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广东省江门市鹤山市纪元中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在中，已知，，，则角的值为（　　）
A．或 B． C． D．或
2．已知复数满足：，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知角的终边上一点P的坐标为，则（　　）
A． B． C． D．3
4．下列函数中，在上递增，且周期为的偶函数是（　　）
A． B． C． D．
5．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．在中，，，若点满足，则（　　）
A． B．
C． D．
7．若，则（　　）
A． B． C． D．
8．勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为4，则勒洛三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．的虚部是
C．在复平面内，所对应的点在第四象限
D．在复数范围内，是方程的根
10．设向量，则（　　）
A．
B．与的夹角是
C．
D．向量在向量上的投影向量是
11．已知函数和，则（　　）
A．和的最小正周期相同
B．和在区间上的单调性相同
C．的图象向右平移个单位长度得到的图象
D．和的图象关于直线对称
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，若与垂直，则正数m的值为　 　．
13．已知，则　 　
14．已知函数的部分图象如图所示，则　 　
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知，，且与的夹角为60°.
（1）求的值
（2）求的值；
（3）若向量与平行，求实数的值．
16．已知，且．
（1）求的值；
（2）已知，且，求的值．
17．如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里.
（1）求∠ABC 的正弦值；
（2）当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离.
18．函数，
（1）把的单调减区间
（2）求在区间上的最大值和最小值及取最值时相应x的值
（3）把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图象，再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上至少有20个零点，求m的最小值．
19．在锐角中，是角的对边，若满足.
（1）求角的大小；
（2）求取值范围；
（3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：，，，
又，且，
，则角的值为．
故答案为：B.
【分析】本题考查正弦定理的应用及三角形边角关系，核心是通过正弦定理求出sinB的值，再结合 “大边对大角” 的原则确定角B的唯一值。
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由可得.
故答案为：A.
【分析】先根据复数方程，利用复数的四则运算，通过分母实数化的方法求解z。
3．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，得，
则.
故答案为：C.
【分析】先根据三角函数的定义，由角β终边上点的坐标求出，再利用两角和的正切公式，代入（）计算的值。
4．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】A，是奇函数，故A错误；
B，为偶函数，最小正周期，但其在上单调递减，故B错误；
C，是奇函数，故C错误；
D，，则的定义域为，，故为偶函数，
且时，函数在上单调递增，
又的图象是由将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及上方部分不变，
又的最小正周期为，所以的最小正周期，故D正确；
故答案为：D
【分析】本题考查三角函数的单调性、奇偶性与周期性，核心是逐一分析选项中函数的这三个性质，匹配“在上递增、周期为、偶函数”的条件。
5．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】A，是两个单位向量，长度都是1，但方向不一定相同，故A错误；
B、C，因为是两个单位向量，所以，则，故B正确，C错误；
D，，所以，故D错误.
故答案为：B.
【分析】本题考查单位向量的定义与向量的基本性质，核心是结合单位向量的长度特性、向量相等的条件、向量平方的意义及数量积公式逐一判断选项。
6．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：C.
【分析】先利用向量的线性运算，结合的比例关系，将用和表示，再代入、化简。
7．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：已知，得，即，
由，得，故，
则.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数的商式与正弦函数的和角公式可得，再利用正弦函数的差角公式，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：因为正三角形的边长为4，所以任意一个扇形的面积为，
又因为是正三角形，易得高，
则，
所以勒洛三角形的面积.
