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广东省广州市天河区华实学校2025-2026学年下学期3月学情调研八年级数学试题
1．要使二次根式有意义，则x的值可以是（　　）
A．0 B．5 C．1 D．2
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得为，长为，则，两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．四个角相等 B．四条边相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
7．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则 ABCD的周长为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．20
8．如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知点是正方形内的一点，连接，如果，，，则四边形的面积为（　　）
A． B．9 C． D．9
11．若与最简二次根式是同类二次根式，则　 　.
12．如图，在中，，，，在数轴上，点对应的数为1，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是　 　
13．如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则　 　．
14．如图，在中，，，是边的中点，点是边的中点，若，则的长是　 　．
15．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为　 　．
16．小雅同学手中有一张矩形纸片，他进行了如下操作：第一步，如图将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图，再一次折叠纸片，把沿折叠得到交折痕于点，则到的距离为　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，四边形是平行四边形，平分交于点，平分交于点，求证：四边形是平行四边形．
19．如图，中，，，．
（1）用直尺和圆规在边上找一点，使到的距离等于．
（2）计算（1）中线段的长．
20．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．
（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
21．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C．
（1）木板①中截出的正方形木板C的边长为　 　；
（2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
22．如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
23．如图，O为坐标原点，四边形是矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒．
（1）点B的坐标为______，当______时，四边形是平行四边形；
（2）在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M在线段上且，试求四边形周长的最小值．
24．【特例感知】如图，在正方形中，点分别为的中点，交于点．
（1）易证，可知的数量关系为________________，位置关系为________________
（2）连接，若，求的长．
【初步探究】如图，在正方形中，点为边上一点，分别交、于，垂足为．求证：．
【基本应用】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点分别在边上，求的长．
25．如图，平面直角坐标系中．，（，均大于0），点在第二象限．
（1）若，满足，求线段的长度．
（2）如图（1），在（1）的条件下，若，求证：．
（3）如图（2），若，，，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：二次根式要有意义，则，
即，
∵，
∴x的值可以是5．
故选：B．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数．可得，再解即可．
2．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；同类项的概念；合并同类项法则及应用；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A．，错误；
B．≠3，错误；
C．，正确，；
D．≠，错误；
故答案为：C．
【分析】本题根据同类项的定义以及合并同类项的计算法则可以判断A选项，根据二次根式的减法法则计算判断B选项，根据二次根式的除法则计算判断C选项，根据二次根式的除法法则计算判断D选项。
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
为直角三角形，故A选项不符合题意；
，，，
为不是直角三角形，故B选项符合题意；
，
设，，
，，
，
为直角三角形，故C选项不符合题意；
∴，
为直角三角形，故D选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理可得出A 能判定为直角三角形 ；B不能判定为直角三角形 ；根据勾股定理的逆定理可得出C，D能判定为直角三角形 ；
4．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：(n-2)×180°=3×360°，
解得：n=8；
故答案为：C.
【分析】根据多边形的内角和和外角和公式列式，求出n即可。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，互相垂直，
∴，
在中，km，km，
∴km，
∵点是斜边的中点，
∴km，
故答案为：C．
【分析】本题结合条件，利用勾股定理求得km，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可计算出=6.5km．
6．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的四个角相等，而菱形的四个角不一定相等，因此该选项符合题意；
B、矩形的四条边不一定相等，而菱形的四条边一定相等，因此该选项不符合题意；
C、矩形和菱形的对角线都互相平分，因此该选项不符合题意；
D、矩形的对角线不一定互相垂直，而菱形的对角线互相垂直，因此该选项不符合题意．
故答案为：A。
【分析】矩形的基本性质有“四个角都是直角，对角线互相平分且相等”；而菱形的基本性质有“四条边相等，对角线互相垂直平分，对角相等”。本题据此进行逐项分析即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥AC，
∴OE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵△CDE的周长为8，
∴CE+DE+CD=8，即AD+CD =8，
∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+CD)=16．
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质得到AE=CE，再根据CE+DE+CD=8，即AD+CD=8，进而即可得到其周长。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴根据勾股定理可得：，
即，
∴，
∵，
根据勾股定理可得：，
∴，
故选：B．
【分析】过点A作于点E，首先根据等腰直角三角形得出AE=DE=，再在直角三角形ACE中，根据勾股定理求得CE的长，进一步根据DE-CE即可得出DC的长。
9．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，交于点，如图所示：
∵四边形是矩形
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，交于点，先利用矩形的性质和等量代换求出，再结合，，求出，，最后结合，求出即可.
