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西安市华山中学 2025-2026 学年度第二学期期中质量检测
（考试时间：120 分钟 试卷满分 150 分）
一、单选题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上。）
1.复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A. B. C.1 D.2
3.已知正三角形 的边长为 ，那么正三角形 的直观图的面积为（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量 ， ， ，则向量 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.在平行四边形 中，点 为对角线 上靠近 点的三等分点，连结 并延长交 于 ，则
（ ）
A. B.
C. D.
6.下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（ ）
A. B. C. D.
7.已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则这个圆锥的半径为（ ）
A.2 B. C. D.3
8.中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名
扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度 ，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物 ，高约为 ，
在地面上点 处（ ， ， 三点共线）测得建筑物顶部 ，黄鹤楼顶部 的仰角分别为 和 ，
在 处测得楼顶部 的仰角为 ，则黄鹤楼的高度约为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多个选项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分）
9.已知 表示点， ， 表示不同直线， ， 表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A. ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
10.在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A.若复数 （ 为虚数单位），则
B.若复数 满足 ，则
C.若复数 ，则 为纯虚数的充要条件是
D.若复数 满足 ，则复数 对应点的集合是以原点 为圆心，以 1 为半径的圆
11.下列结论正确的是（ ）
A.在三角形 中，若 ，则
B.在锐角 中，不等式 恒成立
C.在 中，若 ， ，则三角形 为等腰直角三角形
D.在 中，若 ， ，三角形面积 ，则三角形外接圆半径为
三、填空题（本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分，正确答案填在答题卡的横线上）
12.已知复数 （ 为虚数单位），则 ________
13.已知正四棱台的上、下底的边长分别是 2、4，高为 1，则该四棱台的表面积为________.
14.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .若 ，且 ，则
的值为________
四、解答题（本题共 5 个小题共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题 13 分）如图，在几何体 中，四边形 为平行四边形， 为 的中点，平面
平面 .
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： .
16.（本题 15 分）已知向量 ， .
（1）求 ；
（2）若向量 ，且 ，求 的值；
（3）求与 垂直的单位向量的坐标.
17.（本题 15 分）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
.
（1）求四边形 绕直线 旋转一周所形成的几何体的表面积；
（2）求四边形 绕直线 旋转一周所形成的几何体的体积.
18.（本题 17 分）在三角形 中，角 ， ， 的对边长分别为 ， ， ，且
.
（1）求 ；
（2）若 ， ，求三角形 的面积；
（3）在（2）的条件下，求 边上的中线 的长度.
19.（本题 17 分）“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点.对于每个给定的三角形，都存
在唯一的费马点，当三角形 的三个内角均小于 时，使 的点 即
为费马点.已知三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，
，点 是三角形 的“费马点”.
（1）求角 ；
（2）若 ，求三角形 的周长；
（3）若 ， ，求实数 的值.

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