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2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（六）数据的分析
本章是初中统计学的核心，贯穿数据处理的全过程：从单个数据特征的描述，到数据整体分布的刻画，最终服务于基于数据的决策。考核重在概念理解、计算准确和实际应用。以下是系统性的考点归纳。
一、本章整体定位与三大知识板块
本章知识构成一个清晰的逻辑链条：
数据的代表 → 描述数据的“集中趋势”（平均数、中位数、众数）。
数据的波动 → 描述数据的“离散程度”（方差、标准差）。
数据的整理与推断 → 通过分组、直方图可视化分布，并用样本估计总体。
二、核心考点分项精析
考点一：集中趋势的度量——平均数、中位数、众数
这是最基础且必考的部分，关键在于理解各自的特点及适用场景。
统计量 计算方法 特点与意义 注意事项（易错点）
平均数
1. 算术平均数：x = (x +x +...+x )/n
2. 加权平均数：x = (f x +f x +...+f x )/(f +f +...+f ) 利用了全部数据，反映一般水平。受极端值影响大。 加权平均是高频考点：明确“权”的含义（如次数、比例、重要性），确保分子分母对应。
中位数 1. 排序；
2. 找最中间一个数（n为奇数）或中间两个数的平均数（n为偶数）。 反映中间位置，不受极端值影响。 必须先排序。当数据有重复值时，重复值也需参与排序定位。
众数 出现次数最多的数据。 反映数据的集中情况。可能不止一个，也可能没有。 众数是原数据值，不是出现的次数。
核心考法：
直接计算：给出一组数据，求三个统计量。
辨析选择：结合具体情境（如工资水平、比赛评分、商品畅销度），判断使用哪个统计量做分析更合理，并说明理由。例如：① 受极端值影响时用中位数；② 关注多数水平时用众数；③ 需要整体均衡考虑时用平均数。
考点二：离散程度的度量——方差与标准差
本章的难点与重点，从“波动大小”角度深化对数据的理解。
概念 计算公式（样本方差s ） 意义与解读
方差 s = [(x -x ) +(x -x ) +...+(x -x ) ]/n 衡量数据偏离平均数的平均程度。方差越大，数据波动越大，越不稳定。
标准差 s = √方差 方差的算术平方根，其单位与原数据一致，实际意义更直观。
核心考法与策略：
计算：严格按照公式步骤计算（求平均→求差→平方→求和→再平均→开方）。可使用表格法清晰呈现过程。
应用与决策：比较两组数据的稳定性。例如，在选拔成绩稳定的选手、评估产品质量稳定性时，方差（或标准差）小的更优。
理解性质：若一组数据中每个数都加上（或减去）同一个常数a，其方差、标准差不变；若乘以（或除以）同一个非零常数k，则新方差是原方差的k 倍（或除以k ），新标准差是原标准差的|k|倍（或除以|k|）。
考点三：数据的四分位数
四分位数是描述数据分布特征的重要统计量，它将一组有序数据分为四个等份，是中位数概念的延伸，能更细致地反映数据的分布形态、中心位置和离散程度。
1.核心定义与作用
定义：将一组数据按从小到大排序后，处于三个分割点位置的数值，称为四分位数。
三个四分位数：
第一四分位数（Q1）：又称“下四分位数”，是数据中前25% 数据的分界点。
第二四分位数（Q2）：就是数据的中位数，是数据中前50% 数据的分界点。
第三四分位数（Q3）：又称“上四分位数”，是数据中前75% 数据的分界点。
核心作用：
（1）衡量数据分布：与中位数、极差结合，能更全面地描述数据的集中趋势和离散程度。
（2）识别潜在异常值：通过计算四分位距（IQR），可以划定数据的“正常”范围。
（3）构建箱线图：四分位数是绘制箱线图（一种重要的数据可视化工具）的基础。
2、计算方法（基于未分组数据）
计算的关键在于先确定三个分割点的位置，再根据位置找出或计算对应的数值。以下是通用步骤：
步骤1：将数据从小到大排序。
这是所有计算的前提。
步骤2：确定中位数（Q2）的位置。
若数据个数 n为奇数，中位数位置为 (n+1)/2。
若 n为偶数，中位数位置介于 n/2和 n/2 + 1之间，取这两个位置数据的平均值。
步骤3：确定第一四分位数（Q1）和第三四分位数（Q3）的位置
考点四：统计量的综合选择与应用
这是最高阶的考点，考查对统计思想的整体把握。
“用样本估计总体”的思想：理解抽样调查的合理性，知道样本需要具有代表性和随机性，能用样本的平均数、方差等估计总体的相应特征。
根据分析目标选择合适的统计量：
分析“一般水平” → 平均数、中位数。
分析“集中情况” → 众数。
分析“稳定性” → 方差、标准差。
分析“分布形态” → 直方图。
解释统计结论：能根据计算结果（如平均数相同但方差不同），对实际问题（如两名运动员的成绩）做出合理解释和决策建议。
考点1 数据的集中趋势
1．在九年级学生评优活动中，综合成绩由“学业水平”和“综合素养”两项按比例组成．小康的“学业水平”为90分，“综合素养”为95分．两项的权重分别为和，则小康的综合成绩为（ ）
A．91 B．92 C．92.5 D．94
2．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答以下问题：
(1)本次抽取的学生共有________人，并把条形统计图补充完整；
(2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是________分，中位数是________分；
(3)扇形统计图B等级占的圆心角是________度；
(4)若该校共有学生2800人，书写能力等级达到优秀的学生大约有多少人？
3．为弘扬华夏文明，传承津沽文化，某校举办了“家乡民俗知多少”知识竞赛活动，现随机抽取了名学生的成绩（成绩为60~100分的整十数），根据统计的结果，绘制出如下统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空：的值为__________，图①中的值为__________，统计的这组学生成绩数据的众数和中位数分别为__________和__________；
(2)求统计的这组学生成绩数据的平均数；
(3)根据样本数据，若该校共有1800名学生，估计该校学生此次竞赛成绩不低于80分的人数约为多少？
4．某校开展了关于“厨艺，电工，木工，园艺，编织”五大劳动课程知识竞赛．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级学生竞赛成绩在B组的数据为：83，84，85，86，86，88，89
八年级20名学生的竞赛成绩为：62，65，68，72，74，75，78，80，82，85，87，88，90，92，94，95，98，100，100，100
抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 99
八年级 86
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)该校七年级有学生1500人，八年级有学生1300人，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有多少人？
5．为研究一般家庭对智能家居设备的偏好，小明所在的数学兴趣小组调查了班级24名学生家庭中以下两类智能家居设备的数量和消费金额．
A类：安全类智能家居设备（智能门锁等）；
B类：便捷类智能家居设备（智能扫地机器人等）．
整理、描述、分析数据如下：
【整理数据】
①设备数量
24户家庭A类设备数量（单位：台）：
0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4
24户家庭B类设备数量（单位：台）：
0，0，0，0，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4
②消费金额频数分布表（单位：元）
类别 不同消费金额（单位：元）范围内出现的频数（户数）
A类 2 4 a 7 3
B类 10 b 5 1 0
【描述数据】
根据A类设备数量绘制不完整扇形统计图，根据B类消费金额频数分布表，绘制不完整频数分布直方图．
A类设备数量绘制不完整扇形统计图
B类消费金额不完整频数分布直方图
【分析数据】
组别 关于智能家居设备数量的统计量
平均数 中位数 众数 方差
A类 2.5 c 3 1.67
B类 2 2 d 1.75
【解决问题】
根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：_____，_____，_____；
(2)补全频数分布直方图；
(3)计算扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数；
(4)若该校共有学生家庭576户，估计：
①全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有多少户？