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；旋转全等模型
【解析】【解答】解：如图所示，将绕点逆时针旋转，得，连接，过点作垂直于延长线于点，
∴，，，
∴等腰直角三角形，
∴，，
∵，，，，
则，，，
∴，即，
∴是直角三角形，则，
∵点三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据旋转可得，，
∴，
∵，，
∴，
∵=，
即四边形的面积为，
故答案为：．
【分析】旋转之后并做出辅助线，结合旋转的性质得出等腰直角三角形，此时可以求出，然后利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，；接着求出，从而利用等腰直角三角形的性质求出BH=、=，此时可以利用勾股定理可求出的值，进而求出正方形的面积为，结合旋转的性质得出，然后将，代入得出，最后分析得出
，代入计算即可得出答案。
11．【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵，是最简二次根式，
∴根据同类二次根式的性质有：，
解得：，
故答案为：4．
【分析】利用同类项二次根式和最简二次根式的定义可得，再求出a的值即可.
12．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
∵C点在数轴上表示的数是-1，且D点在C点的左侧，
∴点表示的数为．
故答案为：．
【分析】本题先结合图中信息，利用勾股定理求出的长，然后分析出C点在数轴上表示的数以及D点的位置，即可得到答案．
13．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵平分，
∴．
∵四边形是平行四边形
∴，，，
∴，
∴．
∴=5，
∴．
【分析】本题先通过角平分线的定义得出，然后利用平行四边形性质得到，，，此时利用“两直线平行、内错角相等”得出，继而推出，利用“等角对等边”得出=5，最后通过线段的和差关系计算即可．
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
是边的中点，是的中点，即DE是的中位线，
，
故答案为：．
【分析】本题先利用“30°锐角对应的直角边是斜边的一半”求出，然后根据三角形的中位线的定义和性质即可得出．
15．【答案】3
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：菱形中，对角线相交于点O，
∴
∵，
∴，
∵，即，且为的中点，
∴．
【分析】本题先根据“菱形的对角线互相垂直平分”得出AC=8，然后利用菱形的面积公式列式并求得=6，再放到Rt△BHD中，利用“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”即可求出OH=3．
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，，
，
由折叠可得：，，，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
，
则，
设D'到EN的距离为h，
∵S△D'EN=，
∴h=cm，
则点到的距离=．
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质以及平行线的性质，综合推出，此时依据“等角对等边”得出，在中，利用勾股定理列式求出，再得出，此时可以利用等面积法求出点到的距离h=，最后作差即可求出到的距离．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的平方计算出、二次根式的化简求出、，最后进行加减计算即可；
（2）先分别将各二次根式进行化简，得到，然后进一步计算即可。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
∴∠AEB=∠CBE，∠ADF=∠CFD，
平分，平分，
，，
，
∴AB=AE=CD=CF，
∴AD-AE=BC-CF，即，
四边形是平行四边形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【分析】本题先根据平行四边形的性质得出，，，然后结合“两直线平行、内错角相等”以及角平分线的定义，综合得出，此时结合等角对等边综合推出AB=AE=CD=CF，然后线段作差即可得出，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出证明结果。
19．【答案】（1）解：如图：点即为所作，
（2）解：设，作于，则，如图
，，，
，
S△ABC=S△ADC+S△ABD，即，
∴，解得，
即的长为．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；等积变换
【解析】【分析】（1）结合条件可知，作的角平分线，与的交点为点D即可。步骤为：以A点为圆心、任意长为半径画弧，分别交AC、AB各一点，分别以这两点为圆心、大于这两点间长度的一半为半径画弧，交于一点，最后连接A点和该点并延长，与的交点为点D；
（2）先根据勾股定理求出AB=10，然后利用等面积公式列出S△ABC=S△ADC+S△ABD，即，代入即可求出x=3，即为CD的长。
（1）解：如图：点即为所作，
（2）解：设，作于，则，
，，，
，
∵，，，
∴，
∴，
，
，
，
解得，
即的长为．
20．【答案】（1）解：如图，连接，
，，，
，
，
答：居民从点到点将少走路程.