故答案为：D
【分析】勒洛三角形的面积可由三个全等扇形的面积之和减去两个正三角形的面积得到。
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数的模；一元二次方程的解集；共轭复数
【解析】【解答】因为复数，可知，
A：因为，所以，故A正确；
B：的虚部是，故B错误；
C：所对应的点为，在第四象限，故C正确；
D：因为，则，解得，所以是方程的根，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】A：利用共轭复数与复数模长公式，计算和的模长，比较两者是否相等。
B：通过复数的减法运算求出，明确复数的虚部（虚部为实数，不含虚数单位）。
C：根据的实部和虚部，结合复平面坐标对应关系（实部对应x轴，虚部对应y轴），判断其所在象限。
D：求解一元二次方程，验证是否为方程的根。
10．【答案】B,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A：因为，则，即，故A错误；
B：可得，且，则，所以与的夹角是，故B正确；
C：因为，所以，故C正确；
D：向量在向量上的投影向量是，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】A：根据向量模长的坐标运算公式，计算和的模长，比较两者是否相等。
B：依据向量夹角的余弦公式，求出与夹角的余弦值，结合夹角的取值范围确定夹角大小。
C：计算与的数量积，若数量积为0，则两向量垂直。
D：根据投影向量的定义公式，计算在上的投影向量，判断是否与相等。
11．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】A：和的最小正周期均为，A正确；
B：当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递增，B正确；
C：的图象向右平移个单位长度所得函数为，C错误；
D：，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：根据正弦型函数的周期公式，计算和的最小正周期，比较两者是否相等。
B：分别确定时，和中自变量的取值范围，结合正弦函数的单调性判断两者在该区间的单调性是否一致。
C：按照函数图象平移的“左加右减”规则，求出图象向右平移个单位长度后的函数解析式，与对比。
D：验证是否等于，以此判断两函数图象是否关于直线对称。
12．【答案】1
【知识点】充要条件；平面向量的线性运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，则，
若与垂直，则，解得，
所以正数m的值为1.
故答案为：1.
【分析】本题考查向量的线性运算与垂直的坐标表示，核心是先计算的坐标，再利用向量垂直的充要条件（数量积为0）列方程求解，最后结合“正数”条件确定结果。
13．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：.
【分析】本题考查三角函数的齐次式化简求值，核心是利用将原式转化为关于的表达式，再代入计算。
14．【答案】
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由图易知，
函数的最小正周期T满足：，得到，
且，则，解得，可得，
又因为函数图象经过点，
则，解得，
可得，
所以.
故答案为：.
【分析】本题考查正弦型函数的图象与性质，核心是通过图像确定振幅A、周期T以求出ω，再利用五点法求初相φ，得到函数解析式后代入求值。
15．【答案】（1）解：因为，，
所以.
（2）解：因为，，且与的夹角为60°，
所以，
所以，
所以.
（3）解：因为向量与平行，所以，
由平面向量基本定理可得，
解得或，
所以的值为.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 利用向量数量积的平方差公式展开计算，结合向量模的平方公式求解；
(2) 先利用向量数量积定义计算，再用模的计算公式求解；
(3) 根据向量平行的共线定理，列方程求解实数的值。
（1）因为，，
所以.
（2）因为，，且与的夹角为60°，
所以，
所以，
所以.
（3）因为向量与平行，所以，
由平面向量基本定理可得，
解得或，
所以的值为.
16．【答案】（1）解：因为，且，所以，
所以．
（2）解：因为，，所以，
又，所以，
由（1）知，，，
所以
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1) 先由同角三角函数的平方关系求出，再利用诱导公式化简所求分式，代入、的值计算；
(2) 先由角的范围和同角三角函数关系求出，再利用两角差的余弦公式展开计算。
（1）因为，且，所以，
所以．
（2）因为，，所以，
又，所以，
由（1）知，，，
所以
.
17．【答案】（1）解：由题意得，，，，
在△中，，
则；
（2）解：由题意得，，由（1）及题图知：为锐角，则，
由，
所以海里.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】(1) 先根据方位角确定的大小，再利用正弦定理求的正弦值；
(2) 先由同角三角函数关系求出，再利用余弦定理求此时甲乙两船的距离。
（1）由题设，，，，
在△中，，则；
（2）由题意，，由（1）及题图知：为锐角，则，
由，
所以海里.
18．【答案】（1）解：由题意得，函数，
由，得，
所以的减区间为.
（2）解：由（1）知，，则，
则当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值.
（3）解：把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，
再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得，
则函数，令，即，即，
解得或，
要使得函数区间上至少有20个零点，则满足，
所以实数m的最小值为.
