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专题08 复数（3大考点21题）
3大高频考点概览
考点01复数的四则运算
考点02复数的实部、虚部和共轭
考点03复数的几何意义
一、填空题
1．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)若都是实数，关于的方程有一个根，则__________.
【答案】7
【分析】根据题意，将代入方程，然后由复数相等列出方程，即可得到结果.
【详解】将代入方程可得，
化简可得，
即，
则，解得.
故答案为：
2．(24-25高一下·上海吴淞中学·期中)已知，则复数为_______．
【答案】/
【分析】利用复数代数形式的乘法运算及共轭复数的意义求解.
【详解】依题意，，所以.
故答案为：
3．(23-24高一下·上海交通大学附属中学嘉定分校·期中)设复数，则复数的虚部为______.
【答案】
【分析】根据复数除法运算可求得，由虚部定义可得结果.
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
故答案为：.
二、解答题
4．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知关于 的方程
(1)若上述方程有虚数根，求实数 的取值范围
(2)若上述方程的两根为 ，且 ，求实数 的值
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）依题意可知即可；
（2）分两种情况讨论： 以及，利用韦达定理求解即可.
【详解】（1）方程有虚数根，
解得
（2）① 时，;
② 时，8;
综上， 的值为 或
5．(23-24高一下·上海嘉定区中光高级中学·期中)已知复数；
(1)求
(2)若复数满足，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用复数乘法运算求解；
（2）由复数的除法运算化简求解.
【详解】（1）由题设；
（2）由题设.
一、填空题
6．(24-25高一下·上海大学附属中学·)已知复数，则的虚部是________.
【答案】
【分析】利用复数的概念直接求得结果.
【详解】复数的虚部是.
故答案为：
7．(24-25高一下·上海行知中学·期中)已知i为虚数单位，复数满足，则__．
【答案】
【分析】根据除法运算可得，进而可得.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
8．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设是虚数单位，若复数满足，则________.
【答案】/
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再判断其实部.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
9．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为__________.
【答案】3
【分析】由纯虚数的定义计算可得.
【详解】由题意可得，解得所以.
故答案为：3.
10．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知复数是纯虚数，则复数的虚部为_____
【答案】10
【分析】利用复数的乘法运算，结合纯虚数的定义求解.
【详解】依题意，，由是纯虚数，得，
解得，因此，
所以复数的虚部为10.
故答案为：10
二、解答题
11．(24-25高一下·上海行知中学·期中)已知复数是虚数单位）．
(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
(2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，再利用其对应的点所在象限得不等式组，故可求参数的范围；
（2）利用夹角公式可求夹角.
【详解】（1）由题意， ，
第一象限需满足：，解得 .
（2）当 时，点 ， ，
设的夹角为，则，
且.
一、单选题
12．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再判断三角形形状并求出面积.
【详解】依题意，，，而，
则，是等腰直角三角形，面积为.
故选：C
13．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)复数，在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数的乘法运算先求复数，由复数的几何意义即可求解.
【详解】由，所以复数在复平面对应的点，所以点在第三象限，
故选：C.
14．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)设、，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】根据复数相等的定义以及充分必要条件的定义判断即可
【详解】若，则，故充分性成立；
设1，，符合，但不成立，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
二、填空题
15．(24-25高一下·上海行知中学·期中)设且，满足，则的取值范围为__．
【答案】
【分析】设，利用条件推得，将表示后转化为圆上的点到原点的距离即可.
【详解】设，
由可得，故得.
由，可得，
即复数对应的点在以点为圆心，半径为2的圆上.
所以，
代表点到原点距离的倍，
由图知点到原点距离的取值范围为，
即的取值范围为.
故答案为：.
16．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是________．
【答案】
【分析】先根据不等式的解集得到、的关系，再根据复数模的计算公式求解的取值范围．
【详解】根据题意，已知、，若不等式的解集为，
则在上，函数图像上的点要在函数上面.
分情况讨论，
当时，在上，时，，而，则直线上的点不可能一直在曲线上方，不合题意.
当，不等式的解集不为，不合题意，
所以若不等式的解集为，必有.
根据图像知道，在1处刚好取等即可，则，
可得．
令，这是一个二次函数，函数图象开口向上．
当时，．
所以，
综上所得， 的取值范围是．
故答案为：．

17．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知复数满足，则_____.
【答案】
【分析】利用复数的模的性质求解
【详解】，
故答案为：
三、解答题
18．(24-25高一下·上海大学附属中学·)已知复数是实系数一元二次方程的一个根.
(1)求和的值；
(2)若，，为纯虚数，求的值.