（2）解：，，，
∴
是直角三角形，，
，，
，
答：这片绿地的面积是．
【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接AC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出答案即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可.
（1）解：如图，连接，
，，，
，
，
答：居民从点到点将少走路程；
（2）解：，，，
是直角三角形，，
，，
，
答：这片绿地的面积是．
21．【答案】（1）
（2）解：解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和，∴正方形木板A，B，C的边长分别为：，
∴长方形木板的长为，宽为
由图可得：
∴
．
（3）解：不能截出；理由：∵，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为，
由（2）得长方形的边长分别为：、，
，但
不能截出．
【知识点】无理数的估值；多项式乘多项式；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：（1）解：∵木板C为正方形，且面积为，
∴木板C的边长为：，
故答案为：．
【分析】（1）根据正方形的面积，利用二次根式可得，正方形的边长为，求解即可；
（2）根据图形，求得长方形木板的长和宽，利用长方形面积减去三个正方形的面积，即可求解；（3）求出面积为的正方形木板的边长为，根据图形可得，需要长方形的长，比较大小，即可求解．
（1）解：∵木板C为正方形，且面积为，
∴木板C的边长为：，
故答案为：．
（2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和，
∴正方形木板A，B，C的边长分别为：，
∴长方形木板的长为，宽为
由图可得：
∴
．
（3）解：不能截出；
理由：∵，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为，
由（2）得长方形的边长分别为：、，
，但
不能截出．
22．【答案】（1）证明：∵是的中点
，
四边形是平行四边形，
在菱形中，
四边形是矩形
（2）解：，
在菱形中，是的中点
是的中点
是的中位线
在菱形中，，
在中，，
根据勾股定理得
在菱形中，，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合即可证出四边形是矩形；
（2）先利用中位线的性质求出，再利用含30°角的直角三角形的性质求出OD的长，再利用勾股定理求出AO的长，再求出AC和BD的长，最后求出菱形的面积即可.
23．【答案】（1）；
（2）解：①当点Q在点P的右边时，如图，
∵四边形为菱形，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
②当点Q在点P的左边且在线段上时，如图，
∵四边形为菱形，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
③当点Q在点P的左边且在线段的延长线上时，如图，
∵四边形为菱形，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
综上所述，存在符合题意的点Q，且时，；时，；时，．
（3）解：过点M作交于点M，则四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形周长为，
要使四边形的周长最小，只需最小，
作点A关于直线的对称点N，连接，交于点E，
故当G，M，E，N，共线时，最小，
根据题意，得，
∴，
故四边形周长的最小值为22．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】∵四边形是矩形，，，点D是的中点，
∴，，，
∴点B的坐标，
根据题意，得，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；．
【分析】
（1）根据题目描述，已知四边形OABC是矩形，且OA=10，OC=3，因此点B的坐标可直接确定为(10， 3)。要使四边形PODB成为平行四边形，必须满足PB平行且等于OD。由于D是OA的中点，所以OD的长度为5。因为点P从C向B运动，且运动速度为2单位/秒，当PB=OD时，PB的长度也为5。由于BC的总长度为10，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论；
（2）要使四边形ODQP为菱形，即OD=OQ=QP=DP，且P在BC上，因此OD=5，分三种情况：当点Q在点P的右边时，根据O(0，0)，D(5，0)，和P的位置(5+2t，3)，通过勾股定理计算CQ的长度，可以解出t的值，进而找到Q的位置。同理，当左边和延长线上，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
（3）过点M作交于点M，则四边形是平行四边形，，得四边形周长为，要使四边形的周长最小，只需最小，作点A关于直线的对称点N，连接，交于点E，故当G，M，E，N，共线时，最小，勾股定理解答计算即可．
24．【答案】【特例感知】（1），；
（2）解：延长交的延长线于，如图
∵四边形是正方形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【初步探究】证明∶如图，过点作，交于，交于，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【基本应用】解：如图，过点作于，则四边形中，，
由翻折变换的性质得，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，
∵点是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】特例感知（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵点，是，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为∶（1），；
【分析】特例感知：（1）结合正方形的性质以及线段中点的定义，并利用“”可证，从而得出；然后利用“直角三角形锐角互余”推出，从而得出；
（）结合正方形的性质以及“两直线平行、内错角相等”、“对顶角相等”的性质，由“”可证，得出=BC，最后放到Rt△GHC中，由“直角三角形斜边中线等于斜边一半”即可得出答案；
初步探究：做辅助线后，利用平行四边形的判定即可得出四边形是平行四边形，从而得出，然后结合“两直线平行、同位角相等”得出；利用“直角三角形锐角互余”列式推出，此时由“”可证，可得；
基本应用：做辅助线后，利用折叠的性质得出，然后利用“直角三角形锐角互余”推出；然后利用正方形的性质以及AAS证明，从而得出，结合“直角三角形斜边中线性质”得出，最后利用勾股定理即可求出PQ的长。
