任取，，均存在不全为0的实数，，使得，则的充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分析得出的充分条件是与不共线，分别判断即可求解．
【详解】存在不全为0的实数，，使得，即与共线，
设，选项中的点为点，则的充分条件，即与不共线，
A：，与共线；
B：，与共线；
C：，与不共线；
D：，与共线；
故选：C．
22．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知，，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点，由得即可求解.
【详解】设点，由得，
所以.
故选：D.
二、填空题
23．(24-25高一下·上海大同中学·期中)已知，，，若，，三点共线，则________.
【答案】
【分析】根据三点共线转化为向量共线，结合向量共线定理化简可得解.
【详解】已知，，
则，
因为，，三点共线，所以与共线，
则，
即，
所以，
故答案为：.
24．(24-25高一下·上海青浦高级中学·期中)已知，，若，则______．
【答案】
【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案.
【详解】因为，，，所以，所以.
故答案为：.
25．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知向量，，若存在、，使得，则实数的取值集合为________.
【答案】
【分析】由题意可得，可得，计算可得，分类讨可求的值，可得结论.
【详解】因为，，，
所以，
整理得，
因为，所以，
所以，所以，
所以或
当时，可得，所以，
当时，可得，所以，
综上所述：实数的取值集合为.
故答案为：.
26．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)向量 ，若 ，则实数 的值为_____.
【答案】
【分析】根据向量平行的坐标运算求解.
【详解】因为向量 ，且 ，
所以.
故答案为：6.
27．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)设非零向量，若，则实数满足__________．
【答案】
【分析】根据向量共线的坐标公式易得.
【详解】由可得.
故答案为：.
28．(24-25高一下·上海新川中学·期中)若向量，，则_____.
【答案】
【分析】应用向量线性关系的坐标运算求即可.
【详解】由题设.
故答案为：
29．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知集合，．若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为________．
【答案】
【分析】先分析方程表示的曲线，设，可知三点共线，根据题意可知的最小值即为的最大值，结合圆的性质分析求解即可.
【详解】设方程表示的曲线为，
用代换方程不变，可知曲线关于y轴对称；
用代换方程不变，可知曲线关于x轴对称；
当时，方程可化为，
据此可知曲线为边长为的正方形，
且方程表示圆心为，半径的圆，
显然曲线在圆内，
设，即点在曲线上，点在圆上，
则，
因为，即，可知三点共线，
即过曲线上任一点作圆的弦，
由圆的性质可知的最小值，
因为存在点，使得，则，
结合点的任意性可知的最小值即为的最大值，
若取到最大值，即取到最小值，
可知的最小值即为正方形的内切圆半径，即，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
三、解答题
30．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足.
(1)求点的坐标；
(2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论.
【答案】(1)
(2)共线，证明见解析
【分析】（1）设出点的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解；
（2）利用向量共线定理即可证明.
【详解】（1）设，因为，，则，，
因为，所以，即，
解得，所以；
（2）向量与向量共线，证明如下：
设，因为，，
所以，，因为，
则，
即，解得，所以，
所以，，所以，故与共线.
31．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)平面内给定三个向量 ，
(1)求向量在上的投影向量的坐标
(2)若，求实数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据投影向量的运算公式结合向量的坐标运算求解即可；
（2）根据向量坐标的线性运算与平行向量的坐标关系列方程求解即可得实数的值.
【详解】（1）因为
所以向量在上的投影向量为；
（2）因为，，
又，所以，解得.
一、单选题
32．(24-25高一下·上海行知中学·期中)设平面向量，若与不能作为平面向量的一组基底，则（ ）
A．2 B． C． D．0
【答案】B
【分析】由条件，结合基底的定义列方程可求，再由数量积的坐标表示求.
【详解】因为与不能作为平面向量的一组基底，
所以，又，，
所以，故，所以，
所以.
故选：B.
33．(24-25高一下·上海川沙中学·期中)窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则以下命题正确的个数是（ ）
①与能构成一组基底；②；
③在向量上的投影向量为
④若P在线段BC（包括端点）上，且，则取值范围
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】可根据图形得出，建立平面直角坐标系，然后求出图形上各点的坐标，判断与是否共线；可求出向量的坐标，根据坐标即可判断②；根据投影向量的计算公式即可判断③；根据点在线段（包括端点）上，设，然后表示出，即可求出取值范围判断④．
【详解】连接，因为，所以，因为，
所以，
所以，
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
所以，
，
所以，所以，
即与共线，故①错误；
因为，
所以，故②正确，
因为，
在向量上的投影向量为，故③正确；
若点在线段上，设,
所以，由于，
由得，
所以，故④正确.
故选：C.
二、填空题
34．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知，，则在方向上的投影向量为________．（用坐标表示）
【答案】
【分析】首先求出，，再由在方向上的投影向量为计算可得.
【详解】因为，，
所以，，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：
35．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为_________．
【答案】
【分析】求出向量，根据投影向量的定义求解.
【详解】由题可得，，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
36．(24-25高一下·上海洋泾中学·期中)已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________．
【答案】;
【分析】依题意可知且与不共线，由向量数量积的坐标表示计算解不等式可得结果.
【详解】由可得，；
若与的夹角为锐角，可知且与不共线，
因此，且；
即可得且，
因此的取值范围为.
37．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是__________.
【答案】
【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值.
