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广东省潮州市松昌中学2024-2025学年高二下学期期中教学检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.
1．设函数在处存在导数为2，则（　　）
A．2 B．1 C． D．6
【答案】B
【知识点】极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】解：由已知有，则.
故答案为：B
【分析】先利用导数的定义式，将题目中的极限表达式转化为导数的形式，再代入已知导数值求解。
2．曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，则，而，
所以点处的切线方程为，即.
故答案为：A
【分析】先根据导数的几何意义，求函数在点(-1，f(-1))处的导数值（即切线斜率），再求出该点的函数值，最后用点斜式写出切线方程并化简。
3．日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用单位：元为那么净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是（　　）元/t.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
故答案为：．
【分析】先明确“瞬时变化率”即函数的导数，再对净化费用函数c(x)求导，最后将x=95代入导函数，计算出净化费用在纯净度为95%时的瞬时变化率。
4．今天是星期四，经过天后是星期（　　）
A．三 B．四 C．五 D．六
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为一个星期的周期是7，
所以
则除以7余数是1，
所以，今天是星期四，经过天后是星期五.
故答案为：．
【分析】利用二项式定理求出二项展开式的通项公式，从而得到除以7余数是1，再利用周期性计算得出经过天后的星期数．
5．用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（　　）
A．48个 B．60个 C．72个 D．120个
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若五位数的个位为零，其余数位随意安排，其情况数为，
若五位数的个位不为零，而个位仅有两种选择，万位有种选择，其情况数为，
所以五位数为偶数的情况数为.
故答案为：B.
【分析】利用特殊元素优先法结合分类加法计数原理和排列数公式，从而得出其中偶数共有的个数.
6．已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可知：，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，则上单调递减，
则函数的最大值为，
此时，且，，
可知当时，函数取得最小值为.
故答案为：A.
【分析】先对函数求导，分析导数的正负以确定函数的单调性与极值点，结合区间端点和极值点的函数值，根据题目给出的最大值求出常数a，再计算区间内的最小值。
7．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（　　）
A．48 B．54 C．60 D．72
【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法；
故答案为：C.
【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.
8．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故答案为：A.
【分析】先对函数求导，将“函数有两个不同的极值点”转化为“导函数有两个不同的正零点”，再结合二次方程根的分布条件求解参数范围。
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．对于的展开式，下列说法正确的是（　　）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为64
C．常数项为1215 D．二项式系数最大的项为第3项
【答案】A,B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式所有项的二项式系数和为，A正确；
中令得，B正确；
展开式通项为，令，得，所以常数项为，C正确；
二项式系数最大的项为第4项，D不正确.
故答案为：ABC.
【分析】本题考查二项式定理的应用，核心是利用二项式系数的性质、赋值法求系数和、通项公式求特定项，以及判断二项式系数最大的项。
10．如图，是可导函数，直线 l：是曲线在处的切线，令，其中是的导函数，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；直线的斜率
【解析】【解答】解：由图可知，f(3)＝1，故A正确；
(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B错误；
，则，故C正确；
，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：根据图像直接读取时函数的函数值。
B：利用切线过点，结合导数的几何意义，求解切线斜率。
C：根据函数的定义，代入计算。
D：对求导得，代入计算。
11．若函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值可能是（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，得，令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，且，
作出的大致图像如图所示，
要使有两个不同的零点，只需直线与的图像在区间上有两个交点．
数形结合可知m的取值范围为．
故答案为：BCD．
【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，核心是将零点问题转化为直线 与曲线 交点个数问题，通过导数分析 的单调性与极值，结合图像确定 的取值范围。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《侠之大者》《封神2》《哪吒之魔童闹海》三部电影中任选一部，则不同的选法有　 　种.
【答案】27
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意得每个人都有3种选法，故不同的选法有27种.
故答案为：27.
【分析】每个人的选择都是独立的，因此可以先计算每个人的选法数，再将所有步骤的选法数相乘，得到总的选法数。
13．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，则恒成立，
又因为，所以，
则，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意可得在区间上恒成立，则在区间上恒成立，再求出在上的最大值结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数k的取值范围.
14．若的二项展开式中第项和第项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项的系数为　 　
【答案】
【知识点】二项式系数；不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意可得，的通项公式为，
设第项的系数最大，解得，所以最大的系数为
故答案为：．
【分析】本题考查二项式定理的应用，核心是先通过二项式系数的性质求出n的值，再写出通项公式，利用不等式组确定系数最大的项的位置，最终计算其系数。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．设，求：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：设，
则.
（2）解：∵，
∴，，
∴.
（3）解：
.