25．【答案】（1）解：，
∴，，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴。
（2）证明：如图1，过点O作交的延长线于点D，连接，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴。
（3）解：如图2，过点O作交的延长线于点H，过点C作交x轴于点G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】（1）结合算术平方根的非负性，即可求出，，从而确定OA和OB的长，然后根据勾股定理即可求出；
（2）做辅助线后，可以先证明是等腰直角三角形，然后结合等腰三角形的性质并利用SAS证明，从而得出，，此时即可得出是等腰直角三角形，最后利用勾股定理列式变形即可得出答案；
（3）做辅助线后，通过角度计算得出是等腰直角三角形，从而得出，角度计算得出，从而根据“等角对等边”得，此时利用AAS证明，从而得；根据勾股定理列式，然后结合线段和差计算出b-a-3，此时利用完全平方公式列式求出得，进而结合三角形面积公式列式求的面积即可．
（1）解：，
∴，，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）证明：如图1，过点O作交的延长线于点D，连接，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图2，过点O作交的延长线于点H，过点C作交x轴于点G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
∴ ，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
1 / 1广东省广州市天河区华实学校2025-2026学年下学期3月学情调研八年级数学试题
1．要使二次根式有意义，则x的值可以是（　　）
A．0 B．5 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：二次根式要有意义，则，
即，
∵，
∴x的值可以是5．
故选：B．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数．可得，再解即可．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；同类项的概念；合并同类项法则及应用；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A．，错误；
B．≠3，错误；
C．，正确，；
D．≠，错误；
故答案为：C．
【分析】本题根据同类项的定义以及合并同类项的计算法则可以判断A选项，根据二次根式的减法法则计算判断B选项，根据二次根式的除法则计算判断C选项，根据二次根式的除法法则计算判断D选项。
3．在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
为直角三角形，故A选项不符合题意；
，，，
为不是直角三角形，故B选项符合题意；
，
设，，
，，
，
为直角三角形，故C选项不符合题意；
∴，
为直角三角形，故D选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理可得出A 能判定为直角三角形 ；B不能判定为直角三角形 ；根据勾股定理的逆定理可得出C，D能判定为直角三角形 ；
4．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：(n-2)×180°=3×360°，
解得：n=8；
故答案为：C.
【分析】根据多边形的内角和和外角和公式列式，求出n即可。
5．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得为，长为，则，两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，互相垂直，
∴，
在中，km，km，
∴km，
∵点是斜边的中点，
∴km，
故答案为：C．
【分析】本题结合条件，利用勾股定理求得km，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可计算出=6.5km．
6．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．四个角相等 B．四条边相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的四个角相等，而菱形的四个角不一定相等，因此该选项符合题意；
B、矩形的四条边不一定相等，而菱形的四条边一定相等，因此该选项不符合题意；
C、矩形和菱形的对角线都互相平分，因此该选项不符合题意；
D、矩形的对角线不一定互相垂直，而菱形的对角线互相垂直，因此该选项不符合题意．
故答案为：A。
【分析】矩形的基本性质有“四个角都是直角，对角线互相平分且相等”；而菱形的基本性质有“四条边相等，对角线互相垂直平分，对角相等”。本题据此进行逐项分析即可得出答案。
7．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则 ABCD的周长为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．20
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥AC，
∴OE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵△CDE的周长为8，
∴CE+DE+CD=8，即AD+CD =8，
∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+CD)=16．
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的判定和性质得到AE=CE，再根据CE+DE+CD=8，即AD+CD=8，进而即可得到其周长。
8．如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴根据勾股定理可得：，
即，
∴，
∵，
根据勾股定理可得：，
∴，
故选：B．
【分析】过点A作于点E，首先根据等腰直角三角形得出AE=DE=，再在直角三角形ACE中，根据勾股定理求得CE的长，进一步根据DE-CE即可得出DC的长。
9．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，交于点，如图所示：
∵四边形是矩形
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，交于点，先利用矩形的性质和等量代换求出，再结合，，求出，，最后结合，求出即可.