【详解】
设，，
且
，
当且仅当时等号成立，又的最小值为，
所以，又，则，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设点，其中，且、，
，，
所以，
当且仅当时，取最小值.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了平面向量数量积的最值问题，难度较大，解答本题的关键在于通过条件得到，然后建立平面直角坐标系，结合坐标运算求解.
38．(24-25高一下·上海朱家角中学·期中)在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若.为的中点.则__________.
【答案】
【分析】利用夹角公式先计算，由半角公式求，设，利用即可求解.
【详解】已知，则；
，则
所以.
则，
则.
由，
得；
.
因为.设.
；
，
所以.
故答案为：
三、解答题
39．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)已知，，函数，函数图象的相邻对称轴之间的距离为；
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的严格增区间；
(3)将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，然后再向左平移个单位，得到函数的图象；关于的方程在有且仅有一解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数，
（2）根据解析式，再结合三角函数的性质，即可求解；
（3）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解.
【详解】（1），
，
，
因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，得，所以；
（2）令，
则，
所以的严格增区间为;
（3）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，
再向左平移个单位得，
令，则，
所以，
因为在上只有一个解，

由的图象可得，或，
所以的取值范围是.
40．(24-25高一下·上海复旦中学·期中)已知两个向量和满足，；
(1)求的模；
(2)求和的夹角；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量加法的坐标运算，可求出向量的坐标和模；
（2）利用向量数量积的坐标运算，可求出向量夹角的余弦值.
【详解】（1）因为，，所以，
所以；
（2）因为，，所以，
则,
所以.
41．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知向量，．
(1)若与共线，，求，的值；
(2)设函数，，求的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的共线得到，再利用二倍角公式以及弦化切得结果；
（2）根据向量数量积坐标公式以及辅助角公式化简，再根据三角函数性质求值域.
【详解】（1）由题，可得，由与共线，
，
，，上式化简得，则，
.
（2）
，
，
所以，则，
所以函数的值域为.
42．(24-25高一下·上海大同中学·期中)已知向量，，，且，.
(1)求与；
(2)求向量与的夹角.（结果用反三角表示）
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据向量共线与垂直的坐标表示直接计算即可；
（2）根据向量数量积与模长的坐标表示可得夹角.
【详解】（1）由已知，，，且，，
则，，
解得，，
即，；
（2）由（1）得，，
设向量与的夹角为，
则，
所以向量与的夹角为.
43．(24-25高一下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知向量 .
(1)求在上的数量投影；
(2)求满足的实数的值；
(3)若向量满足，且，求的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据投影的定义，结合数量积和模的公式求值即可；
（2）根据平面向量数乘运算的坐标表示和向量相等的坐标表示列方程组，求解即可；
（3）将垂直关系转化为数量积为0，根据模的公式列方程组，求解即可.
【详解】（1）因为，，所以，，
因此，在上的数量投影.
（2）由题意，，，
又，所以，解得.
（3）由题意，，设，
因为，且，所以，
解得或，所以或.
44．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)已知向量，.
(1)当且时，求实数的值；
(2)当，，求向量与的夹角.
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；
（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得，结合数量积的定义计算即可求解.
【详解】（1）已知，
所以.
又因为，所以有，
所以，解得或.
由，可知.
（2）因为，所以.
又，所以，
解得，所以.
所以，
因为，所以.
45．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位.
(1)设，求复向量与的模；
(2)对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由.
(3)我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由；
【答案】(1)；；
(2)不存在，理由见解析
(3)成立，理由见解析
【分析】（1）由复向量的模的定义代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由给定的平行条件代入计算，即可判断；
（3）根据题意，由复数的三角不等式代入计算，即可判断.
【详解】（1）因为，所以，
所以的模为；
因为，所以，
可得的模为；
（2）不存在
，
得，
若与平行，则，
得，
得，而，则此方程无实数根，
故不存在实数，使得与平行.
（3）因为，所以，
由复数的三角不等式，
由，得，所以，
所以，
综上所知，.
【点睛】关键点睛：本题主考考查了向量的新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解所给定义并且结合向量坐标运算的相关知识解答.
一、单选题
46．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【分析】根据平面向量模长的坐标表示和数量积的运算律求解即可.
【详解】因为平面向量与的夹角为，，
所以，，
所以，
故选：B
47．(24-25高一下·上海格致中学·期中)向量在上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用数量积的坐标运算及向量的模长公式得，，再利用投影向量的定义，即可求解.
【详解】因为，，则，，
所以向量在上的投影为，
故选：B.
二、填空题
48．(24-25高一下·上海奉贤中学·期中)若向量，则的单位向量的坐标为______.
【答案】
【分析】根据单位向量的定义及已知向量坐标求单位向量的坐标.
【详解】由题设，单位向量.
故答案为：
三、解答题
49．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期中)设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，，函数的“相伴向量”为．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
(1)设，若的值域为，求证：其“相伴向量”为单位向量；
(2)设，若，求其“相伴向量”的模的取值范围；
(3)设，若的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）依题意，化简为进而根据题意得证；
（2）根据两角和余弦公式化简函数，利用向量模的坐标运算公式及余弦函数性质求解即可；
（3）由可求得时，取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围．
【详解】（1）的值域为，所以，所以函数的相伴向量，，
所以函数的“相伴向量”为单位向量；
（2），所以的“相伴向量”，
，
，，
的取值范围为；
（3）的“相伴函数”，其中，，．
当，即，时取得最大值．
所以，
当时，设，令
又，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，当时，
所以．
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