②全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有多少户？
(5)结合设备数量、消费金额两项数据，判断该班学生家庭更偏好哪一类智能家居，并说明理由．
6．近年来，由于智能驾驶技术的横空出世，电动汽车成为汽车领域的热门话题．有关人员开展了，两款电动汽车的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）下面给出了部分信息：抽取的款电动汽车的评分数据中“满意”的数据为，，，，，;
抽取的对款电动汽车的评分数据为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，;
抽取的对，款电动汽车的评分统计表
电动汽车 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中：_____，_____；_____；
(2)根据以上数据，你认为哪款电动汽车更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)在此次测验中，有人对款电动汽车进行评分，人对款电动汽车进行评分，请估计此次测验中对电动汽车不满意的人数？
考点2数据的离散程度
1．现有两批苹果，从中各随机抽取个，测量它们的直径（单位：）并绘制成如图所示的统计图．从第一批中抽取的苹果直径的方差记为，从第二批中抽取的苹果直径的方差记为，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔
第2个间隔
第3个间隔
第4个间隔
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______．
3．如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”）
4．若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的离差平方和为______．
5．为促进学生健康成长，提高身体素质，某校开展了“1分钟跳绳”打卡活动．为了解该校七、八年级学生“1分钟跳绳”的情况，老师从七、八年级学生中各随机抽取了8名学生进行“1分钟跳绳”比赛，并将测试成绩（1分钟跳绳个数）进行整理，绘制成如下统计图表．
跳绳测试成绩统计表
平均数 中位数 众数 方差
七年级 170 172.5 a 50
八年级 170 b 180 93.75
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表中______，______；
(2)结合表中数据分析，哪个年级的“1分钟跳绳”情况较好？请说明理由．
6．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下：
a．信息处理速度得分统计图
b．信息识别准确度得分统计图
c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表
AI软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分
平均数 中位数 众数 平均数
甲
乙
根据以上信息、解答下列问题：
(1)表格中的值为________；的值为________；
(2)若软件信息识别准确度得分的方差越小，则认为该软件识别度越高、更方便、据此推断：甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是________（填“甲”或“乙”）；
(3)若用户对软件评分大于分视为高分，否则视为低分．甲软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案．方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升分；方案二：针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升分，高分组不变．为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案________（填“一”或“二”）；采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将________．（填“增大”“减小”或“不变”）
考点3数据的四分位数
1．如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（ ）
A．本次测试的最高分是99分
B．本次测试的平均分是79分
C．本次测试成绩的上四分位数是88分
D．本次测试成绩在65~88分的人数占了50%
2．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数_____________．
3．为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为A队和B队，每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩如下（单位：秒）：
A队 13 14 15 13 15 13 14 15
B队 14 15 16 14 16 14 17 16
(1)小明通过计算平均数得______秒，秒；通过计算方差______，；
(2)小颖利用四分位数、箱线图进行分析．
①A队队员成绩的______，B队队员成绩的______；
②A队队员成绩的中位数______B队队员成绩的中位数（填“>”，“=”或“<”），且______队选手间成绩差异较大；
(3)请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由．
4．甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．
(1)求甲组成绩的四分位数：；；．
(2)请结合箱线图，写出两条你对这两组测试成绩的分析结论．
5．小明和小亮为了解八年级1班，2班学生在“科学素养”竞赛中成绩的整体情况，从两班中分别随机抽取了12名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行整理．
如图，小明将成绩分为四组，分别为A组：；B组：；C组：；D组：，并绘制了不完整的八年级1班和2班成绩频数直方图．
下面给出了部分信息：
a、八年级1班抽取的学生的C组数据：80，81，82，83，85，87，89；
b、八年级2班抽取的学生的D组数据：90，92，94，96．
小亮利用最小值、最大值和四分位数信息，绘制以下箱线图进行两班成绩整体分布情况的比较．
最小值 最大值
八年级1班 65 a c 86 92
八年级2班 60 b 83 d 98
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)请补全八年级1班学生成绩的频数直方图；
(2)通过观察箱线图可得，a______b（填“”“”或“”）；
(3)通过计算可得，______，______；
(4)在每个班级抽取的12名学生中成绩较高的6名学生可代表本班进入复赛，八年级1班的学生甲和八年级2班的学生乙的成绩均为82分，则______（填序号）进入复赛．
①学生甲 ②学生乙 ③学生甲和乙 ④都不能
6．【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．
【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图．
【数据分析】
（1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定；
选手 最小值、四分位数和最大值
最小值 最大值
6 ① 9 9.5 10
8 8 9 ② 10
（2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大；
【作出决策】
（3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由．
考点4统计量的综合选择
1．小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下：
汽车流量（辆）
天数（天）
如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2．在一次校园歌唱选拔比赛中，小明成绩为86分，超过本小组一半选手的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
3．某班25名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表：
成绩 171及以下 172 173 174 175及以上
人数 1 4 8 □ ○