10．如图，已知点是正方形内的一点，连接，如果，，，则四边形的面积为（　　）
A． B．9 C． D．9
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；旋转全等模型
【解析】【解答】解：如图所示，将绕点逆时针旋转，得，连接，过点作垂直于延长线于点，
∴，，，
∴等腰直角三角形，
∴，，
∵，，，，
则，，，
∴，即，
∴是直角三角形，则，
∵点三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据旋转可得，，
∴，
∵，，
∴，
∵=，
即四边形的面积为，
故答案为：．
【分析】旋转之后并做出辅助线，结合旋转的性质得出等腰直角三角形，此时可以求出，然后利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，；接着求出，从而利用等腰直角三角形的性质求出BH=、=，此时可以利用勾股定理可求出的值，进而求出正方形的面积为，结合旋转的性质得出，然后将，代入得出，最后分析得出
，代入计算即可得出答案。
11．若与最简二次根式是同类二次根式，则　 　.
【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵，是最简二次根式，
∴根据同类二次根式的性质有：，
解得：，
故答案为：4．
【分析】利用同类项二次根式和最简二次根式的定义可得，再求出a的值即可.
12．如图，在中，，，，在数轴上，点对应的数为1，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是　 　
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
∵C点在数轴上表示的数是-1，且D点在C点的左侧，
∴点表示的数为．
故答案为：．
【分析】本题先结合图中信息，利用勾股定理求出的长，然后分析出C点在数轴上表示的数以及D点的位置，即可得到答案．
13．如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则　 　．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵平分，
∴．
∵四边形是平行四边形
∴，，，
∴，
∴．
∴=5，
∴．
【分析】本题先通过角平分线的定义得出，然后利用平行四边形性质得到，，，此时利用“两直线平行、内错角相等”得出，继而推出，利用“等角对等边”得出=5，最后通过线段的和差关系计算即可．
14．如图，在中，，，是边的中点，点是边的中点，若，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
，
是边的中点，是的中点，即DE是的中位线，
，
故答案为：．
【分析】本题先利用“30°锐角对应的直角边是斜边的一半”求出，然后根据三角形的中位线的定义和性质即可得出．
15．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：菱形中，对角线相交于点O，
∴
∵，
∴，
∵，即，且为的中点，
∴．
【分析】本题先根据“菱形的对角线互相垂直平分”得出AC=8，然后利用菱形的面积公式列式并求得=6，再放到Rt△BHD中，利用“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”即可求出OH=3．
16．小雅同学手中有一张矩形纸片，他进行了如下操作：第一步，如图将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平；第二步，如图，再一次折叠纸片，把沿折叠得到交折痕于点，则到的距离为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：四边形是矩形，，，
，
由折叠可得：，，，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
，
则，
设D'到EN的距离为h，
∵S△D'EN=，
∴h=cm，
则点到的距离=．
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质以及平行线的性质，综合推出，此时依据“等角对等边”得出，在中，利用勾股定理列式求出，再得出，此时可以利用等面积法求出点到的距离h=，最后作差即可求出到的距离．
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的平方计算出、二次根式的化简求出、，最后进行加减计算即可；
（2）先分别将各二次根式进行化简，得到，然后进一步计算即可。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．如图，四边形是平行四边形，平分交于点，平分交于点，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
∴∠AEB=∠CBE，∠ADF=∠CFD，
平分，平分，
，，
，
∴AB=AE=CD=CF，
