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辽宁辽西重点高中2025~2026学年度下学期高二4月月考数学试题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．下列是离散型随机变量的是（ ）
A．种子含水量的测量误差
B．某品牌电视机的使用寿命
C．某网页在24小时内被浏览的次数
D．测量某一零件的长度产生的测量误差
3．某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下：
1 2 3 4 5
4 7 12 20 33
经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（ ）（参考公式：，）
A． B． C． D．
4．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（ ）
A．62 B．169 C．170 D．190
6．记为等差数列的前项和.若，设，关于的值，下列说法正确的是（ ）
A．一定不大于 B．可能大于，但一定不大于
C．可能大于 D．当时，
7．记为数列的前n项和，若，且的值为的可能性相同，则是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正项数列的前项和为，且.在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，则的前88项和等于（ ）
A．163 B．165 C．167 D．173
二、多选题
9．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（ ）
0 1
0.6
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．在一个有限样本空间中，假设，且与相互独立，则
B．已知随机变量，则
C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断与独立
D．若随机变量服从两点分布，且，则
11．已知半径为的圆与射线：、x轴正半轴均相切，半径是的圆与射线l、x轴正半轴均相切，且与圆外切，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则数列是公比为2.24的等比数列
C．若，则点的坐标为
D．若，则数列的前n项和小于
三、填空题
12．设正整数数列满足，则__________．
13．设为给定的大于2的整数．有个外表上没有区别的袋子，第个袋中有个红球，个白球．将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取出不放回）．求第三次取出的为白球的概率为_______．
14．已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足.设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是__________.
四、解答题
15．某空间站有甲、乙等多名航天员共同负责一项科学实验，现按照一个以一周为周期的值班表安排该实验的值班人员．已知每名航天员的值班日期不完全相同．
(1)若每名航天员每周安排两天值班，则甲、乙两人每周恰好有一天共同值班的安排方式共有多少种？
(2)求甲、乙每周各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率．
16．已知数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式：
(2)若，，求．
17．为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表：
成绩优秀 成绩一般 合计
时长充足组 30 10 40
时长不足组 20 40 60
合计 50 50 100
同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据：
学生编号 1 2 3 4 5 6
x 0 1 2 2 3 4
y 91 105 116 119 125 140
(1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义；
(2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？
参考数据与公式：，．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
18．对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
(1)判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
(2)已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；
(3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
19．已知一个不透明的盒中有个小球（小球除编号不同外其余均相同），这个小球的编号分别为1，2，3，…，（，）．现进行如下摸球活动：
(1)若，从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率；
(2)如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中个小球（，），记录编号后放回，再重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为．
（ⅰ）若，，求概率；
（ⅱ）求使概率取得最大值时m的值．
参考答案
1．C
2．C
3．A
4．A
5．D
6．B
7．B
8．A
9．ABC
10．BD
11．AD
12．3
13．
14．
15．（1）甲被安排两天值班有种情况，
无论甲如何安排，乙都有种情况使得两人恰有一天共同值班，
甲、乙每周恰好有一天共同值班的安排方法有种．
（2）记甲、乙每周被安排三天值班为事件，甲、乙两人没有被安排共同值班为事件．被安排三天值班的情况有种，
则甲、乙每周各被安排三天值班，且两名航天员的值班日期安排不完全相同的安排方式共有种，
无论甲如何安排，乙都有种情况使得甲、乙没有任何一天共同值班，
故甲、乙两人没有被安排共同值班的情况有种，
所以在每人各被安排三天值班的条件下，甲、乙两人没有被安排共同值班的概率为．
16．（1）由，得，
两式相减得，则；
（2）由（1）可知，则，
所以
.
17（1）零假设为：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）由数据得，，，
，
，
得，，
所以y关于x的经验回归方程为．
将代入经验回归方程得，
所以预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为145.5分．
该结果与实际得分不一定相符合，原因是把每周整理错题时长为4.5小时的学生数学成绩作为一个子总体，数学成绩为145.5分是这个子总体的均值的估计值，影响数学成绩还有其他的因素（言之合理即可）．
18（1）因为，，
所以数列是周期数列，其最小正周期为2；
（2）因为无穷数列是周期为的周期数列，且，，
所以当为偶数时，；
当为奇数时，，
因为对一切正整数恒成立，
所以当为偶数时，，故只需即可；
当为奇数时，恒成立，故只需即可；
综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为；
（3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以数列是周期为的周期数列，
因为，
即，因为，
所以，，
所以数列的周期为，
所以，即，显然方程无解，
所以不存在非零常数，使得是周期数列.
19．（1）编号相邻的可能有“1，2”、“2，3”、“3，4”、“4，5”四种可能，所以2个小球编号不相邻的概率为．
（2）（ⅰ）．
（ⅱ）当时，整数m满足，其中为0和的较大者，即．
“”所包含的事件总数为，
∴，
设，
．
令．
①当时，（比较与k大小）
②当时，（比较与大小）
∴．
则当能被整除即时，在或处达到最大值：
当不能被整除即时，在（表示不超过x的最大整数）．
当时，只能取，此时符合上述不能被整除的情况．
综上：使概率取得最大值时．

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