因污损导致数据不完整，仍能分析出本次测试成绩的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．某同学六次数学考试成绩分别为：86分、86分、78分、80分、85分、92分，老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．苦荞饸饹条细，色泽金黄，绵软筋韧，清香利口，因糖分含量少，粗纤维多，利于消化，对糖尿病有一定的防治作用，为某地区著名小吃．随机抽取某苦荞饸饹销售商一周的营业额（单位：元）如下表：
星期 一 二 三 四 五 六 日
营业额/元 700 750 700 800 700 1200 1100
(1)这一周营业额的平均数是________元，中位数是________元，众数是________元；
(2)如果要估计该苦荞饸饹销售商一个月（按30天计算）的营业额，你认为平均数、中位数、众数中，哪一个最适合用来估计？并用最适合的数据估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额
6．某市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业班的女生进行了一分钟仰卧起坐测试，测试情况绘制成下表：
次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 35 36
人数 1 1 7 18 10 5 2 2 1 1 2
(1)求这次测试数据的平均数、众数和中位数；
(2)根据这组数据的特点，你认为该市将中考中女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准定为多少次较为合适？请简要说明理由．
考点5 利用合适的统计量做决策
1．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？
(2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？
(3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由．
2．2026年央视春晚中，铜梁龙舞（国家级非物质文化遗产）再次惊艳亮相．为了解某校学生对铜梁非遗的了解程度，学校组织了“铜梁非遗知识测试”（满分100分），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，分成四组：A．，B．．，D．），部分信息如下：
七年级10名学生的成绩：81，83，87，88，91，95，95，97，99，100．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，92．
七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：___________，___________，___________；
(2)学校计划从成绩更好的年级中选拔学生参加“铜梁非遗宣讲团”，请判断应选择哪个年级，并说明理由．
(3)已知该校七、八年级共有500名学生参加了本次测试，估计本次测试中成绩为优秀（）的学生总人数．
3．某校开展阳光体育活动，其中有一项目为秒跳绳（满分分）．为了解本次跳绳成绩的大致情况，林老师随机抽取了男、女各名同学的跳绳成绩（成绩用表示），并将数据进行整理和分析，给出了以下信息：
名男生的成绩分别为．
名女生成绩中，成绩在的数据分别为．
整理数据：
男 0 1 2 3 4
女 1 1 2 4 2
分析数据：
平均数 众数 中位数
男
女 c
(1)___________，___________，___________；
(2)请估计参加此次测试的名学生中成绩不低于分的人数；
(3)根据以上数据，你认为该校跳绳项目中，男生和女生，谁更需要加强锻炼？请说明理由．
4．随着人工智能技术的迅猛发展，聊天机器人的智能化水平不断提高，逐渐深入大众生活．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度的评分调查（评分为整数，满分分，9分及以上为特别满意），并从中各随机抽取份数据，进行整理、描述和分析，部分信息如下．
①甲款聊天机器人评分数据：7，8，7，，7，6，6，8，，9，8，6，8，7，6，8，8，7，8，6．
②乙款聊天机器人评分条形统计图．
③甲、乙两款聊天机器人评分统计表．
平均数 众数 中位数 特别满意所占百分比
甲款 a
乙款 8 b c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述表中的
(2)你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由．
(3)在此次调查中，各有人对甲、乙两款聊天机器人进行评分，估计此次调查中对两款聊天机器人特别满意的总人数．
5．2025年4月19日，北京亦庄举办了全球首届人形机器人半程马拉松，吸引了众人的眼球．在比赛过程中机器人可更换电池，但是会有罚时，且换的过程中不停止计时，因而对机器人的续航能力提出了更高的要求．某公司对其研发的A、B两款人形机器人各10次工作时长（单位：分钟）进行了检测，以下是部分检测数据信息
【收集数据】
A款人形机器人：100 132 112 120 120 124 120 128 140 144
B款人形机器人：92 128 112 116 112 124 128 148 128 152
【分析数据】
型号 平均数 中位数 众数
A a b 120
B 124 126 c
根据以上信息，解答下列问题
(1)填空：________，________，________．
(2)结合上表中的统计量，你认为哪款型号的人形机器人的续航能力较好？请说明理由；
(3)某新能源汽车工厂购进了B款人形机器人300台用于提高工作效率，请估算这批人形机器人中，在不更换电池的前提下，运行时间在2小时以上的台数．
6．2025年第十五届全国运动会在粤港澳成功举办．某校为了解学生对体育知识的掌握情况，组织了一场体育知识竞赛，并从参赛的七、八年级学生中各随机抽取了50名学生的成绩（满分10分，9分及以上为优秀），并对数据进行整理和分析，部分信息如下：
成绩统计表
统计量 七年级 八年级
平均数
中位数 8
众数 8
优秀率
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：___________，___________，___________．
(2)你认为哪个年级的学生对体育知识的掌握情况更好？请结合统计量说明理由．
2025-2026人教版八年级数学下分层精练精析
章末复习（六）数据的分析（解析版）
本章是初中统计学的核心，贯穿数据处理的全过程：从单个数据特征的描述，到数据整体分布的刻画，最终服务于基于数据的决策。考核重在概念理解、计算准确和实际应用。以下是系统性的考点归纳。
一、本章整体定位与三大知识板块
本章知识构成一个清晰的逻辑链条：
数据的代表 → 描述数据的“集中趋势”（平均数、中位数、众数）。
数据的波动 → 描述数据的“离散程度”（方差、标准差）。
数据的整理与推断 → 通过分组、直方图可视化分布，并用样本估计总体。
二、核心考点分项精析
考点一：集中趋势的度量——平均数、中位数、众数
这是最基础且必考的部分，关键在于理解各自的特点及适用场景。
统计量 计算方法 特点与意义 注意事项（易错点）
平均数
1. 算术平均数：x = (x +x +...+x )/n
2. 加权平均数：x = (f x +f x +...+f x )/(f +f +...+f ) 利用了全部数据，反映一般水平。受极端值影响大。 加权平均是高频考点：明确“权”的含义（如次数、比例、重要性），确保分子分母对应。
中位数 1. 排序；
2. 找最中间一个数（n为奇数）或中间两个数的平均数（n为偶数）。 反映中间位置，不受极端值影响。 必须先排序。当数据有重复值时，重复值也需参与排序定位。
众数 出现次数最多的数据。 反映数据的集中情况。可能不止一个，也可能没有。 众数是原数据值，不是出现的次数。
核心考法：
直接计算：给出一组数据，求三个统计量。
辨析选择：结合具体情境（如工资水平、比赛评分、商品畅销度），判断使用哪个统计量做分析更合理，并说明理由。例如：① 受极端值影响时用中位数；② 关注多数水平时用众数；③ 需要整体均衡考虑时用平均数。
考点二：离散程度的度量——方差与标准差
本章的难点与重点，从“波动大小”角度深化对数据的理解。
概念 计算公式（样本方差s ） 意义与解读
方差 s = [(x -x ) +(x -x ) +...+(x -x ) ]/n 衡量数据偏离平均数的平均程度。方差越大，数据波动越大，越不稳定。
标准差 s = √方差 方差的算术平方根，其单位与原数据一致，实际意义更直观。
核心考法与策略：
计算：严格按照公式步骤计算（求平均→求差→平方→求和→再平均→开方）。可使用表格法清晰呈现过程。
