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2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
11.1.1不等式及其解集
不等式定义
1．式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．下列各式中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
3．模型观念 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．则：
（1）可理解为_____．
（2）请列举3个不同的整数a，使不等式成立．列举的a的值是________、________、________．
4．判断下列各式中哪些是不等式．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
不等式的解与解集
5．若是某不等式的解，则该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
6．下列关系式中，不含有这个解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列不等式的解集中，不包括的是（ ）
A． B． C． D．
8．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（ ）
A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解．
C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解．
9．的最小整数解是，的最大整数解是，则的值为_____．
10．已知不等式的正整数解为1，2，3．
（1）当为整数时，的值为_____．
（2）当为实数时，的取值范围为_____．
11．下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）．
13．观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，并且后一个图形中“★”的个数是依照排列规律递增的，那么到第几个图形所用的“★”超过100个？
14．下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？
(1)；
(2)．
不等式解集的表示
15．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为（ ）
A． B． C． D．
16．在数轴上表示不等式﹣3≤x＜6的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，，7，并利用数轴说明x的这些数值中，哪些满足不等式﹣3≤x＜6，哪些不满足？
17．不等式的解集x<3与x≤3有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来．
18．解下列各题：
(1)已知．请在数轴上表示出的位置
(2)表示怎样的数的全体？ 表示怎样的数的全体？
1．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加．沃利斯在1655年求出一个公式：，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的，若判断框内填入的条件为？，则正整数的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（ ）

A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）
3．不等式x＜2在数轴上表示正确的是（ ）
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
4．的2倍与的差大于1，可列不等式：___________．
5．假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________．
6．关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为________．
7．小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是：
停车时长（单位：小时）
收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24
乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）．
（1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是______元；
（2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为______小时，
8．（教材变式）用不等式表示：
（1）的4倍与3的差是正数：______________；
（2）与的积小于7：______________；
（3），两数的平方和大于10：______________．
9．如图，用两根长度均为的绳子分别围成一个正方形和一个圆．
(1)图中正方形的边长为 ；圆的半径为 ；
(2)如果要使圆的面积不小于，那么绳长l应满足怎样的不等关系 ；
(3)当时，正方形和圆的面积哪个大？呢？
(4)根据（3）得出结果，由此你能得到什么猜想？并证明你的猜想．
10．下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）：
维生素的含量
维生素的含量
成本 6 5 4
现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？
1．（1）【观察与思考】
场景1：某奶茶店有一个收银台，每2分钟可以服务一位顾客，店庆活动时，已有4位顾客在排队．收银台开始工作后，每4分钟来一位新顾客．分析问题，完成表格1．（单位：分钟）
收银台开始工作前已有4顾客在排队等候，若把到达时间看作0分钟，表示收银台开始工作后到达的“新顾客”．
①表1中第_____位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客．
场景2：若店庆活动时已有6位顾客排队，其他条件不变（每2分钟服务一人；“新顾客”每4分钟来一位）．
②表2中第_____位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客．
（2）【发现与表达】
发现1：
①“新顾客”服务结束的时间_____“新顾客”服务开始时间（填“>”“<”或“=”）．
发现2：
②若_____，则当“新顾客”到达时无排队现象．（填“>”“<”或“=”）
③结论：如果服务窗口办理业务的速度为每分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每分钟到达一位．服务窗口开始服务前已经有位顾客在等待，假设从第位“新顾客”开始不需要排队，当_____时，排队现象消失（直接写出与的关系）．