∴AD-AE=BC-CF，即，
四边形是平行四边形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【分析】本题先根据平行四边形的性质得出，，，然后结合“两直线平行、内错角相等”以及角平分线的定义，综合得出，此时结合等角对等边综合推出AB=AE=CD=CF，然后线段作差即可得出，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出证明结果。
19．如图，中，，，．
（1）用直尺和圆规在边上找一点，使到的距离等于．
（2）计算（1）中线段的长．
【答案】（1）解：如图：点即为所作，
（2）解：设，作于，则，如图
，，，
，
S△ABC=S△ADC+S△ABD，即，
∴，解得，
即的长为．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；等积变换
【解析】【分析】（1）结合条件可知，作的角平分线，与的交点为点D即可。步骤为：以A点为圆心、任意长为半径画弧，分别交AC、AB各一点，分别以这两点为圆心、大于这两点间长度的一半为半径画弧，交于一点，最后连接A点和该点并延长，与的交点为点D；
（2）先根据勾股定理求出AB=10，然后利用等面积公式列出S△ABC=S△ADC+S△ABD，即，代入即可求出x=3，即为CD的长。
（1）解：如图：点即为所作，
（2）解：设，作于，则，
，，，
，
∵，，，
∴，
∴，
，
，
，
解得，
即的长为．
20．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．
（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
（2）这片绿地的面积是多少？
【答案】（1）解：如图，连接，
，，，
，
，
答：居民从点到点将少走路程.
（2）解：，，，
∴
是直角三角形，，
，，
，
答：这片绿地的面积是．
【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接AC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出答案即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可.
（1）解：如图，连接，
，，，
，
，
答：居民从点到点将少走路程；
（2）解：，，，
是直角三角形，，
，，
，
答：这片绿地的面积是．
21．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为和的正方形木板A，B，C．
（1）木板①中截出的正方形木板C的边长为　 　；
（2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和，∴正方形木板A，B，C的边长分别为：，
∴长方形木板的长为，宽为
由图可得：
∴
．
（3）解：不能截出；理由：∵，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为，
由（2）得长方形的边长分别为：、，
，但
不能截出．
【知识点】无理数的估值；多项式乘多项式；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：（1）解：∵木板C为正方形，且面积为，
∴木板C的边长为：，
故答案为：．
【分析】（1）根据正方形的面积，利用二次根式可得，正方形的边长为，求解即可；
（2）根据图形，求得长方形木板的长和宽，利用长方形面积减去三个正方形的面积，即可求解；（3）求出面积为的正方形木板的边长为，根据图形可得，需要长方形的长，比较大小，即可求解．
（1）解：∵木板C为正方形，且面积为，
∴木板C的边长为：，
故答案为：．
（2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和，
∴正方形木板A，B，C的边长分别为：，
∴长方形木板的长为，宽为
由图可得：
∴
．
（3）解：不能截出；
理由：∵，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为，
由（2）得长方形的边长分别为：、，
，但
不能截出．
22．如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，使，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵是的中点
，
四边形是平行四边形，
在菱形中，
四边形是矩形
（2）解：，
在菱形中，是的中点
是的中点
是的中位线
在菱形中，，
在中，，
根据勾股定理得
在菱形中，，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合即可证出四边形是矩形；
（2）先利用中位线的性质求出，再利用含30°角的直角三角形的性质求出OD的长，再利用勾股定理求出AO的长，再求出AC和BD的长，最后求出菱形的面积即可.
