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深圳市第二实验学校2025—2026学年度( 初二 年级)
第二学期 期中考试 数学 学科试题
说明：1、全卷共 5 页，满分为 100 分，考试时间为 90 分钟。
2、答卷前，考生必须按要求填写自己的姓名、学号、班级等信息。
3、客观题、主观题答案均填写在答题卡上。
一、选择题( 每小题3分，共24分 )
1．随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，c为任意数，则下列不等式中总是成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（　　)
A． B．
C． D．
4．已知中、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
6．已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．对于任意整数n，多项式都能（　　）
A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被12整除
8．如图，将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转后得到△AED，此时点D恰好落在边BC上.若AE∥BC，∠EAC=108°， 则∠BAD的度数为(　　)
A．30° B．32° C．34° D．36°
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是　 　．
10．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，，，则的周长为　 　.
11． 若， 则 的值为　 　.
12．如果关于的不等式组无解，那么的取值范围是　 　.
13．如图，点O是等边△ABC内一点， OA=2， OB=2 ， OC=4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，则 的值为　 　.
三、解答题（共61分）
14．（8分）因式分解
（1）2x2﹣4x+2 （2）（a2+b2）2﹣4a2b2
15．（8分）解不等式（组）
（1）解不等式：≤1． （2）解不等式组：
16．（9分）如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1）．将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1的顶点A1的坐标为 　 　；顶点C1的坐标为 　 　．
（2）求△A1B1C1的面积．
（3）已知点P在x轴上，以A1、C1、P为顶点的三角形面积为，求出P点的坐标．
17.（9分）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD=DE；
（2）求∠DCE的度数；
（3）当BD=1，求AD的长．
18．（9分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．
（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？
（9分）仔细阅读下面例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为．
(1)若二次三项式可分解为，则 　 　；
(2)若二次三项式可分解为，则 　 　；
(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
20．（9分）如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．
（1）如图1，求△AOB的面积；
（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，求证：CD＝BD+AC；
（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，请判断线段BQ的长是否为定值．如果是定值，请求出该定值，如果不是定值，请说明理由．
初二年级数学学科试卷 第 1 页 共 1 页深圳市第二实验学校2025—2026学年度( 初二 年级)
第二学期 期中考试 数学 学科试题参考答案
一、DBBCABCA
二、9.6 10.22 11.150 12. m≥2 13.
三、解答题
14.计算题根据步骤酌情给步骤分
解：（1）原式＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2------4分
（2）原式＝[（a2+b2）+2ab][（a2+b2）﹣2ab]＝（a+b）2（a﹣b）2------4分
15.
解：（1）∵≤1，
∴3（2x﹣1）﹣（x+1）≤6，
6x﹣3﹣x﹣1≤6，
6x﹣x≤6+3+1，
5x≤10，
x≤2；------4分
（2）由﹣1≤x，得：x≥﹣1，
由2（1﹣x）＞﹣4，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．------4分
16.
解：（1）（0，3）；（4，0）；------2分
（2）计算△A1B1C1的面积＝4×4﹣×2×4﹣×2×1﹣×4×3＝5；------3分
（3）设P点得坐标为（t，0），
∵以A1、C1、P为顶点得三角形得面积为，
∴×3×|t﹣4|＝，解得t＝3或t＝5，
故答案为：（3，0）或（5，0）．------4分（根据步骤酌情给步骤分）
17.（1）（3分）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，
∴△ABD≌△ACE，∠BAC=∠DAE，
∴AD=AE，BD=CE，∠AEC=∠ADB=120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形， -------2分
∴AD=DE； -------3分
（2）（3分）解：∵∠ADC=90°，∠AEC=120°，∠DAE=60°
∴∠DCE=360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE=90°， -------3分
（3）（3分）∵△ADE为等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=30°， ------1分
又∵∠DCE=90°，
∴DE=2CE=2BD=2，
∴AD=DE=2 ------3分
18.
解：（1）设甲型机器人每台价格是x万元，乙型机器人每台价格是y万元，根据题意得
解这个方程组得：
答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元------4分
（2）设该公司购买甲型机器人a台，乙型机器人（8﹣a）台，根据题意得
解这个不等式组得
∵a为正整数
∴a的取值为2，3，4，
∴该公司有3种购买方案，分别是
购买甲型机器人2台，乙型机器人6台
购买甲型机器人3台，乙型机器人5台
购买甲型机器人4台，乙型机器人4台
设该公司的购买费用为w万元，则w＝6a+4（8﹣a）＝2a+32
∵k＝2＞0
∴w随a的增大而增大
当a＝2时，w最小，w最小＝2×2+32＝36（万元）
∴该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．（根据步骤酌情给步骤分）------5分
（1）答案为：4 -------------------------------------2分
（2）答案为：1 ---------------------------------------2分
（3）解：设另一个因式为，
则，
所以，
所以，，
解得，，
所以另一个因式是，的值为．---------------------------------5分
20.
（1）解：∵（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0，∴a﹣2＝0，2b﹣4＝0，
∴a＝2，b＝2，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∴△AOB的面积＝＝2；------3分
（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，
∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°，
∴∠DBF＝180°，点D，B，F三点共线
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，
在△ODF与△ODC中，，
∴：△ODF≌△ODC，∴DC＝DF，DF＝BD+BF，故CD＝BD+AC．------3分
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取FD＝ PF，
∵∠BAO＝∠PDF＝45°，
∴∠PAB＝∠PDE＝135°，
∴∠BPA+∠EPF＝90°∠EPF+∠PED＝90°，
∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中，
，
∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP＝ED，
∴FD+ED＝PF+AP，
即：FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝2，
∴BQ＝4．------3分（根据步骤酌情给步骤分）

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