应用与决策：比较两组数据的稳定性。例如，在选拔成绩稳定的选手、评估产品质量稳定性时，方差（或标准差）小的更优。
理解性质：若一组数据中每个数都加上（或减去）同一个常数a，其方差、标准差不变；若乘以（或除以）同一个非零常数k，则新方差是原方差的k 倍（或除以k ），新标准差是原标准差的|k|倍（或除以|k|）。
考点三：数据的四分位数
四分位数是描述数据分布特征的重要统计量，它将一组有序数据分为四个等份，是中位数概念的延伸，能更细致地反映数据的分布形态、中心位置和离散程度。
1.核心定义与作用
定义：将一组数据按从小到大排序后，处于三个分割点位置的数值，称为四分位数。
三个四分位数：
第一四分位数（Q1）：又称“下四分位数”，是数据中前25% 数据的分界点。
第二四分位数（Q2）：就是数据的中位数，是数据中前50% 数据的分界点。
第三四分位数（Q3）：又称“上四分位数”，是数据中前75% 数据的分界点。
核心作用：
（1）衡量数据分布：与中位数、极差结合，能更全面地描述数据的集中趋势和离散程度。
（2）识别潜在异常值：通过计算四分位距（IQR），可以划定数据的“正常”范围。
（3）构建箱线图：四分位数是绘制箱线图（一种重要的数据可视化工具）的基础。
2、计算方法（基于未分组数据）
计算的关键在于先确定三个分割点的位置，再根据位置找出或计算对应的数值。以下是通用步骤：
步骤1：将数据从小到大排序。
这是所有计算的前提。
步骤2：确定中位数（Q2）的位置。
若数据个数 n为奇数，中位数位置为 (n+1)/2。
若 n为偶数，中位数位置介于 n/2和 n/2 + 1之间，取这两个位置数据的平均值。
步骤3：确定第一四分位数（Q1）和第三四分位数（Q3）的位置
考点四：统计量的综合选择与应用
这是最高阶的考点，考查对统计思想的整体把握。
“用样本估计总体”的思想：理解抽样调查的合理性，知道样本需要具有代表性和随机性，能用样本的平均数、方差等估计总体的相应特征。
根据分析目标选择合适的统计量：
分析“一般水平” → 平均数、中位数。
分析“集中情况” → 众数。
分析“稳定性” → 方差、标准差。
分析“分布形态” → 直方图。
解释统计结论：能根据计算结果（如平均数相同但方差不同），对实际问题（如两名运动员的成绩）做出合理解释和决策建议。
考点1 数据的集中趋势
1．在九年级学生评优活动中，综合成绩由“学业水平”和“综合素养”两项按比例组成．小康的“学业水平”为90分，“综合素养”为95分．两项的权重分别为和，则小康的综合成绩为（ ）
A．91 B．92 C．92.5 D．94
【答案】B
【详解】解：小康的综合成绩为：．
2．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答以下问题：
(1)本次抽取的学生共有________人，并把条形统计图补充完整；
(2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是________分，中位数是________分；
(3)扇形统计图B等级占的圆心角是________度；
(4)若该校共有学生2800人，书写能力等级达到优秀的学生大约有多少人？
【答案】(1)，图见解析
(2)，
(3)
(4)书写能力等级达到优秀的学生大约有人
【分析】（1）先利用C等级的人数除以所占的百分比即可得出本次抽取的学生人数，再求出B等级的人数，即可补全条形统计图；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）用乘以B等级学生所占比例即可得出结果；
（4）用乘以A等级学生所占比例即可得出结果．
【详解】（1）解：本次抽取的学生共有（人），
B等级的人数有：（人），
故把条形统计图补充完整如图：
；
（2）解：∵出现的次数最多，出现了次，
∴众数是，
在这个数据中，中位数为第、个数据的平均数，即中位数为；
（3）解：，
即扇形统计图B等级占的圆心角是度；
（4）解：（人），
故书写能力等级达到优秀的学生大约有人．
3．为弘扬华夏文明，传承津沽文化，某校举办了“家乡民俗知多少”知识竞赛活动，现随机抽取了名学生的成绩（成绩为60~100分的整十数），根据统计的结果，绘制出如下统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空：的值为__________，图①中的值为__________，统计的这组学生成绩数据的众数和中位数分别为__________和__________；
(2)求统计的这组学生成绩数据的平均数；
(3)根据样本数据，若该校共有1800名学生，估计该校学生此次竞赛成绩不低于80分的人数约为多少？
【答案】(1)200，20，80，80；
(2)83；
(3)估计该校学生此次竞赛成绩不低于80分的人数约为1350．
【分析】（1）根据条形统计图求得总人数，根据100分的人数除以总人数得出的值，根据众数和中位数定义求出众数和中位数；
（2）根据平均数的定义即可求解；
（3）根据样本估计总体即可求解．
【详解】（1），，所以，众数80，中位数80.
（2）观察条形统计图，
，
这组数据的平均数是83．
（3）在所抽取的样本中，成绩不低于80分的学生占75%，
根据样本数据，估计该校1800名学生中，成绩不低于80分的学生约占75%，有．
估计该校学生此次竞赛成绩不低于80分的人数约为1350．
4．某校开展了关于“厨艺，电工，木工，园艺，编织”五大劳动课程知识竞赛．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级学生竞赛成绩在B组的数据为：83，84，85，86，86，88，89
八年级20名学生的竞赛成绩为：62，65，68，72，74，75，78，80，82，85，87，88，90，92，94，95，98，100，100，100
抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 99
八年级 86
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)该校七年级有学生1500人，八年级有学生1300人，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有多少人？
【答案】(1)85.5；100；30
(2)八年级学生的知识竞赛成绩较好，理由见解析
(3)970人
【分析】（1）求出七年级学生竞赛成绩在A组的百分比，可求出m的值，再根据中位数的定义可得a的值，根据众数的定义求出b的值，即可；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）根据样本估计总体解答即可．
【详解】（1）解：，即，
∴七年级学生竞赛成绩在A组的数据为，
∴把这20个数据从大到小排列，位于第10位和第11位的分别为86，85，
∴；
∵八年级20名学生的竞赛成绩中100分出现的次数最多，
∴；
（2）解：八年级学生的知识竞赛成绩较好，理由如下：
∵两个年级成绩的平均数一样，但七年级成绩的中位数，众数均低于八年级，
∴八年级学生的知识竞赛成绩较好；
（3）解：人，
即此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有970人．
5．为研究一般家庭对智能家居设备的偏好，小明所在的数学兴趣小组调查了班级24名学生家庭中以下两类智能家居设备的数量和消费金额．
A类：安全类智能家居设备（智能门锁等）；
B类：便捷类智能家居设备（智能扫地机器人等）．
整理、描述、分析数据如下：
【整理数据】
①设备数量
24户家庭A类设备数量（单位：台）：
0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4
24户家庭B类设备数量（单位：台）：
0，0，0，0，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4
②消费金额频数分布表（单位：元）
类别 不同消费金额（单位：元）范围内出现的频数（户数）
A类 2 4 a 7 3
B类 10 b 5 1 0
【描述数据】
根据A类设备数量绘制不完整扇形统计图，根据B类消费金额频数分布表，绘制不完整频数分布直方图．
A类设备数量绘制不完整扇形统计图
B类消费金额不完整频数分布直方图
【分析数据】
组别 关于智能家居设备数量的统计量
平均数 中位数 众数 方差
A类 2.5 c 3 1.67
B类 2 2 d 1.75
【解决问题】
根据以上信息解决下列问题：
(1)填空：_____，_____，_____；
(2)补全频数分布直方图；
(3)计算扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数；
(4)若该校共有学生家庭576户，估计：
①全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有多少户？
②全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有多少户？
