资源简介

广东省惠州市光正实验学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（A卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．已知复数z满足，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知单位向量，满足，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
4．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（　　）．
A．10 B．20 C．15 D．25
5．光正实验学校高二年级拟举行“诗词”、“历史”、“地理”三场不同主题的知识竞答活动，要求各班各派3名学生分别参加这三个主题的竞答.某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中选派3位，已知甲不参加“诗词”主题的竞答活动，则该班不同的选派方法有（　　）
A．9种 B．12种 C．15种 D．18种
6．在中，角所对的边分别为，若，则为（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．是偶函数
C．将的图象向右平移个单位后，得到的图象关于原点对称
D．时，的值域为
10．已知直线，则下列说法错误的是（　　）
A．直线l的纵截距是1 B．点在直线l上，则
C．直线l与圆相切 D．直线l与直线间的距离为
11．假设某市场供应的N95口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌 乙品牌 其他品牌，表示买到的是优质品，用表示事件发生的概率，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分（有两空的前一空2分，后一空3分），共15分.
12．离心率为，一个焦点坐标为的双曲线的标准方程为　 　.
13．若，记，则　 　.
14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则　 　；　 　.
四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知等差数列的前n项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
16．如图，已知四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，，平面ABCD，.
（1）求证：平面PCD；
（2）若M是PC的中点，求PC与平面ADM所成角的正弦值.
17．某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入个红球和个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出个球，把白球换成红球再全部放回箱中，设此时箱中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.
（1）求的分布列与数学期望；
（2）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为万元，为数据的方差，计算结果为万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.
18．已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求函数的极值；
（3）若，求函数的单调区间.
19．过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
（3）设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，所以，
因为，所以，即.
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次不等式的解法与集合的并集运算，核心是先化简集合M，再根据并集的定义求出M∪N。
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题可得.
故答案为：B
【分析】利用复数的除法运算法则，将分子分母同乘分母的共轭复数，化简后求出复数z。
3．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为向量，为单位向量，所以，即，
所以与的夹角为.
故答案为：C
【分析】本题考查平面向量数量积的运算与向量夹角的计算，核心公式是：，以及数量积定义 （为夹角）。
4．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得，
的展开式的通项为，，
令，则，
所以展开式中的系数为.
故答案为：A
【分析】先利用二项式系数的性质求出n的值，再写出展开式的通项公式，令x的指数为4求出对应的k，最后计算系数。
5．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列数的基本计算
【解析】【解答】解：若甲被选中，甲只能选择“历史”或“地理”，共种选择，
然后从乙、丙、丁中选人，分配到剩下的个主题，共种选派方法，
所以方法总数为；
若甲未被选中，将乙、丙、丁人分配到个主题，共有种选派方法；
所以该班不同的选派方法有种.
故答案为：.
【分析】本题考查排列组合的分类计数原理，核心是分 “甲被选中” 和 “甲未被选中” 两种情况，分别计算选派方法数，再将结果相加。
6．【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，由余弦定理可得，
所以，即，所以，所以为等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】本题考查余弦定理的应用与三角形形状的判定，核心是利用余弦定理将角的余弦值转化为边的关系，化简后根据边的等量关系判断三角形形状。
7．【答案】C
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：由考生成绩服从正态分布，可得，且，
根据正态分布曲线的对称性，可得.
故答案为：C.
【分析】本题考查正态分布的对称性，核心是利用正态分布曲线关于均值μ对称的性质，结合已知概率计算目标概率。
8．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：因为点P是椭圆上的动点，，，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
故答案为：A.
【分析】本题考查椭圆的定义与基本不等式的应用，核心是先利用椭圆定义得到m+n的定值，再将所求式子变形后结合基本不等式求最小值。
9．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A：由函数得函数最小正周期为，A正确；
B：，所以不是偶函数，B错误；
C：将的图象向右平移个单位后，得到，，又函数定义域为R关于原点对称，所以为奇函数，即图象关于原点对称，C正确；
D：时，所以，所以的值域为，D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：依据正弦型函数的周期公式，计算的最小正周期，判断是否为。
B：根据偶函数的定义，验证是否等于，确定的奇偶性。
C：按照函数图象平移的“左加右减”规则，求出平移后的函数解析式，再根据奇函数的性质判断其图象是否关于原点对称。
D：确定时的取值范围，结合正弦函数的单调性求出的值域。
10．【答案】A,C
【知识点】直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】A：因为直线，当时，，所以直线l的纵截距是，故错误；
B：因为点在直线l上，所以，故正确；
C：因为直线，即，所以圆心到直线的距离为，所以直线l与圆不相切，故错误；
D：因为直线，即，所以直线与直线平行，所以两直线的距离为，故正确.