表1
顾客 …
到达时间
服务开始时间
服务结束时间
表2
顾客 …
到达时间 … ▲
服务开始时间 … ▲ ▲
服务结束时间 … ▲
2．如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒．
(1)的长为 个单位长度，x的值为 ；
(2)当时，求点M表示的数；
(3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长；
(4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值．
3．在平面直角坐标系中，对于任意两点，与，的“近似距离”，给出如下定义：若，则点，与点，的“近似距离”为；若，则，与点，的“近似距离”为．
(1)已知点，点，求点与点的“近似距离”；
(2)已知点，为轴上的动点．
①若点与点的“近似距离”为4，试求出满足条件的点的坐标；
②直接写出点与点的“近似距离”的最小值：　 　．
2025-2026学年人教版七年级数学下分层精练精析
11.1.1不等式及其解集（解析版）
不等式定义
1．式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】根据不等式的定义：用不等号（、、、、）连接的式子叫做不等式，逐一判断各个式子，进而统计符合条件的式子个数．
【详解】解：①用不等号连接，是不等式；
②用不等号连接，是不等式；
③用不等号连接，是不等式；
④是代数式，没有不等号连接，不是不等式；
⑤用不等号连接，是不等式；
符合不等式定义的式子共有个．
2．下列各式中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、， 是代数式，不含不等号，不是不等式．
B、，是用不等号连接的式子，符合不等式的定义．
C、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式．
D、，是用等号连接的式子，是等式，不是不等式．
故选B．
3．模型观念 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．则：
（1）可理解为_____．
（2）请列举3个不同的整数a，使不等式成立．列举的a的值是________、________、________．
【答案】 数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2 0 1
【分析】本题考查的是绝对值的几何意义及不等式的概念，准确地理解绝对值的几何意义是解题的关键．（1）按照题意理解为数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）先理解的意义，结合a为整数，可得可以列举的a的值是：0,1，．
【详解】解：（1）∵的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离，
∴可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
（2）∵可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离小于2，a为整数，
∴可以列举的a的值是：0,1，．
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；0，1，．
4．判断下列各式中哪些是不等式．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
【答案】（1）（2）（3）（6）是不等式
【分析】本题考查了不等式的概念，熟练掌握不等式的概念是解题的关键；
根据不等式的定义逐一判断是否为不等式．
【详解】解：由不等号连接，表示两个量大小关系的式子叫做不等式；
（1）由连接，是不等式．
（2）由连接，是不等式．
（3）由连接，是不等式．
（4）由连接，是等式，也是方程；不是不等式．
（5）无连接符号，是代数式，不是不等式．
（6）由连接，是不等式．
综上所述，（1）（2）（3）（6）是不等式．
不等式的解与解集
5．若是某不等式的解，则该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题将代入各选项不等式，判断不等式是否成立即可得到正确答案．
【详解】解：选项A：不等式为，不成立，故A错误；
选项B：不等式为，成立，故B正确；
选项C：不等式为，不成立，故C错误；
选项D：不等式为，不成立，故D错误．
6．下列关系式中，不含有这个解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键．
将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解.
【详解】A、当时，，成立，不符合题意；
B、当时，，，不成立，符合题意；
C、当时，，，成立，不符合题意；
D、当时，，，成立，不符合题意；
故选：B．
7．下列不等式的解集中，不包括的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可．
【详解】解：中不包括，
故选：C．
8．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（ ）
A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解．
C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可．
【详解】解：A、∵某不等式的解集是，
∴0是这个不等式的解，故A不符合题意；
B、∵某不等式的解集是，
∴不是这个不等式的解，故B不符合题意；
C、∵某不等式的解集是，
∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意；
D、∵某不等式的解集是，
∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意．
故选：C
9．的最小整数解是，的最大整数解是，则的值为_____．
【答案】6075
【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集．
根据不等式的整数解定义，确定和的值，再计算乘积即可．
【详解】解：由，得最小整数解为，故；
由，得最大整数解为，故．
因此．
故答案为：．
10．已知不等式的正整数解为1，2，3．
（1）当为整数时，的值为_____．
（2）当为实数时，的取值范围为_____．
【答案】 3
【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，借助数轴利用数形结合的思想得到的取值范围是解题关键．
（1）根据题意可将在数轴上表示出来，利用数形结合的思想即可求出的取值范围，由于为整数，即可求出的值；
（2）由（1）即可求出答案．
【详解】解（1）将不等式在数轴上表示出来，如图所示，
∵的正整数解为，的正整数解为，
∴，
又为整数，
，