(5)结合设备数量、消费金额两项数据，判断该班学生家庭更偏好哪一类智能家居，并说明理由．
【答案】(1)8，3，2
(2)补全频数分布直方图见详解
(3)扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数为
(4)①全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有456户，②全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有144户
(5)该班学生家庭更偏好A类智能家居，理由见详解
【分析】（1）利用总调查人数减去其余消费金额频数可得到a，再利用中位数和众数的定义可求得c和d的值；
（2）先求出b的值，再补全频数分布直方图即可；
（3）先用A类2台频数除以调查数量得到2台的频率，再用频率，即可得到扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角；
（4）①先用A类2台以上频数除以调查数量得到频率，再利用总数576乘以该频率得到结果；
②先用B类智能家居设备消费金额2000元及以上的频数除以调查数量得到频率，再利用总数576乘以该频率得到结果；
（5）根据中位数、方差、众数和平均数的定义即可进行判断．
【详解】（1）解：，
在24户家庭A类设备数量中，第12个和13个数据均为3，
∴，
在24户家庭B类设备数量中，“2”一共出现6次，出现次数最多，
∴．
（2）解：，
如图所示，补全频数分布直方图如下：
（3）解：在24户家庭A类设备数量中，2台共出现5次，
∴，
∴扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数为．
（4）解：①（户），
∴全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有456户；
②（户），
∴全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有144户．
（5）解：该班学生家庭更偏好A类智能家居，
理由：A类智能家居的平均数、中位数、众数均高于B类，方差低于B类，且24户家庭在A类智能家居产品消费金额多集中在高段，而B类智能家居产品消费金额多集中在低段．
6．近年来，由于智能驾驶技术的横空出世，电动汽车成为汽车领域的热门话题．有关人员开展了，两款电动汽车的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）下面给出了部分信息：抽取的款电动汽车的评分数据中“满意”的数据为，，，，，;
抽取的对款电动汽车的评分数据为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，;
抽取的对，款电动汽车的评分统计表
电动汽车 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中：_____，_____；_____；
(2)根据以上数据，你认为哪款电动汽车更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)在此次测验中，有人对款电动汽车进行评分，人对款电动汽车进行评分，请估计此次测验中对电动汽车不满意的人数？
【答案】(1)；；
(2)款电动汽车更受用户喜爱，理由见解析
(3)人
【分析】（1）用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值；
（2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可；
（3）由，两款的不满意的人数之和即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，
即，
∵款的评分非常满意有个，满意的数据为，，，，，，
∴排在中间的两个数为，，
∴中位数为，
在款的评分数据中，出现的次数最多，
∴众数，
故答案为：；；．
（2）解：款电动汽车更受用户喜爱，理由如下：
∵两款的评分数据的平均数相同都是，但款评分数据的中位数为比款的中位数高，
∴款电动汽车更受用户喜爱（答案不唯一）；
（3）解：人，
答：估计此次测验中不满意的人数为140人．
考点2数据的离散程度
1．现有两批苹果，从中各随机抽取个，测量它们的直径（单位：）并绘制成如图所示的统计图．从第一批中抽取的苹果直径的方差记为，从第二批中抽取的苹果直径的方差记为，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.观察图形可知第一批数据波动较小，第二批数据波动较大，据此即可判断．
【详解】解：观察两幅统计图可知： 第一批数据的点比较集中，围绕在平均值附近波动较小； 第二批数据的点比较分散，围绕在平均值附近波动较大，
∵方差是衡量一组数据波动大小的量，数据越稳定（波动越小），方差越小，
∴．
2．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔
第2个间隔
第3个间隔
第4个间隔
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______．
【答案】{7，9}，{12，13，15}
【分析】根据组内离差平方和越小，组内数据相差越小，得到第2个间隔组内离差平方和最小，据此解答即可．
【详解】解：将5名同学的引体向上个数从小到大排列为：7，9，12，13，15，
观察表格，4种分法中最小的组内离差平方和为，
因此，正确的分组是：{7，9}，{12，13，15}．
3．如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”）
【答案】
【详解】解：
∵
∴
4．若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的离差平方和为______．
【答案】10
【分析】先根据平均数的定义求出x，然后运用离差平方和的公式求解即可作答．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
∴这组数据的离差平方和为．
5．为促进学生健康成长，提高身体素质，某校开展了“1分钟跳绳”打卡活动．为了解该校七、八年级学生“1分钟跳绳”的情况，老师从七、八年级学生中各随机抽取了8名学生进行“1分钟跳绳”比赛，并将测试成绩（1分钟跳绳个数）进行整理，绘制成如下统计图表．
跳绳测试成绩统计表
平均数 中位数 众数 方差
七年级 170 172.5 a 50
八年级 170 b 180 93.75
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表中______，______；
(2)结合表中数据分析，哪个年级的“1分钟跳绳”情况较好？请说明理由．
【答案】(1)175，172.5
(2)七年级的“1分钟跳绳”情况较好，理由见详解
【分析】（1）众数是指一组数据中出现次数最多的数据，观察统计图，寻找出现次数最多的数据即可；中位数是指把一组数据按照从小到大（或大到小）的顺序排列，处于中间位置的数或中间两个数据的平均数，结合统计图排序计算即可；
（2）结合七、八年级跳绳成绩的平均数、中位数、众数和方差的大小关系判断即可．
【详解】（1）解：观察统计图，七年级8名同学跳绳成绩出现次数最多的是175，所以；八年级8名同学跳绳成绩从小到大排序后，处在中间的两个数据分别为170和175，它们的平均数是172.5，所以；
（2）解：七年级的“1分钟跳绳”情况较好．理由：
因为七、八年级跳绳比赛成绩的平均数和中位数相同，七年级跳绳比赛成绩的方差比八年级的小，所以从整体来看，七年级的跳绳比赛成绩较稳定，“1分钟跳绳”情况较好．（答案不唯一，合理即可）
6．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下：
a．信息处理速度得分统计图
b．信息识别准确度得分统计图
c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表
AI软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分
平均数 中位数 众数 平均数
甲
乙
根据以上信息、解答下列问题：
(1)表格中的值为________；的值为________；
(2)若软件信息识别准确度得分的方差越小，则认为该软件识别度越高、更方便、据此推断：甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是________（填“甲”或“乙”）；