故答案为：.
【分析】A：令直线方程中x=0，求出y的值，即为纵截距，据此判断正误。
B：将点P(5，m)的横坐标代入直线方程，计算出m的值，验证是否与题干一致。
C：将直线方程化为一般式，利用点到直线的距离公式，计算圆心到直线的距离，与圆的半径比较，判断位置关系。
D：将两条直线化为一般式，根据两平行直线间的距离公式，计算距离并验证。
11．【答案】B,C,D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：A：甲品牌市场占有率为，，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C正确．
D：，故D正确，
故答案为：BCD
【分析】A：根据表格中甲品牌的市场占有率，直接确定的数值，判断正误。
B：利用乘法公式，代入乙品牌的市场占有率和优质率计算。
C：依据全概率公式，结合表格数据计算优质品的总概率。
D：根据条件概率公式，代入已求的和计算结果。
12．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由条件可知，，且，得，
，并且双曲线的焦点在轴，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
【分析】本题考查双曲线的标准方程求解，核心是利用双曲线的离心率公式、焦点坐标确定a、b、c的值，再结合焦点位置写出标准方程。
13．【答案】81
【知识点】二项式系数；组合数公式
【解析】【解答】解：因为，故可得，
解得.
故，
令，则可得.
故答案为：.
【分析】本题考查组合数的性质与赋值法求二项式系数和，核心是先利用组合数的对称性求出n，再通过赋值x= 1计算目标系数和。
14．【答案】；
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”，
因为第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，故，
所以，
，又，
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，故.
故答案为：0，.
【分析】根据第一次传球的实际情况，直接判断球在甲手中的概率 ；先建立 与 的递推关系，再通过构造等比数列的方法，结合等比数列通项公式推导出 的表达式。
15．【答案】（1）解：因为，，所以，
所以；
（2）解：因为，所以，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1) 利用等差数列前项和公式，代入已知条件求出公差，再结合等差数列通项公式求解通项；
(2) 先对进行裂项变形，再利用裂项相消法对数列前项和进行化简计算。
（1）因为，，所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以
.
16．【答案】（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面；
（2）解：以AD，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
因为底面ABCD是直角梯形，，，，
所以，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，所以，令，则，
设PC与平面ADM所成角为，
所以，
所以PC与平面ADM所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 根据线面平行的判定定理，证明直线与平面内的直线平行，且不在平面内，即可证得线面平行；
(2) 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，将线面角转化为直线方向向量与法向量夹角的余角，进而求解正弦值。
（1）因为，平面，平面，
所以平面；
（2）以AD，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
因为底面ABCD是直角梯形，，，，
所以，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，所以，令，则，
设PC与平面ADM所成角为，
所以，
所以PC与平面ADM所成角的正弦值为.
17．【答案】（1）解：由题意得的可能取值为，，，，则，，
，，
∴的分布列为：
3 4 5 6
∴.
（2）解：由（1）可知给员工颁发奖金的总数为（万元），
设每位职工为企业的贡献利润数额为，则，
所以获得奖金的职工数约为
（人），
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；正态分布的期望与方差；组合数公式
【解析】【分析】(1) 先确定随机变量X的所有可能取值，再利用组合数公式计算每个取值对应的概率，列出分布列后根据数学期望公式求解期望；
(2) 先由正态分布的性质求出利润大于115万元的员工概率，结合总人数估算获奖人数，再根据 (1) 的期望和总奖金关系求出每人平均获奖金额。
（1）依题意可得的可能取值为，，，，
则，，
，，
∴的分布列为：
3 4 5 6
∴.
（2）由（1）可知给员工颁发奖金的总数为（万元），
设每位职工为企业的贡献利润数额为，则，
所以获得奖金的职工数约为
（人），
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.