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 先通过二倍角公式将函数 化简为正弦型函数 的形式，再利用正弦函数的单调性，解不等式求出单调减区间。
(2) 根据 的取值范围确定 的范围，结合正弦函数的最值特性，找到函数 的最大、最小值及对应 的值。
(3) 按照“横坐标伸缩→向左平移”的图象变换规则求出 ，令 解出零点，根据零点个数要求确定 的最小值。
（1）依题意，函数，
由，得，
所以的减区间为.
（2）由（1）知，，则，
则当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值.
（3）把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，
再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得，
则函数，令，即，即，
解得或，
要使得函数区间上至少有20个零点，则满足，
所以实数m的最小值为.
19．【答案】（1）解：由，由正弦定理可得，
因为，则，
可得，即，
又因为，则，可得，即，
且，所以.
（2）解：在锐角中，由（1）得，则，
可得，解得，
可得
，
由，得，
则，即，
所以的取值范围为.
（3）解：由（2）知，当取得最大值时，，即，
且，可知为等边三角形，
在中，令，
由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
则，
所以，
所以
，
且，故当时等号成立，所以面积的最大值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角恒等变换化简式子，求出 的值，再根据锐角三角形的条件确定角 的大小。
(2) 利用三角形内角和将 转化为 ，再通过三角恒等变换将 整理为正弦型函数形式，结合角 的取值范围和正弦函数的有界性分析取值范围。
(3) 先确定 取最大值时 的形状，再设角 ，利用余弦定理和面积公式表示出 的面积，结合三角恒等变换和正弦函数的最值求解面积的最大值。
（1）由，由正弦定理可得，
因为，则，
可得，即，
又因为，则，可得，即，
且，所以.
（2）在锐角中，由（1）得，则，
可得，解得，
可得
，
由，得，
则，即，
所以的取值范围为.
（3）由（2）知，当取得最大值时，，即，
且，可知为等边三角形，
在中，令，
由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
则，
所以，
所以
，
且，故当时等号成立，所以面积的最大值为.
1 / 1广东省江门市鹤山市纪元中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在中，已知，，，则角的值为（　　）
A．或 B． C． D．或
【答案】B
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：，，，
又，且，
，则角的值为．
故答案为：B.
【分析】本题考查正弦定理的应用及三角形边角关系，核心是通过正弦定理求出sinB的值，再结合 “大边对大角” 的原则确定角B的唯一值。
2．已知复数满足：，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由可得.
故答案为：A.
【分析】先根据复数方程，利用复数的四则运算，通过分母实数化的方法求解z。
3．已知角的终边上一点P的坐标为，则（　　）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，得，
则.
故答案为：C.
【分析】先根据三角函数的定义，由角β终边上点的坐标求出，再利用两角和的正切公式，代入（）计算的值。
4．下列函数中，在上递增，且周期为的偶函数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】A，是奇函数，故A错误；
B，为偶函数，最小正周期，但其在上单调递减，故B错误；
C，是奇函数，故C错误；
D，，则的定义域为，，故为偶函数，
且时，函数在上单调递增，
又的图象是由将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及上方部分不变，
又的最小正周期为，所以的最小正周期，故D正确；
故答案为：D
【分析】本题考查三角函数的单调性、奇偶性与周期性，核心是逐一分析选项中函数的这三个性质，匹配“在上递增、周期为、偶函数”的条件。
5．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】A，是两个单位向量，长度都是1，但方向不一定相同，故A错误；
B、C，因为是两个单位向量，所以，则，故B正确，C错误；
D，，所以，故D错误.
故答案为：B.
【分析】本题考查单位向量的定义与向量的基本性质，核心是结合单位向量的长度特性、向量相等的条件、向量平方的意义及数量积公式逐一判断选项。
6．在中，，，若点满足，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：，，
.
故答案为：C.
【分析】先利用向量的线性运算，结合的比例关系，将用和表示，再代入、化简。
7．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：已知，得，即，
由，得，故，
则.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数的商式与正弦函数的和角公式可得，再利用正弦函数的差角公式，即可求解.