(3)若用户对软件评分大于分视为高分，否则视为低分．甲软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案．方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升分；方案二：针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升分，高分组不变．为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案________（填“一”或“二”）；采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将________．（填“增大”“减小”或“不变”）
【答案】(1)，；
(2)甲；
(3)二，减小．
【分析】（）根据众数，中位数定义，结合信息处理速度得分统计图中的数据进行计算即可；
（）根据折线统计图，方差的定义分析即可；
（） 根据平均数和方差的定义分析即可．
【详解】（1）解：根据信息处理速度得分统计图中可以得到甲款软件分人数最多，
∴甲的众数，
根据中位数的定义，乙款软件信息处理速度的中位数是第个数据的平均数，第个是分，第个是分，
∴，
故答案为：，；
（2）解：从折线图可看出，乙的信息识别准确度得分波动更大，甲得分更集中，因此甲的方差更小，
因为“方差越小，识别度越高”，
所以识别度更高的是甲，
故答案为：甲；
（3）解：方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升分，
虽然平均数提升分，但方差不变；
方案二：∵低分组每位用户的评分将提升，高分组不变将会提升平均数，采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将减小，
∴分数波动变小，
∴方差将减小，
∴该公司应该选用方案二，采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将减小，
故答案为：二，减小．
考点3数据的四分位数
1．如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（ ）
A．本次测试的最高分是99分
B．本次测试的平均分是79分
C．本次测试成绩的上四分位数是88分
D．本次测试成绩在65~88分的人数占了50%
【答案】B
【分析】准确识别箱线图中五个关键统计量：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，同时理解四分位数间距（箱体部分）所代表的数据占比，据此逐一分析各个选项的判断即可．
【详解】A项：由图可知，箱线图最上方的横线（上须末端）对应的数值是99，这代表数据的最大值，故A项判断正确，不符合题意；
B项：箱线图中间的横线代表中位数，而非平均数，图中显示中位数为79，平均数需要所有数据之和除以数据个数，仅凭箱线图无法直接得出平均数，故B项判断错误，符合题意；
C项：由图可知，图中箱体上沿的横线表示本次测试成绩的上四分位数，即为88分，故C项判断正确，不符合题意；
D项：箱线图的箱体部分（从下四分位数到上四分位数）包含了数据集中间的数值，图中下四分位数为65，上四分位数为88，这意味着成绩在65分到88分之间的数据占总人数的，故D项判断正确，不符合题意．
2．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数_____________．
【答案】
【分析】根据四分位数的定义计算即可．
【详解】解：将数据从小到大排序为：，，，，，，，，计算得，因此上四分位数为第个数与第个数的平均数，即．
3．为备战校运动会，初二某班的体育委员将报名100米的同学分为A队和B队，每队8人，并进行了一次100米跑的队内测试，两队的成绩如下（单位：秒）：
A队 13 14 15 13 15 13 14 15
B队 14 15 16 14 16 14 17 16
(1)小明通过计算平均数得______秒，秒；通过计算方差______，；
(2)小颖利用四分位数、箱线图进行分析．
①A队队员成绩的______，B队队员成绩的______；
②A队队员成绩的中位数______B队队员成绩的中位数（填“>”，“=”或“<”），且______队选手间成绩差异较大；
(3)请你结合小明和小颖的数据分析，从A，B两队中选择一个队伍参加运动会接力赛，并说明理由．
【答案】(1)14，，
(2)①13，16 ②，B
(3)选择A队参加运动会接力赛，见解析
【分析】（1）根据平均数和方差的定义求解即可；
（2）根据四分位数的概念求解即可；
（3）根据（1）（2）中的计算结果和结论即可得出结论．
【详解】（1）解：（秒）；
；
（2）解：①A队队员成绩排序为13，13，13，14，14，15，15，15，
∴A队队员成绩的，
B队队员成绩排序为14，14，14，15，16，16，16，17，
∴B队队员成绩的；
②A队队员成绩的中位数是，
B队队员成绩的中位数是，
∴A队队员成绩的中位数B队队员成绩的中位数，
由箱线图可知，B队选手间成绩差异较大；
（3）解：选择A队参加运动会接力赛．A队的平均成绩为14秒，相较于B队速度更快，且A队整体的100米跑成绩更好，参赛更有可能取得优异成绩．（言之有理即可）
4．甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．
(1)求甲组成绩的四分位数：；；．
(2)请结合箱线图，写出两条你对这两组测试成绩的分析结论．
【答案】(1)70，90，96
(2)①甲组的中位数和乙组相同；②乙组的成绩更集中
【分析】（1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可；
（2）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可．
【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，共10个数，
所以，，；
（2）解：根据箱线图可知①甲组成绩的中位数和乙组相同；②乙组的成绩更集中．
5．小明和小亮为了解八年级1班，2班学生在“科学素养”竞赛中成绩的整体情况，从两班中分别随机抽取了12名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行整理．
如图，小明将成绩分为四组，分别为A组：；B组：；C组：；D组：，并绘制了不完整的八年级1班和2班成绩频数直方图．
下面给出了部分信息：
a、八年级1班抽取的学生的C组数据：80，81，82，83，85，87，89；
b、八年级2班抽取的学生的D组数据：90，92，94，96．
小亮利用最小值、最大值和四分位数信息，绘制以下箱线图进行两班成绩整体分布情况的比较．
最小值 最大值
八年级1班 65 a c 86 92
八年级2班 60 b 83 d 98
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)请补全八年级1班学生成绩的频数直方图；
(2)通过观察箱线图可得，a______b（填“”“”或“”）；
(3)通过计算可得，______，______；
(4)在每个班级抽取的12名学生中成绩较高的6名学生可代表本班进入复赛，八年级1班的学生甲和八年级2班的学生乙的成绩均为82分，则______（填序号）进入复赛．
①学生甲 ②学生乙 ③学生甲和乙 ④都不能
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，
(4)①
【分析】本题考查了频数分布直方图，方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键．
（1）求出八年级1班抽取的学生的B组人数，即可请补全八年级1班学生成绩的频数分布直方图；
（2）根据箱线图的意义解答即可；
（3）根据中位数的定义解答即可；
（4）根据中位数的意义解答即可．
【详解】（1）解：由题意可知，八年级1班抽取的学生的B组人数为：，
补全八年级1班学生成绩的频数分布直方图如下：
（2）解：通过观察箱线图可得，八年级1班的下四分位数比八年级2班的下四分位数大，所以，
故答案为：；
（3）解：八年级1班的中位数，所以中四分位数，八年级2班的上四分位数为，
故答案为：，91；
（4）解：八年级1班的成绩的中位数为81.5，即学生甲的成绩大于中位数，八年级2班的成绩的中位数为83，即学生乙的成绩小于中位数，
所以学生甲进入复赛．
故答案为：①．
6．【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．
【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图．
【数据分析】
（1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定；
选手 最小值、四分位数和最大值
最小值 最大值
6 ① 9 9.5 10
8 8 9 ② 10