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】(1) 设，利用赋值法令，求出即可得到所有系数和；
(2) 先通过二项式定理分析展开式系数的正负性，再将绝对值和转化为的形式，代入计算；
(3) 利用平方差公式将式子变形为，再代入特殊值计算结果。
（1）设，
则.
（2）∵，
∴，，
∴.
（3）
.
16．已知（）在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间；
（3）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】解：（1），由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.（2）由（1）得，，由得或；由得.故的单调增区间为，，单减区间为.（3）由（2）得函数的极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.
（1）解：，由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.
（2）解：由（1）得，，由得或；由得.
故的单调增区间为，，单减区间为.
（3）解：由（2）得函数的极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据“函数在极值点处的导数为”这一性质，先对原函数求导，再将极值点代入导函数建立方程，求解的值，最后通过分析导函数在两侧的符号验证极值点的合理性.
（2）得到的值后，确定导函数的表达式，通过解导函数的不等式和，分别得到函数的单调增区间和单调减区间.
（3）结合函数的单调性，先求出函数在区间内的极值（极大值和极小值），再求出区间端点的函数值，最后比较这些值的大小，从而确定函数在该区间上的最大值和最小值.
17．名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.
（1）从中选出名男生和名女生排成一列；
（2）全体站成一排，男生互不相邻；
（3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾；
（4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起；
【答案】（1）解：从名男生中任选名有种选法，从名女生中任选名有种选法，
再将选取的人排列有种排法，由乘法原理共有种排法
（2）解：先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，
由乘法原理共有种排法.
（3）解：先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种，
（4）解：甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有种，再与剩下的个人排列有种，共有种.
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】(1) 采用先选后排法：先从男生、女生中选出指定人数，再对选出的人进行全排列；
(2) 采用插空法：先排女生，再将男生插入女生形成的空隙中，保证男生互不相邻；
(3) 采用特殊元素优先法：先安排甲的位置（排除排头、排尾），再排其余6人；
(4) 采用捆绑法：先将甲、乙视为一个整体进行内部排列，再与其余5人一起排列。
（1）从名男生中任选名有种选法，从名女生中任选名有种选法，
再将选取的人排列有种排法，由乘法原理共有种排法，
（2）先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，
由乘法原理共有种排法.
（3）先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种，
（4）甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有种，再与剩下的个人排列有种，共有种.
18．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，如果曲线恒在轴上方，求的取值范围.
【答案】（1）解：时，，
故，
故切线方程是：，即；
（2）解：，①当时，由于，故，∴，
∴的单调递增区间为，无单调减区间；
②当时，令，得，
在区间上，；在区间上，；
∴的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，的单调递增区间为，无单调减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）解：由题意知在上恒成立，即在上恒成立，令，
则，
令，解得：；令，解得：；
故在递增，在递减，
而，
∴在上，
故，即a的范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1) 求曲线在某点的切线方程，核心步骤为：先代入切点横坐标求出函数值 得到切点，再求导函数 并代入横坐标得到切线斜率 ，最后利用点斜式 整理切线方程。
(2) 求函数单调区间，需先求导并整理导函数形式，结合定义域 对参数 分类讨论： 时导函数恒正/负， 时解导函数的零点，再根据导函数正负区间确定单调增/减区间。
(3) 恒成立问题求参数范围，核心思路是将 转化为参数分离，即 在区间 恒成立，构造函数 ，求其在区间上的最小值，参数 小于该最小值即可。
（1）时，，
故，
故切线方程是：，即；
（2），
①当时，由于，故，∴，
∴的单调递增区间为，无单调减区间；
②当时，令，得，
在区间上，；在区间上，；
∴的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，的单调递增区间为，无单调减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由题意知在上恒成立，即在上恒成立，
令，
则，
令，解得：；令，解得：；
故在递增，在递减，
而，
∴在上，
故，即a的范围为
19．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件．
（1）求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．
【答案】（1）解：分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．
（2）解：．
令得或（不合题意，舍去）．
，．在两侧的值由正变负．
所以当即时，
．
当即时，，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；
若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；二次函数模型
【解析】【分析】(1) 根据“利润=每件产品利润×年销售量”的公式，代入已知的成本、管理费和销售量表达式，整理得到利润与售价的函数关系式，并写出定义域；
(2) 对利润函数求导，找到临界点，结合参数a的范围，分类讨论临界点与定义域的位置关系，进而确定不同情况下利润的最大值及对应的售价。
（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．
（2）．
令得或（不合题意，舍去）．
，．在两侧的值由正变负．
所以当即时，
．
当即时，，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；
若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．
1 / 1广东省潮州市松昌中学2024-2025学年高二下学期期中教学检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.