18．【答案】（1）解：当时，，
所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：时，，，
令，则对恒成立，
所以在上单调递减，又，
所以时，，则，在上单调递增；
时，，则，在上单调递减；
故时取得极大值，无极小值；
（3）解：由题意可知，函数的定义域为，所以，
设，则，
令，则，解得或（舍），
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
所以函数的单调递增区间为.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1) 先将代入函数解析式，求导后代入得到切线斜率，再结合切点坐标，利用点斜式求出切线方程；
(2) 把代入函数，求导后构造辅助函数分析导数的正负，确定原函数的单调区间，进而求出极值；
(3) 对函数求导后构造新函数，通过求新函数的最小值并结合的条件，判断导数的符号，从而确定原函数的单调区间。
（1）当时，，
所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）时，，，
令，则对恒成立，
所以在上单调递减，又，
所以时，，则，在上单调递增；
时，，则，在上单调递减；
故时取得极大值，无极小值；
（3）由题意可知，函数的定义域为，所以，
设，则，
令，则，解得或（舍），
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
所以函数的单调递增区间为.
19．【答案】（1）解：由题意得，因为，
所以，
所以

（2）解：设，联立，，
设方程的两根为，则，
因为，所以，
联立直线可得，
代入方程中，得，即，
则的面积.
因为在圆上，所以且，
于是，
显然此式在上单调递增，故，
也即，因此，
由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为.
（3）证明：由（2）知，，
设，过的切线，即，
过点切线交得，同理，
因为，
.
所以，即.
【知识点】导数的几何意义；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质可知，据此求出可得解；
（2）根据弦长公式求出弦长，根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离，可得出面积，由点在圆上，参数的取值范围，进而可得面积取值范围，再由“囧边形”面积与面积关系得解；
（3）求出过点切线方程，联立可得横坐标，据此利用横坐标可得，即可得证.
（1）由题意得，，
由，
所以
（2）设，
联立，，
设方程的两根为，则，
由，所以，
联立直线可得，
代入方程中，得，即，
故的面积.
因为在圆上，所以且，
于是，
显然此式在上单调递增，故，
也即，因此，
由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为.
（3）由（2）知，，
设，过的切线，即，
过点切线交得，同理，
因为，
.
所以，即.
1 / 1广东省惠州市光正实验学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（A卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，所以，
因为，所以，即.
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次不等式的解法与集合的并集运算，核心是先化简集合M，再根据并集的定义求出M∪N。
2．已知复数z满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由题可得.
故答案为：B
【分析】利用复数的除法运算法则，将分子分母同乘分母的共轭复数，化简后求出复数z。
3．已知单位向量，满足，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为向量，为单位向量，所以，即，
所以与的夹角为.
故答案为：C
【分析】本题考查平面向量数量积的运算与向量夹角的计算，核心公式是：，以及数量积定义 （为夹角）。
4．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（　　）．
A．10 B．20 C．15 D．25
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得，
的展开式的通项为，，
令，则，
所以展开式中的系数为.
故答案为：A
【分析】先利用二项式系数的性质求出n的值，再写出展开式的通项公式，令x的指数为4求出对应的k，最后计算系数。
5．光正实验学校高二年级拟举行“诗词”、“历史”、“地理”三场不同主题的知识竞答活动，要求各班各派3名学生分别参加这三个主题的竞答.某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中选派3位，已知甲不参加“诗词”主题的竞答活动，则该班不同的选派方法有（　　）
A．9种 B．12种 C．15种 D．18种
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列数的基本计算
【解析】【解答】解：若甲被选中，甲只能选择“历史”或“地理”，共种选择，
然后从乙、丙、丁中选人，分配到剩下的个主题，共种选派方法，
所以方法总数为；
若甲未被选中，将乙、丙、丁人分配到个主题，共有种选派方法；
所以该班不同的选派方法有种.
故答案为：.
【分析】本题考查排列组合的分类计数原理，核心是分 “甲被选中” 和 “甲未被选中” 两种情况，分别计算选派方法数，再将结果相加。
6．在中，角所对的边分别为，若，则为（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，由余弦定理可得，
所以，即，所以，所以为等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】本题考查余弦定理的应用与三角形形状的判定，核心是利用余弦定理将角的余弦值转化为边的关系，化简后根据边的等量关系判断三角形形状。
7．某次调研测试中，考生成绩X服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取1名考生，该考生的成绩高于90的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：由考生成绩服从正态分布，可得，且，
根据正态分布曲线的对称性，可得.