（2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大；
【作出决策】
（3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由．
【答案】（1）9；B；B；（2）7.5；10；A；（3）选手参加青少年射击比赛，理由见解析
【分析】（1）根据平均数计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性；
（2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、下四分位数的定义求解即可；
（3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可．
【详解】解：（1），
∵，
∴B的成绩略高；
∵，，
∴，
∴B的射击水平发挥更稳定；
（2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10，
则下四分位数为，即；
选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10，
则上四分位数为，
由图2知：选手A的射击成绩波动大；
（3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下：
因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强．（言之有理即可）．
考点4统计量的综合选择
1．小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下：
汽车流量（辆）
天数（天）
如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】A
【分析】本题考查不同统计量的实际意义，要估算3月份该时段的总汽车流量，需要先得到平均每天的汽车流量，结合各统计量的作用判断即可．
【详解】解：∵ 估算3月份总流量，需要先得到该时段平均每天通过路口的汽车流量，再乘以3月份天数得到总流量．
平均数反映一组数据的平均水平，中位数反映数据的中间水平，众数是一组数据中出现次数最多的数据，方差反映数据的波动大小．
∴ 只有平均数可用于得到平均日流量，估算总流量，因此选A．
2．在一次校园歌唱选拔比赛中，小明成绩为86分，超过本小组一半选手的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【分析】本题考查统计量的意义，需结合各统计量的定义，匹配题目描述判断所用统计量．熟知中位数的定义是解答的关键．
【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，处于中间位置的数（若数据个数为偶数，则是中间两个数的平均数），它能反映一组数据的中间水平，当成绩超过中位数时，说明超过了本小组一半选手的成绩
∵平均数反映数据的平均水平，众数反映数据中出现次数最多的数，方差反映数据的波动程度，均不符合题意，
∴符合题意的统计量是中位数，
故选：C．
3．某班25名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表：
成绩 171及以下 172 173 174 175及以上
人数 1 4 8 □ ○
因污损导致数据不完整，仍能分析出本次测试成绩的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【分析】本题考查统计量的确定，需根据平均数、中位数、众数、方差的定义，结合已知数据判断哪个统计量不受缺失数据影响．
【详解】解：∵总共有25名学生，中位数是将数据从小到大排列后第13个数据．
又∵171及以下有1人，172有4人，173有8人，．
∴第13个数据是173，中位数为173，不受缺失数据影响．
∵平均数、方差需要所有数据的具体信息，缺失数据无法确定这两个统计量．
又∵成绩为174次及以上的人数未知，无法判断哪个成绩出现次数最多，所以众数无法确定．
∴能分析出的统计量是中位数．
故选：B．
4．某同学六次数学考试成绩分别为：86分、86分、78分、80分、85分、92分，老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【分析】本题考查了选择合适的统计量，根据题意要了解成绩的波动情况，需选择反映数据离散程度的统计量．
【详解】解：老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的方差．
故选：D．
5．苦荞饸饹条细，色泽金黄，绵软筋韧，清香利口，因糖分含量少，粗纤维多，利于消化，对糖尿病有一定的防治作用，为某地区著名小吃．随机抽取某苦荞饸饹销售商一周的营业额（单位：元）如下表：
星期 一 二 三 四 五 六 日
营业额/元 700 750 700 800 700 1200 1100
(1)这一周营业额的平均数是________元，中位数是________元，众数是________元；
(2)如果要估计该苦荞饸饹销售商一个月（按30天计算）的营业额，你认为平均数、中位数、众数中，哪一个最适合用来估计？并用最适合的数据估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额
【答案】(1)850，750，700
(2)平均数最适合用来估计，25500元．
【分析】本题考查的是平均数、众数和中位数，熟练掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义、平均数定义进行解答即可；
（2）可用平均一天的营业额乘以总天数即可得出答案．
【详解】（1）解：这一周营业额的平均数为元．
把这些数从小到大排列为：700，700，700，750，800，1100，1200，则中位数是750元；
∵700出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是700元；
故答案为：850，750；700．
（2）解：平均数最适合用来估计．
（元）．
答：估计该苦荞饸饹销售商一个月的营业额为25500元．
6．某市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业班的女生进行了一分钟仰卧起坐测试，测试情况绘制成下表：
次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 35 36
人数 1 1 7 18 10 5 2 2 1 1 2
(1)求这次测试数据的平均数、众数和中位数；
(2)根据这组数据的特点，你认为该市将中考中女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准定为多少次较为合适？请简要说明理由．
【答案】(1)平均数为次，众数是18，中位数是18
(2)合格标准应定为18次较为合适，见解析
【分析】本题考查数据统计知识在生活中的应用，准确掌握和理解相关概念及其意义是关键，如此题中标准的制定应根据众数和中位数的情况确定才有意义．
（1）根据平均数、众数、中位数的定义求解；
（2）标准的制定应根据众数和中位数的情况确定才有意义．
【详解】（1）解：50名女生一分钟仰卧起坐的平均数为（次）．
这组数据中一分钟仰卧起坐次数为次的人数最多，则众数是18，
，，则中位数是．
（2）解：合格标准应定为18次较为合适，因为这组数据差异较大，用中位数描述数据较合适．
考点5 利用合适的统计量做决策
1．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？
(2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？
(3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由．
【答案】(1)乙班
(2)丙班中位数最大，跳的次数最多的同学在甲班
(3)乙班同学表现最出色（答案不唯一），理由见解析
【分析】由箱线图根据中位数，最大值，最小值，以及上、下四分位数进行分析即可．
【详解】（1）解：这四个班学生中，乙班的成绩最稳定，
因为乙班的数据最集中，且最大值与最小值的差值最小，说明数据波动小，故成绩最稳定；
（2）解：由箱线图可得，丙班的中位数最大，由箱线图可得甲班的最大值最大，因此跳的次数最多的同学在甲班；
（3）解：乙班同学表现最出色，理由如下：
因为乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化等．
2．2026年央视春晚中，铜梁龙舞（国家级非物质文化遗产）再次惊艳亮相．为了解某校学生对铜梁非遗的了解程度，学校组织了“铜梁非遗知识测试”（满分100分），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，分成四组：A．，B．．，D．），部分信息如下：