故答案为：；
（2）由（1）可知，的取值范围是．
故答案为：．
11．下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）．
【答案】①②③
【分析】此题主要考查了不等式的解集和解，解题的关键是掌握二者的区别与联系．
根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析．
【详解】解：①是不等式的一个解，说法正确，符合题意；
②是不等式的一个解，说法正确，符合题意；
③不等式的解集是，说法正确，符合题意；
故答案为：①②③．
12．请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查不等式的解集．由，3均小于4可得．
【详解】解：由，3均小于3可得，
所以符合条件的不等式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
13．观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，并且后一个图形中“★”的个数是依照排列规律递增的，那么到第几个图形所用的“★”超过100个？
【答案】第34个图形所用的“★”超过100个
【分析】本题主要考查图形规律，不等式的运用，理解图示，找出数量关系是关键．
根据题意得到第一个图有“★”的数量是个，结合题意列不等式求解即可．
【详解】解：第一个图有“★”的数量是个，
第二个图有“★”的数量是个，
第三个图有“★”的数量是个，
第四个图有“★”的数量是个，
，
∴第个图有“★”的数量是个，
∴，
解得，，
∴第34个图形所用的“★”超过100个．
14．下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？
(1)；
(2)．
【答案】(1)是该不等式的解，不是该不等式的解
(2)是该不等式的解，5不是该不等式的解
【分析】本题考查不等式的解的意义．
（1）分别将括号内的数代入不等式的左边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立；
（2）分别将括号内的数代入不等式的左边和右边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立．
【详解】（1）解：当x取时，代入不等式左边，得，
因为，所以原不等式不成立；
当x取时，代入不等式左边，得，
因为，所以原不等式成立；
故是该不等式的解，不是该不等式的解．
（2）解：当x取0时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得，
因为，所以原不等式成立；
当x取3时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得．
因为，所以原不等式成立；
当x取5时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得．
因为，所以原不等式不成立，
故是该不等式的解，5不是该不等式的解．
不等式解集的表示
15．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据天平知2＜A＜3，然后观察数轴即可．
【详解】解：根据题意，知2＜A＜3．
故选C．
16．在数轴上表示不等式﹣3≤x＜6的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，，7，并利用数轴说明x的这些数值中，哪些满足不等式﹣3≤x＜6，哪些不满足？
【答案】﹣2，0，满足不等式；﹣4，7不满足不等式
【分析】根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x的下列值：﹣4，﹣2，0，，7在数轴上表示出来，这些值如果在解集范围内则表示满足不等式，否则就是不满足不等式．
【详解】解：根据图可知：x的下列值：﹣2，0，满足不等式；x的下列值：﹣4，7不满足不等式．
【点睛】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
17．不等式的解集x<3与x≤3有什么不同？在数轴上表示它们时怎样区别？分别在数轴上把这两个解集表示出来．
【答案】见解析
【详解】试题分析：
不等式和的解集的不同之处：前者的解集中不包含3，后者的解集中包含3；在数轴上表示这两个解集时，前者表示数3的点用“空心圆圈”，后者表示数3的点用“实心圆点”.
试题解析：
（1）不等式和的解集的不同之处：前者的解集中不包含3，后者的解集中包含3；
（2）在数轴上表示不等式和的解集时，前者表示数3的点用“空心圆圈”，后者表示数3的点用“实心圆点”；
（3）①将表示在数轴上为：
②将表示在数轴上为：
.
18．解下列各题：
(1)已知．请在数轴上表示出的位置
(2)表示怎样的数的全体？ 表示怎样的数的全体？
【答案】(1)见详解
(2)表示小于1的全体实数， 表示大于或等于2的全体实数．
【分析】（1）画出数轴，把在数轴上表示出来即可；
（2）根据不等式的意义，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：表示小于1的全体实数， 表示大于或等于2的全体实数．
【点睛】本题主要考查不等式的意义以及在数轴上表示数，掌握不等式的意义是关键．
1．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加．沃利斯在1655年求出一个公式：，根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的，若判断框内填入的条件为？，则正整数的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式求值-流程图、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键．
根据流程图求代数式的值，再结合不等式进行判断即可解答．
【详解】解：当
执行，，
∴，
∴，
∵
∴不满足输出条件，继续循环；
第二次循环
执行 ，此时：
∴，
∵，
∴满足输出条件．
因此，当时输出T，正整数m的最小值是3．
故选B．
2．下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（ ）

A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）
【答案】C
【分析】由得或进而即可求解；
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∴（1）（4）符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查绝对值的概念、不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键．
3．不等式x＜2在数轴上表示正确的是（ ）
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
【答案】A
【详解】不等式x＜2在数轴上表示为空心向左.故选A.