8．勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为4，则勒洛三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：因为正三角形的边长为4，所以任意一个扇形的面积为，
又因为是正三角形，易得高，
则，
所以勒洛三角形的面积.
故答案为：D
【分析】勒洛三角形的面积可由三个全等扇形的面积之和减去两个正三角形的面积得到。
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．的虚部是
C．在复平面内，所对应的点在第四象限
D．在复数范围内，是方程的根
【答案】A,C,D
【知识点】复数的模；一元二次方程的解集；共轭复数
【解析】【解答】因为复数，可知，
A：因为，所以，故A正确；
B：的虚部是，故B错误；
C：所对应的点为，在第四象限，故C正确；
D：因为，则，解得，所以是方程的根，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】A：利用共轭复数与复数模长公式，计算和的模长，比较两者是否相等。
B：通过复数的减法运算求出，明确复数的虚部（虚部为实数，不含虚数单位）。
C：根据的实部和虚部，结合复平面坐标对应关系（实部对应x轴，虚部对应y轴），判断其所在象限。
D：求解一元二次方程，验证是否为方程的根。
10．设向量，则（　　）
A．
B．与的夹角是
C．
D．向量在向量上的投影向量是
【答案】B,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A：因为，则，即，故A错误；
B：可得，且，则，所以与的夹角是，故B正确；
C：因为，所以，故C正确；
D：向量在向量上的投影向量是，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】A：根据向量模长的坐标运算公式，计算和的模长，比较两者是否相等。
B：依据向量夹角的余弦公式，求出与夹角的余弦值，结合夹角的取值范围确定夹角大小。
C：计算与的数量积，若数量积为0，则两向量垂直。
D：根据投影向量的定义公式，计算在上的投影向量，判断是否与相等。
11．已知函数和，则（　　）
A．和的最小正周期相同
B．和在区间上的单调性相同
C．的图象向右平移个单位长度得到的图象
D．和的图象关于直线对称
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】A：和的最小正周期均为，A正确；
B：当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递增，B正确；
C：的图象向右平移个单位长度所得函数为，C错误；
D：，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：根据正弦型函数的周期公式，计算和的最小正周期，比较两者是否相等。
B：分别确定时，和中自变量的取值范围，结合正弦函数的单调性判断两者在该区间的单调性是否一致。
C：按照函数图象平移的“左加右减”规则，求出图象向右平移个单位长度后的函数解析式，与对比。
D：验证是否等于，以此判断两函数图象是否关于直线对称。
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，若与垂直，则正数m的值为　 　．
【答案】1
【知识点】充要条件；平面向量的线性运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，则，
若与垂直，则，解得，
所以正数m的值为1.
故答案为：1.
【分析】本题考查向量的线性运算与垂直的坐标表示，核心是先计算的坐标，再利用向量垂直的充要条件（数量积为0）列方程求解，最后结合“正数”条件确定结果。
13．已知，则　 　
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：.
【分析】本题考查三角函数的齐次式化简求值，核心是利用将原式转化为关于的表达式，再代入计算。
14．已知函数的部分图象如图所示，则　 　
【答案】
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由图易知，
函数的最小正周期T满足：，得到，
且，则，解得，可得，
又因为函数图象经过点，
则，解得，
可得，
所以.
故答案为：.
【分析】本题考查正弦型函数的图象与性质，核心是通过图像确定振幅A、周期T以求出ω，再利用五点法求初相φ，得到函数解析式后代入求值。
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知，，且与的夹角为60°.
（1）求的值
（2）求的值；
（3）若向量与平行，求实数的值．
【答案】（1）解：因为，，
所以.
（2）解：因为，，且与的夹角为60°，
所以，
所以，
所以.
（3）解：因为向量与平行，所以，
由平面向量基本定理可得，
解得或，
所以的值为.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 利用向量数量积的平方差公式展开计算，结合向量模的平方公式求解；
(2) 先利用向量数量积定义计算，再用模的计算公式求解；
(3) 根据向量平行的共线定理，列方程求解实数的值。
（1）因为，，
所以.