1．设函数在处存在导数为2，则（　　）
A．2 B．1 C． D．6
2．曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用单位：元为那么净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是（　　）元/t.
A． B． C． D．
4．今天是星期四，经过天后是星期（　　）
A．三 B．四 C．五 D．六
5．用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（　　）
A．48个 B．60个 C．72个 D．120个
6．已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（　　）
A． B． C． D．
7．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（　　）
A．48 B．54 C．60 D．72
8．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．对于的展开式，下列说法正确的是（　　）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为64
C．常数项为1215 D．二项式系数最大的项为第3项
10．如图，是可导函数，直线 l：是曲线在处的切线，令，其中是的导函数，则(　　)
A． B． C． D．
11．若函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值可能是（　　）
A．1 B．2 C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《侠之大者》《封神2》《哪吒之魔童闹海》三部电影中任选一部，则不同的选法有　 　种.
13．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为　 　.
14．若的二项展开式中第项和第项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项的系数为　 　
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．设，求：
（1）；
（2）；
（3）．
16．已知（）在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间；
（3）求在区间上的最大值和最小值.
17．名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.
（1）从中选出名男生和名女生排成一列；
（2）全体站成一排，男生互不相邻；
（3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾；
（4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起；
18．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，如果曲线恒在轴上方，求的取值范围.
19．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件．
（1）求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】解：由已知有，则.
故答案为：B
【分析】先利用导数的定义式，将题目中的极限表达式转化为导数的形式，再代入已知导数值求解。
2．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，则，而，
所以点处的切线方程为，即.
故答案为：A
【分析】先根据导数的几何意义，求函数在点(-1，f(-1))处的导数值（即切线斜率），再求出该点的函数值，最后用点斜式写出切线方程并化简。
3．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
故答案为：．
【分析】先明确“瞬时变化率”即函数的导数，再对净化费用函数c(x)求导，最后将x=95代入导函数，计算出净化费用在纯净度为95%时的瞬时变化率。
4．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为一个星期的周期是7，
所以
则除以7余数是1，
所以，今天是星期四，经过天后是星期五.
故答案为：．
【分析】利用二项式定理求出二项展开式的通项公式，从而得到除以7余数是1，再利用周期性计算得出经过天后的星期数．
5．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：若五位数的个位为零，其余数位随意安排，其情况数为，
若五位数的个位不为零，而个位仅有两种选择，万位有种选择，其情况数为，
所以五位数为偶数的情况数为.
故答案为：B.
【分析】利用特殊元素优先法结合分类加法计数原理和排列数公式，从而得出其中偶数共有的个数.
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可知：，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，则上单调递减，
则函数的最大值为，
此时，且，，
可知当时，函数取得最小值为.
故答案为：A.
【分析】先对函数求导，分析导数的正负以确定函数的单调性与极值点，结合区间端点和极值点的函数值，根据题目给出的最大值求出常数a，再计算区间内的最小值。
7．【答案】C
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法；
故答案为：C.
【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故答案为：A.
【分析】先对函数求导，将“函数有两个不同的极值点”转化为“导函数有两个不同的正零点”，再结合二次方程根的分布条件求解参数范围。
9．【答案】A,B,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：的展开式所有项的二项式系数和为，A正确；
中令得，B正确；
展开式通项为，令，得，所以常数项为，C正确；
二项式系数最大的项为第4项，D不正确.
故答案为：ABC.
【分析】本题考查二项式定理的应用，核心是利用二项式系数的性质、赋值法求系数和、通项公式求特定项，以及判断二项式系数最大的项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；直线的斜率
【解析】【解答】解：由图可知，f(3)＝1，故A正确；
(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B错误；
，则，故C正确；
，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：根据图像直接读取时函数的函数值。
B：利用切线过点，结合导数的几何意义，求解切线斜率。
C：根据函数的定义，代入计算。
D：对求导得，代入计算。
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，得，令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，且，
作出的大致图像如图所示，
要使有两个不同的零点，只需直线与的图像在区间上有两个交点．
数形结合可知m的取值范围为．
故答案为：BCD．
【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，核心是将零点问题转化为直线 与曲线 交点个数问题，通过导数分析 的单调性与极值，结合图像确定 的取值范围。
12．【答案】27
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意得每个人都有3种选法，故不同的选法有27种.
故答案为：27.
【分析】每个人的选择都是独立的，因此可以先计算每个人的选法数，再将所有步骤的选法数相乘，得到总的选法数。
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，则恒成立，
又因为，所以，
则，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意可得在区间上恒成立，则在区间上恒成立，再求出在上的最大值结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数k的取值范围.
