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广西钦州市第十三中学2026年春季学期高二年级第五周考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．在正四棱柱中，，以为球心，表面积为的球与平面只有1个公共点，若为棱的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知两个正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线和上移动，且.当的长最小时，直线和夹角的余弦值是（ ）
A． B．0 C． D．
3．如图，在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在圆柱中，、O分别是上、下底面圆的圆心，线段，为圆柱的两条母线，三点共线，点C在上底面圆周上，平面平面．设，平面与平面所成锐二面角（或直二面角）为，平面与平面所成锐二面角（或直二面角）为．已知，对于命题：
①对任意符合题意的，恒有；
②存在常数，使得当时，的最大值为，
下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
6．在棱长为2的正方体中，点P在正方体的棱上运动，则三棱锥的体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（ ）
A． B．2 C．2或 D．或1
8．设是两个不同的平面，是三条不同的直线，，，，则“”是“或”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）
9．在长方体中，，，M是棱AB的中点，下列说法正确的是（ ）
A． B．二面角的余弦值是
C．过的平面截该长方体得到的图形面积是 D．沿长方体表面从到的最近距离是
10．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）

A．若，则四面体的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为
C．若，平面截正方体所得截面为四边形
D．若，则存在点在线段上，使得的最小值为
11．如图，在棱长为3的正方体中，为对角线上的动点，，下列说法正确的是（ ）
A． B．点到直线的距离的最小值为
C．过，N，A三点的平面截正方体所得截面的周长为
D．当时，三棱锥外接球的体积为
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______．
13．已知平面，，，分别过正四面体的四个顶点，且平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则_______．
14．如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的取值范围为__________.
四、解答题（共5小题，共77分）
15．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点，是的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，
①求直线与平面所成角的正弦值；
②平面将四棱锥分成两部分，求较小部分的体积.
16．如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD，.
(1)求证：平面平面；
(2)若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为.
（ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）求点到平面的距离.
17．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱上的一点，且，，，.
(1)求证：；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，在直三棱柱中，，，，P为棱上的动点，点Q为的中点.
(1)若，
（i）证明：平面；
（ii）求直线与直线的所成角的余弦值；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
19．在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，垂直于面，，．
(1)如图1，当面面时，证明：面；
(2)如图2，当二面角为时，求点到面的距离．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B B B C C BC ABD
题号 11
答案 ABD
12．，则，
又因为，，
所以.
13．如图，将四面体放入正方体中，
由对称性不妨设平面，，，分别过，
由平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，
从而过的中点，靠点的三等分点；
过的中点，靠点的三等分点；
如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
，
设平面的法向量为
则，取，
从而.
14．以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
，，，，
设，，
由，，得，
由，，，
，
，，，
所以平面，
平面，所以，
，，
，即，
，
，
，，
.
15．（1）取的中点为，连接，因为是的中点，
所以.
因为四边形为菱形，所以，
又是的中点，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，而不在平面内，
所以平面.
（2）①因为平面，平面，所以.
因为，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则.
所以.
设平面的一个法向量为，则有，
即，令，则，所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.

延长交的延长线于点，连接交于点，
易知，
.
16．（1）解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD，
因此，又因为正方形ABCD，所以，，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）以点A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，，，，，.
若存在点P，设点，，
设平面PBD的法向量为，，，
则，令，则，
设平面与平面的夹角为，易得平面的法向量为，
由已知有，即，
整理有，解得，或（舍）；
所以，，，
（ⅰ）设直线与平面所成角为，
，
所以，直线与平面PBD所成角的正弦值为；
（ⅱ）易知，设点到平面的距离为d，故.
点到平面PBD的距离为.
17．（1）方法一：如图，连接，在矩形中，，，，
所以，，
又，，所以.
因为，所以，即.
因为平面，平面，所以.
因为，，，，平面，
所以平面，
又平面，所以.
方法二：由题意可知，，两两垂直，
故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
因为，，，则，，.
设，则，.
由可得，即.
（2）连接交于点，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以.
因为四边形是矩形，所以为的中点，所以为的中点.
由题意可知，，，两两垂直，
故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
故，，，.
所以，，.
设为平面的一个法向量，
则，故可取.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
18．（1）（i）因为，所以P为的中点，
连接，因为Q为的中点，所以，且Q为的中点，
所以为的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（ii）取的中点O，的中点E，连接，，
因为三棱柱为直棱柱，且的中点为，的中点E，
所以平面，又因为，且的中点为，所以，
所以，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，，
所以，则，，，，
所以，，
所以，
故直线与直线的所成角的余弦值为.
（2）在（ii）的坐标系下，设（），
又，则，
设平面的一个法向量为，
则即
取，则，，
所以，
易知为平面的一个法向量，
所以，
整理得，解得或（舍），
所以.
19．（1）取中点，连接，，
又平面平面，平面平面，
平面，
又平面，，
平面，平面平面．
（2）过作平面于点，过作于点，连接则，为的中点，且，，
，，如图建系
，，，
，，
设平面的一个法向量，到面的距离为
，

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