七年级10名学生的成绩：81，83，87，88，91，95，95，97，99，100．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，92．
七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：___________，___________，___________；
(2)学校计划从成绩更好的年级中选拔学生参加“铜梁非遗宣讲团”，请判断应选择哪个年级，并说明理由．
(3)已知该校七、八年级共有500名学生参加了本次测试，估计本次测试中成绩为优秀（）的学生总人数．
【答案】(1)；；
(2)选择八年级，理由见解析
(3)本次测试中成绩为优秀的学生总人数约为人
【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算出和，求出八年级C组的占比，进而求出所占的圆心角，得出的值；
（2）从平均数、中位数、众数和方差的角度评价两个年级的成绩即可；
（3）先计算出八年级成绩优秀的人数，再计算出两个年级成绩优秀的学生的占比，最后乘以七八年级的学生总数即可．
【详解】（1）解：∵七年级的10名学生的成绩中，第5个数为，第6个数为，
∴七年级的中位数为（分），即，
∵七年级的10名学生的成绩中，95出现2次，出现的次数最多，
∴七年级的众数为分，即，
八年级10名学生的成绩中，C组的占比为，
∴所占圆心角，即；
（2）解：选择八年级，理由如下：
从平均数上看，两个年级的成绩一样，但从众数上看，八年级学生的成绩均优于七年级，且八年级的方差小于七年级，说明八年级学生的成绩更加集中和稳定．（言之有理即可）
（3）解：八年级的C、D两组的人数为（人）
∴七、八年级抽取的学生中，成绩优秀的人数为（人），在样本中的占比为，
（人）．
答：本次测试中成绩为优秀的学生总人数约为人．
3．某校开展阳光体育活动，其中有一项目为秒跳绳（满分分）．为了解本次跳绳成绩的大致情况，林老师随机抽取了男、女各名同学的跳绳成绩（成绩用表示），并将数据进行整理和分析，给出了以下信息：
名男生的成绩分别为．
名女生成绩中，成绩在的数据分别为．
整理数据：
男 0 1 2 3 4
女 1 1 2 4 2
分析数据：
平均数 众数 中位数
男
女 c
(1)___________，___________，___________；
(2)请估计参加此次测试的名学生中成绩不低于分的人数；
(3)根据以上数据，你认为该校跳绳项目中，男生和女生，谁更需要加强锻炼？请说明理由．
【答案】(1)
(2)人
(3)女生更需要加强锻炼，理由见解析
【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数，用样本估计总体，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据平均数，中位数，众数的定义进行求解即可；
（2）用乘以样本中成绩不低于分的人数占比即可得到答案；
（3）根据男女生平均成绩相同，但是男生的中位数和众数比女生大，即可知女生成绩较差，需要加强锻炼．
【详解】（1）解：，
男生的平均数；
男生成绩中，出现了2次，出现次数最多，
男生成绩的众数；
把女生成绩从小到大排列，第5名和第6名的成绩分别为，
女生成绩的中位数．
故答案为：．
（2）解：，
估计参加此次测试的名学生中成绩不低于95分的人数为人．
（3）解：该校跳绳项目中，女生更需要加强锻炼，
理由，男生和女生的平均成绩相同，男生的中位数和众数更大，说明女生成绩较差，故女生更需要加强锻炼．
4．随着人工智能技术的迅猛发展，聊天机器人的智能化水平不断提高，逐渐深入大众生活．有关人员开展了对甲、乙两款聊天机器人的使用满意度的评分调查（评分为整数，满分分，9分及以上为特别满意），并从中各随机抽取份数据，进行整理、描述和分析，部分信息如下．
①甲款聊天机器人评分数据：7，8，7，，7，6，6，8，，9，8，6，8，7，6，8，8，7，8，6．
②乙款聊天机器人评分条形统计图．
③甲、乙两款聊天机器人评分统计表．
平均数 众数 中位数 特别满意所占百分比
甲款 a
乙款 8 b c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述表中的
(2)你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由．
(3)在此次调查中，各有人对甲、乙两款聊天机器人进行评分，估计此次调查中对两款聊天机器人特别满意的总人数．
【答案】(1)8，7.5，
(2)乙款聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析
(3)此次调查中对两款聊天机器人特别满意的总人数是人
【分析】（1）根据众数，中位数的定义分别求出，统计乙款9 分及以上的数据个数，利用求百分比的公式计算即可；
（2）分别从表格所给的四个方面进行比较分析即可；
（3）利用样本中的特别满意的百分比估计总体的百分比，分别求出两款机器人特别满意的人数，然后相加即可．
【详解】（1）解：甲款聊天机器人评分数据中出现次数最多的是 8 分，故 ；
乙款聊天机器人评分数据共个数据，中位数为第个数的平均数，排序后第 个数分别为 7和8，故；
特别满意为 9 分及以上，乙款共人，故；
（2）解：乙款 AI 聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
两款机器人平均数和中位数相同，但乙款的众数高于甲款，说明乙款评分整体更集中在高分段；乙款特别满意所占百分比高于甲款，说明更多用户对乙款给出了极高评价；
（3）解：甲款特别满意人数估计：（人） ，
乙款特别满意人数估计：（人），
总人数：（人）．
答：此次调查中对两款聊天机器人特别满意的总人数是人．
5．2025年4月19日，北京亦庄举办了全球首届人形机器人半程马拉松，吸引了众人的眼球．在比赛过程中机器人可更换电池，但是会有罚时，且换的过程中不停止计时，因而对机器人的续航能力提出了更高的要求．某公司对其研发的A、B两款人形机器人各10次工作时长（单位：分钟）进行了检测，以下是部分检测数据信息
【收集数据】
A款人形机器人：100 132 112 120 120 124 120 128 140 144
B款人形机器人：92 128 112 116 112 124 128 148 128 152
【分析数据】
型号 平均数 中位数 众数
A a b 120
B 124 126 c
根据以上信息，解答下列问题
(1)填空：________，________，________．
(2)结合上表中的统计量，你认为哪款型号的人形机器人的续航能力较好？请说明理由；
(3)某新能源汽车工厂购进了B款人形机器人300台用于提高工作效率，请估算这批人形机器人中，在不更换电池的前提下，运行时间在2小时以上的台数．
【答案】(1)124，122，128
(2)B款人形机器人续航能力较好，理由见详解
(3)180台
【详解】（1）解：根据题意，，
A款人形机器人工作时长从小到大排序为：100 112 120 120 120 124 128 132 140 144，
∴，
B款人形机器人工作时长中，128出现次数最多，
∴；
（2）解：B款人形机器人续航能力较好，
理由：B款人形机器人的工作时长的中位数、众数均比A款人形机器人工作时长的中位数、众数大，
∴B款人形机器人的续航能力较好；
（3）解：2小时分钟，
在B款人形机器人中工作时长大于120分钟的有6台，
∴（台）．
6．2025年第十五届全国运动会在粤港澳成功举办．某校为了解学生对体育知识的掌握情况，组织了一场体育知识竞赛，并从参赛的七、八年级学生中各随机抽取了50名学生的成绩（满分10分，9分及以上为优秀），并对数据进行整理和分析，部分信息如下：
成绩统计表
统计量 七年级 八年级
平均数
中位数 8
众数 8
优秀率
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：___________，___________，___________．
(2)你认为哪个年级的学生对体育知识的掌握情况更好？请结合统计量说明理由．
【答案】(1)8，8，
(2)八年级学生对体育知识的掌握情况更好，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解；
（2）根据平均数和优秀率作决策．
【详解】（1）解：∵七年级数据总数为50，
∴中位数为排序后的第25位和26位数的平均数，
∴；
∵八年级出现次数最多的数据是8，
∴众数；
七年级的优秀率为；
（2）解：八年级学生对体育知识的掌握情况更好，
理由：八年级学生成绩的平均数和优秀率均高于七年级学生．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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