故答案为：C.
【分析】本题考查正态分布的对称性，核心是利用正态分布曲线关于均值μ对称的性质，结合已知概率计算目标概率。
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：因为点P是椭圆上的动点，，，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
故答案为：A.
【分析】本题考查椭圆的定义与基本不等式的应用，核心是先利用椭圆定义得到m+n的定值，再将所求式子变形后结合基本不等式求最小值。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．是偶函数
C．将的图象向右平移个单位后，得到的图象关于原点对称
D．时，的值域为
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A：由函数得函数最小正周期为，A正确；
B：，所以不是偶函数，B错误；
C：将的图象向右平移个单位后，得到，，又函数定义域为R关于原点对称，所以为奇函数，即图象关于原点对称，C正确；
D：时，所以，所以的值域为，D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：依据正弦型函数的周期公式，计算的最小正周期，判断是否为。
B：根据偶函数的定义，验证是否等于，确定的奇偶性。
C：按照函数图象平移的“左加右减”规则，求出平移后的函数解析式，再根据奇函数的性质判断其图象是否关于原点对称。
D：确定时的取值范围，结合正弦函数的单调性求出的值域。
10．已知直线，则下列说法错误的是（　　）
A．直线l的纵截距是1 B．点在直线l上，则
C．直线l与圆相切 D．直线l与直线间的距离为
【答案】A,C
【知识点】直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】A：因为直线，当时，，所以直线l的纵截距是，故错误；
B：因为点在直线l上，所以，故正确；
C：因为直线，即，所以圆心到直线的距离为，所以直线l与圆不相切，故错误；
D：因为直线，即，所以直线与直线平行，所以两直线的距离为，故正确.
故答案为：.
【分析】A：令直线方程中x=0，求出y的值，即为纵截距，据此判断正误。
B：将点P(5，m)的横坐标代入直线方程，计算出m的值，验证是否与题干一致。
C：将直线方程化为一般式，利用点到直线的距离公式，计算圆心到直线的距离，与圆的半径比较，判断位置关系。
D：将两条直线化为一般式，根据两平行直线间的距离公式，计算距离并验证。
11．假设某市场供应的N95口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一口罩，用分别表示买到的口罩为甲品牌 乙品牌 其他品牌，表示买到的是优质品，用表示事件发生的概率，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：A：甲品牌市场占有率为，，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C正确．
D：，故D正确，
故答案为：BCD
【分析】A：根据表格中甲品牌的市场占有率，直接确定的数值，判断正误。
B：利用乘法公式，代入乙品牌的市场占有率和优质率计算。
C：依据全概率公式，结合表格数据计算优质品的总概率。
D：根据条件概率公式，代入已求的和计算结果。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分（有两空的前一空2分，后一空3分），共15分.
12．离心率为，一个焦点坐标为的双曲线的标准方程为　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由条件可知，，且，得，
，并且双曲线的焦点在轴，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
【分析】本题考查双曲线的标准方程求解，核心是利用双曲线的离心率公式、焦点坐标确定a、b、c的值，再结合焦点位置写出标准方程。
13．若，记，则　 　.
【答案】81
【知识点】二项式系数；组合数公式
【解析】【解答】解：因为，故可得，
解得.
故，
令，则可得.
故答案为：.
【分析】本题考查组合数的性质与赋值法求二项式系数和，核心是先利用组合数的对称性求出n，再通过赋值x= 1计算目标系数和。
14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则　 　；　 　.
【答案】；
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”，
因为第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，故，
所以，
，又，
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，故.
故答案为：0，.
【分析】根据第一次传球的实际情况，直接判断球在甲手中的概率 ；先建立 与 的递推关系，再通过构造等比数列的方法，结合等比数列通项公式推导出 的表达式。
四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知等差数列的前n项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）解：因为，，所以，
所以；
（2）解：因为，所以，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1) 利用等差数列前项和公式，代入已知条件求出公差，再结合等差数列通项公式求解通项；
(2) 先对进行裂项变形，再利用裂项相消法对数列前项和进行化简计算。
（1）因为，，所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以
.
16．如图，已知四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，，平面ABCD，.