4．的2倍与的差大于1，可列不等式：___________．
【答案】
【详解】解：根据题意，可列不等式为．
5．假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键；
根据交通标志上的限速信息确定车速的取值范围即可．
【详解】解：由题可知，车在中间车道，
根据图片中的车速范围可知：
故答案为：．
6．关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为________．
【答案】0或6或8
【分析】本题主要考查了一元一次方程的整数解，不等式的解集，掌握知识点是解题的关键．
先解方程得到，由于解是正整数，因此必须是9的正因数，且，从而确定整数的值．
【详解】解：解方程，
移项得，
即，
解得．
由于方程的解是正整数，因此且为整数，
故，即，
且必须是9的正因数．
9的正因数有1、3、9，
当时，，；
当时，，；
当时，，．
均满足解为正整数．
若为负因数，则为负，不符合要求；
若，则分母为零，方程无解．
因此整数的值为0或6或8．
故答案为：0或6或8．
7．小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是：
停车时长（单位：小时）
收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24
乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）．
（1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是______元；
（2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为______小时，
【答案】 15 7
【分析】本题考查了有理数的运算，不等式，正确理解题意是解题的关键．
（1）由小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，即可求出停车时间，再根据表格即可求解；
（2）根据表格分析每一个时间段，在乙停车场最多停车时间及费用，即可求解．
【详解】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，
∴，
∴在甲停车场停了8小时20分钟，
∴由表格得收费15元，
故答案为：15；
（2）若时，知甲免费，乙至少花费2元，不合题意；
若时，要使得乙停车费少，则乙最多2小时4元；
若时，要使得乙停车费少，则乙最多4小时8元；
若时，要使得乙停车费少，则乙最多7小时14元；
若时，乙至少花费20元，不合题意；
若时，乙至少26元，不合题意，
∴小林停车时间最长为7小时，
故答案为：7．
8．（教材变式）用不等式表示：
（1）的4倍与3的差是正数：______________；
（2）与的积小于7：______________；
（3），两数的平方和大于10：______________．
【答案】
【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键．
（1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得；
（2）根据积的定义列出不等式即可得；
（3）根据平方和的定义列出不等式即可得．
【详解】解：（1）的4倍与3的差是正数：，
故答案为：．
（2）与的积小于7：，
故答案为：．
（3），两数的平方和大于10：，
故答案为：．
9．如图，用两根长度均为的绳子分别围成一个正方形和一个圆．
(1)图中正方形的边长为 ；圆的半径为 ；
(2)如果要使圆的面积不小于，那么绳长l应满足怎样的不等关系 ；
(3)当时，正方形和圆的面积哪个大？呢？
(4)根据（3）得出结果，由此你能得到什么猜想？并证明你的猜想．
【答案】(1)；
(2)
(3)当和时，都是圆的面积大
(4)不管l取何值，圆面积都大于正方形的面积；证明见解析
【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算的应用，列不等式，正确理解题意并列式计算是解题的关键．
（1）根据题意可直接列出代数式；
（2）根据题意可直接列出不等式并化简即可；
（3）当和时，分别计算正方形和圆的面积，再比较大小即可；
（4）根据（3）的结果可作出猜想；用作差法列式计算，即可证明猜想．
【详解】（1）解：因为正方形的周长为，所以其边长为；
因为圆周长为，所以圆的半径长为．
故答案为：；．
（2）解：根据题意可列不等式为，
即．
故答案为：．
（3）解：当时，
正方形的面积为（），
圆面积为（），
，
圆面积大；
当时，
正方形的面积为（），
圆面积为（），
，
圆面积大；
（4）解：猜想，不管l取何值，圆面积都大于正方形的面积．
证明：，
，
，
不管l取何值，圆面积都大于正方形的面积．
10．下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）：
维生素的含量
维生素的含量
成本 6 5 4
现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？
【答案】时，成本最小为元
【分析】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键．
【详解】解：依题意有，
即
得：，
得：，解得：，
成本为：，
当时，成本最小为元．
1．（1）【观察与思考】
场景1：某奶茶店有一个收银台，每2分钟可以服务一位顾客，店庆活动时，已有4位顾客在排队．收银台开始工作后，每4分钟来一位新顾客．分析问题，完成表格1．（单位：分钟）
收银台开始工作前已有4顾客在排队等候，若把到达时间看作0分钟，表示收银台开始工作后到达的“新顾客”．
①表1中第_____位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客．