14．【答案】
【知识点】二项式系数；不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意可得，的通项公式为，
设第项的系数最大，解得，所以最大的系数为
故答案为：．
【分析】本题考查二项式定理的应用，核心是先通过二项式系数的性质求出n的值，再写出通项公式，利用不等式组确定系数最大的项的位置，最终计算其系数。
15．【答案】（1）解：设，
则.
（2）解：∵，
∴，，
∴.
（3）解：
.
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【分析】(1) 设，利用赋值法令，求出即可得到所有系数和；
(2) 先通过二项式定理分析展开式系数的正负性，再将绝对值和转化为的形式，代入计算；
(3) 利用平方差公式将式子变形为，再代入特殊值计算结果。
（1）设，
则.
（2）∵，
∴，，
∴.
（3）
.
16．【答案】解：（1），由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.（2）由（1）得，，由得或；由得.故的单调增区间为，，单减区间为.（3）由（2）得函数的极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.
（1）解：，由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.
（2）解：由（1）得，，由得或；由得.
故的单调增区间为，，单减区间为.
（3）解：由（2）得函数的极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据“函数在极值点处的导数为”这一性质，先对原函数求导，再将极值点代入导函数建立方程，求解的值，最后通过分析导函数在两侧的符号验证极值点的合理性.
（2）得到的值后，确定导函数的表达式，通过解导函数的不等式和，分别得到函数的单调增区间和单调减区间.
（3）结合函数的单调性，先求出函数在区间内的极值（极大值和极小值），再求出区间端点的函数值，最后比较这些值的大小，从而确定函数在该区间上的最大值和最小值.
17．【答案】（1）解：从名男生中任选名有种选法，从名女生中任选名有种选法，
再将选取的人排列有种排法，由乘法原理共有种排法
（2）解：先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，
由乘法原理共有种排法.
（3）解：先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种，
（4）解：甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有种，再与剩下的个人排列有种，共有种.
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】(1) 采用先选后排法：先从男生、女生中选出指定人数，再对选出的人进行全排列；
(2) 采用插空法：先排女生，再将男生插入女生形成的空隙中，保证男生互不相邻；
(3) 采用特殊元素优先法：先安排甲的位置（排除排头、排尾），再排其余6人；
(4) 采用捆绑法：先将甲、乙视为一个整体进行内部排列，再与其余5人一起排列。
（1）从名男生中任选名有种选法，从名女生中任选名有种选法，
再将选取的人排列有种排法，由乘法原理共有种排法，
（2）先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，
由乘法原理共有种排法.
（3）先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种，
（4）甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有种，再与剩下的个人排列有种，共有种.
18．【答案】（1）解：时，，
故，
故切线方程是：，即；
（2）解：，①当时，由于，故，∴，
∴的单调递增区间为，无单调减区间；
②当时，令，得，
在区间上，；在区间上，；
∴的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，的单调递增区间为，无单调减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）解：由题意知在上恒成立，即在上恒成立，令，
则，
令，解得：；令，解得：；
故在递增，在递减，
而，
∴在上，
故，即a的范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1) 求曲线在某点的切线方程，核心步骤为：先代入切点横坐标求出函数值 得到切点，再求导函数 并代入横坐标得到切线斜率 ，最后利用点斜式 整理切线方程。
(2) 求函数单调区间，需先求导并整理导函数形式，结合定义域 对参数 分类讨论： 时导函数恒正/负， 时解导函数的零点，再根据导函数正负区间确定单调增/减区间。
(3) 恒成立问题求参数范围，核心思路是将 转化为参数分离，即 在区间 恒成立，构造函数 ，求其在区间上的最小值，参数 小于该最小值即可。
（1）时，，
故，
故切线方程是：，即；
（2），
①当时，由于，故，∴，
∴的单调递增区间为，无单调减区间；
②当时，令，得，
在区间上，；在区间上，；
∴的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，的单调递增区间为，无单调减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由题意知在上恒成立，即在上恒成立，
令，
则，
令，解得：；令，解得：；
故在递增，在递减，
而，
∴在上，
故，即a的范围为
19．【答案】（1）解：分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．
（2）解：．
令得或（不合题意，舍去）．
，．在两侧的值由正变负．
所以当即时，
．
当即时，，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；
若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；二次函数模型
【解析】【分析】(1) 根据“利润=每件产品利润×年销售量”的公式，代入已知的成本、管理费和销售量表达式，整理得到利润与售价的函数关系式，并写出定义域；
(2) 对利润函数求导，找到临界点，结合参数a的范围，分类讨论临界点与定义域的位置关系，进而确定不同情况下利润的最大值及对应的售价。
（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．
（2）．
令得或（不合题意，舍去）．
，．在两侧的值由正变负．
所以当即时，
．
当即时，，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；
若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．
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