（1）求证：平面PCD；
（2）若M是PC的中点，求PC与平面ADM所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面；
（2）解：以AD，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
因为底面ABCD是直角梯形，，，，
所以，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，所以，令，则，
设PC与平面ADM所成角为，
所以，
所以PC与平面ADM所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 根据线面平行的判定定理，证明直线与平面内的直线平行，且不在平面内，即可证得线面平行；
(2) 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，将线面角转化为直线方向向量与法向量夹角的余角，进而求解正弦值。
（1）因为，平面，平面，
所以平面；
（2）以AD，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
因为底面ABCD是直角梯形，，，，
所以，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
所以，所以，令，则，
设PC与平面ADM所成角为，
所以，
所以PC与平面ADM所成角的正弦值为.
17．某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入个红球和个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出个球，把白球换成红球再全部放回箱中，设此时箱中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.
（1）求的分布列与数学期望；
（2）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为万元，为数据的方差，计算结果为万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.
【答案】（1）解：由题意得的可能取值为，，，，则，，
，，
∴的分布列为：
3 4 5 6
∴.
（2）解：由（1）可知给员工颁发奖金的总数为（万元），
设每位职工为企业的贡献利润数额为，则，
所以获得奖金的职工数约为
（人），
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；正态分布的期望与方差；组合数公式
【解析】【分析】(1) 先确定随机变量X的所有可能取值，再利用组合数公式计算每个取值对应的概率，列出分布列后根据数学期望公式求解期望；
(2) 先由正态分布的性质求出利润大于115万元的员工概率，结合总人数估算获奖人数，再根据 (1) 的期望和总奖金关系求出每人平均获奖金额。
（1）依题意可得的可能取值为，，，，
则，，
，，
∴的分布列为：
3 4 5 6
∴.
（2）由（1）可知给员工颁发奖金的总数为（万元），
设每位职工为企业的贡献利润数额为，则，
所以获得奖金的职工数约为
（人），
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.
18．已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求函数的极值；
（3）若，求函数的单调区间.
【答案】（1）解：当时，，
所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：时，，，
令，则对恒成立，
所以在上单调递减，又，
所以时，，则，在上单调递增；
时，，则，在上单调递减；
故时取得极大值，无极小值；
（3）解：由题意可知，函数的定义域为，所以，
设，则，
令，则，解得或（舍），
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
所以函数的单调递增区间为.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1) 先将代入函数解析式，求导后代入得到切线斜率，再结合切点坐标，利用点斜式求出切线方程；
(2) 把代入函数，求导后构造辅助函数分析导数的正负，确定原函数的单调区间，进而求出极值；
(3) 对函数求导后构造新函数，通过求新函数的最小值并结合的条件，判断导数的符号，从而确定原函数的单调区间。
（1）当时，，
所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）时，，，
令，则对恒成立，
所以在上单调递减，又，
所以时，，则，在上单调递增；
时，，则，在上单调递减；
故时取得极大值，无极小值；
（3）由题意可知，函数的定义域为，所以，
设，则，
令，则，解得或（舍），
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
所以函数的单调递增区间为.
19．过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
（3）设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：．
【答案】（1）解：由题意得，因为，
所以，
所以

（2）解：设，联立，，
设方程的两根为，则，
因为，所以，
联立直线可得，
代入方程中，得，即，
则的面积.
因为在圆上，所以且，
于是，
显然此式在上单调递增，故，
也即，因此，
由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为.
（3）证明：由（2）知，，
设，过的切线，即，
过点切线交得，同理，
因为，
.
所以，即.
【知识点】导数的几何意义；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质可知，据此求出可得解；
（2）根据弦长公式求出弦长，根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离，可得出面积，由点在圆上，参数的取值范围，进而可得面积取值范围，再由“囧边形”面积与面积关系得解；
（3）求出过点切线方程，联立可得横坐标，据此利用横坐标可得，即可得证.
（1）由题意得，，
由，
所以
（2）设，
联立，，
设方程的两根为，则，
由，所以，
联立直线可得，
代入方程中，得，即，
故的面积.
因为在圆上，所以且，
于是，
显然此式在上单调递增，故，
也即，因此，
由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为.
（3）由（2）知，，
设，过的切线，即，
过点切线交得，同理，
因为，
.
所以，即.
1 / 1

展开更多......

收起↑