场景2：若店庆活动时已有6位顾客排队，其他条件不变（每2分钟服务一人；“新顾客”每4分钟来一位）．
②表2中第_____位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客．
（2）【发现与表达】
发现1：
①“新顾客”服务结束的时间_____“新顾客”服务开始时间（填“>”“<”或“=”）．
发现2：
②若_____，则当“新顾客”到达时无排队现象．（填“>”“<”或“=”）
③结论：如果服务窗口办理业务的速度为每分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每分钟到达一位．服务窗口开始服务前已经有位顾客在等待，假设从第位“新顾客”开始不需要排队，当_____时，排队现象消失（直接写出与的关系）．
表1
顾客 …
到达时间
服务开始时间
服务结束时间
表2
顾客 …
到达时间 … ▲
服务开始时间 … ▲ ▲
服务结束时间 … ▲
【答案】（1）①；②；（2）①；②；③
【分析】本题考查了不等式的应用，用代数式表示数的规律，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，寻找规律，列出代数式．
【详解】（1）①在分钟到达时，服务刚好结束（分钟），收银台空闲，因此服务开始时间为分钟（无需排队）．
∴表1中第3位“新顾客”是第一个到达时无需排队的顾客．
故答案为：．
②第5位，“新顾客”到达时间是20分钟，第10位顾客结束服务的时间是20分钟，所以第5位“新顾客”是第一个不需要排队的；
故答案为：5；
（2）①根据表2，“新顾客”服务结束的时间“新顾客”服务开始时间，
故答案为：．
②是到达时间，是服务结束时间
∴当 时，刚结束服务，收银台空闲，且无其他顾客排队，因此无需排队
故答案为：．
③如果服务窗口办理业务的速度为每分钟服务一位顾客，“新顾客”增加的速度为每分钟到达一位．服务窗口开始服务前已经有位顾客在等待，
服务时间为，第位“新顾客”到达的时间为，
假设从第位“新顾客”开始不需要排队，
当时，收银台空闲，排队现象消失
故答案为：．
2．如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒．
(1)的长为 个单位长度，x的值为 ；
(2)当时，求点M表示的数；
(3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长；
(4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值．
【答案】(1)8，6
(2)点M表示的数是
(3)机器人M变成彩色的总时长为8秒
(4)t的值为4或10.4或8或20或
【分析】此题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意和分类讨论．
（1）本问考查数轴上两点之间的距离，根据点，表示的数，即可算出的长，再利用是的中点，得到，即可解得的值．
（2）本问根据线段的和差，得到点只能在点的右边，推出的长，即可解题；
（3）分情况讨论，然后综合各种情况得到机器人变成彩色的总时长；
（4）分情况进行讨论，然后综合各种情况得到的值；
【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，，
∴，
∵ 是的中点，
∴，
∴表示的数分别为，即的值为，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴点只能在点的右边，位置如图所示：
∴，即，整理得，解得，
∴点表示的数为；
（3）解：由（）可知，从运动到需秒，
∴，，
∴，
当追上时，
，
解得，
当追上之前，
∵，
∴
解得，
∴，
当追上之后，
，
∵，
∴
解得，
∴，
综上可知，，
（秒）
∴机器人变成彩色的总时长为秒；
（4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒，
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人到达点，此时点与点重合，即，
当机器人过点时，即，
解得或，
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人到达点时，即，
当机器人超过机器人时，，
解得或（舍去），
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人未到达点时，即，
当机器人与机器人相遇时，即，
解得或，
综上可知，的值为或或或或．
3．在平面直角坐标系中，对于任意两点，与，的“近似距离”，给出如下定义：若，则点，与点，的“近似距离”为；若，则，与点，的“近似距离”为．
(1)已知点，点，求点与点的“近似距离”；
(2)已知点，为轴上的动点．
①若点与点的“近似距离”为4，试求出满足条件的点的坐标；
②直接写出点与点的“近似距离”的最小值：　 　．
【答案】(1)
(2)①或；②
【分析】（1）根据题意即可得点与点的“近似距离”；
（2）①设点的坐标为．由，，解得或，即可得出答案；
②设点的坐标为，且，则，，若，则点、两点的“近似距离”为，若，则点、两点的“近似距离”为；即可得出结果
【详解】（1）点、点，，
点与点的“近似距离”为5．
（2）①为轴上的一个动点，
设点的坐标为．
、两点的“近似距离”为4，，
，，
解得或，
点的坐标是或，
②设点的坐标为，且，
，，
若，则点、两点的“近似距离”为，
若，则点、两点的“近似距离”为；
、两点的“近似距离”的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了新定义“近似距离”、点的坐标、绝对值、绝对值不等式等知识；本题综合性强，正确理解新定义“近似距离”是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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