【答案】(1)；
(2)4.
【分析】（1）根据给定条件，求出方程的另一根，再利用韦达定理列式求解.
（2）利用复数乘法，结合纯虚数的意义求出，再利用复数模的定义求解.
【详解】（1）由复数是实系数一元二次方程的一个根，
得该方程的另一个实根为，因此，
所以.
（2）依题意，，
由为纯虚数，得，解得，
所以.
19．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知，为虚数单位．定义，．
(1)计算，；
(2)求集合在复平面上对应的区域的面积；
(3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)，此时
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）设，即可得到，从而确定集合在复平面上对应的区域，即可求出相应的面积；
（3）设，即可得到，确定在复平面的轨迹，即可求出的最大值以及此时的.
【详解】（1）因为，，
所以，；
（2）设，则，
所以，，
由且，即，即，
所以集合在复平面上对应的区域如下图阴影部分所示（不包含、轴部分），
所以集合在复平面上对应的区域的面积.
（3）设，则，
又，即，
所以当时，当时，当时，
当时，
所以复数在复平面内所对应的轨迹如下所示：
其中，，，，
所以当时取得最大值，且，此时
20．(24-25高一下·上海吴淞中学·期中)已知复数，其中为虚数单位.
(1)若复数为纯虚数，求的值；
(2)求的最小值.
【答案】(1)0
(2).
【分析】（1）根据纯虚数的概念解方程组可得结果；
（2）由复数的模长公式以及二次函数性质计算可得其最小值.
【详解】（1）由复数为纯虚数可得，所以；
（2）易知，
则可知时，的最小值为.
21．(24-25高一下·上海宜川中学·期中)已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位.
(1)求复数；
(2)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设出复数，化简和，利用实数，虚部为0，即可求出复数；
（2）化简复数，利用复数的几何意义转化为不等式组求解即可．
【详解】（1）为复数，和均为实数，
可设：，，
，
为实数，可得，解得，
复数，；
（2）复数，
其复平面上对应的点在第四象限，
可得：，解得或．
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专题08 复数（3大考点21题）（答案版）
1．7
2．/
3．
4．(1)
(2)或
5．(1)；
(2).
6．
7．
8．/
9．3
10．10
11．(1)
(2)
12．C
13．C
14．A
15．
16．
17．
18．(1)；
(2)4.
19．(1)，
(2)
(3)，此时
20．(1)0
(2).
21．(1)
(2)或
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专题08 复数（3大考点21题）
3大高频考点概览
考点01复数的四则运算
考点02复数的实部、虚部和共轭
考点03复数的几何意义
一、填空题
1．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)若都是实数，关于的方程有一个根，则__________.
2．(24-25高一下·上海吴淞中学·期中)已知，则复数为_______．
3．(23-24高一下·上海交通大学附属中学嘉定分校·期中)设复数，则复数的虚部为______.
二、解答题
4．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知关于 的方程
(1)若上述方程有虚数根，求实数 的取值范围
(2)若上述方程的两根为 ，且 ，求实数 的值
5．(23-24高一下·上海嘉定区中光高级中学·期中)已知复数；
(1)求
(2)若复数满足，求.
一、填空题
6．(24-25高一下·上海大学附属中学·)已知复数，则的虚部是________.
7．(24-25高一下·上海行知中学·期中)已知i为虚数单位，复数满足，则__．
8．(24-25高一下·上海杨浦区复旦大学附属中学·期中)设是虚数单位，若复数满足，则________.
9．(24-25高一下·上海晋元高级中学·期中)已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为__________.
10．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知复数是纯虚数，则复数的虚部为_____
二、解答题
11．(24-25高一下·上海行知中学·期中)已知复数是虚数单位）．
(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
(2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角．
一、单选题
12．(24-25高一下·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)复数，在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)设、，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
二、填空题
15．(24-25高一下·上海行知中学·期中)设且，满足，则的取值范围为__．
16．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是________．
17．(24-25高一下·上海大学附属中学·期中)已知复数满足，则_____.
三、解答题
18．(24-25高一下·上海大学附属中学·)已知复数是实系数一元二次方程的一个根.
(1)求和的值；
(2)若，，为纯虚数，求的值.
19．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期中)已知，为虚数单位．定义，．
(1)计算，；
(2)求集合在复平面上对应的区域的面积；
(3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值．
20．(24-25高一下·上海吴淞中学·期中)已知复数，其中为虚数单位.
(1)若复数为纯虚数，求的值；
(2)求的最小值.
21．(24-25高一下·上海宜川中学·期中)已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位.
(1)求复数；
(2)若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
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