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广西钦州市第十三中学2026年春季学期高二年级第四周考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，且与垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．若向量满足，则向量的夹角是钝角
B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底
C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为
D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是
4．如图，空间四边形中，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
7．在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9．下面四个结论中，正确的是（ ）
A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角
C．已知，则在上的投影向量的模为1
D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10．如图，在正三棱柱中，，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ）
A．存在点，使得 B．若，，，不共面，则四面体的体积的最大值为
C．直线与平面所成的最大角为 D．若，则点的轨迹的长为
11．在正四棱柱中，，点分别为棱上的点（含端点），则（ ）
A．当为的中点时，存在点，使得平面
B．当为的中点时，存在点，使得平面平面
C．对任意给定的点，存在点，使得 D．对任意给定的点，存在点，使得
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，若，则______.
13．在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______.
14．已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为、，则的取值范围为_____________.
四、解答题（共5小题，共77分）
15．如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且．
(1)求证：四点共面；
(2)求的长度．
16．如图，在四棱锥中，为中点，，，，．
(1)证明：平面；
(2)若底面，求直线与平面的夹角正弦值．
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，E，F分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知：
（i）求二面角的大小；
（ⅱ）线段上是否存在一点M，使得平面？若存在，说明点M的位置，若不存在，说明理由．
条件①：；
条件②：．
18．如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．

(1)用，表示；
(2)若点为的中点，求的值；
(3)若，求的值．
19．在平行六面体中，，，设，，．
(1)若点，满足，，试用，，表示；
(2)求与夹角的余弦值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C C B B B AC ABD
题号 11
答案 ACD
12．由题设，则，可得，可得.
13．以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为，
则，，，
，设，，
由，得，即，化简得.
正方体内切球球心为正方体中心，半径，
点满足.
设球心在平面的投影为，
则在平面上到直线的距离.
即球心到轨迹所在平面距离为,则轨迹圆半径.
轨迹长度为.
14．解：如图，延长分别交平面、平面于，
平面与棱，分别相交于，
连接交于，又为正四面体，不妨设正四面体的边长为，
为的重心，为的中点，，
，设，
，
共面，，解得，
即，又，，，
，
即，即，
，，
，且，
．
15．（1）在平行六面体中，令，则是空间的一个基底，
由，得，，
因此，而点直线，则，所以四点共面.
（2）依题意，，
而，
则，
因此，
所以的长度为6.
16．（1）取中点，连接，
在中，分别为的中点，为的中位线，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
（2）在四边形中，作于于，如下图所示：
，
四边形为等腰梯形，
，
故，
，
，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
直线的方向向量为，
则，
设平面的法向量，
则有，令，则，即，
设直线与平面的夹角为，
，
即直线与平面的夹角正弦值为．
17．（1）证明：取中点G，连接、，
F，G分别为，的中点，
且，
为的中点，底面为菱形，
且，
则且，
四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
平面；
（2）选条件①：，连接，
平面平面，平面平面，
又，平面，
平面，
平面，
，
，，，平面，
平面，则，
以D为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，
（i）设平面EFC的法向量为，由 ，，
得，令，则 ，
平面，
为平面的一个法向量，
可得，，，
，
由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为；
（ii）设且，则，
，
平面，，则，无解，
故不存在M，使得平面．
选条件②：，连接，，
平面平面，平面平面，
又，平面，
平面，
平面，
，
，则，
，则，
E为中点，
，由菱形得，
，
以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，
（i）设平面EFC的法向量为，由 ，，
得，令，则 ，
平面，
为平面的一个法向量，
可得，，，
，
由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为；
（ii）设且，则，
，
平面，，则，无解，
故不存在M，使得平面．
18．（1）在中，，
，
．
（2）设，
由（1）可知，，
，，
，，三点共线，
，，
，
，
由余弦定理可得，
，
．
（3）设，由余弦定理可得，
由正四面体得，
，
，
化简得，
解得或，
或．
19．（1），，
，，
又，，
．
（2）
，
，
，
，
．

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