23．如图，O为坐标原点，四边形是矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒．
（1）点B的坐标为______，当______时，四边形是平行四边形；
（2）在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M在线段上且，试求四边形周长的最小值．
【答案】（1）；
（2）解：①当点Q在点P的右边时，如图，
∵四边形为菱形，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
②当点Q在点P的左边且在线段上时，如图，
∵四边形为菱形，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
③当点Q在点P的左边且在线段的延长线上时，如图，
∵四边形为菱形，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
综上所述，存在符合题意的点Q，且时，；时，；时，．
（3）解：过点M作交于点M，则四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴四边形周长为，
要使四边形的周长最小，只需最小，
作点A关于直线的对称点N，连接，交于点E，
故当G，M，E，N，共线时，最小，
根据题意，得，
∴，
故四边形周长的最小值为22．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】∵四边形是矩形，，，点D是的中点，
∴，，，
∴点B的坐标，
根据题意，得，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；．
【分析】
（1）根据题目描述，已知四边形OABC是矩形，且OA=10，OC=3，因此点B的坐标可直接确定为(10， 3)。要使四边形PODB成为平行四边形，必须满足PB平行且等于OD。由于D是OA的中点，所以OD的长度为5。因为点P从C向B运动，且运动速度为2单位/秒，当PB=OD时，PB的长度也为5。由于BC的总长度为10，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论；
（2）要使四边形ODQP为菱形，即OD=OQ=QP=DP，且P在BC上，因此OD=5，分三种情况：当点Q在点P的右边时，根据O(0，0)，D(5，0)，和P的位置(5+2t，3)，通过勾股定理计算CQ的长度，可以解出t的值，进而找到Q的位置。同理，当左边和延长线上，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
（3）过点M作交于点M，则四边形是平行四边形，，得四边形周长为，要使四边形的周长最小，只需最小，作点A关于直线的对称点N，连接，交于点E，故当G，M，E，N，共线时，最小，勾股定理解答计算即可．
24．【特例感知】如图，在正方形中，点分别为的中点，交于点．
（1）易证，可知的数量关系为________________，位置关系为________________
（2）连接，若，求的长．
【初步探究】如图，在正方形中，点为边上一点，分别交、于，垂足为．求证：．
【基本应用】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点分别在边上，求的长．
【答案】【特例感知】（1），；
（2）解：延长交的延长线于，如图
∵四边形是正方形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【初步探究】证明∶如图，过点作，交于，交于，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【基本应用】解：如图，过点作于，则四边形中，，
由翻折变换的性质得，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，
∵点是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】特例感知（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵点，是，的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为∶（1），；
【分析】特例感知：（1）结合正方形的性质以及线段中点的定义，并利用“”可证，从而得出；然后利用“直角三角形锐角互余”推出，从而得出；
（）结合正方形的性质以及“两直线平行、内错角相等”、“对顶角相等”的性质，由“”可证，得出=BC，最后放到Rt△GHC中，由“直角三角形斜边中线等于斜边一半”即可得出答案；
初步探究：做辅助线后，利用平行四边形的判定即可得出四边形是平行四边形，从而得出，然后结合“两直线平行、同位角相等”得出；利用“直角三角形锐角互余”列式推出，此时由“”可证，可得；
基本应用：做辅助线后，利用折叠的性质得出，然后利用“直角三角形锐角互余”推出；然后利用正方形的性质以及AAS证明，从而得出，结合“直角三角形斜边中线性质”得出，最后利用勾股定理即可求出PQ的长。
25．如图，平面直角坐标系中．，（，均大于0），点在第二象限．
（1）若，满足，求线段的长度．
（2）如图（1），在（1）的条件下，若，求证：．
（3）如图（2），若，，，，求的面积．
【答案】（1）解：，
∴，，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴。
（2）证明：如图1，过点O作交的延长线于点D，连接，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴。
（3）解：如图2，过点O作交的延长线于点H，过点C作交x轴于点G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】（1）结合算术平方根的非负性，即可求出，，从而确定OA和OB的长，然后根据勾股定理即可求出；
（2）做辅助线后，可以先证明是等腰直角三角形，然后结合等腰三角形的性质并利用SAS证明，从而得出，，此时即可得出是等腰直角三角形，最后利用勾股定理列式变形即可得出答案；
（3）做辅助线后，通过角度计算得出是等腰直角三角形，从而得出，角度计算得出，从而根据“等角对等边”得，此时利用AAS证明，从而得；根据勾股定理列式，然后结合线段和差计算出b-a-3，此时利用完全平方公式列式求出得，进而结合三角形面积公式列式求的面积即可．
（1）解：，
∴，，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）证明：如图1，过点O作交的延长线于点D，连接，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图2，过点O作交的延长线于点H，过点C作交x轴于点G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
∴ ，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
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