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福建福九联盟2025-2026学年高一下学期期中适应性练习数学试题
一、单选题
1．下面说法不正确的是（ ）
A．多面体至少有四个面 B．平行六面体六个面都是平行四边形
C．棱台的侧面都是梯形 D．长方体、正方体都是正四棱柱
2．已知复数满足，则（ ）
A．5 B．3 C． D．
3．已知向量，则（ ）
A． B．5 C． D．25
4．如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（ ）

A． B． C． D．
5．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，角以为始边，把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，若，则（ ）
A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值1
7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
8．设函数，，若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知都是复数，下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图是《易 系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头．洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形，，其中为这两正方形的中心，，，，分别为，，，的中点，若正方形的边长为2，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．是的一个周期
B．的值域为
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数在区间上有7个零点
三、填空题
12．已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为_____．
13．若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________.
14．已知平面向量，且．已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则的最小值为______．
四、解答题
15．设，，其中且．
(1)求的值；
(2)当为何值时，与互相垂直．
16．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
17．如图，在直三棱柱中，底面ABC是正三角形，AB=2，，BC边上的中点为D．
(1)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积；
(2)求直三棱柱外接球的表面积；
(3)求点到平面的距离．
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长；
(3)求边AC上的中线BE的取值范围．
19．“费马点”是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状.当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，设点为的费马点，求的最小值.
参考答案
1．D
2．C
3．C
4．B
5．D
6．B
7．B
8．C
9．BD
10．BCD
11．BCD
12．2
13．4
14．
15．（1）由，得，则，
所以
（2）依题意，，，，
由与垂直，得，
即，所以．
16．（1）；（2）
详解：解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
17．（1）由题意得，
，从而，
所以AD⊥，所以，
，因为，，，
，，
所以，
所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为．
（2）根据对称性，球心在直三棱柱的中心，设为O，
取H为等边△ABC的外心，所以AH为等边△ABC外接圆半径，设为r，
根据正弦定理，则，因为，
所以，在Rt△AOH中，，
所以直三棱柱外接球的表面积
（3）因为三棱柱是直棱柱，
所以⊥平面，⊥平面ABC，⊥平面ABC，
三棱锥的体积
设点到平面的距离为h，则
所以
18．（1）已知，由余弦定理可得，
因为，代入中，得，化简得，
则，因为，所以．
（2），，由余弦定理得，
即，又因为，所以，
由面积关系可得，
，
所以，即.
（3）因为E是AC的中点，所以，
则，
由正弦定理得，，
即，
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，即边AC上的中线BE的取值范围为．
19．（1）因为，由正弦定理得，
所以，
又，
整理得，
因为，所以，可得，即，
因为，所以.
（2）因为，由正弦定理得.
由余弦定理得，即，
由正弦定理得，
所以，
因为为三角形的内角，则，则.
（3）因为，所以的内角均小于，所以点在的内部，
且，由，得，
设，，则，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，
所以的最小值为.

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