（2）因为，，且与的夹角为60°，
所以，
所以，
所以.
（3）因为向量与平行，所以，
由平面向量基本定理可得，
解得或，
所以的值为.
16．已知，且．
（1）求的值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）解：因为，且，所以，
所以．
（2）解：因为，，所以，
又，所以，
由（1）知，，，
所以
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1) 先由同角三角函数的平方关系求出，再利用诱导公式化简所求分式，代入、的值计算；
(2) 先由角的范围和同角三角函数关系求出，再利用两角差的余弦公式展开计算。
（1）因为，且，所以，
所以．
（2）因为，，所以，
又，所以，
由（1）知，，，
所以
.
17．如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在 A 港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里.
（1）求∠ABC 的正弦值；
（2）当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲乙两船之间的距离.
【答案】（1）解：由题意得，，，，
在△中，，
则；
（2）解：由题意得，，由（1）及题图知：为锐角，则，
由，
所以海里.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】(1) 先根据方位角确定的大小，再利用正弦定理求的正弦值；
(2) 先由同角三角函数关系求出，再利用余弦定理求此时甲乙两船的距离。
（1）由题设，，，，
在△中，，则；
（2）由题意，，由（1）及题图知：为锐角，则，
由，
所以海里.
18．函数，
（1）把的单调减区间
（2）求在区间上的最大值和最小值及取最值时相应x的值
（3）把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图象，再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上至少有20个零点，求m的最小值．
【答案】（1）解：由题意得，函数，
由，得，
所以的减区间为.
（2）解：由（1）知，，则，
则当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值.
（3）解：把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，
再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得，
则函数，令，即，即，
解得或，
要使得函数区间上至少有20个零点，则满足，
所以实数m的最小值为.
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 先通过二倍角公式将函数 化简为正弦型函数 的形式，再利用正弦函数的单调性，解不等式求出单调减区间。
(2) 根据 的取值范围确定 的范围，结合正弦函数的最值特性，找到函数 的最大、最小值及对应 的值。
(3) 按照“横坐标伸缩→向左平移”的图象变换规则求出 ，令 解出零点，根据零点个数要求确定 的最小值。
（1）依题意，函数，
由，得，
所以的减区间为.
（2）由（1）知，，则，
则当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值.
（3）把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，
再把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得，
则函数，令，即，即，
解得或，
要使得函数区间上至少有20个零点，则满足，
所以实数m的最小值为.
19．在锐角中，是角的对边，若满足.
（1）求角的大小；
（2）求取值范围；
（3）当取得最大值时，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值．
【答案】（1）解：由，由正弦定理可得，
因为，则，
可得，即，
又因为，则，可得，即，
且，所以.
（2）解：在锐角中，由（1）得，则，
可得，解得，
可得
，
由，得，
则，即，
所以的取值范围为.
（3）解：由（2）知，当取得最大值时，，即，
且，可知为等边三角形，
在中，令，
由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
则，
所以，
所以
，
且，故当时等号成立，所以面积的最大值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角恒等变换化简式子，求出 的值，再根据锐角三角形的条件确定角 的大小。
(2) 利用三角形内角和将 转化为 ，再通过三角恒等变换将 整理为正弦型函数形式，结合角 的取值范围和正弦函数的有界性分析取值范围。
(3) 先确定 取最大值时 的形状，再设角 ，利用余弦定理和面积公式表示出 的面积，结合三角恒等变换和正弦函数的最值求解面积的最大值。
（1）由，由正弦定理可得，
因为，则，
可得，即，
又因为，则，可得，即，
且，所以.
（2）在锐角中，由（1）得，则，
可得，解得，
可得
，
由，得，
则，即，
所以的取值范围为.
（3）由（2）知，当取得最大值时，，即，
且，可知为等边三角形，
在中，令，
由正弦定理可得，则，
由余弦定理可得，
则，
所以，
所以
，
且，故当时等号成立，所以面积的最大值为.
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